课件14张PPT。19.1矩形
1.矩形的性质第十九章第1课时 矩形的性质1．有一个角是直角的________叫做矩形．作为特殊的平行四边形，矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴为通过对边________的直线．
2．矩形的四个角都是________；矩形的对角线________．矩形的定义平行四边形中点直角相等1．(3分)如图，不含阴影部分的矩形的个数是( )
A．15 B．16 C．17 D．18
2．(3分)已知矩形两邻边之比为3∶4，若矩形的周长为70 cm，则矩形的面积为________．C 300 cm2矩形的角的性质CA证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，AB＝CD.∵E是AD的中点，∴AE＝DE，∴△ABE≌△DCE，∴BE＝CE.∴∠EBC＝∠ECB.矩形的对角线的性质6．(3分)下列说法不正确的是( )
A．矩形的四个内角都是直角
B．矩形的对角线相等且互相平分
C．矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形
D．矩形的对角线互相垂直
7．(3分)在下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的是( )
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线相等 D．对边平行DCA121638盆B DB7 16∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠D＝∠B＝90°，又∵BE＝DF，∴△ADF≌△CBE(SAS)，∴AF＝CE证四边形BDCE是平行四边形，得CE＝BD，又∵AC＝BD，∴AC＝CE(1)∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC，∠DAE＋∠BAF＝90°，∠B＝90°，又∵DE⊥AF，∴∠AED＝90°，∠DAE＋∠ADE＝90°，∴∠B＝∠AED，∠BAF＝∠EDA，又∵AF＝BC，∴AF＝AD，∴△ABF≌△DEA
(2)∵△ABF≌△DEA，∴DE＝AB.又∵AB＝DC，∴DE＝DC.又∵DE⊥AF，DC⊥BC，∴DF平分∠EDC课件12张PPT。19.1矩形
1.矩形的性质第十九章第2课时 矩形性质的应用通常我们可以利用矩形的性质来计算角的度数、线段的长度，解决与面积有关的问题等．利用矩形的性质计算角的度数1．(3分)如果矩形的两条对角线所夹角为44°，那么对角线与相邻两边所夹的角分别是( )
A．22°，68° B．44°，66°
C．24°，66° D．40°，50°AC(1)∠ACE＝30°
(2)在△AOB中，∠OAB＝∠BAE＋∠EAC＝60°.∵AO＝AC，BO＝BD，AC＝BD，∴AO＝BO，∴△AOB是等边三角形，∴BO＝AB.在Rt△ABE中，∠BAE＝∠AEB，∴BA＝BE，∴BO＝BE. 利用矩形的性质计算线段的长度CC利用矩形的性质解决与面积有关的问题5S△ABE∶S梯形AECD＝5∶11BCD22.5°67.5°45°解：连结AB，EF，它们相交于点C，作射线OC，则射线OC即为∠AOB的平分线．图略．理由：∵四边形AEBF是矩形，∴CA＝CB，∴由等腰三角形的“三线合一”的性质知，OC平分∠AOB.课件16张PPT。19.1矩形
2.矩形的判定第十九章矩形的判定方法：有一个角是________的平行四边形叫做矩形；有三个角是________的四边形是矩形；对角线________的平行四边形是矩形．有三个角是直角的四边形是矩形直角直角相等C矩有一个角是直角的平行四边形是矩形矩形有一个角是直角的平行四边形是矩形∠BAC＝90°6．(6分)如图，在?ABCD中，点M为CD边的中点，△ABM是等边三角形．
求证：?ABCD是矩形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC.∵△ABM是等边三角形，∴AM＝BM.∵点M是边CD的中点，∴DM＝CM，∴△ADM≌△BCM，∴∠ADM＝∠BCM.∵AD∥BC，∴∠ADM＋∠BCM＝180°，∴∠ADC＝90°，∴?ABCD是矩形．对角线相等的平行四边形是矩形90是3证明：∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，BD＝DC，∠BAD＝∠DAC.∵AE是△ABC的外角平分线，∴∠FAE＝∠CAE，∴∠DAE＝90°，∴AE∥BC.∵DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)，∴AE＝BD＝DC，AE∥DC，AB＝DE，∴四边形ADCE是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)．∵AC＝AB＝DE，∴平行四边形ADCE是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)．A对角线相等的平行四边形是矩形BC＝2AB(1)∵四边形ABDE是平行四边形，∴AB∥DE，AB＝DE，∠B＝∠EDC.又∵AB＝AC，∴AC＝DE，∠B＝∠ACB，∴∠EDC＝∠ACD.又∵DC＝CD，∴△ADC≌△ECD(SAS)
(2)∵四边形ABDE是平行四边形，∴BD∥AE，BD＝AE，∴AE∥CD.又∵BD＝CD，∴AE＝CD，∴四边形ADCE是平行四边形，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是矩形连结EC，BD，易证△ABE≌△ACD.∴EB＝DC.又∵ED＝BC，∴四边形BCDE是平行四边形．又易证△AEC≌△ADB，∴EC＝DB.∴四边形BCDE是矩形(1)∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∵CE平分∠ACB，∴∠OCE＝∠BCE，∴∠OEC＝∠OCE，∴OE＝OC，同理OF＝OC，∴OE＝OF
(2)当点O运动到AC的中点(或OA＝OC)时，四边形AECF是矩形．证明：如图，∵CE平分∠BCA，∴∠1＝∠2.又∵MN∥BC，∴∠1＝∠3，∴∠3＝∠2，∴EO＝CO，同理FO＝CO，∴EO＝FO.又∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形，又∵∠1＝∠2，∠4＝∠5，∴∠1＋∠5＝∠2＋∠4，∵∠1＋∠5＋∠2＋∠4＝180°，∴∠2＋∠4＝90°，∴四边形AECF是矩形课件14张PPT。19.1菱形
1.菱形的性质第十九章第1课时 菱形的性质1．________________________的平行四边形是菱形．
2．菱形的四条边都________，菱形的两条对角线互相________．
3．菱形的面积与两条对角线的关系是____________．菱形的定义有一组邻边相等相等垂直菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半BC140°BC的长为2 cm菱形的对角线的性质DA 28°菱形的边长为5菱形的对称性C轴中心BC A12016解：连结BD，则AC⊥BD.因为EF⊥AC，所以EF∥BD.因为AB∥CF，所以四边形EFDB是平行四边形，所以EB＝DF＝2.因为E是AB的中点，所以AB＝2EB＝4，所以菱形ABCD的周长＝4AB＝16.∵DE∥AC，CE∥BD∴四边形DOCE为平行四边形．又∵四边形ABCD为菱形，∴OD⊥OC，DC＝BC，∴四边形DOCE为矩形，∴OE＝DC，∴OE＝BC课件13张PPT。19.2菱形
1.菱形的性质第十九章第2课时 运用菱形有关知识进行计算和说理通常我们可以利用菱形的性质计算角的度数、线段的长度、图形的面积等． 利用菱形的性质计算角的度数1．(4分)已知菱形的周长为16 cm，一条对角线长为4 cm，则菱形的四个角分别为( )
A．30°，150°，30°，150° B．60°，120°，60°，120°
C．45°，135°，45°，135° D．以上都不对B∠AFO＝75°利用菱形的性质计算线段的长度C 利用菱形的性质计算图形面积CA12(1)S＝ab
(2)菱形ABCD的面积为6 cm2，周长为10 cmA72 DF的长为30 菱形ADEF的周长为68，面积为240解：CE＝CF.理由如下：∵S菱形ABCD＝CE·AB＝CF·AD，且AD＝AB，∴CE＝CF.课件16张PPT。19.2菱形
2.菱形的判定第十九章菱形的判定方法：①有一组________的平行四边形是菱形；②四条边都________的四边形是菱形；③对角线________的平行四边形是菱形．有一组邻边相等的平行四边形是菱形邻边相等相等互相垂直C菱形菱20 cm2四条边都相等的四边形是菱形菱 菱形四条边都相等的四边形是菱形7．(8分)在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，对角线AC平分∠DAB.
求证：四边形ABCD是菱形．证明：∵AB＝CD，BC＝AD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC.∵AC平分∠DAB，∴∠BAC＝∠DAC，∴∠BAC＝∠ACB.∴AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形． 对角线互相垂直的平行四边形是菱形8．(3分)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是( )
A．BA＝BC B．AC，BD互相平分
C．AC＝BD D．AB∥CDB9．(8分)如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，点E为AD延长线上一点，CF∥BE且交AD于点F，连结BF，BE，CE.
求证：四边形BECF是菱形．证明：因为AB＝AC，AD平分∠BAC，所以AD⊥BC，BD＝CD.因为CF∥BE，所以∠FCD＝∠EBD.又因为∠FDC＝∠EDB＝90°，所以△BED≌△CFD(ASA)，所以DE＝DF.因为BD＝CD，所以四边形BECF是平行四边形．又因为FE⊥BC，所以四边形BECF是菱形．A BAB＝CD证明：(1)∵AB∥CD，CE∥AD，∴四边形AECD是平行四边形．∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，又∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴DA＝DC，∴四边形AECD是菱形
(2)△ABC是直角三角形．理由：由(1)得AE＝EC，∴∠EAC＝∠ECA.又∵E是AB的中点，∴EB＝EA＝EC，∴∠B＝∠ECB，而∠EAC＋∠ECA＋∠B＋∠ECB＝180°，∴∠ECA＋∠ECB＝90°，即∠ACB＝90°，∴△ABC是直角三角形证明：∵∠BCA＝∠EHA＝90°，AE平分∠BAC，∴EC＝EH.又∵∠CAE＋∠AEC＝90°，∠EAD＋∠AFD＝90°，∠AFD＝∠CFE.∴∠CEF＝∠CFE.∴CF＝CE.∴CE＝CF＝EH.又∵CD⊥AB，EH⊥AB，∴CD∥EH.∴四边形CFHE是菱形(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C＝90°，AB＝DC，AD＝BC.∵M，N分别是AD，BC的中点，∴AM＝NC，∴△MBA≌△NDC
(2)四边形MPNQ是菱形．理由：∵△MBA≌△NDC，∴MB＝DN，∠ABM＝∠CDN.∵P，Q分别是BM，DN的中点，∴PM＝NQ，∵∠ABM＋∠CBM＝90°，∠CDN＋∠CND＝90°，∴∠CBM＝∠CND，∴PM∥NQ，∴四边形MPNQ是平行四边形．连结MN，由题意可得四边形AMNB是矩形，PN为直角△MNB斜边上的中线，故PN＝MP，∴四边形MPNQ是菱形解：
(1)平行四边形，理由：由SAS可证△DBE≌△ABC≌△FEC，∴AD＝AB＝EF，DE＝AC＝AF，∴四边形ADEF是平行四边形
(2)∠BAC＝150°
(3)AB＝AC≠BC
(4)∠BAC＝60°课件14张PPT。19.3正方形第十九章1．正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形，它的四条边都________，四个角都是________，对角线______________________．
2．正方形的判定方法：
(1)有一个角是________的菱形是正方形；
(2)有一组邻边________的矩形是正方形．正方形的性质相等直角相等且互相垂直平分直角相等C C C D16正方形的判定DB 证明：过点D作DG⊥AB于点G，∵∠C＝90°，DE⊥BC，DF⊥AC，∴四边形DECF是矩形，∵BD平分∠ABC，DG⊥AB，DE⊥BC，∴DE＝DG.同理：DG＝DF，∴DE＝DF，∴四边形CEDF是正方形AAA∠BAD＝90°①②④⑤证明：延长DC至点E′，使CE′＝AE，连结BE′，易证△ABE≌△CBE′，∴BE＝BE′，AE＝CE′，∠CBE′＝∠ABE.再证∠BFC＝∠E′BF＝∠ABE＋∠EBF，∴BE′＝E′F，∴BE＝E′F＝CF＋CE′＝CF＋AE证明：∵OE＝OG，∠AOB＝∠BOC＝90°，OB＝OC，∴△BOE≌△COG，∴∠OCG＝∠EBO，又∵∠EBO＋∠BEO＝90°，∴∠OCG＋∠BEO＝90°，∴CG⊥BE当∠A＝45°时，四边形BECF是正方形，理由：∵EF垂直平分BC，∴BE＝EC，BF＝CF.∵CF＝BE，∴BE＝EC＝CF＝BF，∴四边形BECF是菱形．∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，∴∠EBC＝45°，∴∠EBF＝2∠EBC＝2×45°＝90°，∴菱形BECF是正方形∵∠CED是△BCE的外角，∠AED是△ABE的外角，∴∠CED＝∠CBE＋∠BCE，∠AED＝∠BAE＋∠ABE，∵∠BAE＝∠BCE，∠AED＝∠CED，∴∠CBE＝∠ABE.∴△CBE≌△ABE(AAS)，∴AB＝CB，∵四边形ABCD是矩形∴四边形ABCD是正方形课件10张PPT。矩形折叠问题专题7∠BDC＝55°AD＝6 cm解：延长HP交AB于点M，则PM⊥AB.∵∠1＝∠2，PG⊥AB′，∴PM＝PG.∵CD∥AB，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴AE＝CE＝8－3＝5.在Rt△ADE中，DE＝3，∴AD＝＝4.∵PH＋PM＝AD，∴PG＋PH＝AD＝4.∵AD边的长是固定不变的，∴PG＋PH是定值．30 cm2AF∶DF＝1∶25.1 cm2解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠CFE＝∠FEA.又∠CEF＝∠FEA，∴∠CEF＝∠CFE，∴EC＝FC.由折叠的性质，得GC＝AD＝BC.在Rt△FGC和Rt△EBC中，EC＝FC，GC＝BC，∴△FGC≌△EBC
(2)由(1)知，DF＝GF＝BE，所以四边形ECGF的面积＝四边形AEFD的面积＝＝＝16.课件12张PPT。特殊四边形中的数学思想专题9AB＝8 cm BC＝10 cm 解：分两种情况考虑：①当点E在正方形ABCD的外部时，根据等边三角形和正方形的性质可知AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°，∴∠AEB＝(180°－150°)÷2＝75°.②当点E在正方形ABCD的内部时，有AB＝AE，∠EAD＝60°，∴∠BAE＝30°，∴∠AEB＝(180°－150°)÷2＝75°.综上，∠AEB的度数是15°或75°.解：(1)由旋转可知：AC＝CF，BC＝CE，∠ACE＝∠BCF，∴△ACE≌△FCB，∴AE＝BF，∠CAE＝∠CFB，∴AE∥BF.即AE与BF的关系为AE∥BF，AE＝BF.
(2)∵△ACE≌△FCB，∴S△ACE＝S△FCB.∵BC＝CE，∴S△ABC＝S△ACE，同理，S△CEF＝S△BCF，∴S△CEF＝S△BCF＝S△ACE＝S△ABC＝3，∴S四边形ABFE＝3×4＝12(cm2)．
(3)当∠ACB＝60°时，四边形ABFE为矩形．理由：∵BC＝CE，AC＝CF，∴四边形ABFE为平行四边形．当∠ACB＝60°时，∵AB＝AC，∴△ABC为等边三角形，∴BC＝AC，∴AF＝BE，∴四边形ABFE为矩形．AH＝AB解：(1)AH＝AB
(2)成立．证明：如图，延长CB至点E，使BE＝DN.∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠D＝∠ABE＝90°，∴Rt△AEB≌Rt△AND，∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，∴∠EAM＝∠NAM＝45°.又∵AM＝AM，∴△AEM≌△ANM.∵AB，AH分别是△AEM和△ANM对应边上的高，∴AB＝AH.解：(1)如图，分别过点B，D作BF⊥AD，DE⊥AB，垂足分别为F，E，则DE＝BF.∵AD∥BC，AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形．∵∠DAE＝∠BAF，∴Rt△DAE≌Rt△BAF，∴AD＝AB，∴四边形ABCD是菱形． 课件11张PPT。特殊四边形与动点问题专题8解：猜想：AE＝CF，AE∥CF，证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，在△ABE和△CDF中，∵AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，BE＝DF，∴△ABE≌△CDF(SAS)，∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，∵∠AEB＋∠AED＝∠CFD＋∠CFB＝180°，∴∠AED＝∠CFB，∴AE∥CF.解：(1)设从运动开始，经过x s，四边形OCPQ是平行四边形，则OQ＝CP，即10－3x＝x，解得x＝2.5，即从运动开始，经过2.5 s，四边形OCPQ是平行四边形．
(2)四边形OCPQ不可能成为矩形．理由：若四边形OCPQ能成为矩形，则四边形OCPQ的每一个内角均为90°，而已知∠COA＝60°，所以四边形OCPQ不可能成为矩形．
(3)四边形OCPQ不可能成为菱形．理由：若四边形OCPQ成为菱形，则CO＝QO＝CP＝4 cm.∵OA＝10 cm，∴AQ＝10－4＝6(cm)，则点Q运动的时间为6÷3＝2(s)，这时CP＝2×1＝2(cm)，∵CP≠4 cm，∴四边形OCPQ不可能成为菱形．点E的坐标为(1，0)证明：(1)连结AC.∵菱形ABCD中，∠B＝60°，∴AB＝BC＝CD，∠BCD＝180°－∠B＝120°，∴△ABC是等边三角形．∵E是BC的中点，∴AE⊥BC.∵∠AEF＝60°，∴∠FEC＝90°－∠AEF＝30°，∴∠CFE＝180°－∠FEC－∠BCD＝180°－30°－120°＝30°，∴∠FEC＝∠CFE，∴EC＝CF.∴BE＝DF.
(2)连结AC.由(1)知△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ACB＝∠BAC＝∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF.∵∠BCD＝120°，∠ACB＝60°，∴∠ACF＝60°＝∠B，∴△ABE≌△ACF，∴AE＝AF，∴△AEF是等边三角形．解：(1)AE＝AD.理由如下：∵AB⊥ON，AC⊥OM，∴∠AED＝90°－∠MOP，∠ADE＝∠ODB＝90°－∠NOP.∵OP平分∠MON，∠MOP＝∠NOP，∴∠AED＝∠ADE，∴AD＝AE.
(2)以A，D，F，E为顶点的四边形是菱形．说明：连结DF，EF，∵点F与点A关于直线OP对称，点E，D在OP上，∴AE＝FE，AD＝FD.由(1)得AE＝AD，∴AE＝FE＝AD＝FD，∴四边形ADFE是菱形．
(3)OC＝AC＋AD.证明：∵四边形ADFE是菱形，∴∠AEO＝∠FEO.∵∠AOE＝∠FOE，∴∠EFO＝∠EAO＝90°，∴EF⊥OC，∴∠EFO＝90°.∵∠AEO＝∠FEO，OA⊥EA，OF⊥EF，∴OA＝OF.∵∠MON＝45°，∴∠ACO＝∠AOC＝45°，∴OA＝AC，∠FEC＝∠FCE，∴EF＝CF，∴CF＝AE，∴OC＝OF＋FC＝OA＋AE＝AC＋AD. 解：∵四边形ABCD和四边形A′B′C′O都是正方形，∴∠AOB＝90°，∠A′OC′＝90°，OA＝OB，∠OAB＝∠OBC，∴∠AOB－∠BOM＝∠A′OC′－∠BOM，即∠AOM＝∠BON，∴△AOM≌△BON，∴无论怎样旋转，S四边形MONB＝S△BON＋S△BOM＝S△AOM＋S△BOM＝S正方形ABCD.解：(1)在AB上取一点G，使BG＝BE，连结GE.∴AG＝EC，∠BGE＝45°，∴∠AGE＝135°.∵CP是∠BCD的外角平分线，∴∠DCP＝45°，∴∠ECP＝135°，∴∠AGE＝∠ECP.∵∠AEB＋∠BAE＝90°，∠AEB＋∠CEF＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△AGE≌△ECP，∴AE＝EP.
(2)存在，过点D作DM⊥AE交AB于点M，则此时点M使得四边形DMEP是平行四边形．证明如下：∵DM⊥AE，∴∠ADM＝90°－∠DAE.∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠BAD＝90°，∴∠BAE＝90°－∠DAE，∴∠BAE＝∠ADM，∴△BAE≌△ADM，∴AE＝DM.由(1)知AE＝EP，∴DM＝EP.∵DM⊥AE，AE⊥EF，∴DM∥EP，∴四边形DMEP是平行四边形．
