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第二十一章《一元二次方程》单元提优测评卷
一．选择题（共10小题）
1．请判别下列哪个方程是一元二次方程（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2+5＝0
C．2x28 D．3x+8＝6x+2
【思路点拔】利用定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程判定即可．
【解答】解：A．当a＝0时，该方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．x2+5＝0是一元二次方程，故本选项符合题意；
C．该方程是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．3x+8＝6x+2是一元一次方程，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是明确一元二次方程的定义．
2．一元二次方程3x2﹣5﹣4x＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．3，﹣5，﹣4 B．3，﹣4，5 C．3，﹣4，﹣5 D．3，﹣5，4
【思路点拔】根据一元二次方程二次项系数、一次项系数、常数项的定义，即可进行解答．
【解答】解：一元二次方程方程3x2﹣5﹣4x＝0的二次项系数是3，一次项系数﹣4、常数项﹣5，
故选：C．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的相关概念，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
3．若关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ）
A．﹣4 B． C． D．4
【思路点拔】利用根的判别式的意义得到Δ＝12+4m＝0，然后解方程即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝12+4m＝0，
解得m，
即m的值为，
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式，根据当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根来解答．
4．方程x2﹣9＝0的解是（ ）
A．x＝﹣3 B．x＝3
C．x1＝﹣3，x2＝3 D．，
【思路点拔】首先移项，把﹣9移到方程右边，再两边直接开平方即可．
【解答】解：x2﹣9＝0，
移项得：x2＝9，
两边直接开平方得：x＝±3，
∴x1＝﹣3，x2＝3．
故选：C．
【点评】此题主要考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．
5．用配方法解下列方程时，配方正确的是（ ）
A．x2﹣2x﹣99＝0化为（x﹣1）2＝98
B．x2+8x+9＝0化为（x+4）2＝25
C．2t2﹣7t﹣4＝0化为
D．3y2﹣4y﹣2＝0化为
【思路点拔】配方法的步骤：①将常数项移到方程的右侧．②将二次项系数化为1．③结合直接开方法进行解答即可．根据配方法的步骤，对每个方程都做这样的变形，由此便可以解答本题．
【解答】解：A．错误，应为x2﹣2x﹣99＝0化为（x﹣1）2＝100，不符合题意；
B．错误，x2+8x+9＝0化为（x+4）2＝7，不符合题意；
C．错误，2t2﹣7t﹣4＝0化为（t）2，不符合题意；
D．3y2﹣4y﹣2＝0化为（y）2，正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查解一元二次方程﹣配方法，解题的关键是熟练掌握配方法的步骤，属于中考常考题型．
6．方程x2+4x+3＝0的两个根为（ ）
A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝﹣1，x2＝3
C．x1＝1，x2＝﹣3 D．x1＝﹣1，x2＝﹣3
【思路点拔】根据解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
【解答】解：x2+4x+3＝0，
（x+3）（x+1）＝0，
x+3＝0或x+1＝0，
x1＝﹣3，x2＝﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解一元二次方程﹣因式分解法是解题的关键．
7．若关于x的一元二次方程的根为，则这个方程是（ ）
A．x2+2x+4＝0 B．x2﹣2x+4＝0 C．x2+2x﹣4＝0 D．x2﹣2x﹣4＝0
【思路点拔】根据解一元二次方程﹣公式法，即可解答．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程的根为，
∴a＝1，b＝2，c＝﹣4，
∴这个方程是x2+2x﹣4＝0，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，一元二次方程的解，熟练掌握解一元二次方程﹣公式法是解题的关键．
8．方程2x（x﹣3）+5（3﹣x）＝0的根是（ ）
A．x B．x＝3
C．，x2＝3 D．，x2＝3
【思路点拔】根据因式分解法，可得答案．
【解答】解：因式分解，得
（x﹣3）（2x﹣5）＝0
于是，得
2x﹣5＝0或x﹣3＝0，
解得x1，x2＝3，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程，因式分解是解题关键．
9．已知一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的两根为x1，x2，下列式子正确的是（ ）
A．x1 x2＝4 B．x1+x2＝﹣2
C． D．
【思路点拔】直接根据根与系数的关系对A、B选项进行判断；利用求代数式的值可对C、D选项进行判断．
【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝2，x1x2＝﹣4，所以A选项、B选项不符合题意；
（x1+x2）2﹣2x1x2＝22﹣2×（﹣4）＝12，所以C选项符合题意；
，所以D选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．
10．印度古算书中有一首用韵文写成的诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏．八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里．其余十二高声喊，充满活跃的空气．告我总数共多少，两队猴子在一起？”大意是说：“一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的的平方，另一队猴子数是12，那么这群猴子的总数是多少？”设这群猴子的总数是x只，根据题意可列出的方程是（ ）
A．（8x）2＝x﹣12 B．（8x）2＝x+12
C． D．
【思路点拔】由这群猴子的总数，可得出一队猴子数是（x）2只，利用猴子总数＝两队猴子数之和，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵这群猴子的总数是x只，
∴一队猴子数是（x）2只．
根据题意得：x＝（x）2+12．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二．填空题（共8小题）
11．若关于x的方程（m﹣2）x|m|﹣bx﹣1＝0是一元二次方程，则m的值为 ﹣2 ．
【思路点拔】利用一元二次方程的定义判断即可．
【解答】解：∵方程（m﹣2）x|m|﹣bx﹣1＝0是关于x的一元二次方程，
∴m﹣2≠0，且|m|＝2，
∴m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】此题考查了一元二次方程的定义以及绝对值，熟练掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式叫做一元二次方程是解本题的关键．
12．已知a是关于x的一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的一个根，则代数式10a﹣2a2﹣5的值为 ﹣7 ．
【思路点拔】把x＝a代入方程即可求得（a2﹣5a）的值，然后将其整体代入所求的代数式并求值即可．
【解答】解：把x＝a代入x2﹣5x﹣1＝0，得
a2﹣5a﹣1＝0，
所以a2﹣5a＝1，
所以10a﹣2a2﹣5＝﹣2（a2﹣5a）﹣5＝﹣2﹣5＝﹣7．
故答案为：﹣7．
【点评】本题考查了一元二次方程的解．解题时，逆用一元二次方程解的定义易得出所求式子的值，在解题时要重视解题思路的逆向分析．
13．已知三角形的两边长分别为1和2，另一边长是方程x2﹣5x+6＝0的一个根，则另一边长是 2 ．
【思路点拔】利用因式分解法解方程得到x1＝2，x2＝3，然后根据三角形三边的关系得到三角形的另一边长．
【解答】解：x2﹣5x+6＝0，
（x﹣2）（x﹣3）＝0，
x﹣2＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝2，x2＝3，
因为1+2＝3，
所以三角形的另一边为2．
故答案为2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了三角形三边的关系．
14．对于一元二次方程：x2＝mx，下列是小聪求解的推理过程：
解：两边都减m2，得x2﹣m2＝mx﹣m2；①
两边分别分解因式，得（x+m）（x﹣m）＝m（x﹣m）；②
两边都除以x﹣m，得x+m＝m； ③
两边都减m，得x＝0． ④
以上推理过程，开始出现错误的那一步对应的序号是 ③ ．
【思路点拔】根据等式的性质可判断③错误．
【解答】解：根据等式的基本性质可判断③错误．
故答案为：③．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
15．如果（m+n+2）（m+n﹣2）＝2，那么m+n的值为 ．
【思路点拔】由（m+n+2）（m+n﹣2）＝2，可得（m+n）2＝6，再利用直接开平方法解方程即可．
【解答】解：∵（m+n+2）（m+n﹣2）＝2，
∴（m+n）2﹣4＝2，
∴（m+n）2＝6，
∴，故答案为：．
【点评】本题考查的是一元二次方程的应用，熟练的利用整体法解方程是解本题的关键．
16．关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣c＝0没有实数根，则c的取值范围 c＜﹣4 ．
【思路点拔】利用根的判别式的意义得到Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣c）＜0，然后解不等式即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣c＝0没有实数根，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣c）＝16+4c＜0，
∴c＜﹣4．
故答案为：c＜﹣4．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
17．已知实数a，b满足3a2+4a﹣2＝0，3b2+4b﹣2＝0，则 或2 ．
【思路点拔】由实数a，b满足3a2+4a﹣2＝0，3b2+4b﹣2＝0，可将a，b看作一元二次方程3x2+4x﹣2＝0的两个实数根，利用根与系数的关系可得出a+b，ab，将其代入中，即可求出结论．
【解答】解：∵实数a，b满足3a2+4a﹣2＝0，3b2+4b﹣2＝0，
∴可将a，b看作一元二次方程3x2+4x﹣2＝0的两个实数根，
∴当a＝b时，则2，
当a≠b时，a+b，ab，
则，
故答案为： 或2．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及分式的化简求值，牢记“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
18．用剪刀将形状如图①所示的矩形纸片ABCD沿着直线CM剪成两部分，其中M为AD的中点．用这两部分纸片可以拼成一些新图形，例如图②中的Rt△BCE就是拼成的一个图形．若利用这两部分纸片拼成的Rt△BCE是等腰直角三角形，设原矩形纸片中的边AB和BC的长分别为a厘米、b厘米，且a、b满足关系式a+b＝m﹣1，ab＝m+1，则原矩形纸片的面积是 8 cm2．
【思路点拔】若是等腰直角三角形的话，b＝2a，这样代入a+b＝m﹣1，ab＝m+1，求出m的值，从而可求出面积．
【解答】解：因为Rt△BCE是等腰直角三角形，M为AD的中点，所以b＝2a．
∵a+b＝m﹣1，∴a+2a＝m﹣1，∴a．
∴ m+1
m（舍去）或m＝7．
ab＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，根据等腰直角三角形找到矩形的长和宽的关系，以及矩形的性质等知识点求解．
三．解答题（共8小题）
19．解方程：
（Ⅰ）x2﹣x＝0；
（Ⅱ）x2﹣4x﹣2＝0．
【思路点拔】（I）直接提取公因式即可得出结论；
（II）利用公式法求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）x2﹣x＝0，
x（x﹣1）＝0，
x＝0或x﹣1＝0，
x1＝0，x2＝1；
（Ⅱ）x2﹣4x﹣2＝0，
Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2）＝16+8＝24，
x2±，
x1＝2，x2＝2．
【点评】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法和公式法是解题的关键．
20．已知关于x的方程kx2﹣（k﹣2）x﹣2＝0．
（1）试说明：无论k取什么实数值，方程总有实数根；
（2）若方程的两实数根都为正整数，求整数k的值．
【思路点拔】（1）分k＝0及k≠0两种情况考虑：当k＝0时，原方程为一元一次方程，解之可得出方程的解，进而可得出当k＝0时原方程有实数根；当k≠0时，根据方程的系数，结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝（k+2）2≥0，进而可得出方程总有两个实数根；
（2）利用因式分解法，可求出方程的两个实数根，结合方程的两实数根都为正整数，即可求出k的值．
【解答】解：（1）当k＝0时，原方程为2x﹣2＝0，
解得：x＝1，
∴当k＝0时，原方程有实数根；
当k≠0时，方程是一元二次方程，
∵Δ＝[﹣（k﹣2）]2﹣4×k×（﹣2）＝k2﹣4k+4+8k＝k2+4k+4＝（k+2）2≥0，
∴方程总有两个实数根．
∴综上所述，无论k取什么实数值，方程总有实数根；
（2）∵kx2﹣（k﹣2）x﹣2＝0，即（kx+2）（x﹣1）＝0，
解得：x1，x2＝1．
又∵方程的两实数根都为正整数，
∴k＝﹣1或k＝﹣2，
∴k的值为﹣1或﹣2．
【点评】本题考查了根的判别式、解一元一次方程以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）分k＝0及k≠0两种情况，说明方程有实数根；（2）利用因式分解法，求出方程的两个实数根．
21．某水果商场经销一种高档水果，原售价每千克50元，连续两次降价后每千克售价32元；每次下降的百分率相同．
（1）求每次下降的百分率；
（2）已知这种水果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但规定每千克涨价不能超过8元，现该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？
【思路点拔】（1）设每次降价的百分率为a，（1﹣a）2为两次降价的百分率，50降至32就是方程的平衡条件，列出方程求解即可；
（2）根据题意列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值．
【解答】解：（1）设每次下降的百分率为a，根据题意，得：
50（1﹣a）2＝32，
解得：a＝1.8（舍）或a＝0.2，
答：每次下降的百分率为20%；
（2）设每千克应涨价x元，由题意，得
（10+x）（500﹣20x）＝6000，
整理，得 x2﹣15x+50＝0，
解得：x1＝5，x2＝10，
因为规定每千克涨价不能超过8元，所以x＝5符合题意．
答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元．
【点评】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到蕴含的相等关系，列出方程，解答即可．
22．若m是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根，求代数式的值．
【思路点拔】首先根据m是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根得到m2﹣3m+1＝0，且m≠0，进一步得到m﹣30，从而得到（m）2＝9，然后转化为（m）2＝5，求得答案即可．
【解答】解：∵m是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根，
∴m2﹣3m+1＝0，且m≠0，
∴m﹣30，
∴m3，
∴（m）2＝9，
即：m2+29，
∴m2﹣25，
∴（m）2＝5，
∴m±．
【点评】本题考查了一元二次方程的知识，解题的关键是能够正确的变形，难度不大．
23．如图，在矩形ABCD中，DC＝14cm，AD＝6cm，点P从点A出发沿AB以4cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点C出发沿CD以1cm/s的速度向点D移动，两点同时出发，一点到达终点时另一点即停．
（1）运动几秒时，PQ能将矩形ABCD的面积分成2：5两部分？
（2）运动几秒时，P，Q两点之间的距离是10cm？
【思路点拔】设运动时间为t秒，根据题意可得0≤t；
（1）由题意可得CQ＝t cm，AP＝4t cm，即知S梯形PADQ9t+42，当S梯形PADQ：S梯形BPQC＝5：2时，9t+4214×6，当S梯形PADQ：S梯形BPQC＝2：5时，9t+4214×6，解方程可得答案；
（2）过P作PM⊥CD于M，可证明四边形ADMP是矩形，故∠PMD＝∠PMQ＝90°，PM＝AD＝6cm，DM＝AP＝4t cm，由勾股定理可得|14﹣5t|2+62＝102，即可解得答案．
【解答】解：设运动时间为t秒，根据题意可得0≤t；
（1）∵点P从点A出发沿AB以4cm/s的速度向点B移动，点Q从点C出发沿CD以1cm/s的速度向点D移动，
∴CQ＝t cm，AP＝4t cm，
∴DQ＝（14﹣t）cm，
∴S梯形PADQ9t+42，
当S梯形PADQ：S梯形BPQC＝5：2时，
9t+4214×6，
解得t＝2，
当S梯形PADQ：S梯形BPQC＝2：5时，
9t+4214×6，
解得t＝﹣2（舍去），
∴运动2秒时，PQ能将矩形ABCD的面积分成2：5两部分；
（2）过P作PM⊥CD于M，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∵PM⊥CD，
∴∠APM＝90°，
∴四边形ADMP是矩形，
∴∠PMD＝∠PMQ＝90°，PM＝AD＝6cm，DM＝AP＝4t cm
∴QM＝|DQ﹣DM|＝|14t﹣t﹣4t|＝|14﹣5t|（cm），
∵QM2+PM2＝PQ2，P，Q两点之间的距离是10cm，
∴|14﹣5t|2+62＝102，
解得t或t（大于，舍去），
∴运动秒时，P，Q两点之间的距离是10cm．
【点评】本题考查一元一元一次方程和一元二次方程的应用，涉及勾股定理及应用，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示相关线段的长度．
24．综合与探究：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”．例如：一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程：x2+x＝0是“邻根方程”．
（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：
①x2+x﹣6＝0；
②．
（2）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x﹣2m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值．
【思路点拔】（1）根据解一元二次方程的方法求出已知方程的两个根，再计算两根的差是否为1，可以确定方程是否是“邻根方程”；
（2）先解方程，求出根，再根据新定义列出关于m的方程，注意有两种情况．
【解答】解：（1）①∵x2+x﹣6＝0，
∴（x+3）（x﹣2）＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝2，
∵2≠﹣3+1，
∴x2+x﹣6＝0不是“邻根方程”；
②∵a＝2，b＝﹣2，c＝2，
∴，
∴，，
∵，
∴是“邻根方程”；
（2）x2﹣（m﹣2）x﹣2m＝0，
（x﹣m）（x+2）＝0，
∴x1＝m，x2＝﹣2，
∵方程x2﹣（m﹣2）x﹣2m＝0（m是常数）是“邻根方程”，
∴m＝﹣2+1或m＝﹣2﹣1，
∴m＝﹣1或﹣3．
【点评】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义，本题属于中等题型．
25．阅读下面的材料
一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家阿尔 花拉子米在他的代表作《代数学》中记载了求一元二次方程正数解的几何解法，我国三国时期的数学家赵爽在其所著《勾股圆方图注》中也给出了类似的解法．
以x2+10x＝39为例，花拉子米的几何解法步骤如下：
①如图1，在边长为x的正方形的两个相邻边上作边长分别为x和5的矩形，再补上一个边长为5的小正方形，最终把图形补成一个大正方形；
②一方面大正方形的面积为（x+ 5 ）2，另一方面它又等于图中各部分面积之和，因为x2+10x＝39，可得方程（x+ 5 ）2＝39+ 25 ，则方程的正数解是x＝ 3 ．
根据上述材料，解答下列问题．
（1）补全花拉子米的解法步骤②；
（2）根据花拉子米的解法，在图2的两个构图①②中，能够得到方程x2﹣6x＝7的正数解的正确构图是 ① （填序号）．
【思路点拔】（1）根据已知算式和图形可得答案．
（2）根据题意可得答案．
【解答】解：（1）一方面大正方形的面积为（x+5）2，另一方面它又等于图中各部分面积之和，因为x2+10x＝39，可得方程（x+5）2＝39+25，则方程的正数解是x＝3．
故答案为：5；5；25；3．
（2）由题意可得，能够得到方程x2﹣6x＝7的正数解的正确构图是①．
故答案为：①．
【点评】本题主要考查解一元二次方程﹣配方法，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
26．当解某些计算较复杂的一元二次方程时，可考虑用“缩根法”简化运算．“缩根法”是指将一元二次方程先转化成系数比原方程简单的新一元二次方程，然后解新一元二次方程，并将新方程的两根同时缩小若干倍，从而得到原方程的两个根．
已知：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1＝α，x2＝β，求关于x的一元二次方程p2ax2+pbx+c＝0（ap≠0）的两根．
解：∵p2ax2+pbx+c＝0（ap≠0），∴a（px）2+b px+c＝0，令px＝t，
得新方程at2+bt+c＝0，
∵新方程的解为t1＝α，t2＝β，∴px＝α，px＝β，
∴原方程的两根为．
这种解一元二次方程的方法叫做“缩根法”
举例：用缩根法解方程49x2+35x﹣24＝0．
解：∵49＝72，35＝5×7，∴（7x）2+5×7x﹣24＝0，令7x＝t，
得新方程t2+5t﹣24＝0．
解新方程得：t1＝3，t2＝﹣8，∴7x＝3，7x＝﹣8，
∴原方程的两根为．
请利用上面材料解决下列问题，并写出具体步骤：
（1）用缩根法解方程：36x2﹣6x﹣1＝0；
（2）用缩根法解方程：3x2﹣160x+1600＝0．
【思路点拔】（1）设6x＝t，得到新方程t2﹣t﹣1＝0，再求出新方程的解，即可得出原方程的解；
（2）将方程两边都乘以3，得9x2﹣480x+4800＝0，设3x＝t，得到新方程t2﹣160t+4800＝0，再求出新方程的解，即可得出原方程的解．
【解答】解：（1）设6x＝t，得到新方程t2﹣t﹣1＝0，
解得，，
即或，
所以原方程的两个根是，；
（2）原方程整理为9x2﹣480x+4800＝0，
设3x＝t，得到新方程t2﹣160t+4800＝0，
解得t1＝40，t2＝120，
所以原方程的解是，x2＝40．
【点评】本题主要考查了“缩根法”解一元二次方程即换元法解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．中小学教育资源及组卷应用平台
第二十一章《一元二次方程》单元提优测评卷
一．选择题（共10小题）
1．请判别下列哪个方程是一元二次方程（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2+5＝0
C．2x28 D．3x+8＝6x+2
2．一元二次方程3x2﹣5﹣4x＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．3，﹣5，﹣4 B．3，﹣4，5 C．3，﹣4，﹣5 D．3，﹣5，4
3．若关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ）
A．﹣4 B． C． D．4
4．方程x2﹣9＝0的解是（ ）
A．x＝﹣3 B．x＝3
C．x1＝﹣3，x2＝3 D．，
5．用配方法解下列方程时，配方正确的是（ ）
A．x2﹣2x﹣99＝0化为（x﹣1）2＝98
B．x2+8x+9＝0化为（x+4）2＝25
C．2t2﹣7t﹣4＝0化为
D．3y2﹣4y﹣2＝0化为
6．方程x2+4x+3＝0的两个根为（ ）
A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝﹣1，x2＝3
C．x1＝1，x2＝﹣3 D．x1＝﹣1，x2＝﹣3
7．若关于x的一元二次方程的根为，则这个方程是（ ）
A．x2+2x+4＝0 B．x2﹣2x+4＝0 C．x2+2x﹣4＝0 D．x2﹣2x﹣4＝0
8．方程2x（x﹣3）+5（3﹣x）＝0的根是（ ）
A．x B．x＝3
C．，x2＝3 D．，x2＝3
9．已知一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的两根为x1，x2，下列式子正确的是（ ）
A．x1 x2＝4 B．x1+x2＝﹣2
C． D．
10．印度古算书中有一首用韵文写成的诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏．八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里．其余十二高声喊，充满活跃的空气．告我总数共多少，两队猴子在一起？”大意是说：“一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的的平方，另一队猴子数是12，那么这群猴子的总数是多少？”设这群猴子的总数是x只，根据题意可列出的方程是（ ）
A．（8x）2＝x﹣12 B．（8x）2＝x+12
C． D．
二．填空题（共8小题）
11．若关于x的方程（m﹣2）x|m|﹣bx﹣1＝0是一元二次方程，则m的值为 ．
12．已知a是关于x的一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的一个根，则代数式10a﹣2a2﹣5的值为 ．
13．已知三角形的两边长分别为1和2，另一边长是方程x2﹣5x+6＝0的一个根，则另一边长是 ．
14．对于一元二次方程：x2＝mx，下列是小聪求解的推理过程：
解：两边都减m2，得x2﹣m2＝mx﹣m2；①
两边分别分解因式，得（x+m）（x﹣m）＝m（x﹣m）；②
两边都除以x﹣m，得x+m＝m； ③
两边都减m，得x＝0． ④
以上推理过程，开始出现错误的那一步对应的序号是 ．
15．如果（m+n+2）（m+n﹣2）＝2，那么m+n的值为 ．
16．关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣c＝0没有实数根，则c的取值范围 ．
17．已知实数a，b满足3a2+4a﹣2＝0，3b2+4b﹣2＝0，则 ．
18．用剪刀将形状如图①所示的矩形纸片ABCD沿着直线CM剪成两部分，其中M为AD的中点．用这两部分纸片可以拼成一些新图形，例如图②中的Rt△BCE就是拼成的一个图形．若利用这两部分纸片拼成的Rt△BCE是等腰直角三角形，设原矩形纸片中的边AB和BC的长分别为a厘米、b厘米，且a、b满足关系式a+b＝m﹣1，ab＝m+1，则原矩形纸片的面积是 cm2．
三．解答题（共8小题）
19．解方程：
（Ⅰ）x2﹣x＝0；
（Ⅱ）x2﹣4x﹣2＝0．
20．已知关于x的方程kx2﹣（k﹣2）x﹣2＝0．
（1）试说明：无论k取什么实数值，方程总有实数根；
（2）若方程的两实数根都为正整数，求整数k的值．
21．某水果商场经销一种高档水果，原售价每千克50元，连续两次降价后每千克售价32元；每次下降的百分率相同．
（1）求每次下降的百分率；
（2）已知这种水果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但规定每千克涨价不能超过8元，现该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？
22．若m是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根，求代数式的值．
23．如图，在矩形ABCD中，DC＝14cm，AD＝6cm，点P从点A出发沿AB以4cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点C出发沿CD以1cm/s的速度向点D移动，两点同时出发，一点到达终点时另一点即停．
（1）运动几秒时，PQ能将矩形ABCD的面积分成2：5两部分？
（2）运动几秒时，P，Q两点之间的距离是10cm？
24．综合与探究：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”．例如：一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程：x2+x＝0是“邻根方程”．
（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：
①x2+x﹣6＝0；
②．
（2）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x﹣2m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值．
25．阅读下面的材料
一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家阿尔 花拉子米在他的代表作《代数学》中记载了求一元二次方程正数解的几何解法，我国三国时期的数学家赵爽在其所著《勾股圆方图注》中也给出了类似的解法．
以x2+10x＝39为例，花拉子米的几何解法步骤如下：
①如图1，在边长为x的正方形的两个相邻边上作边长分别为x和5的矩形，再补上一个边长为5的小正方形，最终把图形补成一个大正方形；
②一方面大正方形的面积为（x+ ）2，另一方面它又等于图中各部分面积之和，因为x2+10x＝39，可得方程（x+ ）2＝39+ ，则方程的正数解是x＝ ．
根据上述材料，解答下列问题．
（1）补全花拉子米的解法步骤②；
（2）根据花拉子米的解法，在图2的两个构图①②中，能够得到方程x2﹣6x＝7的正数解的正确构图是 （填序号）．
26．当解某些计算较复杂的一元二次方程时，可考虑用“缩根法”简化运算．“缩根法”是指将一元二次方程先转化成系数比原方程简单的新一元二次方程，然后解新一元二次方程，并将新方程的两根同时缩小若干倍，从而得到原方程的两个根．
已知：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1＝α，x2＝β，求关于x的一元二次方程p2ax2+pbx+c＝0（ap≠0）的两根．
解：∵p2ax2+pbx+c＝0（ap≠0），∴a（px）2+b px+c＝0，令px＝t，
得新方程at2+bt+c＝0，
∵新方程的解为t1＝α，t2＝β，∴px＝α，px＝β，
∴原方程的两根为．
这种解一元二次方程的方法叫做“缩根法”
举例：用缩根法解方程49x2+35x﹣24＝0．
解：∵49＝72，35＝5×7，∴（7x）2+5×7x﹣24＝0，令7x＝t，
得新方程t2+5t﹣24＝0．
解新方程得：t1＝3，t2＝﹣8，∴7x＝3，7x＝﹣8，
∴原方程的两根为．
请利用上面材料解决下列问题，并写出具体步骤：
（1）用缩根法解方程：36x2﹣6x﹣1＝0；
（2）用缩根法解方程：3x2﹣160x+1600＝0．
