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第二章 直线与圆的方程
选择性必修1
2.1.2 直线点斜式方程
1、简述在直角坐标系内确定一条直线的几何要素。
答(1)已知直线上的一点和直线的倾斜角斜率)可以确定一条直线。
(2)已知两点可以确定一条直线。
2、在直角坐标系中,已知直线上两点 如何表示直线的斜率?
复习回顾
在直角坐标系中,给定一个点 和斜率 ,我们能否将直线上所有点的坐标P(x, y)满足的关系表示出来?
y
x
O
P
直线经过点 ,且斜率为 ,设点 是直线 上不同于点 的任意一点,因为直线 的斜率为 ,由斜率公式得
即
(1)
学习新知
由以上推导可知:
1、过点 ,斜率为 的直线 上的每一点的坐标都满足方程。
坐标满足方程的每一点
是否都在过点 ,斜率为 的直线 上?
学习新知
设点 的坐标 满足方程(1),
即
若 ,则 ,说明点 与点 重合,可得点 在直线上 。
O
x
y
L
若 ,则 ,这说明过点 和点 的直线的斜率为 ,可得点 在过点 ,斜率为 的直线 上
x
O
y
学习新知
方程 由直线上一点及其斜率确定,把这个方程叫做直线的点斜式方程,简称点斜式(point slope form).
直线的点斜式方程
x
y
O
l
P0
学习新知
(1) 轴所在直线的方程是什么?
,或
当直线 的倾斜角为 时,即 .这时直线 与 轴平行或重合,
x
y
O
l
的方程就是
故 轴所在直线的方程是:
学习新知
坐标轴的直线方程
(2) 轴所在直线的方程是什么?
,或
当直线 的倾斜角为 时,直线没有斜率,这时直线 与 轴平行或重合,它的方程不能用点斜式表示.这时,直线 上每一点的横坐标都等于 ,所以它的方程就是
x
y
O
l
坐标轴的直线方程
故 轴所在直线的方程是:
学习新知
例1.直线 经过点 ,且倾斜角 ,求直线 的点斜式方程,并画出直线 .
代入点斜式方程得: .
解:直线 经过点 ,斜率 ,
y
1
2
3
4
x
O
-1
-2
l
典型例题
画图时,只需再找出直线 上的另一点 ,例如,取 ,得 的坐标为 ,过 的直线即为所求,如图示.
1、写出下列直线的点斜式方程:
(1)经过点A(3,-1),斜率是 ;
(2)经过点B( ,2),倾斜角是
(3)经过点C(0,3),倾斜角是
(4)经过点D(-4,-2),倾斜角是
答案:
(1)
(2)
(3)
(4)
你都作对了吗?
巩固练习
如果直线 的斜率为 ,且与 轴的交点为 ,代入直线的点斜式方程,得:
也就是:
x
y
O
l
b
我们把直线与 轴交点的纵坐标b叫做直线在轴上的截距(intercept).
该方程由直线的斜率与它在 轴上的截距确定,所以该方程叫做直线的斜截式方程,简称斜截式(slope intercept form).
直线的斜截式方程
学习新知
观察方程 ,它的形式具有什么特点?
我们发现,左端 的系数恒为1,右端 的系数
和常数项 均有明显的几何意义:
是直线的斜率, 是直线在 轴上的截距.
斜截式是点斜式的特例。只适用于斜率存在的情形。
直线在坐标轴上的横、纵截距及求法:
截距的值是实数,它是坐标值,不是距离
学习新知
直线的斜截式方程
方程 与我们学过的一次函数的表达式类似.我们知道,一次函数的图象是一条直线.你如何从直线方程的角度认识一次函数 ?一次函数中 和 的几何意义是什么?
你能说出一次函数 及 图象的特点吗?
学习新知
直线的斜截式方程
典型例题
求直线的斜截式方程
(1)先求参数k和b,再写出斜截式方程.
(2)斜率可以是已知的,也可以利用倾斜角来求出,还可以利用平行、垂直关系求出斜率.
(3)b是直线在y轴上的截距,即直线与y轴交点的纵坐标,不是交点到原点的距离.
求直线的点斜式方程的步骤
提醒:斜率不存在时,过点P(x0,y0)的直线与x轴垂直,直线上所有点的横坐标相等,都为x0,故直线方程为x=x0.
规律总结
例3 已知直线 ,
试讨论:(1) 的条件是什么?(2) 的条件是什么?
解:(1)若 ,则 ,此时 与
轴的交点不同,即 ;反之, ,且
时, .
(2)若 ,则 ;反之, 时, .
典型例题
于是我们得到,对于直线:
,且 ;
1、填空题
(1)已知直线的点斜式方程是
那么此直线的斜率是_______,倾斜角是__________。
(2)已知直线的点斜式方是
那么此直线的斜率是__________,倾斜角是____________。
1
巩固练习
【例4】(1)当a为何值时,直线l1:y=-x+2a
与直线l2:y=(a2-2)x+2平行?
(2)当a为何值时,直线l1:y=(2a-1)x+3
与直线l2:y=4x-3垂直?
典型例题
巩固练习
B
y-1=3(x-2)
y-5=x-2
x=-5
4.已知直线l过点A(2,1)且与直线y-1=4x-3垂直,则直线l的方程为________.
(1)直线的点斜式方程:
(2)直线的斜截式方程:
x
y
O
l
P0
知识小结
x
y
O
l
b