人教版数学八年级上暑假预习课第十七讲 轴对称自学检测卷（含解析）

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人教版数学八年级上暑假预习课
第十七讲 轴对称自学检测卷
一、专题导航
轴对称自学检测卷
考试范围：13章轴对称；考试时间：120分钟；满分120分
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
分卷I
评卷人 得分
. .
一、选择题(共10题；共30.0分)
1．(3分)剪纸又称刻纸，是中国最古老的民间艺术之一，它是以纸为加工对象，以剪刀（或刻刀）为工具进行创作的艺术．民间剪纸往往通过谐音、象征、寓意等手法提炼、概括自然形态，构成美丽的图案．下列剪纸中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A. B.
C. D.
2．(3分)如图，在△ABC中，AB=4，BC=7，DE是AC的中垂线，则△ABD的周长为（　　）

A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
3．(3分)如图，△ABC与△DEF关于直线MN成轴对称，则以下结论中不一定成立的是（　　）
A. AB=DE B. ∠B=∠E
C. AB∥DF D. 线段AD被MN垂直平分
4．(3分)如图，两把相同的直尺的一边分别与射线OB、OA重合，另一边相交于点P，则OP平分∠BOA的依据是（　　）
A. 在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
B. 角平分线上的点到这个角的两边距离相等
C. 角平分线的性质
D. 角平分线是轴对称图形
5．(3分)室内墙壁上挂一平面镜，小明在平面镜内看到他背后墙上时钟的示数如图所示，则这时的实际时间应是（　　）
A. 3：20 B. 3：40 C. 4：40 D. 8：20
6．(3分)如图，中，是角平分线，垂足为，垂足为，与交于，下列说法不一定正确的是（ ）
A. 也是中线 B. 平分
C. D.
7．(3分)如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E，连接AD．若BD=DC，AE=4，AD=5，则AB的长为（　　）
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
8．(3分)如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4 cm，面积为12 cm2，腰AB的垂直平分线EF交AB于点E，交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一点，则△BDM的周长最小值为( )
A. 5 cm B. 6 cm C. 8 cm D. 10 cm
9．(3分)如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=8、AC=6，若点P为直线BC上一点，且△ABP为等腰三角形，则符合条件的点P有（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10．(3分)如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB=90°+∠C；②当∠C=60°时，AF+BE=AB；③若OD=a,AB+BC+CA=2b,则S△ABC=ab.其中正确的是（　　）
A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①③
分卷II
评卷人 得分
. .
二、填空题(共5题；共15.0分)
11．(3分)如图，△AOB与△COB关于边OB所在的直线成轴对称，AO的延长线交BC于点D．若∠BOD=45°，∠C=20°，则∠ADC=_____．
12．(3分)如图，课间休息时，小新将镜子放在桌面上，无意间看到镜子中有一串数字，原来是桌旁墙面上张贴的同学手机号码中的几个数字，请问镜子中的数字对应的实际数字是_____．
13．(3分)如图，在中，，是的平分线，．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是_____．
14．(3分)如图，在等边三角形ABC中，AB=2，BD是AC边上的高，延长BC至点E，使CE=CD，则BE的长为_______．
15．(3分)如图，∠AOB=120°，点P为∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM=PN；②OM+ON=OP；③四边形PMON的面积保持不变；④△PMN的周长保持不变．其中说法正确的是_______．(填序号)
评卷人 得分
. .
三、解答题(共8题；共75.0分)
16．(8分)如图，在△ABC中，∠ABC=70°，AB=AC=8，D为BC中点，点N在线段AD上，NM∥AC交AB于点M，BN=3．
（1）求∠CAD度数；
（2）求△BMN的周长．
17．(8分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A（-3，1），B（2，3），C（1，0）．
（1）在图中作△A'B'C'，使得△A'B'C'与△ABC关于直线l轴对称．
（2）点A'的坐标为 _____，点B'的坐标为 _____．
18．(6分)已知：如图，在等腰△ABC中，AB=AC．求作：在BC边上找一点D，使得AD=CD．
小李同学在学习了尺规作图的相关知识后，设计作图步骤如下：
①分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；
②连接MN，交BC于点D，连接AD；
③点D即为所求．
（1）请根据上述的设计方案，补全作图痕迹，并分析小李同学的作图依据是 _____；
（2）补充下面的证明过程：
证明：设MN交AC于点E，
∵MN垂直平分AC，
∴∠AED=∠CED=90°，_____，DE=DE，
∴△AED≌△CED，
∴AD=_____．（ _____）（填推理依据）．
19．(9分)如图，在中，垂直平分，分别交，于点、，垂直平分，分别交、于点、，连接，．
（1）若，求的周长等于__________．
（2）若，求的度数
20．(9分)阅读下面材料，并解决相应的问题：
在数学课上，老师给出如下问题，已知线段AB，求作线段AB的垂直平分线．小明的作法如下：
（1）分别以A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧交于点C；
（2）再分别以A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧交于点D；
（3）作直线CD，直线CD即为所求的垂直平分线．
同学们对小明的作法提出质疑，小明给出了这个作法的证明如下：
连接AC，BC，AD，BD．
由作图可知：AC=BC，AD=BD．
∴点C，点D在线段的垂直平分线上（依据1：_____）．
∴直线就是线段的垂直平分线（依据2：_____）．
（1）请你将小明证明的依据写在横线上；
（2）将小明所作图形放在如图的正方形网格中，点A，B，C，D恰好均在格点上，依次连接A，C，B，D，A各点，得到如图所示的“箭头状”的基本图形，请在网格中添加若干个此基本图形，使其各顶点也均在格点上，且与原图形组成的新图形是中心对称图形．
21．(10分)如图，．
（1）写出与的数量关系
（2）延长到，使，延长到，使，连接．求证：．
（3）在（2）的条件下，作的平分线，交于点，求证：．
22．(12分)如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝ ；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 （填“大”或“小”）．
（2）当DC的长为多少时，△ABD与△DCE全等？请说明理由．
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，请判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．（直接写出结论，不说明理由．）
23．(13分)如图，在等边△ABC中，AB=AC=BC=10厘米，DC=4厘米，如果点M以3厘米/秒的速度运动．
（1）如果点M在线段CB上由点C向点B运动，点N在线段BA上由B点向A点运动．它们同时出发，若点N的运动速度与点M的运动速度相等．经过2秒后，△BMN和△CDM是否全等？请说明理由；
（2）在（1）的条件下，当两点的运动时间为多少时，△BMN是一个直角三角形？
（3）若点N的运动速度与点M的运动速度不相等，点N从点B出发，点M以原来的运动速度从点C同时出发，都顺时针沿△ABC三边运动，经过25秒点M与点N第一次相遇，则点N的运动速度是多少厘米/秒．
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第十七讲 轴对称自学检测卷（解析版）
一、专题导航
轴对称自学检测卷
考试范围：13章轴对称；考试时间：120分钟；满分120分
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
分卷I
评卷人 得分
. .
一、选择题(共10题；共30.0分)
1．(3分)剪纸又称刻纸，是中国最古老的民间艺术之一，它是以纸为加工对象，以剪刀（或刻刀）为工具进行创作的艺术．民间剪纸往往通过谐音、象征、寓意等手法提炼、概括自然形态，构成美丽的图案．下列剪纸中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
解：A．原图是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
B．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C．原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意；
D．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选：C．
2．(3分)如图，在△ABC中，AB=4，BC=7，DE是AC的中垂线，则△ABD的周长为（　　）

A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
【答案】B
【解析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，再根据三角形的周长公式计算，得到答案．
解：∵DE是AC的中垂线，
∴DA=DC，
∴△ABD的周长=AB+BD+DA=AB+BD+DC=AB+BC，
∵AB=4，BC=7，
∴△ABD的周长=4+7=11，
故选：B．
3．(3分)如图，△ABC与△DEF关于直线MN成轴对称，则以下结论中不一定成立的是（　　）
A. AB=DE B. ∠B=∠E
C. AB∥DF D. 线段AD被MN垂直平分
【答案】C
【解析】根据轴对称的性质作答．
解：A、AB=DE，成立，不符合题意；
B、∠B=∠E，成立，不符合题意；
C、AB与DF不一定平行，不成立，符合题意；
D、线段AD被MN垂直平分，成立，不符合题意．
故选：C．
4．(3分)如图，两把相同的直尺的一边分别与射线OB、OA重合，另一边相交于点P，则OP平分∠BOA的依据是（　　）
A. 在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
B. 角平分线上的点到这个角的两边距离相等
C. 角平分线的性质
D. 角平分线是轴对称图形
【答案】A
【解析】过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，根据题意可得PE=PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，可得OP平分∠AOB．
解：如图所示：PE⊥AO，过两把直尺的交点P作PF⊥BO，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴PE=PF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故选：A．
5．(3分)室内墙壁上挂一平面镜，小明在平面镜内看到他背后墙上时钟的示数如图所示，则这时的实际时间应是（　　）
A. 3：20 B. 3：40 C. 4：40 D. 8：20
【答案】B
【解析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，且关于镜面对称，分析并作答．
解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的时刻与3：40成轴对称，所以此时实际时刻为3：40．
故选：B．
6．(3分)如图，中，是角平分线，垂足为，垂足为，与交于，下列说法不一定正确的是（ ）
A. 也是中线 B. 平分
C. D.
【答案】A
【解析】A．根据等腰三角形的三线合一可以判定A符合题意；
B．根据角平分线的性质得出，证明，得出，即可判断B不符合题意；
CD．根据全等三角形的性质得出，根据，证明垂直平分，即可判断CD不符合题意．
解：A．等腰三角形底边上的中线，顶角平分线，底边上的高线才三线合一，而不是等腰三角形，因此不一定是中线，故A符合题意；
B．∵是角平分线，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，故B不符合题意；
CD．∵，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，，故CD不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，垂直平分线的判定，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等．
7．(3分)如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E，连接AD．若BD=DC，AE=4，AD=5，则AB的长为（　　）
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
【答案】D
【解析】根据线段垂直平分线的性质可得AC=2AE=8，DA=DC，从而可得∠DAC=∠C，再结合已知易得BD=AD，从而可得∠B=∠BAD，然后利用三角形内角和定理可得∠BAC=90°，从而在Rt△ABC中，利用勾股定理进行计算，即可解答．
解：由题意得：MN是AC的垂直平分线，
∴AC=2AE=8，DA=DC，
∴∠DAC=∠C，
∵BD=CD，
∴BD=AD，
∴∠B=∠BAD，
∵∠B+∠BAD+∠C+∠DAC=180°，
∴2∠BAD+2∠DAC=180°，
∴∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠BAC=90°，
在Rt△ABC中，BC=BD+CD=2AD=10，
∴AB===6，
故选：D．
8．(3分)如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4 cm，面积为12 cm2，腰AB的垂直平分线EF交AB于点E，交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一点，则△BDM的周长最小值为( )
A. 5 cm B. 6 cm C. 8 cm D. 10 cm
【答案】C
【解析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．
如图，连接AD．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC=BC AD=×4×AD=12，解得：AD=6（cm）．
∵EF是线段AB的垂直平分线，∴点B关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为BM+MD的最小值，∴△BDM的周长最短=（BM+MD）+BD=AD+BC=6+×4=6+2=8（cm）．
故选C．
【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
9．(3分)如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=8、AC=6，若点P为直线BC上一点，且△ABP为等腰三角形，则符合条件的点P有（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】D
【解析】依据点P为直线BC上一点，且△ABP为等腰三角形，需要分三种情况进行讨论，即①AB=AP，②BA=BP，③AP=BP，据此通过画图即可得出点P的位置．
解：如图所示，分别以A，B为圆心，AB的长为半径画弧，与直线l的交点P1，P2，P3即为所求；作AB的垂直平分线，与直线l的交点P4即为所求．
∴符合条件的点P有4个．
故选：D．
10．(3分)如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB=90°+∠C；②当∠C=60°时，AF+BE=AB；③若OD=a,AB+BC+CA=2b,则S△ABC=ab.其中正确的是（　　）
A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①③
【答案】C
【解析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解∠AOB与∠C的关系，进而判定①；在AB上取一点H，使BH=BE，证得△HBO≌△EBO，得到∠BOH=∠BOE=60°，再证得△HAO≌△FAO，得到AF=AH，进而判定②正确；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，根据三角形的面积可证得③正确．
解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴∠OBA=∠CBA，∠OAB=∠CAB，
∴∠AOB=180°-∠OBA-∠OAB=180°-∠CBA-∠CAB=180°-（180°-∠C）=90°+∠C，①正确；
∵∠C=60°，
∴∠BAC+∠ABC=120°，
∵AE，BF分别是∠BAC与ABC的平分线，
∴∠OAB+∠OBA=（∠BAC+∠ABC）=60°，
∴∠AOB=120°，
∴∠AOF=60°，
∴∠BOE=60°，
如图，在AB上取一点H，使BH=BE，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠HBO=∠EBO，
在△HBO和△EBO中，，
∴△HBO≌△EBO（SAS），
∴∠BOH=∠BOE=60°，
∴∠AOH=180°-60°-60°=60°，
∴∠AOH=∠AOF，
在△HAO和△FAO中，，
∴△HAO≌△FAO（ASA），
∴AF=AH，
∴AB=BH+AH=BE+AF，故②正确；
作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，
∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴点O在∠C的平分线上，
∴OH=OM=OD=a,
∵AB+AC+BC=2b
∴S△ABC=×AB×OM+×AC×OH+×BC×OD=（AB+AC+BC） a=ab,③正确．
故选：C．
分卷II
评卷人 得分
. .
二、填空题(共5题；共15.0分)
11．(3分)如图，△AOB与△COB关于边OB所在的直线成轴对称，AO的延长线交BC于点D．若∠BOD=45°，∠C=20°，则∠ADC=_____．
【答案】70°
【解析】根据对称性得出∠BOC=∠AOB=180°-∠BOD=135°，∠COD=∠BOC-∠BOD=135°-45°=90°，根据三角形内角和得出结论即可．
解：∵△AOB与△COB关于边OB所在的直线成轴对称，
∴∠BOC=∠AOB=180°-∠BOD=135°，∠COD=∠BOC-∠BOD=135°-45°=90°，
∴∠ADC=180°-∠C-∠COD=180°-20°-90°=70°，
故答案为：70°．
12．(3分)如图，课间休息时，小新将镜子放在桌面上，无意间看到镜子中有一串数字，原来是桌旁墙面上张贴的同学手机号码中的几个数字，请问镜子中的数字对应的实际数字是_____．
【答案】630085
【解析】易得所求的数字与看到的数字关于竖直的一条直线成轴对称，作出相应图形即可求解．
解：做轴对称图形得：|630085，
故答案是：630085．
13．(3分)如图，在中，，是的平分线，．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是_____．
【答案】
【解析】根据等腰三角形三线合一的性质得出，过点B作于点Q，交于点P，则此时取最小值，最小值为的长，然后利用三角形等面积法求解即可．
解：∵，是的平分线，
∴垂直平分，
∴．
过点B作于点Q，交于点P，则此时取最小值，最小值为的长，如图所示．
∵，
∴＝，
即的最小值是．
故答案为：．
【点睛】题目主要考查等腰三角形的性质及三角形等面积法，最短距离问题，理解题意，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．
14．(3分)如图，在等边三角形ABC中，AB=2，BD是AC边上的高，延长BC至点E，使CE=CD，则BE的长为_______．
【答案】3
【解析】由等边三角形的性质可得AC＝BC＝AB＝2，根据BD是AC边上的高，可得AD＝CD＝1，再由题中条件CE＝CD，即可求得BE．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝AB＝2，
∵BD是AC边上的高，
∴D为AC的中点，
∴AD＝CD＝AC＝1，
∴CE＝CD＝1，
∴BE＝BC+CE＝2+1＝3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，考查了学生综合运用数学知识的能力，得到AD＝CD＝AC是正确解答本题的关键．
15．(3分)如图，∠AOB=120°，点P为∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM=PN；②OM+ON=OP；③四边形PMON的面积保持不变；④△PMN的周长保持不变．其中说法正确的是_______．(填序号)
【答案】①②③
【解析】作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，根据题意得：∠EPM=∠FPN，再根据角平分线的性质定理可得PE=PF，从而得到Rt△POE≌Rt△POF，进而得到OE=OF，可得到△PEM≌△PFN，从而得到∠PEM=∠PFN，EM=NF，PM=PN，可得S△PEM=S△PFN，OM+ON= 2OE，从而得到①②③正确，再由M，N的位置变化，可得MN的长度是变化的，再证得△PMN是等边三角形，可得故④错误，即可求解．
解：如图，作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∵∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF+∠AOB=180°，
∵∠MPN+∠AOB=180°，
∴∠EPF=∠MPN，
∴∠EPM=∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE=PF，
在Rt△POE和Rt△POF中，
∵OP=OP，PE=PF，
∴Rt△POE≌Rt△POF（HL），
∴OE=OF，
在△PEM和△PFN中，
∵∠MPE=∠NPF， PE=PF，∠PEM=∠PFN，
∴△PEM≌△PFN（ASA），
∴∠PEM=∠PFN，EM=NF，PM=PN，故①正确；
∴S△PEM=S△PFN，
∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，故③正确；
∵OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE=定值，故②正确；
∵M，N的位置变化，
∴MN的长度是变化的，
∵PM=PN，∠MPN=60°，
∴△PMN是等边三角形，
∴△PMN的周长是变化的，故④错误，
∴说法正确的有①②③．
故答案为：①②③
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，等边三角形判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，等边三角形判定和性质等知识是解题的关键．
评卷人 得分
. .
三、解答题(共8题；共75.0分)
16．(8分)如图，在△ABC中，∠ABC=70°，AB=AC=8，D为BC中点，点N在线段AD上，NM∥AC交AB于点M，BN=3．
（1）求∠CAD度数；
（2）求△BMN的周长．
【解析】（1）由等腰三角形性质和三角形内角和定理可求出∠CAD度数；
（2）由平行线的性质及等腰三角形性质可得到AM=NM，则求△BMN的周长可转化成求线段AB和线段BN的和，由题中给出的条件即可求出结果．
解：（1）∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
又∵∠ABC=70°，
∴∠BAC=180°-70°×2=40°，
又∵D为BC的中点，
∴AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD=∠BAC=×40°=20°，
故∠CAD度数为20°．
（2）∵NM∥AC，
∴∠ANM=∠CAD，
又∵∠CAD=∠BAD，
∴∠ANM=∠BAD，
∴AM=NM，
∴△BMN的周长=MB+BN+NM=AB+BN，
∵AB=8，BN=3，
∴△BMN的周长=8+3=11．
故△BMN的周长为11．
17．(8分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A（-3，1），B（2，3），C（1，0）．
（1）在图中作△A'B'C'，使得△A'B'C'与△ABC关于直线l轴对称．
（2）点A'的坐标为 _____，点B'的坐标为 _____．
【答案】(1)（-3，-3）;(2)（2，-5）;
【解析】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）由图可得答案．
解：（1）如图，△A'B'C'即为所求．
（2）由图可得，A'（-3，-3），B'（2，-5）．
故答案为：（-3，-3）；（2，-5）．
18．(6分)已知：如图，在等腰△ABC中，AB=AC．求作：在BC边上找一点D，使得AD=CD．
小李同学在学习了尺规作图的相关知识后，设计作图步骤如下：
①分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；
②连接MN，交BC于点D，连接AD；
③点D即为所求．
（1）请根据上述的设计方案，补全作图痕迹，并分析小李同学的作图依据是 _____；
（2）补充下面的证明过程：
证明：设MN交AC于点E，
∵MN垂直平分AC，
∴∠AED=∠CED=90°，_____，DE=DE，
∴△AED≌△CED，
∴AD=_____．（ _____）（填推理依据）．
【答案】(1)线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等;(2)垂直的定义;(3)CD;(4)线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等;
【解析】（1）根据线段垂直平分线的性质作出图形即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质即可得到结论．
解：（1）如图所示，
作图依据是线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；
故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；
（2）证明：设MN交AC于点E，
∵MN垂直平分AC，
∴∠AED=∠CED=90°，（垂直的定义）DE=DE，
∴△AED≌△CED，
∴AD=CD．（ 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）（填推理依据）．
故答案为：垂直的定义，CD，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
19．(9分)如图，在中，垂直平分，分别交，于点、，垂直平分，分别交、于点、，连接，．
（1）若，求的周长等于__________．
（2）若，求的度数
【答案】（1）9 （2）见解析
【解析】（1）根据垂直平分线的性质得出，，根据三角形周长公式即可求解；
（2）根据三角形内角和定理求得，根据垂直平分线的性质以及等边对等角可得， ，进而根据三角形内角和定理即可求解．
【小问1详解】
解：∵是的垂直平分线，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴的周长为．
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．
20．(9分)阅读下面材料，并解决相应的问题：
在数学课上，老师给出如下问题，已知线段AB，求作线段AB的垂直平分线．小明的作法如下：
（1）分别以A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧交于点C；
（2）再分别以A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧交于点D；
（3）作直线CD，直线CD即为所求的垂直平分线．
同学们对小明的作法提出质疑，小明给出了这个作法的证明如下：
连接AC，BC，AD，BD．
由作图可知：AC=BC，AD=BD．
∴点C，点D在线段的垂直平分线上（依据1：_____）．
∴直线就是线段的垂直平分线（依据2：_____）．
（1）请你将小明证明的依据写在横线上；
（2）将小明所作图形放在如图的正方形网格中，点A，B，C，D恰好均在格点上，依次连接A，C，B，D，A各点，得到如图所示的“箭头状”的基本图形，请在网格中添加若干个此基本图形，使其各顶点也均在格点上，且与原图形组成的新图形是中心对称图形．
【答案】(1)到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上;(2)两点确定一条直线;
【解析】（1）根据线段的垂直平分线的判定和性质判断即可．
（2）作点C，D关于AB的对称点C′，D′，连接AC′，BC′，AD′，BD′即可．
解：（1）连接AC，CB，AD，DB．
由作图可知：AC=BC，AD=BD．
∴点C，点D在线段的垂直平分线上（到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）．
∴直线就是线段的垂直平分线（两点确定一条直线）．
故答案为：线段的垂直平分线的性质，两点确定一条直线．
（2）如图所示：
21．(10分)如图，．
（1）写出与的数量关系
（2）延长到，使，延长到，使，连接．求证：．
（3）在（2）的条件下，作的平分线，交于点，求证：．
【答案】（1），
（2）见解析 （3）见解析
【解析】（1）勾股定理求得，结合已知条件即可求解；
（2）根据题意画出图形，证明，得出，则，即可得证；
（3）延长交于点，延长交于点，根据角平分线以及平行线的性质证明，进而证明，即可得证．
【小问1详解】
解：∵
∴，
∵
∴
即；
【小问2详解】
证明：如图所示，
∴
∴，
∵，
∴
∵，,
∴
∴
∴
∴
【小问3详解】
证明：如图所示，延长交于点，延长交于点，
∵，，
∴，
∴
∵是的角平分线，
∴，
∴
∴
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
即，
∴，
又，则，
在中，
，
∴，
∴
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，平行线的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
22．(12分)如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝ ；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 （填“大”或“小”）．
（2）当DC的长为多少时，△ABD与△DCE全等？请说明理由．
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，请判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．（直接写出结论，不说明理由．）
【答案】（1）25°；小；
（2）DC=2，理由见解答过程；
（3）110°或80°．
【解析】（1）根据三角形内角和定理计算求出∠BAD，根据点D从点B向点C运动可以得出∠BDA逐渐变小；
（2）当DC=2时，AB=DC，根据∠DEC+∠EDC=140°，∠ADB+∠EDC=140°，得到∠ADB=∠DEC，利用AAS定理证明△ABD≌△DCE即可；
（3）分DA=DE、AE=AD、EA=ED三种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算．
【小问1详解】
解：∵∠B=40°，∠BDA=115°，
∴∠BAD=180°-∠B-∠BDA=180°-115°-40°=25°，
由图形可知，∠BDA逐渐变小，
故答案为：25°；小；
【小问2详解】
当DC=2时，△ABD≌△DCE，
理由如下：∵AB=2，
∴AB=DC，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B=40°，
∴∠DEC+∠EDC=140°，
∵∠ADE=40°，
∴∠ADB+∠EDC=140°，
∴∠ADB=∠DEC，
在△ABD和△DCE中，
∴△ABD≌△DCE（AAS）；
【小问3详解】
当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE是等腰三角形，理由如下：
当DA=DE时，∠DAE=∠DEA=70°，
∴∠BDA=∠DAE+∠C=70°+40°=110°；
当AD=AE时，∠AED=∠ADE=40°，
∴∠DAE=100°，
此时，点D与点B重合，不合题意；
当EA=ED时，∠EAD=∠ADE=40°，
∴∠BDA=∠DAE+∠C=40°+40°=80°，
综上所述，当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE是等腰三角形．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
23．(13分)如图，在等边△ABC中，AB=AC=BC=10厘米，DC=4厘米，如果点M以3厘米/秒的速度运动．
（1）如果点M在线段CB上由点C向点B运动，点N在线段BA上由B点向A点运动．它们同时出发，若点N的运动速度与点M的运动速度相等．经过2秒后，△BMN和△CDM是否全等？请说明理由；
（2）在（1）的条件下，当两点的运动时间为多少时，△BMN是一个直角三角形？
（3）若点N的运动速度与点M的运动速度不相等，点N从点B出发，点M以原来的运动速度从点C同时出发，都顺时针沿△ABC三边运动，经过25秒点M与点N第一次相遇，则点N的运动速度是多少厘米/秒．
【解析】（1）由题意得到BM，BN，CM的长度，利用边角边公理即可判定结论；
（2分两种情形讨论解答：①当∠BNM=90°时；②当∠BMN=90°时，设两点的运动时为t秒，分别表示出BM，BN的长度，所对的直角边等于斜边的一半列出方程即可求出对应的时间；
（3）分两种情况解答：①当点N的速度小于点M的速度时；②当点N的速度大于点M的速度时，设点N速度为s厘米/秒，利用点M与点N第一次相遇时的路程的差列出方程即可求解．
解：（1）△BMN和△CDM全等．理由：
∵点N的运动速度与点M的运动速度相等，点M以3厘米/秒的速度运动，
∴点N的速度是3厘米/秒．
∴经过2秒后，CM=6厘米，BN=6厘米，
∴CM=BN，
∴BM=BC-CM=10-6=4（厘米）．
∵DC=4厘米，
∴BM=CD．
∵AB=AC=BC，
∴∠B=∠C=60°．
在△BMN和△CDM中，
，
∴△BMN△CDM（SAS）．
（2）设两点的运动时为t秒，则CM=BN=3t厘米，
∴BM=BC-CM=（10-3t）厘米．
①当∠BNM=90°时，
∵∠B=60°，
∴∠BMN=30°．
∴BN=BM．
∴3t=（10-3t）．
解得：t=．
②当∠BMN=90°时，
∵∠B=60°，
∴∠BMN=30°．
∴BM=BN，
∴10-3t=×3t.
解得：t=．
综上，当两点的运动时间为秒或秒时，△BMN是一个直角三角形．
（3）设点N速度为s厘米/秒，则点N25秒运动的距离为25s厘米，
①当点N的速度小于点M的速度时，由题意得：
25×3-25s=10，
解得：s=．
②当点N的速度大于点M的速度时，由题意得：
25s-25×3=20．
解得：s=．
综上，经过25秒点M与点N第一次相遇，则点N的运动速度是厘米/秒或米/秒．
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