2023-2024学年辽宁省鞍山市第一中学等校高一下学期7月期末考试数学试题（含答案）

2023-2024学年辽宁省鞍山市第一中学等校高一下学期7月期末考试
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.与角终边相同的角是( )
A. B. C. D.
2.函数的定义域是( )
A. B.
C. D.
3.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
4.用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图为如图所示的，已知是边长为的等边三角形，则顶点到轴的距离是( )
A. B. C. D.
5.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 若相邻两条对称轴的距离为，则；
B. 若，则时，的值域为；
C. 若在上单调递增，则；
D. 若在上恰有个零点，则．
6.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
7.设、为空间中两条不同直线，、为空间中两个不同平面，下列命题中正确的为( )
A. 若上有两个点到平面的距离相等，则
B. 若，，则“”是“”的既不充分也不必要条件
C. 若，，，则
D. 若、是异面直线，，，，，则
8.如图，在正四面体中，，是棱上的三等分点，记二面角，，的平面角分别为，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A. “是第二象限角或第三象限角”，“”，则是的充分不必要条件
B. 若为第一象限角，则
C. 在中，若，则为锐角三角形
D. 已知，且，则
10.下列有关向量的命题正确的是( )
A. 若均为非零向量，且，则
B. 已知单位向量满足，则
C. 在中，若，且，则为等边三角形
D. 若点在所在平面内，且，则点的轨迹经过的外心．
11.如图，已知正三棱台由一个平面截棱长为的正四面体所得，分别是的中点，是棱台的侧面上的动点包含边界，则下列结论中正确的是( )
A. 该三棱台的体积为
B. 平面平面
C. 直线与平面所成角的正切值的最小值为
D. 若，则点的轨迹的长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，角，，的对边分别为，且，则 ．
13.四棱锥的底面是边长为的正方形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则
14.榫卯结构是中国古代建筑文化的瑰宝，在连接部分通过紧密的拼接，使得整个结构能够承受大量的重量，并且具有较高的抗震能力．这其中木楔子的运用，使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，木楔子是一种简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛木片等．如图为一个木楔子的直观图，其中四边形是边长为的正方形，且均为正三角形，，则该木楔子的外接球的体积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角所对的边分别为，且满足．
求角；
若角的角平分线交于点，点在线段上，，求的面积．
16.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，，，点是的中点．
求证：平面
求证：
求三棱锥的体积．
17.本小题分
已知向量，函数．
求函数在上的单调递减区间；
若，且，求的值；
将图象上所有的点向左平移个单位，然后再向上平移个单位，最后使所有点的纵坐标变为原来的倍，得到函数的图象，当时，方程有一解，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数的图象如图所示，点，，为与轴的交点，点，分别为的最高点和最低点，而函数在处取得最小值．
求参数的值；
若，求向量与向量夹角的余弦值；
若点为函数图象上的动点，当点在，之间运动时，恒成立，求的取值范围．
19.本小题分
如图，四面体中，，，，为的中点．

证明：平面平面；
设，，点在上；
点为中点，求与所成角的余弦值；
当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．
参考答案
1.
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13.
14.或
15.解：因为，
所以由正弦定理得，
所以，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，
因为，所以；
因为角的角平分线交于点，
所以，
因为，所以由，得
，
所以，
由余弦定理得，所以，
所以，解得或舍去，
所以，解得，
所以，
因为角的角平分线交于点，所以，
因为，所以，
所以．

16.证明：设与交于点，则为的中点，连接，则在中，，又平面，平面，所以平面．
证明：在中，由余弦定理求得，
为直角三角形，．
又平面，平面，，，，平面，
平面．
平面，．
解：在中过点作，垂足为，
平面平面，且平面平面，平面，
平面
易知，，
，．
17.解：因为，
所以即
又因为，所以函数在上的单调递减区间为
若则，所以．
因为，所以，
所以，
所以
故．
将图象上所有的点的纵坐标变为原来的，再向下平移个单位，最后再向右平移个单位得到函数的图象，
即：
则，
当时，
由方程有一解，可得的取值范围为．

18.解：因为函数在处取得最小值，则，，
得，，由，所以；
因为，所以，
则，，，
则，，
所以；
因为点是上的动点，，
，，
又因为恒成立，
设，
，，
，
易知在或处有最小值，
在或处有最大值，
所以当或时，有最小值，
即当点在或处时，有最小值，此时或，
当时，，，
所以，得，
又，则，
当时，，，
所以，得，
又，则，
综上，

19.解：，为的中点，，
在和中，
，，又为的中点，
，又平面，，
平面，
又平面，平面平面；

取的中点，的中点，连接，则，，
或其补角为与所成的角，
由且，是 等边三角形，则，
由且，为的中点，
在等腰直角中， ，
在中，，所以，即，
又，，
在中，由余弦定理得，
即，，
在中，，由余弦定理得，
在中，，
即，，故，
在中，，，，
故，
与所成角的余弦值为．
连接，由知，平面，平面，
，则，
当时最小，即的面积最小．
平面，平面，，
又平面，平面，，
平面，
又平面，平面平面，
过点作于或交延长线，
平面平面，平面，
平面，或其补角为与平面所成的 角，
由知，，
在直角中，，所以，
在直角中，，，
在等腰中，，，，
，
与平面所成的角的正弦值为．


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