中小学教育资源及组卷应用平台
第十三章《轴对称》提优测评卷
一．选择题（共12小题）
1．“致中和，天地位焉，万物育焉，”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称美惊艳了千年的时光．以下四幅剪纸作品中，其图案是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拨】利用轴对称图形的定义进行解答即可．
【解答】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，所以不是轴对称图形，
选项C能找到这样的一条直线，使图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，所以是轴对称图形，
故选：C．
【点评】本题主要考查了轴对称图形的识别，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2．在平面直角坐标系xOy中，点A（2，4+m）与点B（m，n）关于y轴对称，则m+n的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．﹣1
【思路点拨】直接利用关于y轴对称点的性质得出m，n的值，进而得出答案．
【解答】解：∵点A（2，4+m）与点B（m，n）关于y轴对称，
∴m＝﹣2，4+m＝n，
解得：n＝2，
则m+n的值为：﹣2+2＝0．
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标符号关系是解题关键．
3．如图，在△ABC中，∠C＝40°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（ ）
A．40° B．80° C．90° D．140°
【思路点拨】由折叠的性质得到∠D＝∠C，再利用外角性质即可求出所求角的度数．
【解答】解：由折叠的性质得：∠D＝∠C＝40°，
根据外角性质得：∠1＝∠3+∠C，∠3＝∠2+∠D，
则∠1＝∠2+∠C+∠D＝∠2+2∠C＝∠2+80°，
则∠1﹣∠2＝80°．
故选：B．
【点评】此题考查了翻折变换（折叠问题），以及外角性质，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．
4．如图，已知点O是△ABC的两边AB和AC的垂直平分线OD，OE的交点，且∠A＝50°，则∠BOC的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．125°
【思路点拨】连接OA，可利用垂直平分线的性质得到∠ABO+∠ACO的值，进一步可求出∠BOC的度数．
【解答】解：连接OA，如图所示：
由题意得：OB＝OA＝OC，
∴∠ABO＝∠BAO，∠ACO＝∠CAO，
∵∠BAO+∠CAO＝∠A＝50°，
∴∠ABO+∠ACO＝50°，
∵∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB），
又∵∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠A﹣（∠ABO+∠CO），
∴∠BOC＝∠A+（∠ABO+∠ACO）＝100°，
故选：A．
【点评】本题考查了垂直平分线的性质、三角形的内角和定理等知识点．掌握数学中的整体思想是解题关键．
5．如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝100°，点M是射线AB上的一个动点，过点M作MN∥BC交射线AC于点N，连结BN．若△BMN中有两个角相等，则∠MNB的度数不可能是（ ）
A．25° B．30° C．50° D．65°
【思路点拨】分两种情形：如图1中，当点N在线段AC上时，如果MN＝BM，如图2中，当BM＝BN时，∠BNM＝∠BMN＝50°，当MB＝MN时，∠BNM（180°﹣50°）＝65°，当NB＝MN时，∠BNM＝80°，由此即可判断．
【解答】解：如图1中，当点N在线段AC上时，如果MN＝BM，
则∠MNB＝∠MBN，
∵MN∥BC，
∴∠AMN＝∠ABC＝50°，
∴∠MNB＝25°．
如图2中，当BM＝BN时，∠BNM＝∠BMN＝50°，
当MB＝MN时，∠BNM（180°﹣50°）＝65°，
当NB＝MN时，∠BNM＝80°，
综上所述，选项B符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
6．点P（﹣2，1）与点Q（a，b）关于直线y＝﹣1对称，则点Q的坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣3） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣2，﹣2） D．（﹣2，﹣4）
【思路点拨】根据轴对称的性质进行解答即可．
【解答】解：∵点P（﹣2，1）与点Q（a，b）关于直线y＝﹣1对称，
∴1，
解得：b＝﹣3，
∴点Q的横坐标为a＝﹣2，纵坐标为b＝﹣3，
∴点Q的坐标为（﹣2，﹣3），故A正确．
故选：A．
【点评】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质．
7．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）
A．20° B．20°或120° C．36°
【思路点拨】根据等腰三角形的性质．因为所成比例的内角，可能是顶角，也可能是底角，因此要分类求解．
【解答】解：设两内角的度数为x、4x，
当等腰三角形的顶角为x时，x+4x+4x＝180°，
∴x＝20°；
当等腰三角形的顶角为4x时，4x+x+x＝180°，
∴x＝30°，则4x＝120°；
综上分析可知，等腰三角形的顶角度数为20°或120°，故B正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查等腰三角形内角度求解，解题的关键是熟知等腰三角形的性质．
8．如图，在△ABC中，AC＝BC，AB＝6，△ABC的面积为12，CD⊥AB于点D，直线EF垂直平分BC交AB于点E，交BC于点F，P是线段EF上的一个动点，则△PBD的周长的最小值是（ ）
A．6 B．7 C．10 D．12
【思路点拨】如图，连接PC．利用三角形的面积公式求出CD，由EF垂直平分AB，推出PB＝PC，推出PB+PD＝PC+PD，由PC+PD≥AD，推出PC+PD≥4，推出PC+PD的最小值为4，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，连接CP，
∵AC＝BC，CD⊥AB，
∴BD＝AD＝3，
∵S△ABC AB CD＝12，
∴CD＝4，
∵EF垂直平分BC，
∴PB＝PC，
∴PB+PD＝PC+PD，
∵PC+PD≥CD，
∴PC+PD≥4，
∴PC+PD的最小值为4，
∴△PBD的最小值为4+3＝7，
故选：B．
【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
9．如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝1．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
【思路点拨】如图，过点P作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N．根据角平分线的性质，由OP平分∠AOB，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，得PM＝PN，∠PMO＝90°，∠PNO＝90°，那么∠MPN＝360°﹣∠AOB﹣∠PMO﹣∠PNO＝60°．此时，△PMN是等边三角形．然后再进行分类讨论．
【解答】解：如图，过点P作PM⊥OA于M，ON⊥OB于N．
∵OP平分∠AOB，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，
∴PM＝PN，∠PMO＝90°，∠PNO＝90°．
∴∠MPN＝360°﹣∠AOB﹣∠PMO﹣∠PNO＝60°．
∴此时，△PMN是等边三角形．
当M向MO方向移动，N向NB方向移动，∠MPM1＝∠NPN1．
∴∠M1PN1＝∠M1PN+∠NPN1＝∠M1PN+∠MPM1＝∠MPN＝60°．
在△PMM1和△PNN1中，
，
∴△PMM1≌△PNN1（ASA）．
∴PM1＝PN1．
∴△M1PN1是等边三角形．
∴当M向MO方向移动，N向NB方向移动，∠MPM1＝∠NPN1，
∴△M1PN1是等边三角形．
同理：当M向MA方向移动，N向NO方向移动，也存在无数个满足条件等边△PMN．
综上：满足条件的△PMN有无数个．
故选：D．
【点评】本题主要考查角平分线的性质、等边三角形的判定，熟练掌握角平分线的性质、等边三角形的判定是解决本题的关键．
10．如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点B坐标是（﹣5，2），则经过第2023次变换后点B的对应点的坐标为（ ）
A．（﹣5，﹣2） B．（5，﹣2） C．（﹣5，2） D．（5，2）
【思路点拨】观察图形不难发现，每四次变换为一个循环组循环，用2023除以4，根据余数的情况确定最后点B所在的象限，然后根据关于坐标轴对称的点的变化规律解答．
【解答】解：点B第一次关于x轴对称后在第三象限，点B第二次关于y轴对称后在第四象限，点B第三次关于x轴对称后在第一象限，点B第四次关于y轴对称后在第二象限，
所以，每四次对称为一个循环组依次循环，
∵2023÷4＝505余3，
∴经过第2023次变换后所得的B点与第三次变换的位置相同，坐标为（5，2）．
故选：D．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，对称，确定出每4次变换为一个循环组是解题的关键．
11．已知锐角∠AOB＝40°，如图，按下列步骤作图：①在OA边取一点D，以O为圆心，OD长为半径画弧MN，交OB于点C，连接CD．②以D为圆心，DO长为半径画弧GH，交OB于点E，连接DE．则∠CDE的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【思路点拨】由作图步骤①，可知OC＝OD，利用等边对等角，可得出∠OCD＝∠ODC，在△OCD中，利用三角形内角和定理，可求出∠OCD的度数，由作图步骤②，可知DO＝DE，利用等边对等角，可求出∠DEO的度数，由∠OCD是△CDE的外角，再利用三角形的外角性质，即可求出∠CDE的度数．
【解答】解：由作图步骤①可知：OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC．
在△OCD中，∠COD＝40°，∠OCD＝∠ODC，
∴∠OCD（180°﹣∠COD）（180°﹣40°）＝70°．
由作图步骤②可知：DO＝DE，
∴∠DEO＝∠DOE＝40°．
∵∠OCD是△CDE的外角，
∴∠OCD＝∠DEC+∠CDE，
∴∠CDE＝∠OCD﹣∠DEC＝70°﹣40°＝30°．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、等腰三角形的判定与性质以及三角形的外角性质，根据作图的步骤，找出OC＝OD＝DE是解题的关键．
12．如图，在第1个三角形A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB，在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个三角形A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个三角形A2A3E；…；按此作法继续下去，则第2023个三角形的底角的度数是（ ）
A．75° B．75°
C．75° D．75°
【思路点拨】由等腰三角形的性质，三角形外角的性质总结出规律，即可得到答案．
【解答】解：∵∠B＝30°，A1B＝CB，
∴∠C＝∠BA1C（180°﹣30°）＝75°，
∵A1A2＝A1D，
∴∠A1DA2＝∠A1A2D，
∵∠BA1C＝∠A1DA2+∠A1A2D＝2∠A1A2D，
∴∠A1A2D75°，
∴第2个三角形A1A2D的底角是75°，
∵A2A3＝A2E，
∴∠A2EA3＝∠A2A3E，
∵∠A1A2D＝∠A2EA3+∠A2A3E＝2∠A2A3E，
∴∠A2A3E7575°，
∴第3个三角形A2A3E的底角是75°75°，
∴按此作法继续下去，第2023个三角形的底角的度数是75°75°．
故选：C．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，有理数的乘方，规律型：图形的变化类，三角形的外角，关键是由等腰三角形的性质，三角形外角的性质总结出规律．
二．填空题（共6小题）
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD⊥AB．若AD＝1，则BD的长是 3 ．
【思路点拨】利用三角形的内角和求出∠A，余角的定义求出∠ACD，然后利用含30度角的直角三角形性质求出AC＝2AD，AB＝2AC即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝60°，AB＝2AC，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠A＝30°，
∴，即AC＝2AD＝2，
∴AB＝2AC＝4，
∴BD＝AB﹣AD＝4﹣1＝3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了含30度角的直角三角形性质以及三角形内角和定理，解题的关键在于灵活应用含30度角的直角三角形性质．
14．在平面直角坐标系中，点（m，﹣2）与点（3，n）关于x轴对称，则m+n＝ 5 ．
【思路点拨】根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得m、n的值，进而可得答案．
【解答】解：∵点（m，﹣2）与点（3，n）关于x轴对称，
∴m＝3，n＝2，
∴m+n＝3+2＝5．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，掌握关于x轴对称点的横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题关键．
15．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝4cm，P为BC边的垂直平分线DE上一个动点，则△ACP的周长最小值为 12 cm．
【思路点拨】因为BC的垂直平分线为DE，所以点C和点B关于直线DE对称，所以当点动点P和E重合时则△ACP的周长最小值，再结合题目的已知条件求出AB的长即可．
【解答】解：∵P为BC边的垂直平分线DE上一个动点，
∴点C和点B关于直线DE对称，
∴当点动点P和E重合时则△ACP的周长最小值，
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝4cm，
∴AB＝2AC＝8cm，
∵AP+CP＝AP+BP＝AB＝8cm，
∴△ACP的周长最小值＝AC+AB＝12cm，
故答案为：12．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线的问题以及垂直平分线的性质，正确确定P点的位置是解题的关键，确定点P的位置这类题在课本中有原题，因此加强课本题目的训练至关重要．
16．如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，连接AE，AF，若△AEF的周长为7，则BC的长为 7 ．
【思路点拨】根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，FA＝FC，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，
∴EA＝EB，FA＝FC，
∵△AEF的周长为7，
∴EA+EF+FA＝7，
∴BC＝EB+EF+FC＝EA+EF+FA＝7，
故答案为：7．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
17．如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点F，将∠C沿EG（E在AC上，G在BC上）折叠，使点C与点F恰好重合，则∠FGE＝ 80° ．
【思路点拨】如图，连接FB、FC，根据等腰三角形的性质得到∠BAC＝80°，根据角平分线的定义得到∠BAF＝∠CAF∠BAC80°＝40°，根据线段垂直平分线的性质得到FA＝FB，求得∠ABF＝∠BAF＝40°，根据全等三角形的性质得到FB＝FC，求得∠FBC＝∠FCB＝10°，根据翻折的性质可得FG＝CG，∠FGE＝∠CGE，于是得到结论．
【解答】解：如图，连接FB、FC，
∵AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝50°，
∴∠BAC＝80°，
∵AF为∠BAC的平分线，
∴∠BAF＝∠CAF∠BAC80°＝40°，
∵DF是AB的垂直平分线，
∴FA＝FB，
∴∠ABF＝∠BAF＝40°，
∴∠FBC＝∠ABC﹣∠ABF＝50°﹣40°＝10°，
∵∠CAF＝∠BAF，AB＝AC，AF＝AF，
∴△AFB≌△AFC（SAS），
∴FB＝FC，
∴∠FBC＝∠FCB＝10°，
根据翻折的性质可得FG＝CG，∠FGE＝∠CGE，
∴∠CFG＝∠GCF＝10°，
∴∠FGC＝160°，
∴∠FGE＝80°．
故答案为：80°．
【点评】本题考查了翻折变换，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形的性质，综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键．
18．如图，点D为△ABC的边BC上一点（CD＜BD），点D关于AB、AC的对称点分别为点E、F，连接DE、DF，点A经过EF，连接AD，连接FC、EB，延长EB到G，使FC＝BG，连接FG交BC于点M，连接EM，当ME⊥FG，时，则AD长＝ ．
【思路点拨】如图所示，连接AM，先根据对称性得到∠FAC＝∠DAC，∠DAB＝∠EAB，进而证明∠BAC＝90°，则∠ACB+∠ABC＝90°，同理得到∠ACF＝∠ACD，∠ABE＝∠ABC，进而证明∠FCD+∠EBC＝180°，则EG∥CF，证明△CMF≌△BMG得到CM＝BM，则由直角三角形斜边上的中线的性质得到，再证明AF＝AD＝AE，进而推出∠EDF＝90°，由此可得．
【解答】解：如图所示，连接AM，
∵点D关于AB、AC的对称点分别为点E、F，
∴∠FAC＝∠DAC，∠DAB＝∠EAB，
∵∠FAC+∠DAC+∠DAB+∠EAB＝180°，
∴∠DAC+∠DAB＝90°，即∠BAC＝90°，
∴∠ACB+∠ABC＝90°，
同理可得∠ACF＝∠ACD，∠ABE＝∠ABC，
∴∠ACF+∠ACD+∠ABE+∠ABC＝180°，即∠FCD+∠EBC＝180°，
∴EG∥CF，
∴∠MGB＝∠MFC，∠MBG＝∠MCF，
又∵FC＝BG，
∴△CMF≌△BMG（ASA），
∴CM＝BM，
∵，
∴，
由对称性可知AF＝AD、AD＝AE，
∴AF＝AD＝AE，
∴∠AFD＝∠ADF，∠ADE＝∠AED，
∵∠AFD+∠ADF+∠ADE+∠AED＝180°，
∴∠ADF+∠ADE＝90°，即∠EDF＝90°，
∵ME⊥FG，即∠EMF＝90°，
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了轴对称的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，平行线的性质与判断，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，证明∠BAC＝90°是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
19．如图，已知点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE．
（1）求证：BD＝CE；
（2）若点D在线段AB的垂直平分线上，BD＝DE，求∠B的度数．
【思路点拨】（1）作AF⊥BC于点F，利用等腰三角形三线合一的性质得到BF＝CF，DF＝EF，相减后即可得到正确的结论．
（2）证明DA＝DE＝AE，得出△ADE是等边三角形，由等边三角形的性质得出∠ADE＝60°，由三角形外角的性质则可得出答案．
【解答】（1）证明：如图，过点A作AF⊥BC于F．
∵AB＝AC，AD＝AE．
∴BF＝CF，DF＝EF，
∴BD＝CE．
（2）解：∵点D在线段AB的垂直平分线上，
DA＝DB，
∵DB＝DE，
∴DA＝DE，
∵AD＝EA，
∴DA＝DE＝AE，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠ADE＝60°，
∵∠ADE是△ADB的外角，
∴∠ADE＝∠B+∠BAD，
∵DA＝DB，
∴∠B＝∠BAD＝30°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l是第一、三象限的角平分线．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（3，1），B（4，3），C（6，0）．
（1）若△ABC与△A'B'C'关于y轴对称，画出△A'B'C'；
（2）若在直线l上存在点P，使△ABP的周长最小，则点P的坐标为 （3，3） ．
【思路点拨】（1）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可；
（2）作点B关于直线l的对称点B″，连接AB″交直线l于点P，连接PB，此时PA+PB的值最小，△ABP的周长最小．
【解答】解：（1）r如图所示：
（2）点P的坐标为（3，3），
故答案为：（3，3）．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
21．如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．
（1）若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？（要求：尺规作图，保留作图痕迹．写出必要的文字说明）
（2）若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？
【思路点拨】（1）欲求到A、B两地的距离相等，即作出AB的中垂线与EF的交点M即可，交点即为厂址所在位置．
（2）利用轴对称求最短路线的方法得出A点关于直线EF的对称点A′，再连接A′B交EF于点N，即可得出答案．
【解答】解：（1）作出AB的中垂线与EF的交点M，交点M即为厂址所在位置；
（2）如图所示：作A点关于直线EF的对称点A′，再连接A′B交EF于点N，点N即为所求．
A
【点评】此题主要考查了学生对线段中垂线的作法，应用设计与作图以及轴对称求最短路径，对到两点距离相等问题的掌握和得出A点对称点是解题关键．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）若∠C＝42°，求∠BAD的度数；
（2）若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F，试判断△AEF的形状并证明．
【思路点拨】（1）根据直角三角形的两锐角互余即可求解；
（2）根据三线合一得出∠BAD＝∠CAD，根据平行线的性质得∠F＝∠CAD，等量代换可得∠BAD＝∠F，根据等角对等边即可求解．
【解答】（1）解：∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ADC＝90°，
∴∠C＝42°，
∴∠BAD＝∠CAD＝90°﹣42°＝48°．
（2）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴EF∥AC，
∴∠F＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠F，
∴AE＝FE，
∴△AEF为等腰三角形．
【点评】本题考查了直角三角形的两锐角互余，等腰三角形的性质与判定，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
23．（1）如图1中，∠A＝90°，请用直尺和圆规作一条直线，把△ABC分割成两个等腰三角形（不写作法，但须保留作图痕迹）．
（2）已知内角度数的两个三角形如图2、图3所示．请你判断，能否分别画一条直线把它们分割成两个等腰三角形？若能，请画出直线，并标注底角的度数．
（3）一个三角形有一内角为48°，如果经过其一个顶点作直线能把其分成两个等腰三角形，那么它的最大的内角可能值为 108°或90°或99°或88°或116° ．
【思路点拨】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，作BC的垂直平分线即可确定点E，连接AE即可；
（2）分别以24°为底角，可分割出两个等腰三角形；
（3）利用图1、2、3中三角形内角之间的关系进行判断．
【解答】解：（1）如图，作BC的垂直平分线交BC于E，连接AE，
则直线AE即为所求；
（2）如图：
（3）根据（1）（2）中三个角之间的关系可知：当三角形是直角三角形时，肯定可以分割成两个等腰三角形，此时最大角为90°；
当一个角是另一个三倍时，也肯定可以分割成两个等腰三角形，此时最大角为99°；
如图3，此时最大角为108°．
当最大内角为88°或116°时，如图，
综上所述：最大角为108°或90°或99°或88°或116°，
故答案为：108°或90°或99°或88°或116°．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理和三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝8cm，过点C作直线MN⊥BC，动点D从点C出发，沿射线CB方向以每秒3厘米的速度运动，动点E也同时从点C出发，在直线MN上以每秒1厘米的速度向远离C点的方向运动，分别连接AD、AE，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）若点E在射线CM上，当t＝2时，直接写出CE、CD、BD的长；
（2）在（1）的条件下，求证：△ABD≌△ACE；
（3）若点E在射线CN上，是否存在某一时刻t，使得△BCE是等腰三角形？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．
【思路点拨】（1）根据路程、速度、时间之间的关系即可得出CE、CD、BD的长；
（2）利用SAS即可证得△ABD≌△ACE；
（3）根据△BCE是等腰三角形且∠BCE＝90°，得出△BCE是等腰直角三角形，从而求出t的值．
【解答】（1）解：当t＝2时，CE＝2cm，CD＝6cm，
∵BC＝8cm，
∴BD＝BC﹣CD＝8﹣6＝2cm；
（2）证明：由（1）知CE＝2cm，BD＝2cm，
∴CE＝BD．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ABD＝45°，
又∵MN⊥BC，
∴∠BCM＝90°，
∴∠ACM＝45°，
∴∠ACE＝∠ABD＝45°，
在△ABD和△ACE 中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（3）解：存在，
理由：∵△BCE是等腰三角形且∠BCE＝90°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
即BC＝CE，
∴CE＝8cm，
∴t8（秒）．
即存在t＝8秒，使得△BCE是等腰三角形．
【点评】本题了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定、等腰三角形的性质是解题的关键．
25．问题探究：如图1，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，为探究Rt△ABC中30°角所对的直角边AC与斜边AB的数量关系，学习小组成员已经添加了辅助线．
（1）请叙述辅助线的添法，并完成探究过程；
探究应用1：如图2，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，点D在线段CB上，以AD为边作等边△ADE，连接BE，为探究线段BE与DE之间的数量关系，组长已经添加了辅助线：取AB的中点F，连接EF．
（2）线段BE与DE之间的数量关系是 BE＝DE ；并说明理由；
探究应用2：如图3，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，点D在线段CB的延长线上，以AD为边作等边△ADE，连接BE．
（3）线段BE与DE之间的数量关系是 BE＝DE ，并说明理由．
【思路点拨】（1）如图1，作BC的垂直平分线PD交AB、BC于P、D，就可以得出PC＝PB，∠PCB＝∠B＝30°，∠ACP＝60°，得出△ACP是等边三角形，就可以得出AP＝AC＝PBAB，进而得出结论；
（2）如图2，由等边三角形的性质及直角三角形的性质就可以得出△ACD≌△AFE，就可以得出∠C＝∠AFE＝90°，由垂直平分线的性质就可以得出结论BE＝DE；
（3）如图3，取AB的中点F，连接EF，由等边三角形的性质及直角三角形的性质就可以得出△ACD≌△AFE，就可以得出∠C＝∠AFE＝90°，由垂直平分线的性质就可以得出结论BE＝DE．
【解答】解：（1）如图1，作CB的垂直平分线分别交AB、BC于P、D，
∴PC＝PB，
∴∠PCB＝∠B＝30°．
∵∠ACB＝90°，
∴∠A＝60°，∠ACP＝60°，
∴∠APC＝∠A＝∠ACP＝60°，
∴△ACP是等边三角形，
∴AC＝AP＝PC．
∴AC＝AP＝PBAB，即ACAB；．
（2）BE＝DE．
理由：如图2，
∵F是AB的中点，∴AFAB．
∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，
∴ACAB，∠CAB＝60°．
∴AC＝AF．
∵△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE＝DE，∠EAD＝60°，
∴∠CAB＝∠DAE，
∴∠CAB﹣∠3＝∠DAE﹣∠3，
∴∠1＝∠2．
在△ACD和△AFE中，，∴△ACD≌△AFE（SAS），
∴∠C＝∠AFE＝90°，
∴EF⊥AB．
∵F是AB的中点，
∴EF是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴BE＝DE．
故答案为：BE＝DE；
（3）BE＝DE．
理由：如图3，取AB的中点F，连接EF，
∴AFAB．
∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，
∴ACAB，∠CAB＝60°．
∴AC＝AF．
∵△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE＝DE，∠EAD＝60°，
∴∠CAB＝∠DAE，
∴∠CAB+∠2＝∠DAE+∠2，
∴∠1＝∠3．
在△ACD和△AFE中，，
∴△ACD≌△AFE（SAS），
∴∠C＝∠AFE＝90°，
∴EF⊥AB．
∵F是AB的中点，
∴EF是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴BE＝DE．
故答案为：BE＝DE．
【点评】本题考查了直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，垂直平分线的性质的运用，等式的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
26．某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°）．现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB、AC上．
活动一：如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，若小棒与小棒在端点处互相垂直、A1A2为第1根小棒．
数学思考：（1）小棒能无限摆下去吗？答： 能 ．（填“能”或“不能”）
（2）设AA1＝A1A2＝A2A3，θ＝ 22.5° ．
活动二：如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2＝AA1．
数学思考：（3）若已经摆放了3根小棒，θ3＝ 4θ ．（用含θ的式子表示）
（4）若只能摆放6根小棒，则θ的范围为 θ＜15° ．
【思路点拨】（1）先根据已知条件∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°）小棒两端分别落在两射线上，从而判断出能继续摆下去．
（2）利用等腰直角三角形的性质求解即可．
（3）本题需先根据A1A2＝AA1，得出∠A1AA2和∠AA2A1相等，即可得出θ1的值，同样道理得出θ2、θ3的值；
（4）根据（3）的结论，和三角形外角的性质，即可推出不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）∵根据已知条件∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°）小棒两端能分别落在两射线上，
∴小棒能继续摆下去．
故答案为：能；
（2）∵A1A2＝A2A3，A1A2⊥A2A3，
∴∠A2A1A3＝45°，
∴∠AA2A1+∠θ＝45°，
∵∠AA2A1＝∠θ，
∴∠θ＝22.5°；
（3）∵A1A2＝AA1，
∴∠A1AA2＝∠AA2A1＝θ，
∴∠A2A1A3＝θ1＝θ+θ，
∴θ1＝2θ，
同理可得：θ2＝3θ，
θ3＝4θ．
故答案为：4θ；
（4）由题意得：，
∴θ＜15°．
故答案为：θ＜15°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，在解题时要注意根据题意找出规律并与等腰三角形的性质相结合是本题的关键．中小学教育资源及组卷应用平台
第十三章《轴对称》提优测评卷
一．选择题（共12小题）
1．“致中和，天地位焉，万物育焉，”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称美惊艳了千年的时光．以下四幅剪纸作品中，其图案是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．在平面直角坐标系xOy中，点A（2，4+m）与点B（m，n）关于y轴对称，则m+n的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．﹣1
3．如图，在△ABC中，∠C＝40°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（ ）
A．40° B．80° C．90° D．140°
4．如图，已知点O是△ABC的两边AB和AC的垂直平分线OD，OE的交点，且∠A＝50°，则∠BOC的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．125°
5．如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝100°，点M是射线AB上的一个动点，过点M作MN∥BC交射线AC于点N，连结BN．若△BMN中有两个角相等，则∠MNB的度数不可能是（ ）
A．25° B．30° C．50° D．65°
6．点P（﹣2，1）与点Q（a，b）关于直线y＝﹣1对称，则点Q的坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣3） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣2，﹣2） D．（﹣2，﹣4）
7．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）
A．20° B．20°或120° C．36°
8．如图，在△ABC中，AC＝BC，AB＝6，△ABC的面积为12，CD⊥AB于点D，直线EF垂直平分BC交AB于点E，交BC于点F，P是线段EF上的一个动点，则△PBD的周长的最小值是（ ）
A．6 B．7 C．10 D．12
9．如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝1．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
10．如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点B坐标是（﹣5，2），则经过第2023次变换后点B的对应点的坐标为（ ）
A．（﹣5，﹣2） B．（5，﹣2） C．（﹣5，2） D．（5，2）
11．已知锐角∠AOB＝40°，如图，按下列步骤作图：①在OA边取一点D，以O为圆心，OD长为半径画弧MN，交OB于点C，连接CD．②以D为圆心，DO长为半径画弧GH，交OB于点E，连接DE．则∠CDE的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
12．如图，在第1个三角形A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB，在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个三角形A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个三角形A2A3E；…；按此作法继续下去，则第2023个三角形的底角的度数是（ ）
A．75° B．75°
C．75° D．75°
二．填空题（共6小题）
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD⊥AB．若AD＝1，则BD的长是 ．
14．在平面直角坐标系中，点（m，﹣2）与点（3，n）关于x轴对称，则m+n＝ ．
15．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝4cm，P为BC边的垂直平分线DE上一个动点，则△ACP的周长最小值为 cm．
16．如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，连接AE，AF，若△AEF的周长为7，则BC的长为 ．
17．如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点F，将∠C沿EG（E在AC上，G在BC上）折叠，使点C与点F恰好重合，则∠FGE＝ ．
18．如图，点D为△ABC的边BC上一点（CD＜BD），点D关于AB、AC的对称点分别为点E、F，连接DE、DF，点A经过EF，连接AD，连接FC、EB，延长EB到G，使FC＝BG，连接FG交BC于点M，连接EM，当ME⊥FG，时，则AD长＝ ．
三．解答题（共8小题）
19．如图，已知点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE．
（1）求证：BD＝CE；
（2）若点D在线段AB的垂直平分线上，BD＝DE，求∠B的度数．
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l是第一、三象限的角平分线．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（3，1），B（4，3），C（6，0）．
（1）若△ABC与△A'B'C'关于y轴对称，画出△A'B'C'；
（2）若在直线l上存在点P，使△ABP的周长最小，则点P的坐标为 ．
21．如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．
（1）若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？（要求：尺规作图，保留作图痕迹．写出必要的文字说明）
（2）若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）若∠C＝42°，求∠BAD的度数；
（2）若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F，试判断△AEF的形状并证明．
23．（1）如图1中，∠A＝90°，请用直尺和圆规作一条直线，把△ABC分割成两个等腰三角形（不写作法，但须保留作图痕迹）．
（2）已知内角度数的两个三角形如图2、图3所示．请你判断，能否分别画一条直线把它们分割成两个等腰三角形？若能，请画出直线，并标注底角的度数．
（3）一个三角形有一内角为48°，如果经过其一个顶点作直线能把其分成两个等腰三角形，那么它的最大的内角可能值为 ．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝8cm，过点C作直线MN⊥BC，动点D从点C出发，沿射线CB方向以每秒3厘米的速度运动，动点E也同时从点C出发，在直线MN上以每秒1厘米的速度向远离C点的方向运动，分别连接AD、AE，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）若点E在射线CM上，当t＝2时，直接写出CE、CD、BD的长；
（2）在（1）的条件下，求证：△ABD≌△ACE；
（3）若点E在射线CN上，是否存在某一时刻t，使得△BCE是等腰三角形？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．
25．问题探究：如图1，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，为探究Rt△ABC中30°角所对的直角边AC与斜边AB的数量关系，学习小组成员已经添加了辅助线．
（1）请叙述辅助线的添法，并完成探究过程；
探究应用1：如图2，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，点D在线段CB上，以AD为边作等边△ADE，连接BE，为探究线段BE与DE之间的数量关系，组长已经添加了辅助线：取AB的中点F，连接EF．
（2）线段BE与DE之间的数量关系是 ；并说明理由；
探究应用2：如图3，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，点D在线段CB的延长线上，以AD为边作等边△ADE，连接BE．
（3）线段BE与DE之间的数量关系是 ，并说明理由．
26．某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°）．现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB、AC上．
活动一：如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，若小棒与小棒在端点处互相垂直、A1A2为第1根小棒．
数学思考：（1）小棒能无限摆下去吗？答： ．（填“能”或“不能”）
（2）设AA1＝A1A2＝A2A3，θ＝ ．
活动二：如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2＝AA1．
数学思考：（3）若已经摆放了3根小棒，θ3＝ ．（用含θ的式子表示）
（4）若只能摆放6根小棒，则θ的范围为 ．
