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第2课时一元二次方程（2）
提优目标：
1.能判断一个数是否是一个一元二次方程的根．
2．能利用方程的根求代数式的值
基础巩固
1．如果关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+3x+m2﹣9＝0，有一个解是0，那么m的值是（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．0或﹣3
2．已知x＝1是关于x的方程ax2﹣2x+3＝0的一个根，则a＝（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．0
3．已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的解，则代数式2a2﹣4a+2022的值为（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
4．若x＝3是关于x的方程ax2﹣bx＝6的解，则2024﹣9a+3b的值为 ．
5．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程x2﹣mx+6＝0的一个根，则m的值为（ ）
A．﹣7 B．﹣5 C．5 D．7
6．若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024，则一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0必有一根为（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
7．（教材P4练习T3·变式）下列哪些数是方程x2﹣6x+8＝0的根？
0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10．
思维拓展
8．在关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c＝0和4a﹣2b+c＝0，则方程的根是（ ）
A．1，0 B．1，﹣2 C．1，﹣1 D．无法确定
9．已知m是方程x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则m3﹣10m＝ ．
10．已知a是x2+x﹣2＝0的根，则代数式（a2+a）（a3）的值为 ．
11．已知代数式．
（1）化简A；
（2）若m是方程x2﹣2x＝0的根，求A的值．
12．定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“黄金方程”．
（1）判断一元二次方程4x2+11x+7＝0是否为“黄金方程”，并说明理由．
（2）已知3x2﹣mx+n＝0是关于x的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，则m的值为多少？
13．【解题方法型阅读理解题】请阅读下列材料：
问题：已知方程x2+x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x，把x代入已知方程，得（）21＝0．化简，得y2+2y﹣4＝0，故所求方程为y+2y﹣4＝0．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求把所求方程化为一般形式）：
（1）已知方程x2+3x﹣2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数；
（2）已知关于x的一元二次方程ax3﹣bx+c＝0（a≠0）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
延伸探究
14．在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为a*b＝ab﹣a2．根据这个法则，下列结论中错误的是 ．（只填写序号）
①3；
②若a+b＝0，则a*b＝b*a；
③（x﹣3）*（x+2）＝0是一元二次方程；
④方程（x+2）*2＝3有一个解是x＝﹣3．
创新题
15．若m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，则m2 ．中小学教育资源及组卷应用平台
第2课时一元二次方程（2）
提优目标：
1.能判断一个数是否是一个一元二次方程的根．
2．能利用方程的根求代数式的值
基础巩固
1．如果关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+3x+m2﹣9＝0，有一个解是0，那么m的值是（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．0或﹣3
【思路点拨】把x＝0代入方程（m﹣3）x2+3x+m2﹣9＝0中，解关于m的一元二次方程，注意m的取值不能使原方程对二次项系数为0．
【解答】解：把x＝0代入方程（m﹣3）x2+3x+m2﹣9＝0中，得
m2﹣9＝0，
解得m＝﹣3或3，
当m＝3时，原方程二次项系数m﹣3＝0，舍去，
故选：B．
【点评】本题考查的是一元二次方程解的定义．能使方程成立的未知数的值，就是方程的解，同时，考查了一元二次方程的概念．
2．已知x＝1是关于x的方程ax2﹣2x+3＝0的一个根，则a＝（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．0
【思路点拨】根据一元二次方程的解的定义，把x＝1代入方程得到关于a的一次方程，然后解一次方程即可．
【解答】解：把x＝1代入方程，得a﹣2+3＝0，
解得a＝﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
3．已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的解，则代数式2a2﹣4a+2022的值为（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
【思路点拨】根据一元二次方程的解的定义得到a2﹣2a＝1，再把2a2﹣4a+2023表示为2（a2﹣2a）+2022，然后整体代入计算即可得到答案．
【解答】解：∵a是方程x2﹣2x﹣1＝0的解，
∴a2﹣2a﹣1＝0，
∴a2﹣2a＝1，
∴2a2﹣4a+2022＝2（a2﹣2a）+2022＝2×1+2022＝2024，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解与代数式求值，根据一元二次方程的解的定义得到a2﹣2a＝1是解此题的关键，注意采用整体代入的思想进行计算．
4．若x＝3是关于x的方程ax2﹣bx＝6的解，则2024﹣9a+3b的值为 2018 ．
【思路点拨】把x＝3代入关于x的方程ax2﹣bx＝6得﹣9a+3b＝﹣6，再把所求结果整体代入所求代数式进行计算即可．
【解答】解：把x＝3代入关于x的方程ax2﹣bx＝6得：9a﹣3b＝6，
∴﹣9a+3b＝﹣6，
∴2024﹣9a+3b＝2024﹣6＝2018，
故答案为：2018．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值．
5．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程x2﹣mx+6＝0的一个根，则m的值为 .
【思路点拨】把x＝﹣1代入x2﹣mx+6＝0得到关于m的方程，即可求解．
【解答】解：∵x＝﹣1是关于x的一元二次方程x2﹣mx+6＝0的一个根，
∴（﹣1）2+m+6＝0，
解得：m＝﹣7．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
6．若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024，则一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0必有一根为 .
【思路点拨】由于关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024，则把方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0看作关于（x﹣1）的一元二次方程时有x﹣1＝2024，解得x＝2025，于是可判断一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0必有一根为x＝2025．
【解答】解：把方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0看作关于（x﹣1）的一元二次方程，
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024，
∴关于x﹣1的一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0有一根为x﹣1＝2024，
解得x＝2025，
∴一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0必有一根为x＝2025．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
7．（教材P4练习T3·变式）下列哪些数是方程x2﹣6x+8＝0的根？
0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10．
【思路点拨】方程的根即方程的解，就是能使方程左右两边相等的未知数的值，将x的值分别代入已知方程进行一一验证即可作出正确的判断．
【解答】解：将x＝4代入方程x2﹣6x+8＝0，左边＝42﹣4×6+8＝0，即左边＝右边，故x＝4是方程x2﹣6x+8＝0的根．
同理可得，x＝0，1，3，5，6，7，8，9，10．时，都不是方程x2﹣6x+8＝0的根，
当x＝2时，左边＝右边，
故x＝4，2都是方程x2﹣6x+8＝0的根．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
思维拓展
8．在关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c＝0和4a﹣2b+c＝0，则方程的根是（ ）
A．1，0 B．1，﹣2 C．1，﹣1 D．无法确定
【思路点拨】分别把x＝1或x＝﹣2代入方程可得到足a+b+c＝0和4a﹣2b+c＝0，则根据一元二次方程的解的定义可判断方程的根．
【解答】解：当x＝1时，a+b+c＝0，
当x＝﹣2时，4a﹣2b+c＝0，
所以方程的根分别为1或﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
9．已知m是方程x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则m3﹣10m＝ 3 ．
【思路点拨】根据一元二次方程的解的定义，将x＝m代入已知方程求得m2﹣3m＝1；然后将所求的代数式转化为含有m2﹣3m的代数式，并代入求值即可．
【解答】解：∵m是方程x2﹣3x﹣1＝0的一个根，
∴m2﹣3m﹣1＝0，
∴m2﹣3m＝1，
∴m3﹣10m
＝m（m2﹣3m）+3m2﹣10m
＝m+3m2﹣10m＝3m2﹣9m＝3（m2﹣3m）＝3×1＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
10．已知a是x2+x﹣2＝0的根，则代数式（a2+a）（a3）的值为 4 ．
【思路点拨】先利用一元二次方程根的定义得到a2＝﹣a+2，a2+a＝2，再利用通分和整体代入的方法进行计算即可．
【解答】解：∵a是x2+x﹣2＝0的根，
∴a2+a﹣2＝0．
∴a2﹣2＝﹣a，a2+a＝2．
∴（a2+a）（a3）＝2×（3）＝2×（3）＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
11．已知代数式．
（1）化简A；
（2）若m是方程x2﹣2x＝0的根，求A的值．
【思路点拨】（1）先进行同分母的减法运算，再约分和进行多项式乘法运算，然后合并即可；
（2）根据一元二次方程根的定义得到m2﹣2m＝0，再把A变形为2（m2﹣2m）﹣3，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：（1）A（m﹣3）（2m+1）
（m﹣3）（2m+1）
＝m+2m2+m﹣6m﹣3
＝2m2﹣4m﹣3；
（2）∵m是方程x2﹣2x＝0的根，
∴m2﹣2m＝0，
∴A＝2（m2﹣2m）﹣3＝2×0﹣3＝﹣3．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了分式的加减法．
12．定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“黄金方程”．
（1）判断一元二次方程4x2+11x+7＝0是否为“黄金方程”，并说明理由．
（2）已知3x2﹣mx+n＝0是关于x的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，则m的值为多少？
【思路点拨】（1）根据已知条件中的新定义，找出a，b，c的值，代入a﹣b+c判断是否为0即可；
（2）根据已知条件中的新定义，找出a，b，c的值，求出m，n的关系式，然后把n化成m，代入方程，得到关于m的方程，进行解答即可．
【解答】解：（1）方程 4x2+11x+7＝0 是“黄金方程”，理由如下：
∵a＝4，b＝11，c＝7，
∴a﹣b+c
＝4﹣11+7
＝0，
∴一元二次方程 4x2+11x+7＝0 是“黄金方程”；
（2）∵3x2﹣mx+n＝0 是关于x的“黄金方程”，
∵a＝3，b＝﹣m，c＝n，
∴a﹣b+c＝0，
3﹣（﹣m）+n＝0，
∴n＝﹣3﹣m，
∴原方程可化为 3x2﹣mx﹣3﹣m＝0，
∵m是此方程的一个根，
∴3m2﹣m2﹣3﹣m＝0，即 2m2﹣m﹣3＝0，
解得m＝﹣1或 ．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的根，解题关键是理解已知条件中的新定义．
13．【解题方法型阅读理解题】请阅读下列材料：
问题：已知方程x2+x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x，把x代入已知方程，得（）21＝0．化简，得y2+2y﹣4＝0，故所求方程为y+2y﹣4＝0．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求把所求方程化为一般形式）：
（1）已知方程x2+3x﹣2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数；
（2）已知关于x的一元二次方程ax3﹣bx+c＝0（a≠0）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
【思路点拨】根据所给的材料，设所求方程的根为y，再表示出x，代入原方程，整理即可得出所求的方程．
【解答】解：（1）设所求方程的根为y，则y＝﹣x，所以x＝﹣y．
把x＝﹣y代入已知方程，得y2﹣3y﹣2＝0，
故所求方程为：y2﹣3y﹣2＝0；
（2）设所求方程的根为y，则y（x≠0），于是x（y≠0），
把x代入方程ax2+bx+c＝0，（a≠0），得a（）2+b c＝0，
去分母，得a+by+cy2＝0．
若c＝0，有ax2+bx＝0，即x（ax+b）＝0，
可得有一个解为x＝0，不符合题意，因为题意要求方程ax2+bx+c＝0有两个不为0的根．
故c≠0，
故所求方程为cy2+by+a＝0（c≠0），（a≠0）．
【点评】本题是一道材料题，考查了一元二次方程的应用，以及解法，是一种新型问题，要熟练掌握．
延伸探究
14．在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为a*b＝ab﹣a2．根据这个法则，下列结论中错误的是 ①③④ ．（只填写序号）
①3；
②若a+b＝0，则a*b＝b*a；
③（x﹣3）*（x+2）＝0是一元二次方程；
④方程（x+2）*2＝3有一个解是x＝﹣3．
【思路点拨】根据运算法则为a*b＝ab﹣a2，一一判断即可．
【解答】解：①，故①符合题意；
②若a+b＝0，则b＝﹣a，∴a*b＝a*（﹣a）＝a×（﹣a）﹣a2＝﹣2a2，b*a＝（﹣a）*a＝（﹣a）×a﹣（﹣a）2＝﹣2a2，
∴a*b＝b*a，故②不符合题意；
③（x﹣3）*（x+2）＝（x﹣3）（x+2）﹣（x﹣3）2＝x2﹣x﹣6﹣x2+6x﹣9＝5x﹣15＝0，是一元一次方程，故③符合题意；
④方程（x+2）*2＝3，即2（x+2）﹣（x+2）2＝3，
整理得x2+2x+3＝0，由于a＝1，b＝2，c＝3，
∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣12＝﹣8＜0，
方程无实数解，故④符合题意；
综上，①③④符合题意；
故答案为：①③④．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，实数的运算等知识，解题的关键是理解题意，学会利用新的定义解决问题．
创新题
15．若m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，则m2 6 ．
【思路点拨】把m代入x2﹣2x﹣1＝0得到m2﹣2m﹣1＝0，即m2﹣1＝2m，把m2﹣1＝2m代入变形后的式子计算即可．
【解答】解：∵m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，
∴m2﹣2m﹣1＝0，即m2﹣1＝2m，
∴m2＝（m）2+2＝（）2+2＝22+2＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了代数式求值，本题代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式m2﹣1＝2m的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值．
