新人教版七年级数学暑假自学课第十四讲 整式（含解析）

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新人教版七年级数学暑假自学课
第十四讲 整式
一、知识点导航
知识点归纳
知识点1 单项式
1. 单项式的概念
单项式：数或字母的积。（单独的一个数或一个字母也是单项式）。例：5x；100；x；10ab等
【注意】（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母．
（2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成。但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积．
2.单项式的系数：单项式中的数字叫做单项式的系数。例：的系数为。
【注意】（1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数；
（2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数；
（3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成．
3.单项式的次数：一个单项式中所有字母的指数的和。例： 的次数为3次。
【注意】
单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点：
（1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏；
（2）不能将数字的指数一同计算．
例1-1 .代数式，，，，，中，单项式的个数是（ ）．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
总结：数与字母的积的形式的代数式是单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．分母中含字母的不是单项式，分子中含加、减运算的式子也不是单项式．
例1-2 .下列说法中正确的是(　　)
A．不是单项式 B．的系数是
C．的系数是，次数是4 D．的系数为0，次数为2
总结：(1)当单项式的系数是1或－1时，“1”通常省略不写；单项式的系数是带分数时，通常写成假分数．单项式的系数包括前面的符号．(2)我们把常数项的次数看做0.确定单项式的次数时，单项式中单独一个字母的指数1不能忽略，如－3x3y，它的指数是4而不是3.(3)π是圆周率，是一个确定的数，不是字母．
例1-3 .用单项式表示下列各式，并指出其系数和次数．
(1)王明同学买2本练习册花了n元，那么买m本练习册要花多少元？
(2)正方体的棱长为a，那么它的表面积是多少？体积呢？
总结：此题考查了列代数式，用到的知识点是系数、次数、正方形的表面积公式、体积公式，根据题意列出式子是本题的关键．
知识点2 多项式
1. 多项式的有关概念
多项式：几个单项式的和。
【注意】“几个”是指两个或两个以上．
2.项：每个单项式叫做多项式的项，有几项，就叫做几项式。 常数项：不含字母的项。
【注意】（1）多项式的每一项包括它前面的符号．
（2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式
3.多项式的次数：所有项中，次数最高的项的次数就是多项式的次数（最高次数是n次，就叫做n次式）
【注意】（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数．（2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出．
例2-1 .下列式子，，，中，多项式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
总结：此题考查了多项式概念，几个单项式的和是多项式，根据定义正确作出判定是解题关键．
例2-2 .多项式是 次 项式，按的升幂排列为 ．
总结：(1)多项式的项一定包括它的符号；(2)多项式的次数是多项式里次数最高项的次数，而不是各项次数的和；(3)几次项是指多项式中次数是几的项．
例2-3 .已知－5xm＋104xm－4xmy2是关于x、y的六次多项式，求m的值，并写出该多项式．
总结：此题考查了多项式，解题的关键是弄清多项式次数是多项式中次数最高的项的次数．
知识点3 整式
整式：单项式与多项式统称为整式。
【注意】①多项式是由多个单项式构成的；②单项式和多项式的区别在于是否含有加减运算；
③分母中含有字母的式子不是整式（因不是单项式或多项式）
例3-1 .指出下列各式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？
x2＋y2，－x，，10，6xy＋1，，m2n，2x2－x－5，，a7.
总结：(1)分母中含有字母(π除外)的式子不是整式；(2)单项式和多项式都是整式；(3)单项式不含加、减运算，多项式必含加、减运算．
例3-2 .在代数式，，，，，中，是整式的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
知识点4 整式中的规律探究
探索图形与数字规律.探索规律的一般方法：
1.探索规律的主要过程： 特殊 —— 一般 —— 特殊
2.探索规律的步骤：（1） 寻找数量关系； （2） 用代数式表示规律；（3）验证规律
3.类型
（1）周期型
例4-1．有一列数，其中，则（ ）
A． B． C． D．1
递推型
例4-2．一串数字如下：1，，5，，9，…如此下去，则第个数字与第个数字的和等于（　　）
A． B． C．2 D．
例4-3．按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第n个单项式是（ ）
A． B． C． D．
例4-4．用大小相同的☆按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了4个☆，第②个图案用了9个☆，第③个图案用了16个☆，第④个图案用了25个☆，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案中用的☆个数为（ ）

A．77 B．79 C．81 D．83
固定累加型
例4-5 .将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，……，依次规律，第6个图形有（ ）个小圆．
A．40 B．42 C．45 D．46
例4-6.云南少数民族服饰以其精美的花纹和艳丽的色彩越来越受到追求独立与个性的设计师的喜爱．某民族服饰的花边均是由若干个平移形成的有规律的图案，如图，第①个图案由个组成，第②个图案由个中组成，第③个图案由个中组成，…，按此规律排列下去，第个图案中的个数为（ ）
A． B． C． D．
渐变累加型
例4-7.．观察下面一列数：1，，，，，……，按照这个规律，第10个数应该是 ，第n个数是 ．
例4-8．观察下列一组数：，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第个数是 ，第个数是 ．
易错点点拨
易错点1.确定单项式的系数和次数时出错
单项式的系数包括前面的符号,且只与数字因数有关,而次数只与字母有关;确定系数时容易漏掉系数中的“_”号和“π”.确定次数时注意不要把“π”的次数也计算在内，不要把有些数字的次数计算在内。
例1.的系数与次数分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
错解：A
易错点2.混淆多项式次数和单项式次数
不要与单项式的次数混淆,误将所有字母的指数和作为多项式的次数
例2 多项式的项数和次数分别为　　
A．2，7 B．3，8 C．2，8 D．3，15
错解：D
易错点3 多项式的项漏掉符号
多项式的项包括它前面的符号。不要与漏掉项的符号
例3 .对于多项式，下列说法正确的是　　
A．它是三次三项式 B．它的常数项是6
C．它的一次项系数是 D．它的二次项系数是2
错解：B
针对训练
1.单项式
1.代数式 ，，，，， 中，单项式个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2 .的系数与次数分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
3 .填表：
单项式
系数
次数
已知表示的相反数，表示的立方，表示的系数，表示0.6的倒数．
（1）直接写出各字母所表示的数；
（2）计算，，，中所有负数的乘积，并判断结果是否为正整数．
2.多项式
1.在代数式，下列结论正确的是( )
A．有个多项式，个单项式 B．有个多项式，个单项式
C．有个多项式，个单项式 D．有个多项式，个单项式
2.下列说法正确的个数是（ ）
①分别是多项式的项
②关于x的多项式是三次四项式
③若与是同类项，则
④三次多项式中至少有一项为三次单项式
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3..如果多项式是关于x的二次二项式，那么a,b的值可能是(　　)
A． B． C． D．
3 .整式
1.下列式子中，整式有 (填写序号)
① ②0 ③ ④ ⑤ ⑥
2.多项式是关于的三次四项式，且二次项系数是，求 ．
∴．
整式中的规律探究
观察下列等式：，，，，，，，，．回答下面问题：的末位数字是 ．
2.如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，摆第一个图形需要3个黑色棋子，摆第二个图形需要8个黑色棋子，．．．，按照这样的规律摆下去，摆第6个图形需要黑色棋子的个数是 ．
3．用黑、白两种颜色的正六边形地砖按图所示规律铺地面，则第5个图形有 块白色地砖，第个图形有 块白色地砖．
．
4.观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：．
…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)请直接写出第5个等式．
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明．
能力提升
提升1 单项式
1．已知是关于x、y的五次单项式，则m的值为（ ）
A． B．1 C． D．3
2．阅读下面方框内的材料，解答相应的问题：
对称式：一个含有多个字母的式子中，任意交换两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为时，式子的值都不变，这样的式子叫做对称式例如：式子中任意两个字母交换位置，可得到式子，，，因为，所以是对称式而式子中字母，交换位置，得到式子，因为，所以不是对称式．
问题：
(1)给出下列式子：，，，，其中是对称式的是______填序号即可；
(2)写出一个系数为，只含有字母，且次数为的单项式，使该单项式是对称式；
写出一个只含有字母，的三次三项式，使该多项式是对称式；
(3)已知，，求，并直接判断所得结果是否是对称式．
3．已知a是最大的负整数，b是多项式的次数，c是单项式的系数，且a，b，c分别是点A，B，C在数轴上对应的数．
(1)求a，b，c的值，并在数轴上标出点A，B，C；

(2)若动点P、Q同时分别从点A、B出发沿数轴负方向运动，点P的速度是每秒个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，求运动几秒后，点Q可以追上点P？
(3)在数轴上找一点M，使点M到A，B，C三点的距离之和等于10，请直接写出所有点M对应的数．（不必说明理由）
提升2多项式
1.若是五次单项式，是三次二项式，则= ．
2 .已知关于，的多项式是六次四项式，常数项是2．求，的值．
3.若关于x的多项式－5x3－mx2＋(n－1)x－1不含二次项和一次项，求m、n的值．
提升3整式
1.已知多项式是关于x、y的四次四项式，则的值为 ．
2..若是一个五次二项式，则 .
提升4整式中的规律探究
生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示．即：，，，，，，请你推算的个位数字是 ．
2.．观察下列等式：
① ② ③……
那么第n（n为正整数）个等式为（ ）
A． B．
C． D．
3．观察下列式子：
；
；
；
；
(1)猜想： ； ；
(2)根据以上发现的规律计算：，并直接写出计算结果的个位数字．
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第十四讲 整式（解析版）
一、知识点导航
知识点归纳
知识点1 单项式
1. 单项式的概念
单项式：数或字母的积。（单独的一个数或一个字母也是单项式）。例：5x；100；x；10ab等
【注意】（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母．
（2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成。但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积．
2.单项式的系数：单项式中的数字叫做单项式的系数。例：的系数为。
【注意】（1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数；
（2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数；
（3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成．
3.单项式的次数：一个单项式中所有字母的指数的和。例： 的次数为3次。
【注意】
单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点：
（1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏；
（2）不能将数字的指数一同计算．
例1-1 .代数式，，，，，中，单项式的个数是（ ）．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】本题主要考查了单项式的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．
【详解】解：在代数式，，，，，中，单项式有，，，，共4个，
故选：C．
总结：数与字母的积的形式的代数式是单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．分母中含字母的不是单项式，分子中含加、减运算的式子也不是单项式．
例1-2 .下列说法中正确的是(　　)
A．不是单项式 B．的系数是
C．的系数是，次数是4 D．的系数为0，次数为2
【答案】C
【分析】本题主要考查了单项式的次数与系数以及单项式的定义，根据单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，进而得出答案．
【详解】解：A．是单项式，原说法错误，不符合题意；
B．的系数是，原说法错误，不符合题意；
C．的系数是，次数是4，原说法正确，符合题意；
D．的系数为1，次数为3，原说法错误，不符合题意；
故选：C．
总结：(1)当单项式的系数是1或－1时，“1”通常省略不写；单项式的系数是带分数时，通常写成假分数．单项式的系数包括前面的符号．(2)我们把常数项的次数看做0.确定单项式的次数时，单项式中单独一个字母的指数1不能忽略，如－3x3y，它的指数是4而不是3.(3)π是圆周率，是一个确定的数，不是字母．
例1-3 .用单项式表示下列各式，并指出其系数和次数．
(1)王明同学买2本练习册花了n元，那么买m本练习册要花多少元？
(2)正方体的棱长为a，那么它的表面积是多少？体积呢？
解析：(1)根据买2本练习册花了n元，得出买1本练习册花元，再根据买了m本练习册，即可列出算式，再根据系数、次数的定义进行解答即可；
(2)根据正方体的棱长为a和表面积公式、体积公式列出式子，再根据系数、次数的定义进行解答．
解：(1)∵买2本练习册花了n元，
∴买1本练习册花元，∴买m本练习册要花mn元，∴它的系数是，次数是2；
(2)∵正方体的棱长为a，
∴它的表面积是6a2，系数是6，次数是2；
它的体积是a3，系数是1，次数是3.
总结：此题考查了列代数式，用到的知识点是系数、次数、正方形的表面积公式、体积公式，根据题意列出式子是本题的关键．
知识点2 多项式
1. 多项式的有关概念
多项式：几个单项式的和。
【注意】“几个”是指两个或两个以上．
2.项：每个单项式叫做多项式的项，有几项，就叫做几项式。 常数项：不含字母的项。
【注意】（1）多项式的每一项包括它前面的符号．
（2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式
3.多项式的次数：所有项中，次数最高的项的次数就是多项式的次数（最高次数是n次，就叫做n次式）
【注意】（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数．（2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出．
例2-1 .下列式子，，，中，多项式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据多项式的定义，逐一判断，即可求解，本题考查了多项式的定义，解题的关键是：熟练掌握多项式定义．
【详解】解：是单项式，是多项式，是分式，是多项式，
其中多项式有2个，
故选：．
总结：此题考查了多项式概念，几个单项式的和是多项式，根据定义正确作出判定是解题关键．
例2-2 .多项式是 次 项式，按的升幂排列为 ．
【答案】 五 四
【分析】本题主要考查了多项式的定义及其次数的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数．
【详解】解：多项式是五次四项式，按的升幂排列为，
故答案为：五；四；
总结：(1)多项式的项一定包括它的符号；(2)多项式的次数是多项式里次数最高项的次数，而不是各项次数的和；(3)几次项是指多项式中次数是几的项．
例2-3 .已知－5xm＋104xm－4xmy2是关于x、y的六次多项式，求m的值，并写出该多项式．
解析：根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数可得m＋2＝6，解得m＝4，进而可得此多项式．
解：由题意得m＋2＝6，
解得m＝4，
此多项式是－5x4＋104x4－4x4y2.
总结：此题考查了多项式，解题的关键是弄清多项式次数是多项式中次数最高的项的次数．
知识点3 整式
整式：单项式与多项式统称为整式。
【注意】①多项式是由多个单项式构成的；②单项式和多项式的区别在于是否含有加减运算；
③分母中含有字母的式子不是整式（因不是单项式或多项式）
例3-1 .指出下列各式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？
x2＋y2，－x，，10，6xy＋1，，m2n，2x2－x－5，，a7.
解析：根据整式、单项式、多项式的概念和区别来进行判断．
解：，的分母中含有字母，既不是单项式，也不是多项式，更不是整式．
单项式有：－x，10，m2n，a7；
多项式有：x2＋y2，，6xy＋1，2x2－x－5；
整式有：x2＋y2，－x，，10，6xy＋1，m2n，2x2－x－5，a7.
总结：(1)分母中含有字母(π除外)的式子不是整式；(2)单项式和多项式都是整式；(3)单项式不含加、减运算，多项式必含加、减运算．
例3-2 .在代数式，，，，，中，是整式的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【分析】本题考查了整式，掌握单项式和多项式统称为整式，分母中含有字母的式子是分式不是整式是解题的关键．
根据单项式和多项式统称为整式，可得答案．
【详解】解：是整式的有，，，，所以有4个，
故选：B．
知识点4 整式中的规律探究
探索图形与数字规律.探索规律的一般方法：
1.探索规律的主要过程： 特殊 —— 一般 —— 特殊
2.探索规律的步骤：（1） 寻找数量关系； （2） 用代数式表示规律；（3）验证规律
3.类型
（1）周期型
例4-1．有一列数，其中，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】本题考查了数字规律的探索，含乘方的有理数计算，根据已知分别求出的值，可以发现结果为，，，，，，每三个一循环，根据即可得出结果．
【详解】解：，，，，
这列数是，，，，，，且这列数是每三个一循环的，
，，
，
故选：A．
递推型
例4-2．一串数字如下：1，，5，，9，…如此下去，则第个数字与第个数字的和等于（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】本题考查了数字的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键．
由题意可推导一般性规律为，第个数为，则第个数字为，第个数字为，然后求和作答即可．
【详解】解：∵1，，5，，9，…，
∴可推导一般性规律为，第个数为，
∴第个数字为，第个数字为，
∴第个数字与第个数字的和等于，
故选：B．
例4-3．按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第n个单项式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了数字的变化类，分别从系数，字母的指数两个方面进行找规律．
【详解】解：，
，
，
，
第n个为：；
故选：D．
例4-4．用大小相同的☆按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了4个☆，第②个图案用了9个☆，第③个图案用了16个☆，第④个图案用了25个☆，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案中用的☆个数为（ ）

A．77 B．79 C．81 D．83
【答案】C
【分析】本题主要考查了图形变化规律探究．根据前几个图形，发现☆的个数规律为，据此规律求解即可．
【详解】解：由图可知：第①个图案用了☆的个数为，
第②个图案用了☆的个数为，
第③个图案用了☆的个数为，
第④个图案用了☆的个数为，
……
第个图案用了☆的个数为，
当时时，．
故选：C．
固定累加型
例4-5 .将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，……，依次规律，第6个图形有（ ）个小圆．
A．40 B．42 C．45 D．46
【答案】D
【分析】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．分析数据可得：第1个图形中小圆的个数为6；第2个图形中小圆的个数为10；第3个图形中小圆的个数为16；第4个图形中小圆的个数为24；则知第个图形中小圆的个数为，据此可得．
【详解】解：由题意可知第1个图形有小圆个；
第2个图形有小圆个；
第3个图形有小圆个；
第4个图形有小圆个；
第6个图形有小圆个，
故选：D
例4-6.云南少数民族服饰以其精美的花纹和艳丽的色彩越来越受到追求独立与个性的设计师的喜爱．某民族服饰的花边均是由若干个平移形成的有规律的图案，如图，第①个图案由个组成，第②个图案由个中组成，第③个图案由个中组成，…，按此规律排列下去，第个图案中的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是发现基础图形数量的变化规律．根据所给图形总结规律即可．
【详解】解：第个图案由个基础图形组成，
第个图案由个基础图形组成，即，
第个图案由个基础图形组成，，
，
第个图案中基础图形的个数为：，
故选：D．
渐变累加型
例4-7.．观察下面一列数：1，，，，，……，按照这个规律，第10个数应该是 ，第n个数是 ．
【答案】
【分析】本题考查数字类规律探索，解题的关键是根据题目的变化规律得到相应的结果．
观察可得满足：奇数项为正，偶数项为负，第n个数的分母为，分子比分母小，由此得出规律即可求解．
【详解】解：解：观察可得，当时，第n个数为，
则第10个数为：，
故答案为：．
例4-8．观察下列一组数：，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第个数是 ，第个数是 ．
【答案】
【分析】本题考查数字的变化规律，根据题目中的数字，可以发现数字的分子和分母的变化特点，从而可以写出第个数，解题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出相应的数字．
【详解】解：，，，，…，
这组数为：，，，…，
这一组数的第个数是，第个数是，
故答案为：，．
易错点点拨
易错点1.确定单项式的系数和次数时出错
单项式的系数包括前面的符号,且只与数字因数有关,而次数只与字母有关;确定系数时容易漏掉系数中的“_”号和“π”.确定次数时注意不要把“π”的次数也计算在内，不要把有些数字的次数计算在内。
例1.的系数与次数分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
错解：A
正解：
【答案】B
【分析】本题考查了单项式的系数与次数的概念，掌握定义是解题的关键．单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．利用单项式系数和次数的概念求解即可．
【详解】解：的系数与次数分别为，，
故选：B．
易错点2.混淆多项式次数和单项式次数
不要与单项式的次数混淆,误将所有字母的指数和作为多项式的次数
例2 多项式的项数和次数分别为　　
A．2，7 B．3，8 C．2，8 D．3，15
错解：D
正解：
【分析】多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数，根据这个定义即可判定．
【解答】解：是八次三项式，故项数是3，次数是8．
故选：．
【点评】此题考查了多项式的定义．解题的关键是掌握多项式的有关定义，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．
易错点3 多项式的项漏掉符号
多项式的项包括它前面的符号。不要与漏掉项的符号
例3 .对于多项式，下列说法正确的是　　
A．它是三次三项式 B．它的常数项是6
C．它的一次项系数是 D．它的二次项系数是2
错解：B
正解
【分析】利用多项式相关定义进行解答即可．
【解答】解：、它是二次三项式，故原题说法错误；
、它的常数项是，故原题说法错误；
、它的一次项系数是，故原题说法正确；
、它的二次项系数是1，故原题说法错误；
故选：．
【点评】此题主要考查了多项式，关键是掌握几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．
针对训练
1.单项式
1.代数式 ，，，，， 中，单项式个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了单项式的知识，根据单项式的概念求解“数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式”．
【详解】代数式 ，，，，， 中，，是单项式，共2个，
故选：B．
2 .的系数与次数分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【分析】本题考查了单项式的系数与次数的概念，掌握定义是解题的关键．单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．利用单项式系数和次数的概念求解即可．
【详解】解：的系数与次数分别为，，
故选：B．
3 .填表：
单项式
系数
次数
【答案】,,,,,6,2,3,8,1
【分析】先找出每个单项式中所有字母的指数，然后分别求得每个单项式中所有字母的指数和即可得到每个单项式的次数，据此完成表格．
【详解】
单项式
系数
次数 6 2 3 8 1
【点睛】本题主要考查的是单项式的概念，掌握单项式的系数和次数的定义是解题的关键．
已知表示的相反数，表示的立方，表示的系数，表示0.6的倒数．
（1）直接写出各字母所表示的数；
（2）计算，，，中所有负数的乘积，并判断结果是否为正整数．
【分析】（1）根据相反数、立方、单项式的系数、倒数的概念解答即可；
（2）根据有理数的乘法法则、正整数的概念解答．
【解答】解：（1），，，；
（2）由题意得：，4是正整数，
所有负数的乘积结果是正整数．
【点评】本题考查的是相反数、立方、单项式的系数、倒数，熟记它们的概念是解题的关键．
2.多项式
1.在代数式，下列结论正确的是( )
A．有个多项式，个单项式 B．有个多项式，个单项式
C．有个多项式，个单项式 D．有个多项式，个单项式
【答案】A
【分析】根据多项式和单项式概念，逐个分析判断即可．本题考查了多项式和单项式的概念，看清两个分式是关键．
【详解】解：在代数式中，
多项式有：，，共计个，
单项式有：，，，共计个，
故选：A．
2.下列说法正确的个数是（ ）
①分别是多项式的项
②关于x的多项式是三次四项式
③若与是同类项，则
④三次多项式中至少有一项为三次单项式
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据多项式的项与次数的定义、同类项的定义、一元一次方程的应用逐个判断即可得．
【详解】解：①分别是多项式的项，则原说法错误；
②当时，关于的多项式是三次三项式，则原说法错误；
③若与是同类项，则，即，则原说法正确；
④三次多项式中至少有一项为三次单项式，则原说法正确；
综上，说法正确的个数是2个，
故选：B．
【点睛】本题考查多项式的次数与项、同类项、一元一次方程的应用，熟记多项式的相关知识是解题关键．
3..如果多项式是关于x的二次二项式，那么a,b的值可能是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了多项式的定义，多项式的项的定义及次数的定义，由此多余的项的系数应为0，据此解答．
【详解】∵多项式是关于x的二次二项式，
∴
得
故选C．
3 .整式
1.下列式子中，整式有 (填写序号)
① ②0 ③ ④ ⑤ ⑥
【答案】①②③④⑤
【分析】此题主要考查了整式的定义，直接利用单项式和多项式统称为整式，进而判断得出答案．
【详解】解：①是单项式，也是整式；
②0是单项式，也是整式；
③是多项式，也是整式；
④是单项式，也是整式；
⑤是多项式，也是整式；
⑥分母中有字母，不是整式；
故答案为：①②③④⑤．
2.多项式是关于的三次四项式，且二次项系数是，求 ．
【答案】
【分析】本题考查多项式的知识，解题的关键是掌握多项式的定义，根据题意，则，求出，，即可．
【详解】∵是关于的三次四项式，二次项系数是，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
整式中的规律探究
观察下列等式：，，，，，，，，．回答下面问题：的末位数字是 ．
【答案】4
【分析】本题考查了数字型规律的探究．2的个位数字为2；的个位数字为6；的个位数字为4；的个位数字为0；的个位数字为2；确定循环节为4，计算，确定末位数字即可．
【详解】解：2的个位数字为2；
的个位数字为6；
的个位数字为4；
的个位数字为0；
的个位数字为2；
所以循环节为4，
因为，
所以的末位数字是4．
故答案为：4．
2.如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，摆第一个图形需要3个黑色棋子，摆第二个图形需要8个黑色棋子，．．．，按照这样的规律摆下去，摆第6个图形需要黑色棋子的个数是 ．
【答案】48
【分析】本题考查图形类规律探索，根据已知图形找出数字变化规律，利用规律求解．
【详解】解：由图可知，第1个图形需要3个黑色棋子，；
第2个图形需要8个黑色棋子，；
第3个图形需要15个黑色棋子，；
第4个图形需要24个黑色棋子，；
……
以此类推，第n个图形需要黑色棋子个数为，
因此摆第6个图形需要黑色棋子的个数是，
故答案为：48．
3．用黑、白两种颜色的正六边形地砖按图所示规律铺地面，则第5个图形有 块白色地砖，第个图形有 块白色地砖．
【答案】 22
【分析】本题考查了规律型图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律，总结规律，运用规律．
根据图示，第1个图形有白色地砖6块；第2个图形有白色地砖（块；第3个图形有白色地砖（块；．．；第5个图形白色地砖的块数：（块；；第个图形白色地砖的块数：块．据此解答．
【详解】解：第1个图形有白色地砖6块，
第2个图形有白色地砖（块，
第3个图形有白色地砖（块，
第5个图形白色地砖的块数：（块，
第个图形白色地砖的块数：块，
答：第5个图形有22块白色地砖，第个图形有块白色地砖．
故答案为：22；．
4.观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：．
…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)请直接写出第5个等式．
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明．
【答案】(1)
(2)，见解析
【分析】本题考查的是数字的变化规律和列代数式，从题目中找出数字间的变化规律是解题的关键．
（1）根据上述等式，即可得出第5个等式：．
（2）第个等式：，证明等式左边等式右边即可．
【详解】（1）解：根据上述等式，可知第5个等式：．
（2）解：第个等式：，
证明：等式左边，
∴等式左边等式右边，
∴等式成立．
能力提升
提升1 单项式
1．已知是关于x、y的五次单项式，则m的值为（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】B
【分析】本题考查单项式的次数的概念，绝对值的概念，掌握以上知识点是解题的关键，注意单项式的系数不是0．
一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，绝对值等于一个正数的数有两个，它们互为相反数，单项式的系数不是0，由此即可得到答案．
【详解】解：是关于、的五次单项式，
，
，
或，
，
，
故选：B．
2．阅读下面方框内的材料，解答相应的问题：
对称式：一个含有多个字母的式子中，任意交换两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为时，式子的值都不变，这样的式子叫做对称式例如：式子中任意两个字母交换位置，可得到式子，，，因为，所以是对称式而式子中字母，交换位置，得到式子，因为，所以不是对称式．
问题：
(1)给出下列式子：，，，，其中是对称式的是______填序号即可；
(2)写出一个系数为，只含有字母，且次数为的单项式，使该单项式是对称式；
写出一个只含有字母，的三次三项式，使该多项式是对称式；
(3)已知，，求，并直接判断所得结果是否是对称式．
【答案】(1)
(2)，
(3)不是对称式
【分析】本题考查了整式的加减，理解对称式的概念是解题的关键．
（1）根据对称式定义逐项判断即可；
（2）①根据对称式定义和题目上的条件，写出对称式即可；根据对称式定义和题目上的条件，写出对称式即可；
（3）将整式化简后，按照对称式定义进行验证即可．
【详解】（1）解：根据对称式的定义：，故是对称式；，故不是对称式；，故是对称式．
故答案为：；
（2）解：①根据题意可写出对称式为：；
根据对称式定义和题目上的条件，写出对称式为：，
（3）解：
；
根据对称式的定义，可知不是对称式．
3．已知a是最大的负整数，b是多项式的次数，c是单项式的系数，且a，b，c分别是点A，B，C在数轴上对应的数．
(1)求a，b，c的值，并在数轴上标出点A，B，C；

(2)若动点P、Q同时分别从点A、B出发沿数轴负方向运动，点P的速度是每秒个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，求运动几秒后，点Q可以追上点P？
(3)在数轴上找一点M，使点M到A，B，C三点的距离之和等于10，请直接写出所有点M对应的数．（不必说明理由）
【答案】(1)，，，图见解析
(2)运动4秒后，点Q可以追上点P．
(3)M对应的数是或
【分析】（1）先根据负整数的定义、多项式和单项式的相关概念求出的值，再根据数轴的定义在数轴上标出点即可；
（2）设运动秒后，点Q可以追上点P，先根据数轴上两点间的距离求出AB的长，再根据“路程速度时间”建立等式求解即可；
（3）设点M对应的数为k，分四种情况：点M在点C左侧；点M在点C与点A中间；点M在点A与点B中间；点M在点B右侧；分别根据数轴上两点间的距离公式列出等式求解即可．
【详解】（1）解：是最大的负整数，
，
是多项式的次数，
，
是单项式的系数，
，
综上，，，；
在数轴上标出点如下图所示：
；
（2）解：设运动秒后，点Q可以追上点P，
由数轴的性质得，，
由题意得，，
解得，
故运动4秒后，点Q可以追上点P；
（3）设点M对应的数为k
由题意，分以下四种情况：
①点M在点C左侧，即
则，即
解得，符合题设
②点M在点C与点A中间，即
则，即
解得，不符题设，舍去
③点M在点A与点B中间，即
则，即
解得，符合题设
④点M在点B右侧，即
则，即
解得，不符题设，舍去
综上，存在符合条件的点M，点M对应的数是或2．
【点睛】本题考查了数轴的定义、多项式和单项式的相关概念，较难的是题（3），依据题意，正确分四种情况讨论是解题关键．
提升2多项式
1.若是五次单项式，是三次二项式，则= ．
【答案】
【分析】此题考查了单项式的次数和多项式的定义，根据单项式的次数和多项式的次数得到，即可得到答案．
【详解】解：若是五次单项式，是三次二项式，
∴，
∴，
∴
故答案为：
2 .已知关于，的多项式是六次四项式，常数项是2．求，的值．
【分析】利用多项式与单项式的次数与系数的确定方法得出，是解题关键．
【解答】解：多项式是六次四项式，常数项是2，
，，
解得：．
【点评】本题主要考查了多项式与单项式的次数，利用多项式与单项式的次数与系数的确定方法得出，是解题关键．
3.若关于x的多项式－5x3－mx2＋(n－1)x－1不含二次项和一次项，求m、n的值．
解析：多项式不含二次项和一次项，则二次项和一次项系数为0.
解：∵关于x的多项式－5x3－mx2＋(n－1)x－1不含二次项和一次项，
∴m＝0，n－1＝0，则m＝0，n＝1.
方法总结：多项式不含哪一项，则哪一项的系数为0.
提升3整式
1.已知多项式是关于x、y的四次四项式，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查代数式求值，根据题意，得到，进而得到，然后利用整体代入法，求值即可，解题的关键是得到．
【详解】解：∵多项式是关于x、y的四次四项式，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
2..若是一个五次二项式，则 .
【答案】0
【分析】本题考查多项式的次数和项数，由题意知中只含2个单项式，可得，进而可得m的值．掌握多项式的次数和项数的定义是解题的关键．
【详解】解： 是一个五次二项式，
中只含2个单项式，
，
时，，不合题意，
．
提升4整式中的规律探究
生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示．即：，，，，，，请你推算的个位数字是 ．
【答案】6
【分析】本题考查了数字类变化规律，由题意得个位数字每四个数按，，，循环出现，结合，即可得出答案．
【详解】解：由题意得，个位数字每四个数按，，，循环出现，
∵，
∴的个位数字与相同，是，
故答案为：．
2.．观察下列等式：
① ② ③……
那么第n（n为正整数）个等式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了数字的变化规律，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．分别观察等式左边第一个数，第二个数，右边的后一个因数之间的关系，可归纳出规律；
【详解】解：①，
②，
③……
……
第n（n为正整数）个等式为，
故选：D．
3．观察下列式子：
；
；
；
；
(1)猜想： ； ；
(2)根据以上发现的规律计算：，并直接写出计算结果的个位数字．
【答案】(1)，；
(2)，4
【分析】本题考查了找规律，以及含乘方的有理数混合运算，解题的关键在于根据示例找出运算规律．
（1）由题易得运算规律为 ，再分别表示和即可；
（2）先将表示为题干规律形式，在寻找的个位数规律即可解题．
【详解】（1）解：由题可知：运算规律为 ，
，
，
故答案为：，；
（2）解：根据题规律可得：，
，，，，，，，，
的个位数变化规律为2、4、8、6，4个数字为一个循环，
，
的个位数字为6，
的个位数字为4．
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