人教版八年级上册数学第十二章 全等三角形证明题训练（含解析）

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人教版八年级上册数学第十二章全等三角形证明题训练
1．如图，已知，．
(1)求证：；
(2)判断与的位置关系，并说明理由．
2．如图，是AD中点，平分．

(1)若，求证：平分．
(2)若，求证：．
3．如图，B、C、E三点在同一条直线上，
(1)求证：
(2)若,求的度数．
4．如图，，．
(1)求证：；
(2)，求的度数？
5．如图，在中，是边上的中线，E，F为直线上的点，连接，，且．
(1)求证：；
(2)若，，试求的长．
6．如图，已知：A、F、C、D在同一条直线上，，，．求证：
(1)；
(2)．
7．如图，于E，交的延长线于点F．
(1)求证：平分；
(2)若，求的长．
8．如图，已知中，，将沿射线方向平移至，使E为的中点，连接，记与的交点为O．
(1)求证：；
(2)若平分，求的度数．
9．已知和位置如图所示，，，．
(1)求证：；
(2)求证：．
10．如图所示，已知，，，且，，，在同一条直线上．
(1)求证：；
(2)若，，求的长度．
11．如图，和的平分线交于点E，过点E作于点于点G．
(1)试说明：．
(2)猜想之间的数量关系，并说明理由．
12．如图，在中，是边上的高，点E在上，，，连接并延长交于点F．
(1)求证：；
(2)若恰好平分，，求的长
13．如图，已知，，．
(1)求证：；
(2)猜想，，之间的数量关系，并证明．
14．如图，，，垂足分别为、．交于点，．
(1)求证：；
(2)若，，求的面积．
15．如图，在中，，，过点作，垂足为，延长至．使得．在边上截取，连结．
(1)求∠的度数．
(2)求证：．
16．如图，已知点A在上，，

(1)试说明：；
(2)若，，求的长
17．如图，，，点D在边上，，和相交于点O．

(1)试说明：．
(2)若，求的度数．
18．如图，是的平分线，，点E在上，连接、，过点D作，，垂足分别是F、G．
(1)求证：；
(2)求证：．
19．如图，等腰中，是腰上的高，在底边上截取，过点E作交于F．
(1)求证：
(2)若，求的度数．
20．如图，，垂足分别是E，F，求证：
(1)；
(2)．
21．如图，点，在线段上，，，，试说明：
(1)；
(2)．
22．如图，中，是延长线上一点，，过点作，且，连接并延长，分别交、于点、．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
23．如图，在四边形中，，连接，点E是边上一点，连接，已知，．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．
24．如图，在中，，D是延长线上一点，E是的平分线上一点，过点E作于点F，于点G．
(1)求证；
(2)若，求证．
25．如图，中，，垂足为点D，E为上一点，交于点F，，．
(1)求证：；
(2)如图2，连接，若，，求线段的长．
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参考答案：
1．(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到．
（1）利用证明即可；
（2）由，得，进而可以判断与的位置关系．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在与中，
，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∴．
2．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质，灵活做辅助线是解题的关键．
（1）过点E作，垂足为H，根据角平分线性质可得，再由角平分线判定即可得出结论；
（2）在上截取，连接．先证明可得，再证可得即可证明结论．
【详解】（1）证明：过点E作，垂足为H，

∵平分，，
∴，
又∵是中点，即，
∴，
∵，，
∴：平分．
（2）解：如图：在上截取，连接．
平分，
．
在和中，
，
，．
是的中点，
．
又，
，
，
，
在和中
．
，
，
，
∴
3．(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线性质和全等三角形的性质和判定的应用，证得是解题的关键．
（1）根据平行线求出，再说明，最后结合运用即可证明结论；
（2）根据全等三角形性质得出，进而根据平角定义即可解答．
【详解】（1）证明∶ ∵，
∴ ，
∵，
∴，
∵ ，
∴．
（2）解：∵ ，
∵，
∴，
∴ ．
4．(1)证明见详解
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，平行线的性质．
（1）由平行线的性质可得出，然后利用证明即可．
（2）由全等三角形的性质可得出，再利用平行线的性质得出．
【详解】（1）证明：∵
∴，
在和中，
，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
5．(1)证明见解答；
(2)．
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握判定三角形全等的方法是解题的关键．
（1）利用中点性质可得，由平行线性质可得，再由对顶角相等可得，即可证得结论；
（2）由题意可得，再由全等三角形性质可得，即可求得答案．
【详解】（1）证明：∵是边上的中线，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴．
6．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（1）由全等三角形的判定定理证得，则对应角，可证明结论；
（2）根据，可以证得，进而得出结论．
【详解】（1）证明：如图：在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：由（1）得，
在和中，
，
∴，
∴．
7．(1)见解析
(2)6
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的判定定理，证明是解题的关键．
（1），则，根据角平分线的判定即可得到结论；
（2）由（1）可得，证明，则，即可得到的长．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
又，
∴平分；
（2）解：由（1）可得，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
8．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质，全等三角形的判定：
（1）由平移得，，，则由平行线的性质得到，再由线段中点的定义得到，据此可证明结论；
（2）由平行线的性质得到，再由角平分线的定义得到，据此由平行线的性质可得答案．
【详解】（1）证明：由平移得，，，
∴，
∵E为中点，
∴，
∴．
（2）解：由（1）得，，
∴
∵平分，
∴，
∵，
∴．
9．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，能够正确证明三角形全等是解题的关键．
（1）证明，得出对应边相等即可；
（2）证出，然后证明，得出对应角相等即可．
【详解】（1）证明：在和中，
，
，
；
（2）证明：，
，
，
，
即，
在和中，
，
，
．
10．(1)见解析
(2)9
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，线段的和与差．熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行线的判定，线段的和与差是解题的关键．
（1）证明，则，进而可证；
（2）由题意得，，由，可得，根据，计算求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的长度为9．
11．(1)证明见解析；
(2)，理由见解析．
【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键．
（1）过点作，交于点，根据角平分线的性质可得，即可求证；
（2）先证明，得到，同理可得：，即可求解．
【详解】（1）证明：过点作，交于点，如图：
∵平分，，，
∴，
∵平分，，，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵平分，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可得：，
∵，
∴．
12．(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，三角形的内角和定理．
（1）证明即可得证结论；
（2）由得到，又，从而，因此，再由，即可证明，进而得到，．
【详解】（1）证明：∵是边上的高，
∴．
在和中
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴在和中
，
∴，
∴，
∴，
∴．
13．(1)证明见解析；
(2)，理由见解析．
【分析】（）首先利用证明，根据性质可得，再由角度和差即可求证；
（）根据全等三角形对应角相等求出，由三角形外角的性质可得；
本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形外角性质的应用，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）证明：在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2），理由如下：
由（）得：，
∴，
∵，
∴．
14．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了三角形全等，角平分线．熟练掌握三角形全等的判定和性质，角平分线的判定定理，三角形面积计算公式，是解题的关键．
（1）先证明，得到，再根据角的平行线性质判定即可；
（2）由得到，证明，得到，即得．
【详解】（1）于D点，于点，
，
在和中，
，
，
，
．
平分，
．
（2），
在和中，
，
，
，
，
，
．
15．(1)115°
(2)见解析
【分析】此题考查的是全等三角形的判定与性质；
（1）根据得出，进而根据三角形外角的性质可得出答案；
（2）证明，根据全等三角形的性质即可得出．
【详解】（1）解：．
．
，
；
（2）证明：在中，，，
．
．
在和中，
，
，
．
16．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
（1）根据全等三角形的对应角相等得到，然后根据内错角相等，两直线平行得到结论即可；
（2）根据全等三角形的对应边相等得到，，然后利用线段的和差即可得到结果．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
又∵，
∴．
17．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）根据题意得到，再证明，即可证明结论；
（2）根据全等三角形的性质以及三角形内角和定理计算即可．
【详解】（1）证明：AE和BD相交于点O，
．
在和中，
，
．
，
，．
在和中，
；
（2）解：，
，．
，
是等腰三角形，
，
．
18．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形性质和判定，补角定义，熟练掌握相关性质是解题的关键．
（1）首先利用角平分线的性质可得，然后再利用“”判定即可；
（2）根据全等三角形的性质可得，根据等角的补角相等可得，再证明，即可证明．
【详解】（1）证明：是的平分线，
，
在和中，
，
；
（2）证明：，
，
，
，，，
，
．
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，
（1）直接利用证明，根据全等三角形的性质可得结论；
（2）先根据直角三角形的性质求出，再根据全等三角形的性质求出，然后根据等边对等角得，进而求出，可得答案.
【详解】（1）证明：∵是腰上的高，，
∴.
又∵，，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴.
∵，
∴，
∴.
∵是等腰三角形，
∴.
∵是的外角，
∴，
∴．
20．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活运用“”和“ ”证明三角形全等成为解题的关键．
（1）根据垂直的定义可得，然后结合已知条件运用即可证明结论；
（2）根据全等三角形的性质可得，再证明，最后根据全等三角形的性质即可证明结论．
【详解】（1）证明：，，
，
在和中，
，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
21．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定：
（1）利用证明即可；
（2）根据，推出，即可得出结论．
【详解】（1）解：因为，
所以．
因为，
所以
即．
因为．
所以
（2）由（1）知；
所以．
因为，
所以．
所以．
22．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是：
（1）利用平行线的性质得出，然后利用证明即可；
（2）利用三角形内角和定理、全等三角形的性质求出的度数，然后利用邻补角的性质求解即可．
【详解】（1）证明∶∵，
∴，
在和中，
，
∴
（2）解∶∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
23．(1)见解析
(2)5
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质：
（1）由平行线的性质可得，进而利用“”证明；
（2）由可得，，即可得到答案．
【详解】（1）证明：，
，
在和中，
，
；
（2）解：，
，，
．
24．(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】本题主要考查角平分线的性质、垂直的性质和全等三角形的判定和性质，
根据角平分得，结合垂直的性质得，由可证明；
由垂直得，结合，则有和，结合题意得，即可证明，则有．
【详解】（1）证明：平分，
．
又，，
．
在和中，，，，
．
（2），，
．
，
，，
，
，
，
即．
在和中，，，，
．
．
25．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形面积，掌握全等三角形的性质是解题关键．
（1）利用“”证明即可；
（2）由三角形面积比可得，由（1）可知，，得出，再结合三角形面积公式，求出，即可得出的长．
【详解】（1）证明：，
，
在和中，
，
；
（2）解：，
，
，
由（1）可知，，
，
，
，
，
，，
．
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