梅州市高中期末考试试卷（2024.7）
高二数学
注意事项：本试卷共6页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.
1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的学校、班级、考生号、姓名和座号填写在答题卡上.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3.作答必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1.已知集合，，则
A.{-2,-1,0,1} B.{-1,0,1} C.{-2,2} D.{-1,1}
2.已知命题，，则为
A.， B.，
C.， D.，
3.若，，则“”是“”的（ ）条件
A.充分不必要 B.必要不充分 C.既不充分也不必要 D.充分必要
4.小明参加学校篮球协会的面试，通过面试的条件是：首先在三分线外投篮，两次机会，命中一次即通过面试；若均未命中，则接着在罚球点处投篮，一次机会，若命中，也可通过面试.已知小明三分线外投篮命中的概率为，在罚球点处投篮命中的概率为，且每次投篮是相互独立的，则其通过面试的概率为
A. B. C. D.
5.展开式中的常数项为
A.6 B.18 C.-6 D.-18
6.
A. B.4 C. D.2
7.若制作一个容积为32（cm3）的无盖正四棱柱容器（不考虑材料的厚度），要使所用材料最省，其底面边长为________（cm）
A.2 B. C. D.4
8.已知甲、乙两袋中装有大小相同、材质均匀的球，各袋中每个球被取出的概率相等.甲袋中有2个红球和4个蓝球，乙袋中有4个红球和4个蓝球，现从两袋中各取一个球，恰好一红一蓝，则其中红球来自于甲袋的概率为
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.某地生产的甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，它们的正态分布的密度曲线如右图所示，则下列说法中正确的是
A. B.
C. D.
10.某中学为了调查学生热爱阅读是否与学生的性别有关，从1200名女生和1500名男生中通过分层抽样的方式随机抽取180名学生进行问卷调查，将调查的结果得到等高堆积条形图如下图所示，则
附：.
a 0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
A.可以估计该校学生中热爱阅读的女生人数比男生多
B.用样本的频率估计总体概率，从该校学生中任选1人，其热爱阅读的概率为0.65
C.根据小概率值a=0.01的独立性检验，可以认为学生是否热爱阅读与性别有关
D.根据小概率值a=0.01的独立性检验，可以认为学生是否热爱阅读与性别无关
11.已知函数，当且仅当，取得最小值，则下列说法正确的有
A.的最大值为37
B.的最小值为64
C.在处导数等于0
D.当x和y取遍所有实数时，则所能达到的最小值为4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知离散型随机变量的分布列如下表，则均值________.
1 0 -1
P 0.5 0.3 q
13.写出在x=0处的切线方程为的一个二次函数________.
14.摆线，又称旋轮线、圆滚线，是最速降线问题的解.在数学中，摆线的定义为：一个圆沿一条直线转动时，圆边界上一定点所形成的轨迹.已知一个半径为2的圆，沿着x轴转动，角速度为1（rad/s），如下图，为描述圆边界上从原点出发的点所形成的轨迹，写出其横坐标关于旋转时间t（s）的函数表达式xt=________；其纵坐标关于旋转时间t的函数表达式yt=________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知函数，的图像关于直线对称，且相邻两个零点的距离为.
（1）求ω和φ的值；
（2）若，，求的值.
（3）若，使得关于x的不等式成立，求实数m的取值范围.
16.（15分）某网上购物平台为了提高某商品的的销售业绩，对该商品近5个月的月销售单价x（单位：元）与月销量y（单位：个）之间的数据进行了统计，得到如下表数据：
单价x/元 180 190 200 210 220
月销量y/个 57 52 42 32 27
（1）根据以往经验，y与x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；
（2）若该商品的成本为140元/个，根据（1）中回归方程，求该商品月利润最大时的单价为多少元.（结果精确到1元）
参考公式：.参考数据：.
17.（15分）已知函数.
（1）当a=1时，求函数的极值；
（2）函数在区间上为单调函数，求a的取值范围.
18.（17分）如下图，李明从家里出发到公司有两条主干道，在主干道Ⅰ有R1，R2两个易堵点，R1处出现堵车的概率为，且当R1出现堵车时，R2出现堵车的概率为；当R1不堵车时，R2出现堵车的概率为；主干道Ⅱ有三个易堵点，它们出现堵车的事件相互独立，且概率都是.
（1）若李明从家里出发到公司选择了主干道Ⅱ行驶，求其恰遇到一次堵车的概率；
（2）若李明选择了主干道Ⅰ行驶，求其遇到堵车的概率；
（3）已知李明从家里出发到公司，如遇堵车，主干道Ⅰ中每个易堵点平均拥堵为4分钟，主干道Ⅱ的每个易堵点需平均拥堵为3分钟.若按照“平均拥堵时间短的路线是较优出行路线”的标准，则李明从家里出发到公司走哪一条路线较好？
19.（17分）设集合，且P中至少有两个元素，若集合Q满足以下三个条件：
①，且Q中至少有两个元素；
②对于任意，当，都有；
③对于任意，若，则；
则称集合Q为集合P的“耦合集”.
（1）若集合P1={2,4,6}，求集合P1的“耦合集”Q1；
（2）集合，且，若集合P2存在“耦合集”Q2.
（i）求证：对于任意，有；
（ii）求集合P2的“耦合集”Q2的元素个数.梅州市高二第二学期期末联考（2024.7）
数学参考答案与评分意见
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
B D C C A B D B
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9 10 11
AD AC BC
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分。
12. 0.3 13. y x2 2x 1（二次项系数可其他非零数值）
14. xt 2(t sin t)； yt 2(1 cos t)
四、解答题：本题共 5小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分 13 分）
解：（1）由相邻两个零点的距离为 知， f (x)最小正周期为T 2 ， ..............1 分
2 2
由公式T
2
可得：
2
2，
T
又因为 0，所以 2， .......................2 分
又由 f (x)
图象关于 x 对称，
3
则 2 k ,k Z，即 k ,k Z， .......................3 分
3 2 6
又因为 ，
2 2
所以 k 0,
. .......................4 分
6
{#{QQABIYIEggCgApAAAQgCQQFqCAEQkAEAAYgOhEAMsAAAAAFABAA=}#}
（2）由已知得： f ( ) 2sin(2
) 2 ， 即有 sin( )
1
， ................5 分
2 2 6 3 6 3
又因为0
5
，所以 ，
6 6 6
而 sin(
1
) ，需有0 ， .......................6 分
6 3 6 4
1 2 2 2
即 cos( ) 1 sin2 ( ) 1 ， .......................7 分6 6 3 3
于是 cos(
3
) sin sin[( ) ]
2 6 6
sin
cos
cos
sin
. .......................8分
6 6 6 6
1 3 2 2 1 3 2 2
. .......................9 分
3 2 3 2 6
（3）因为 x 0,
π
，使得关于 x的不等式 f (x) m成立，
2
所以m f (x)min ， .......................10 分
x 0, π 2x 5 由 ， [ , ]， 2 6 6 6
从而 sin(2x
) [ 1 ,1]， f (x) 2sin(2x
) [ 1,2]， .....................12 分
6 2 6
因此m 1 . .......................13分
16.（本小题满分 15 分）
x 180 190 200 210 220解：（1）依题意， 200， .....................1 分
5
y 57 52 42 32 27 42， .....................2 分
5
n
xi yi nxy
b i 1 41200 5 200 42 800所以 n 2 0.8， .....................4 分
x2i nx 2 201000 5 200 1000
i 1
a y b x 42 ( 0.8) 200 202 ， .....................6 分
所以 y关于 x的回归直线方程为 y 0.8x 202． .....................8 分
（2）每月的总利润Q x 0.8x 202 x 140 ， .....................10 分
0.8x2 314x 28280
0.8(x 196.25)2 0.8 196.252 28280
0.8(x 196.25)2 2531.25
314
所以当 x 196.25，y Q x 取得最大值， .....................13 分
2 0.8
因此要使每月的总利润最大，商品的单价应该定为196元． .....................15 分
{#{QQABIYIEggCgApAAAQgCQQFqCAEQkAEAAYgOhEAMsAAAAAFABAA=}#}
17.（本小题满分 15 分）
2
解：（1）当 a 1时，对函数 f x x x lnx 求导，得
f ' x 2 x 1 1 .....................1 分
x
2x2 x 1 (2x 1)(x 1)
， .....................2 分
x x
由 f ' x 0 1得到： x 或 x 1， .....................3 分
2
因为 x (0, )，
在区间 (0,1)上， f ' x 0；在区间 (1, )上， f ' x 0， .....................5 分
所以 f x 在 (0,1]上单调递减，在 (1, )上单调递增， .....................6 分
函数 f x 在 (0, )存在极小值 f (1) 0，而无极大值． .....................7 分
（2）对函数 f x x 2 x a lnx 求导，
2
得 f ' x 2 x 1 a 2x x a ， ....................8 分
x x
因为函数 f x 在区间[1, 2]上为单调函数，
所以在区间[1, 2]上， f ' x 0恒成立，或者 f ' x 0恒成立，...................9 分
即有在区间[1, 2]上，2x2 x a 0恒成立，或者2x2 x a 0恒成立，...........10 分
令 g(x) 2x2 x a，
观察图像，可知
g(1) 2 12 1 a 0，...................11 分
或者 g(2) 2 22 2 a 0，..............12 分
解得：a 1或者 a 6， ..............14 分
又a 0，
因此0 a 1或者a 6． ..............15 分
{#{QQABIYIEggCgApAAAQgCQQFqCAEQkAEAAYgOhEAMsAAAAAFABAA=}#}
18. （本小题满分 17 分）
解：（1）将李明从家里出发到公司选择了主干道Ⅱ行驶，其恰遇到一次堵车的事件记为 A，
P A C1 1则 3(1 )2 (
1) 4 ． ....................3 分
3 3 9
（2）李明选择了主干道Ⅰ行驶，其在易堵点R1、R2遇到堵车的事件分别记为R1、R2，....4 分
1 2 1
依题意，有P(R1) ，P(R2 |R1) ，P(R2 |R1) ， ....................5 分2 3 4
P(R1R2 ) P(R1) P(R2 |R
1 2 1
1) ， ....................6 分2 3 3
P(R1R2 ) P(R1) P(R2 |R )
1 2 1
1 (1 ) ， ....................7 分2 3 6
P(R1R2 ) P(R1) P(R
1 1 1
2 |R1) (1 ) ， ....................8 分2 4 8
于是李明选择了主干道Ⅰ行驶，遇到堵车的概率为
P(R1R2 ) P(R1R2 ) P(R1R2 )
1 1 1 5
． ....................9 分
3 6 8 8
（3）设李明选择了主干道Ⅰ、Ⅱ平均拥堵时间分别为T1,T2，
则依题意，随机变量T1的可能取值有0,4,8，且 ....................10 分
P(T1 0) 1
5 3
，
8 8
P(T 4) P(R R ) P(R R ) 1 1 71 1 2 1 2 ，6 8 24
P(T1 8) P(R1R2 ) P(R1) P(R |R )
1
2 1 ， ....................11 分3
因此，李明选择了主干道Ⅰ的平均拥堵时间为
E(T ) 0 3 4 7 1 231 8 ， ....................12 分8 24 3 6
随机变量T2的可能取值有0,3,6,9，且 ....................13 分
P(T2 0) (1
1)3 8 ， P(T 3) P A C1(1 1 )2 (1) 4 ，
3 27 2 3 3 3 9
P(T 6) P A C 2 (1 1)(1)2 2 P(T 9) P A (1 3 12 3 ， 2 ) ，.............14 分3 3 9 3 27
因此，李明选择了主干道Ⅱ的平均拥堵时间为
E(T2 ) 0
8 3 4 2 6 9 1 3， ....................15 分
27 9 9 27
可见E(T1) E(T2 )， ....................16 分
按照“平均拥堵时间短的路线是较优出行路线”的标准，则李明从家里出发到公司走主干
道Ⅱ的路线较好. ....................17 分
{#{QQABIYIEggCgApAAAQgCQQFqCAEQkAEAAYgOhEAMsAAAAAFABAA=}#}
19.（本小题满分 17 分）
解：（1）因为P1 2,4,6 ，
又 2 4 6， ....................1 分
4 6 10， ....................2 分
2 6 8， ....................3 分
且8 6 10 8 2,10 6 4， ....................4 分
集合 P1的“耦合集”Q1 {6,8,10}. ....................5 分
（事实上，还可以Q1 {4,6,8,10}或者Q1 {6,8,10,12}，三种情况得到其中一种，均可得 5 分）
（2）（i）证明：对于任意1 i j 4，依题意
有ai am Q2 , a j am Q2，其中1 m 4，m i,m j， ................7 分
且由 ai a j得ai am a j am， ....................8 分
有 a j am ai am a j ai P2 . ....................9 分
（ii）解： 因为 a1 a2 a3 a4 ，
a2 a1 a3 a1 a4 a1， ....................10 分
且a2 a1,a3 a1,a4 a1 P2 ，
只能a2 a1 a1, a3 a1 a2 , a4 a1 a3， ....................11 分
从而a2 2a1,a3 3a1,a4 4a1. ....................13分
a1 a2 3a1,
a1 a3 4a1,
a1 a4 5a1,
进而 ....................15 分
a2 a3 5a1,
a a 6a ,
2 4 1
a3 a4 7a1.
因此集合 P2的“耦合集”Q2的元素个数为5 . ....................17 分
（按照第一问的情形，此处还需要说明无其他情形，不过不影响得分。事实上，如有其他元素，
也必是a1的整数倍，反证假设另有 ka1 Q2（ k N*,k 3或k 7），则7 k 4或k 3 4，均不合。）
{#{QQABIYIEggCgApAAAQgCQQFqCAEQkAEAAYgOhEAMsAAAAAFABAA=}#}
