人教版八年级上册数学第十二章 全等三角形证明题专题训练（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
中小学教育资源及组卷应用平台
人教版八年级上册数学第十二章全等三角形证明题专题训练
1．如图，点E，F在上，，，且．
(1)与全等吗？请说明理由；
(2)与平行吗？为什么？
2．如图，，垂足分别是E，F，求证：
(1)；
(2)．
3．如图，中，是延长线上一点，，过点作，且，连接并延长，分别交、于点、．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
4．如图，在中，，点D是边上一点，，且，与交于点G，过点E作交于点F，交于点H．

(1)求证：；
(2)若，求的值．
5．如图，在和中，
(1)求证：；
(2)若，求的长度．
6．如图，是的平分线，，点P在上，，，M，N分别是垂足．
(1)与全等吗？为什么？
(2)吗？为什么？
7．如图，在中，，，于点E，于点D．
(1)求证：；
(2)若，，求的长度．
8．已知：如图，在 中，的角平分线与的垂直平分线交于点D， 垂足分别为E，F．
(1)求证：；
(2)若 求 的周长．
9．如图，在与中，点B，E，C，F在一条直线上，，，．
(1)试说明；
(2)若，，求线段的长度．
10．如图，在中，，，于点，于点，连接．

(1)求证：；
(2)若，，求的面积．
11．已知：如图，点D为线段上一点，．
(1)求证：；
(2)若，点D为线段的中点，求的长．
12．如图，在中，O为中点，，直线交于点E．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
13．如图，，垂足分别为．
(1)求证：；
(2)若，求四边形的面积．
14．如图，在中，，，点是外部一点，连结，作，，垂足分别为点，
(1)求证：；
(2)已知，，求的长．
15．如图，点，在线段上，，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
16．如图，在中，，是上一点，于点，且．
(1)求证：平分；
(2)若，求的度数．
17．如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F使得，连．
(1)求证：；
(2)若，连接，平分，求的度数．
18．如图，中，点是的中点，过点作，连接并延长交于点，连接、．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
19．如图，中，，D是延长线上一点，点E是的平分线上一点，过点E作于F，于G．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
20．在中，D是的中点，；
(1)证明：；
(2)若，平分，求的度数．
21．如图，，，．

(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
22．如图，四边形中，平分．
(1)求证：；
(2)求和的数量关系，并写出证明过程．
23．如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点使得，连．
(1)求证：；
(2)若，连接，平分，平分，求的度数．
24．如图，在和中，点E在边上，，与交于点G．
(1)试说明：；
(2)若，求的度数．
25．已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，请直接写出，，之间的数量关系 ；
(3)在（2）的条件下，若，，求的面积．
中小学教育资源及组卷应用平台
中小学教育资源及组卷应用平台
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
参考答案：
1．(1)全等；理由见解析
(2)平行；理由见解析
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．
（1）根据证明三角形全等即可；
（2）根据三角形全等的性质得出，再根据平行线的判定，得出结论即可．
【详解】（1）解：全等；理由如下：
∵，
∴，
即，
∵，，
∴；
（2）解：平行；理由如下：
∵，
∴，
∴
2．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活运用“”和“ ”证明三角形全等成为解题的关键．
（1）根据垂直的定义可得，然后结合已知条件运用即可证明结论；
（2）根据全等三角形的性质可得，再证明，最后根据全等三角形的性质即可证明结论．
【详解】（1）证明：，，
，
在和中，
，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
3．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是：
（1）利用平行线的性质得出，然后利用证明即可；
（2）利用三角形内角和定理、全等三角形的性质求出的度数，然后利用邻补角的性质求解即可．
【详解】（1）证明∶∵，
∴，
在和中，
，
∴
（2）解∶∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
4．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查平行线性质，全等三角形判定，垂直的定义，四边形内角和，熟练掌握相关性质是解题的关键．
（1）利用平行线性质得到，利用垂直的定义得到，即可证明；
（2）利用平行线性质得到，在利用四边形内角和得到，即可解题．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
．
（2）解：，，
，
，，
．
5．(1)证明见解析；
(2)4cm．
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，对于（1），先证明，可得，即可得出答案；
对于（2），先根据“全等三角形的对应边相等”得，再说明，然后根据全等三角形的性质可得答案.
【详解】（1）在和中
∵
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴.
∵，
∴，
∴
6．(1)全等；理由见解析
(2)；理由见解析
【分析】本题主要考查了的是全等三角形的判定定理与性质定理．全等三角形的判定定理：．
（1）根据“”即可证明；
（2）根据可得，再根据等角的补角相等可得，然后证明，利用全等三角形的性质可得结论．
【详解】（1）解：是的平分线，
，
在和中，
，
．
（2）解：由（1），
．
．
，，
，
又，
，
．
7．(1)见解析
(2)3
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键：
（1）同角的余角相等，得到，利用证明即可；
（2）根据全等三角形的性质进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）∵，
∴，，
∴．
8．(1)详见解析
(2)17
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、垂直平分线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）证明，即可得到结论；
（2）证明，则，由（1）可知，即可得到答案．
【详解】（1）证明：连接．
∵D在的中垂线上
∴
∵．平分
∴
∴
∴
（2）∵平分
∴
∵
∴
又∵．
∴
∴
由 (1) 可知
∴的周长为：
9．(1)详见解析
(2)2
【分析】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的全等条件．
（1）直接利用全等三角形的判定方法可得出答案；
（2）由全等三角形的性质可得出结论．
【详解】（1）证明：，
，
在与中，
；
（2），
，
，
即．
10．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用证明是解此题的关键．
（1）证明出，再利用证明即可；
（2）由全等三角形的性质得出，，再由三角形面积公式计算即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴．
11．(1)见解析；
(2)6．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法和性质．
（1）通过证明得出，进而推出，即可求证；
（2）根据全等三角形的性质得出，结合中点的定义和全等三角形的性质，即可解答．
【详解】（1）证明：，
∴，
，
在和中，
，
，
．
（2）解：由（1）可知：，
，
，
为线段的中点，
由（1）可知：，
．
12．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据为中点，可得，再由平行线的性质可得，即可求证；
（2）根据全等三角形的性质可得，即可．
【详解】（1）证明：∵为中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
13．(1)证明见解析
(2)12
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理．
（1）由可直接证明；
（2）根据得出，即可解答；
【详解】（1）解：在和中，
，
∴；
（2）由（1）知：，
∴，
∴，
∴，
∴，
答：四边形的面积是12．
14．(1)证明过程见详解
(2)的长为
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据垂直的关系可得，，由“角角边”即可求证；
（2）根据全等三角形的性质可得，根据线段的和差即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∵，
∴，且，
∴；
（2）解：由（1）可得，，
∴，，
在中，，
∵,，
∴的长为．
15．(1)见解析
(2)
【分析】此题主要考查三角形全等的判定和性质，三角形的内角和定理的应用；
（1）首先根据可得，再根据，可得出，即可判定；
（2）首先根据（1）中两三角形全等，可得，在中根据三角形内角和定理即可求出．
【详解】（1）证明： ，
，
即，
在和中，
，
∴．
（2），，，，
，
．
16．(1)见详解
(2)
【分析】（1）根据已知条件结合角平分线性质定理的逆定理即可证明；
（2）根据直角三角形的两个锐角互余求解．
此题主要考查了角平分线性质的运用和直角三角形性质的运用．题目比较简单，属于基础题．
【详解】（1）证明：，，，
点在的平分线上，
平分．
（2）解：，，
，
平分，
17．(1)见详解
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
（1）求出，根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定得出即可；
（2）根据（1）求出，根据三角形内角和定理求出即可．
【详解】（1）证明：∵为中点，
，
在和中
，
，
，
；
（2）解：∵平分，
，
，
，
，
，
．
18．(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）利用即可证明；
（2）结合（1）利用线段的和差即可解决问题．
【详解】（1）证明：是的中点，
，
∵，
，
在和中，
，
；
（2）解：由（1）知：，
，
，
．
19．(1)见详解
(2)1
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）由角平分线的定义以及垂直的定义，利用即可证明；
（2）先利用证明，得到，继而得到，而，则，即可求解．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴．
又∵，，
∴．
在和中：
，，，
∴．
（2）解：∵平分且，，
∴．
∵
∴，
∵
∴
∴
即
在和中
，，
∴．
∴．
又∵，，
即，
又∵，
∴．
∴．
∴．
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，角平分线的定义，
（1）根据平行线的性质可得，，结合，证明，根据全等三角形的性质，即可得证；
（2）根据平行线的性质得出，进而根据平分，即可求解．
【详解】（1）证明：∵
∴，
∵D是中点
∴
在和中
∴
∴
（2）解：∵
∴，
∵
∴
∵平分
∴
21．(1)证明见解析
(2)
【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，推导出，进而证明是解题的关键．
（1）由，得，而，，即可根据“”证明，则；
（2）由全等三角形的性质得，而，则．
【详解】（1）证明：，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：由（1）得，
，
，
，
的度数是．
22．(1)见解析
(2)，证明见解析
【分析】本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、利用邻补角的定义求解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由角平分线的性质定理得出，利用“”证明即可；
（2）由全等三角形的性质得出，利用邻补角的定义得出，即可得解．
【详解】（1）证明：∵平分，，，
∴，，
又∵，
∴；
（2）解：，
证明如下：
∵，
∴，
∵，
∴．
23．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先根据线段中点的定义可得，然后利用证明，从而可得，最后利用内错角相等，两直线平行可得，即可解答；
（2）先利用角平分线的定义可得，再利用平行线的性质可得，然后利用角平分线的定义可得，再利用（1）的结论即可解答．
【详解】（1）证明：为中点，
，
在和中，
，
，
，
；
（2），
，
∵
，
平分，
，
，
，
的度数为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质是解题的关键．
（1）根据等式的性质得，再利用即可证明结论；
（2）由三角形内角和定理可得，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，最后三角形内角和以及角的和差即可解答．
【详解】（1）证明：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
25．(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)6
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，余角的性质．熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
（1）根据垂直的定义和余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到结论；
（2）根据余角的性质得到根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到结论；
（3）由（2）得且，求得，得到，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）证明：，
，
又，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
；
（2）解：，理由如下：
，，
，
又，
，
，，
，
即；
（3）解：由（2）得且，
，
，
，
，，
的面积．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)