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21.2 解一元二次方程
第1课时 配方法(1)
目标1.能运用直接开平方的方法解形如 或 的一元二次方程.
2.学会将二次项系数比较简单的一元二次方程转化为 的形式并进行求解.
基础巩固
1．一元二次方程x2﹣4＝0的解是（ ）
A．x＝2 B．x1＝2，x2＝﹣2
C．x1＝2，x2＝0 D．x＝16
2．若一元二次方程（x+6）2＝64可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6＝8，则另一个一元一次方程是（ ）
A．x﹣6＝﹣8 B．x﹣6＝8 C．x+6＝8 D．x+6＝﹣8
3．关于x的一元二次方程（m2﹣1）x2﹣2（m+1）x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞1 B．m≥1 C．m≥﹣1且m≠1 D．m＞﹣1且m≠1
4．一元二次方程2x2＝18的根为 ．
5．要使代数式3x2﹣6的值等于21，则x的值是 ．
6．用直接开平方法解下列方程：
（1）（x﹣2）2＝3；
（2）2（x﹣3）2＝72；
（3）9（y+4）2﹣49＝0；
（4）4（2y﹣5）2＝9（3y﹣1）2．
思维拓展
7．如图是一个简单的程序计算器，如果输出的数值为﹣10，则输入x的值为（ ）
A．﹣8 B．或
C．或 D．
8．定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]＝1，[﹣1.4]＝﹣2，[﹣3]＝﹣3．函数y＝[x]的图象如图所示，已知﹣2≤x＜2，则方程[x]x2的解为（ ）
A．0或 B．0或1 C．1或 D．或
9．若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个不相等的根分别是2m+1与m﹣7，则为 ．
10．给出一种运算：对于函数y＝xn，规定y′＝nxn﹣1．例如：若函数y＝x5，则有y′＝5x4．已知函数y＝x3，y′＝12，则x的值是 ．
11．关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝3，x2＝6（a，m，b均为常数，a≠0），则关于a（x+m+2）2+b＝0的解是 ．
12．解关于x的方程：x2﹣3＝1+ax2（a≠1）．
13．（原创题）如果(7a+7b+)(7a+7b-)=2024，求a+b的值.
14．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根是1，且a，b满足b3，求关于y的方程c＝0的根．
延伸探究
15．已知一元二次方程（x﹣3）2＝1的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，求△ABC的周长．
16．对于实数p，q，我们用符号max{p，q}表示p，q两数中较大的数，如max{1，2}＝2，
（1）请直接写出max{，}的值：
（2）我们知道，当m2＝1时，m＝±1，利用这种方法解决下面问题：若max{（x﹣1）2，x2}＝4，求x的值．
中考提分
17．已知一元二次方程（x﹣2）2＝3的两根为m，n，且m＞n，则2m+n的值是（ ）
A．﹣3 B．﹣6 C．6 D．9
18．解方程：（2x+3）2＝（3x+2）2．中小学教育资源及组卷应用平台
21.2 解一元二次方程
第1课时 配方法(1)
目标1.能运用直接开平方的方法解形如 或 的一元二次方程.
2.学会将二次项系数比较简单的一元二次方程转化为 的形式并进行求解.
基础巩固
1．一元二次方程x2﹣4＝0的解是（ ）
A．x＝2 B．x1＝2，x2＝﹣2
C．x1＝2，x2＝0 D．x＝16
【思路点拔】先移项得到x2＝4，然后利用直接开平方法解方程．
【解答】解：x2＝4，
x＝±2，
所以x1＝﹣2，x2＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx＋m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
2．若一元二次方程（x＋6）2＝64可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝8，则另一个一元一次方程是（ ）
A．x﹣6＝﹣8 B．x﹣6＝8 C．x＋6＝8 D．x＋6＝﹣8
【思路点拔】利用直接开平方法求解即可．
【解答】解：∵（x＋6）2＝64，
∴x＋6＝8或x＋6＝﹣8，
故选：D．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
3．关于x的一元二次方程（m2﹣1）x2﹣2（m＋1）x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞1 B．m≥1 C．m≥﹣1且m≠1 D．m＞﹣1且m≠1
【思路点拔】若一元二次方程有实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．还要注意二次项系数不为0．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m2﹣1）x2﹣2（m＋1）x＋1＝0有实数根，
∴m2﹣1≠0，且Δ＝b2﹣4ac＝[﹣2（m＋1）]2﹣4（m2﹣1） 1＝8m＋8≥0，
解之得m＞﹣1且m≠1．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．
4．一元二次方程2x2＝18的根为 x1＝3，x2＝﹣3 ．
【思路点拔】利用直接开平方法求解即可．
【解答】解：2x2＝18，
∴x2＝9，
∴x＝±3，
∴x1＝3，x2＝﹣3．
故答案为：x1＝3，x2＝﹣3．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
5．要使代数式3x2﹣6的值等于21，则x的值是 3或﹣3 ．
【思路点拔】根据题意可得：3x2﹣6＝21，然后利用解一元二次方程﹣直接开平方法，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
3x2﹣6＝21，
3x2＝27，
x2＝9，
x1＝3，x2＝﹣3，
∴x的值为3或﹣3，
故答案为：3或﹣3．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
6．用直接开平方法解下列方程：
（1）（x﹣2）2＝3；
（2）2（x﹣3）2＝72；
（3）9（y＋4）2﹣49＝0；
（4）4（2y﹣5）2＝9（3y﹣1）2．
【思路点拔】（1）利用直接开平方法解方程；
（2）先把方程变形得到（x﹣3）2＝36，然后利用直接开平方法解方程；
（3）先把方程变形得到（y＋4）2，然后利用直接开平方法解方程；
（4）先两边开方得到2（2y﹣5）＝±3（3y﹣1），然后解两个一次方程即可．
【解答】解：（1）x﹣2＝±，
∴x1＝2，x2＝2；
（2）（x﹣3）2＝36，
x﹣3＝±6，
∴x1＝9，x2＝﹣3；
（3）9（y＋4）2＝49，
∴（y＋4）2，
∴y＋4＝±，
∴y1，y2；
（4）∵2（2y﹣5）＝±3（3y﹣1），
∴y1，y2＝1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx＋m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
思维拓展
7．如图是一个简单的程序计算器，如果输出的数值为﹣10，则输入x的值为（ ）
A．﹣8 B．或
C．或 D．
【思路点拔】根据程序计算器列方程，解方程可解答．
【解答】解：由题意得：（x＋1）2×（﹣2）＝﹣10，
∴（x＋1）2＝5，
∴x＋1＝±，
∴x＝﹣1±．
故选：C．
【点评】本题主要考查了利用直接开平方法解一元二次方程，解题的关键是掌握程序计算器的运算顺序．
8．定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]＝1，[﹣1.4]＝﹣2，[﹣3]＝﹣3．函数y＝[x]的图象如图所示，已知﹣2≤x＜2，则方程[x]x2的解为（ ）
A．0或 B．0或1 C．1或 D．或
【思路点拔】根据新定义和函数图象讨论：当1≤x＜2时，则x2＝1；当0≤x＜1时，则x2＝0；当﹣1≤x＜0时，则x2＝﹣1；当﹣2≤x＜﹣1时，则x2＝﹣2；然后分别解关于x的一元二次方程即可．
【解答】解：当1≤x＜2时，x2＝1，解得x1，x2（舍去）；
当0≤x＜1时，x2＝0，解得x＝0；
当﹣1≤x＜0时，x2＝﹣1，方程没有实数解；
当﹣2≤x＜﹣1时，x2＝﹣2，方程没有实数解；
所以方程[x]x2的解为0或．
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，也考查了实数的大小比较．
9．若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个不相等的根分别是2m＋1与m﹣7，则为 ．
【思路点拔】利用解一元二次方程﹣直接开平方法，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
2m＋1＋m﹣7＝0，
∴m＝2，
∴2m＋1＝5，
∵ax2＝b（ab＞0），
∴x2，
∴（2m＋1）2＝25，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程﹣直接开平方法是解题的关键．
10．给出一种运算：对于函数y＝xn，规定y′＝nxn﹣1．例如：若函数y＝x5，则有y′＝5x4．已知函数y＝x3，y′＝12，则x的值是 ±2 ．
【思路点拔】根据定义的新运算可得3x2＝12，然后再利用解一元二次方程﹣直接开平方法，进行计算即可解答．
【解答】解：∵y＝x3，y′＝12，
∴3x2＝12，
x2＝4，
x＝±2，
故答案为：±2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，理解定义的新运算是解题的关键．
11．关于x的方程a（x＋m）2＋b＝0的解是x1＝3，x2＝6（a，m，b均为常数，a≠0），则关于a（x＋m＋2）2＋b＝0的解是 x1＝1，x2＝4 ．
【思路点拔】把后面一个方程中的x＋2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解．
【解答】解：∵关于x的方程a（x＋m）2＋b＝0的解是x1＝3，x2＝6（a，m，b均为常数，a≠0），
∴方程a（x＋m＋2）2＋b＝0变形为a[（x＋2）＋m]2＋b＝0，即此方程中x＋2＝3或x＋2＝6，
解得x＝1或x＝4．
故方程a（x＋m＋2）2＋b＝0的解为x1＝1，x2＝4．
故答案为：x1＝1，x2＝4．
【点评】此题主要考查了方程解的定义以及直接开方法求解．注意由两个方程的特点，运用整体思想进行简便计算．
12．解关于x的方程：x2﹣3＝1＋ax2（a≠1）．
【思路点拔】方程整理后，利用平方根定义开方即可求出解．
【解答】解：方程整理得：（a﹣1）x2＝﹣4，即x2，
当1﹣a＞0，即a＜1时，x＝±±；
当1﹣a＜0，即a＞1时，无解．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，利用了分类讨论的思想，熟练掌握平方根的性质是解本题的关键．
13．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的一个根是1，且a，b满足b3，求关于y的方程c＝0的根．
【思路点拔】根据二次根式有意义的条件列出不等式组，解不等式组求出a，进而求出b，根据一元二次方程解的定义求出c，利用直接开平方法解出一元二次方程．
【解答】解：由题意得：a﹣2≥0，4﹣2a≥0，
解得：a＝2，
∴b＝﹣3，
∵关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的一个根是1，
∴a＋b＋c＝0，
∴c＝1，
则方程为y2﹣1＝0，
整理得：y2＝4，
∴y1＝2，y2＝﹣2．
【点评】本题考查的是直接开平方法解一元二次方程、二次根式有意义的条件、一元二次方程解的定义，掌握直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
14．（原创题）如果(7a＋7b＋)(7a＋7b－)＝2024，求a＋b的值．
【思路点拔】利用平方差公式，直接开平方计算．
【解答】解：∵(7a＋7b＋)(7a＋7b－)＝2024，
即（7a＋7b）2﹣34＝2024，
∴49（a＋b）2＝2024＋34＝2058，化简得（a＋b）2＝42，
∴a＋b＝±.
【点评】本题考查了平方差公式，直接开平方，解题的关键是掌握平方差公式，直接开平方，整体思想.．
延伸探究
15．已知一元二次方程（x﹣3）2＝1的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，求△ABC的周长．
【思路点拔】由一元二次方程（x﹣3）2＝1的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，利用直接开平方法求解即可求得等腰△ABC的底边长和腰长，然后分别从当底边长和腰长分别为3和5时与当底边长和腰长分别为5和3时去分析，即可求得答案．
【解答】解：∵（x﹣3）2＝1，
∴x﹣3＝±1，
解得，x1＝4，x2＝2，
∵一元二次方程（x﹣3）2＝1的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，
∴①当底边长和腰长分别为4和2时，4＝2＋2，此时不能构成三角形；
②当底边长和腰长分别是2和4时，
∴△ABC的周长为：2＋4＋4＝10．
【点评】此题考查了直接开平方法解一元二次方程、等腰三角形的性质以及三角形三边关系．此题难度不大，注意分类讨论思想的应用．
16．对于实数p，q，我们用符号max{p，q}表示p，q两数中较大的数，如max{1，2}＝2，
（1）请直接写出max{，}的值：
（2）我们知道，当m2＝1时，m＝±1，利用这种方法解决下面问题：若max{（x﹣1）2，x2}＝4，求x的值．
【思路点拔】（1）比较大小得出，根据定义即可得；
（2）分x＝0.5、x＞0.5、x＜0.5三种情况，根据定义列出关于x的方程求解可得．
【解答】解：（1）∵，
∴，
∴max{，}；
（2）当x＝0.5时，（x﹣1）2＝x2＝0.25≠4，不符合题意；
当x＞0.5时，（x﹣1）2＜x2，
则x2＝4，
解得：x＝2或x＝﹣2（舍）；
当x＜0.5时，（x﹣1）2＞x2，
∴（x﹣1）2＝4，
解得：x＝3（舍）或x＝﹣1；
故x的值为2或﹣1．
【点评】本题主要考查实数的大小比较，解题的关键是熟练掌握新定义及实数的大小比较．
中考提分
17．已知一元二次方程（x﹣2）2＝3的两根为m，n，且m＞n，则2m＋n的值是（ ）
A．﹣3 B．﹣6 C．6 D．9
【思路点拔】先利用直接开平方法解方程得到m＝2，n＝2，然后计算代数式2m＋n的值．
【解答】解：（x﹣2）2＝3，
x﹣2或x﹣2，
所以x1＝2，x2＝2，
即m＝2，n＝2，
所以2m＋n＝4＋2．
故选：C．
【点评】此题主要考查了直接开平方法解方程，正确掌握解题方法是解题关键．
18．解方程：（2x＋3）2＝（3x＋2）2．
【思路点拔】方程开方转化为一元一次方程，求出解即可．
【解答】解：方程：（2x＋3）2＝（3x＋2）2，
开方得：2x＋3＝3x＋2或2x＋3＝﹣3x﹣2，
解得：x1＝1，x2＝﹣1．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．
