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《圆》单元整体设计
一、单元主题解读
（一）课程标准要求分析
《圆》单元是图形与几何领域第三学段“图形的认识与测量”和“图形的位置与运动”中的重要内容。《数学课程标准》在“内容要求”中指出：“认识圆和扇形，会用圆规画圆；认识圆周率；探索圆的周长和面积计算公式，能解决简单的实际问题。能从平移、旋转和轴对称的角度欣赏生活中的图案，能借助方格纸设计简单图案，感受数学美，形成空间观念。”在“学业要求”中指出：“会用圆规画圆，能描述圆和扇形的特征；知道圆的周长、半径和直径，了解圆的周长与其直径之比是一个定值，认识圆周率；会计算圆的周长和面积，能用相应公式解决简单的实际问题。对给定的简单图形，能用平移、旋转和轴对称的方法，在方格纸上设计图案，并能说出设计图案与简单图形的关系。”
（二）单元教材内容分析
本单元是在学生学过了长方形、正方形、三角形等多种平面图形的认识和面积计算的基础上来学习圆的，在这一单元，教材安排了“圆的认识”、“圆的周长和面积”、“扇形的认识”及综合实践活动“确定起跑线”四个方面的内容，由易到难，层层深入。由于圆和原来学习的图形不同，它是曲线图形，所以教材在编排中，渗透了曲线图形与直线图形的关系，引导学生认识到研究曲线图形的基本方法。
（三）学生认知情况
在学习本单元知识之前，学生已经认识了长方形、正方形、三角形等多种平面图形，并能计算它们的面积，这为学习本单元的知识奠定了一定的基础。六年级的学生经过小学五年的学习，已经积累了一定的知识基础，还有着丰富的生活体验，但空间观念和抽象能力比较薄弱，对圆的认识还停留在一年级的水平，“物”和“图”分辨不清。由于以前学习的长方形、正方形等是直线平面图形，而圆是曲线平面图形，估计学生在动手操作、合作探究方面会存在一些困难，这需要老师的引导。
二、单元目标拟定
1.学会用圆规画圆，认识圆的各部分名称，理解并掌握其特征。
2.能利用直尺和圆规设计一些与圆有关的简单图案。
3.通过实践活动，理解圆周率的意义，推导并掌握圆的周长计算公式，并能运用公式解决相关的实际问题。
4.推导并掌握圆的面积计算公式，并能运用公式解决相关的实际问题。
5.认识扇形，掌握扇形的一些基本特征。
6.经历圆的周长、面积公式推导过程，感受“化曲为直”“等积变形”“极限”“转化”“割补”等数学思想方法。
三、关键内容确定
（一）教学重点
1.掌握圆的特征以及圆的半径与直径的关系。
2.推导并理解圆的周长和面积计算公式，并能运用公式解决一些简单的实际问题。
（二）教学难点
1.经历推导圆的周长与面积的计算公式过程，体会转化、极限等数学思想。
2.能运用圆的周长和面积计算公式解决一些简单的实际问题，提高分析问题和解决问题的能力。
四、单元整合框架及说明
整合指导思想定位：
会用数学的眼光观察现实世界
会用数学的思维思考现实世界
会用数学的语言表达现实世界
这是数学课程的核心素养内涵。《数学课程标准》在第三学段的“学段目标”中指出：“会计算常见平面图形的周长和面积，初步形成空间观念和几何直观。”《标准(2022版) 》也指出：数学活动经验需要在“做”的过程和“思考”的过程中积淀，是在数学学习活动过程中逐步积累的。
本单元教材的具体编排结构如下：
本单元教科书编写的基本特点主要体现在以下几个方面：*com
1.教材在编排中充分体现了以实践性的活动引领学生的学习，让学生在“做”中“思考”，进而主动探索，最终理解概念。
2.在学习圆的周长、面积公式时，渗透了“化曲为直”“等积变形”“极限”“转化”“割补”等数学思想，让学生体验到数学学习的内在价值。
3.圆在我们的生活中无处不在，所以教材十分注重将本单元知识与生活实际紧密结合，体现数学知识的广泛应用。
五、单元课时规划
单元划分依据 □课程标准 教材章节 □知识结构
课程内容模块 数与代数 图形与几何 统计与概率 □综合与实践
单元数量 5
单元主题 单元名称 主要内容 课时
圆 圆 圆的认识 1
利用圆设计图案 1
圆的周长 1
圆的面积 1
圆环的面积 1
解决问题 1
扇形 1
确定起跑线 1
重点渗透的数学思想方法 抽象 符号化 分类 集合 对应 演绎 归纳 类比 转化 数形结合 □极限 模型 □方程 函数 统计 分析 综合 比较 □假设 □其他
课时 学习目标 评价形式 评价标准
5.1《圆的认识》 目标： 使学生学会用圆规画圆，认识圆的各部分名称，理解并掌握其特征。 任务一：画圆 → 任务二：认识圆各部分的名称 → 任务三：探究圆的特点 → 1.能用不同的方法画圆，并感受到用圆规画圆的优点，学会用圆规画圆。 2.知道圆各部分的名称，理解圆心和半径的作用。 3.知道同圆中半径、直径的特点以及关系，同时理解圆的对称性。
5.2《利用圆设计图案》 目标： 能利用直尺和圆规设计一些简单的与圆有关的图案。 任务一：欣赏由圆组成的图案 → 任务二：画一画 → 1.观察图案，知道图案的组成。 2.能用尺规画出漂亮图案。
5.3《圆的周长》 目标： 理解圆周率的意义，推导出圆周长的计算公式，并能解决实际问题。 任务一：测量圆的周长 → 任务二：探究圆的周长计算方法 → 任务三：圆周长公式的应用 → 1.能用绕、滚、围等策略测量圆的周长。 2.通过测量、计算，理解圆周率的意义，并推导出圆的周长计算公式。 3.能运用圆的周长公式解决实际问题。
5.4《圆的面积》 目标： 使学生在理解的基础上掌握圆面积的计算公式的推导，并会运用公式正确地计算圆的面积。 任务一：圆面积公式的推导 → 任务二：圆面积公式的运用 → 1.能利用剪、拼等方法将圆转化成已学的图形，并推导出圆的面积计算公式。 2.能运用圆的面积公式解决实际问题。
5.5《圆环的面积》 目标： 认识生活中的圆环，掌握圆环面积的计算方法。 任务一：认识圆环 → 任务二：探究圆环的面积 → 1.利用画一画、剪一剪，认识圆环。 2.通过解决实际问题，掌握环形面积计算方法。
5.6《解决问题》 目标： 让学生解决圆内接正方形、外切正方形与圆之间部分的面积，进而掌握解决关于圆的组合图形的面积计算方法。 任务一：阅读与理解 → 任务二：分析与解答 → 任务三：回顾与反思 → 1.能在例题情景中捕捉已知条件与问题。 2.理解“外方内圆”和“外圆内方”中正方形和圆之间的关系，找到解题的思路。 3.能用字母表示面积，清楚的了解正方形与圆的面积间的关系。
5.7《扇形》 目标： 引导学生初步认识扇形，知道扇形的各部分名称(弧、圆心角)，初步了解扇形的特征。理解扇形的概念以及圆心角的大小决定扇形面积。 任务一：认识扇形 → 任务二：认识圆心角 → 1.认识扇形，知道扇形的各部分名称(弧)，理解扇形的概念。 2.认识圆心角，知道扇形的大小与圆心角的关系。
5.8《确定起跑线》 目标： 了解田径场环形跑道的基本结构，学会综合运用圆的周长等知识来计算并确定环形跑道的起跑线。 任务一：收集信息和数据 → 任务二：分析题意，解决问题 → 1.了解跑道的形状，知道跑道各部分的组成、名称及相关数据。 2.能综合运用圆的周长等知识来计算并确定环形跑道的起跑线，找到确定起跑线的位置的方法。
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《5.3 圆的周长》教学设计
课题 圆的周长 单元 第五单元 学科 数学 年级 六年级
教材分析 教材从“要在圆桌和菜板的边缘箍上一圈铁皮，求铁皮的长度”这一学生熟悉的实际情境引入，帮助学生理解圆的周长的概念。面对“分别需要多长的铁皮”的问题，学生想到了绕、滚、围等测量方法。学生在解决实际问题的过程中感受了方法多样性和“化曲为直”的转化思想。教材在此基础上提出“除了上面的方法，还可以怎样求圆的周长呢”，要求学生跳出绕、滚、围，找到一种更为一般化的方法。通过“圆的周长和圆的大小有关系，圆的大小取决……”启发学生将问题解决的方向放在从圆本身的特征去想办法突破。第61页上方的表格，是引导学生通过测量几组圆的直径和周长，自主发现周长和直径的比值是一个固定值，从而引出圆周率的概念，并总结出圆的周长计算公式。 例1是一个与圆的周长计算有关的实际问题。通过学生经常看到或使用的自行车引出问题，能让学生体会到数学知识的广泛应用。
学习目标 1.学习目标描述：理解圆周率的意义，推导出圆周长的计算公式，并能解决实际问题。认识圆的周长，用滚动法、绕绳法等方法测量圆的周长。2.学习内容分析：学生已经具备了测量一般图形（物体）周长的技能，借助有关圆的生活素材——在圆桌和菜板的边缘箍上一圈铁皮，理解圆的周长的概念，引导学生得出了绕、滚、围等策略的测量方法，感受到了方法的多样性和“化曲为直”的转化思想。要求学生从圆本身的特征出发找到一种更为一般化的方法。3.学科素养核心分析：在动手操作中，探求圆周长的计算方法，在这过程中感受“化曲为直”的转化思想，积累活动经验。培养和发展学生的空间观念，培养学生抽象概括能力和解决简单的实际问题能力，培养学生的合作意识。
重点 圆的周长和直径的关系，能正确地计算圆的周长。
难点 理解圆周率的意义，推导圆的周长计算公式。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 师：圆桌和菜板都有点开裂，需要在它们的边缘箍上一圈铁皮。师：根据获取的信息，你想知道什么？师：要求需要多长的铁皮，实际是求什么？师：你所测量的圆形物品的周长指的是什么？师：通过交流，大家一致认为，所测量圆形物品的一圈就是它们的周长，像这样，围成圆的曲线的长就是圆的周长。这节课我们就来研究“圆的周长”。板书课题：圆的周长 学生独自思考，然后回答：分别需要多长的铁皮啊？学生：实际是求圆桌和菜板的周长。学生自由说说。 通过交流引入新课，使学生知道所研究的数学知识跟生活紧密联系，激发学生的学习积极性，从而为新课的开展奠定基础。
讲授新课 任务一：测量圆的周长师：课前同学们都找了一个圆形物品，想一想，有没有办法来测量它们的周长？分小组尝试测量。师巡视指导。师：大家已经试着测量了圆的周长，现在请以小组为单位，说说你是如何测量的？展示：师：用这种方法，需要注意什么？师：还有可以怎么测量？展示：师：通过刚才的动手操作，你发现这两种方法的相同点吗？与同伴交流。根据学生的回答，师小结：用“缠绕”、“滚动”都是将一个未曾学过的曲线图形的长度转化为可直接测量的直线段的长度，这种方法叫“化曲为直”，是一种转化的思想方法。那么是不是所有的圆都可以用这种方法测量周长呢？师：除了上面的方法，还可以怎样求圆的周长呢 关于圆的周长，大家有什么大胆的猜想？师：用“缠绕”或“滚动”的方法测量圆的周长，太麻烦，有时也做不到，这就需要我们找到一种既简便又准确计算圆的周长的方法。 学生分组测量圆片的周长。学生：可以把圆形物体在直尺上滚一圈，量出长度。学生：要注意起点与零刻度线对齐，并在圆的起点处做好标记，滚的时候不要滑。学生1：可以拿卷尺或皮尺直接绕一圈量。学生2：还可以用线围一圈，再测量线的长度。……学生自由说说。学生：圆特别大时，用这种方法就没法测量了。学生：圆的周长能不能像计算正方形的周长那样用公式计算？ 让学生尝试用绕、滚、围等方法测量圆的周长，感受方法的多样性，渗透“化曲为直”的转化思想。让学生经历初步测量圆的周长的方法后，继续抛出新问题，引发原来方法并不能解决这一问题的矛盾，激发学生继续探究新知的欲望与兴趣。
任务二：探究圆的周长计算方法师：正方形的周长与边长有关系，那么圆的周长跟什么有关系？师：圆的周长与直径到底有什么关系？让我们来做一个实验。课件出示——实验要求：分小组合作，找一些圆形的物品，分别量出它们的周长和直径，并算出周长和直径的比值，把结果填入下表中，看看有什么发现。展示：师：观察上表，周长与直径的比值有什么特点 这几个圆的周长是它们直径的多少倍 师：是不是所有圆的周长和它的直径都有这样的关系？其他小组分析一下你们的测量和计算数据，验证一下。师小结：看来一个圆的周长总是它的直径的3倍多一些。其实，早就有人研究了圆的周长与直径的关系，发现任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫作圆周率，用字母π(pài)表示。它是一个无限不循环小数，π=3.1415926535……但在实际应用中常常只取它的近似值，例如π≈3.14。师：你能根据圆周长与直径之间的关系，写出圆的周长的计算方法吗？师：如果用C 表示圆的周长，那么圆的周长公式可以怎么表示？师：如果已知半径，能求周长呢？根据学生的回答，课件出示：C=πd C=2πr师：其实圆周率在2000年前，就由我国最著名的数学家祖冲之计算出来了，我们一起去看看吧！课件出示： 学生：圆的周长和圆的大小有关系，圆的大小取决于半径或直径，我认为圆的周长与半径或直径有关。 学生分小组合作交流完成，然后展示反馈。学生独自观察，然后自由说说：一个圆的周长总是它的直径的3倍多一些。其余各组利用测量的数据验证自己的结论。 学生：周长与直径的比值是圆周率，所以圆的周长可以用直径乘圆周率。学生C=πd。学生：因为d=2r，所以C=2πr。 让学生利用实验的手段，通过测量、计算、猜测圆的周长和直径的关系、验证猜测等过程，理解并掌握圆的周长计算方法。通过进一步探究，帮助学生进一步认识圆周率，进而推导出圆周长的计算方法，培养学生的概括能力以及探索精神。通过了解圆周率的一些历史以及我国古代数学家祖冲之在这方面的伟大成就，让学生从数学发展史的角度了解圆周率，有助于学生建立动态的数学观。
任务三：圆周长公式的应用课件出示：小明的自行车轮子的半径大约是33cm。这辆自行车轮子转1圈，大约可以走多远 （结果保留整米数。）小明家离学校1km，骑车从家到学校，轮子大约转了多少圈？师：读一读，说说你知道了哪些数学信息？要解决的问题是什么？师：要求自行车轮子转1圈，大约可以走多远？实际求什么？师：那么怎样解决求轮子大约转了多少圈这个问题？师：请在练习本上列式解答此题。 学生独自阅读，然后自由说说。学生独自思考，然后回答：实际求半径是33cm圆的周长。学生独自思考，然后回答：实际是求1km里面有几个轮子的周长，用除法计算。学生独自完成，然后集体展示反馈。 通过解决问题，提高学生运用知识解决问题的能力，同时提高学生的分析能力。
课堂练习 基础题：1.木桩上拴着一只羊，绳长40分米。羊绕木桩走一圈最多走多少分米？2.2022年中国共产党第20次全国代表大会将在人民大会堂举行，人民大会堂顶部由3个圆形组成，其中最大圆的直径约50米，你能算出最大圆的周长吗？ 学生独自完成，然后集体订正。 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，语言，有效应用。
提高题：3.从一张边长为6厘米的正方形纸上剪下一个最大的圆，这个圆的周长是多少厘米？
拓展题 4.一个圆形喷水池的周长62.8米，在离水池边2米的外面围上栏杆。栏杆长多少米？
课堂小结 通过本节课的学习，你们有什么收获？ 学生自由说说。 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架。
板书 圆的周长圆的周长总是直径的3倍多一些 C=πd或C=2πr 2×3.14×33＝207.24（cm）≈ 2（m） 1km＝1000m 1000÷2=500（圈） 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 【知识技能类作业】 必做题：1.选择。（1）求车轮滚动一周前进的距离，是求车轮的（ ）。 A.半径 B.直径 C.周长（2）圆的周长是直径的（ ）倍。 A.3.14 B.π C.3（3）圆周率π（ ）3.14 A.大于 B.等于 C.小于2.摩天轮的半径是10米，坐着它转动一周，大约在空中转过多少米？ 选做题：1.一张半圆形的饼，它的半径是10厘米，它的周长是多少厘米？2.一个圆形花圃的直径是25米。沿着它的边线大约每隔0.5米种一棵杜鹃花，一共要种多少棵杜鹃花？
【综合实践类作业】用一根绳子测量出一个圆形物体的周长，并尝试计算物体的直径。
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第三课时
圆的周长
（人教版）六年级
上
01
学习目标
内容总览
02
新知导入
03
探究新知
04
课堂练习
05
课堂总结
06
分层作业
核心素养目标
理解圆周率的意义，推导出圆周长的计算公式，并能解决实际问题。认识圆的周长，用滚动法、绕绳法等方法测量圆的周长。
01
02
在动手操作中，探求圆周长的计算方法，在这过程中感受“化曲为直”的转化思想，积累活动经验。
03
培养和发展学生的空间观念，培养学生抽象概括能力和解决简单的实际问题能力，培养学生的合作意识。
新知导入
圆桌和菜板都有点开裂，需要在它们的边缘箍上一圈铁皮。
实际是求圆桌和菜板的周长。
分别需要多长的铁皮啊？
新知导入
你所测量的圆形物品的周长指的是什么？
所测量圆形物品的一圈就是它们的周长。
新知导入
像这样，围成圆的曲线的长是圆的周长。
学习任务一
测量圆的周长
探究新知
学生活动：
课前同学们都找了一个圆形物品，想一想，有没有办法来测量它们的周长？分小组尝试测量。
探究新知
可以把圆形物体在直尺上滚一圈，量出长度。
注意：起点与零刻度线对齐，并在圆的起点处做好标记。
0
1
2
3
4
6
7
8
5
cm
A
探究新知
可以拿卷尺或皮尺直接绕一圈量。
还可以用线围一圈，再测量线的长度。
0
1
2
3
4
6
7
8
5
cm
A
（A′）
A
A′
探究新知
滚动法
绕线法
化曲为直
探究新知
是不是所有的圆都可以用这种方法测量周长呢？除了上面的方法，还可以怎样求圆的周长呢
圆特别大时，用这种方法就没法测量了。
圆的周长能不能像计算正方形的周长那样用公式计算？
学习任务二
探究圆的周长计算方法
探究新知
正方形的周长与边长有关系，那么圆的周长跟什么有关系？
圆的周长和圆的大小有关系。
圆的大小取决于半径或直径。
我认为圆的周长与半径或直径有关。
探究新知
圆的周长与直径到底有什么关系？让我们来做一个实验。
实验要求：
分小组合作，找一些圆形的物品，分别量出它们的周长和直径，并算出周长和
直径的比值，把结果填入右
表中，看看有什么发现。
探究新知
圆形物品1
圆形物品3
圆形物品2
……
……
……
……
31.5cm
6.28cm
9.42cm
10cm
2cm
3cm
3.15
3.14
3.14
物品名称
周长
直径
的比值
（保留两位小数）
周长
直径
思考：
观察上表，周长与直径的比值有什么特点 这几个圆的周长是它们直径的多少倍
探究新知
一个圆的周长总是它的直径的3倍多一些。
学生活动：
是不是所有圆的周长和它的直径都有这样的关系？其他小组分析一下你们的测量和计算数据，验证一下。
探究新知
你知道吗？
其实，早就有人研究了圆的周长与直径的关系，发现任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫作圆周率，用字母π(pài)表示。它是一个无限不循环小数，π=3.1415926535……但在实际应用中常常只取它的近似值，例如π≈3.14。
探究新知
你能根据圆周长与直径之间的关系，写出圆的周长的计算方法吗？
周长与直径的比值是圆周率。
圆的周长可以用直径乘圆周率。
如果用C 表示圆的周长，那么：
C=πd
或
C=2πr
探究新知
你知道吗
约2000年前，中国古代数学著作《周髀算经》中就有“周三径一”的说法，意思是说圆的周长约是它的直径的3倍。
约1500年前，中国伟大的数学家和天文学家祖冲之计算出圆周率应在3.1415926和3.1415927之间，成为世界上第一个把圆周率的值精确到小数点后7位的人。这一成就比国外大约早1000年。现在人们用计算机算出的圆周率，小数点后面已经超过万亿位。
学习任务三
圆周长公式的应用
探究新知
小明的自行车轮子的半径大约是33cm。这辆自行车轮子转1圈，大约可以走多远 （结果保留整米数。）小明家离学校1km，骑车从家到学校，轮子大约转了多少圈？
求自行车轮子转1圈，大约可以走多远？
实际求半径是33cm圆的周长。
求轮子大约转了多少圈？
实际是求1km里面有几个轮子的周长，用除法计算。
探究新知
小明的自行车轮子的半径大约是33cm。这辆自行车轮子转1圈，大约可以走多远 （结果保留整米数。）小明家离学校1km，骑车从家到学校，轮子大约转了多少圈？
2×3.14×33＝207.24（cm）≈ 2（m）
1km＝1000m
1000÷2=500（圈）
答：这辆自行车轮子转1圈，大约可以走2m。 骑车从家到学校，轮子大约转了500圈。
C＝2πr
课堂练习
基础题：
1.木桩上拴着一只羊，绳长40分米。羊绕木桩走一圈最多走多少分米？
40×2×3.14＝251.2（分米）
答：羊绕木桩走一圈最多走251.2分米。
课堂练习
基础题：
2.2022年中国共产党第20次全国代表大会将在人民大会堂举行，人民大会堂堂顶由3个圆形组成，其中最大圆的直径约50米，你能算出最大圆的周长吗？
3.14×50＝157（米）
答：最大圆的周长157米。
课堂练习
提高题：
3.从一张边长为6厘米的正方形纸上剪下一个最大的圆，这个圆的周长是多少厘米？
圆的直径等于正方形的边长。
3.14×6＝18.84（厘米）
答：这个圆的周长是18.84厘米。
课堂练习
拓展题：
4.一个圆形喷水池的周长62.8米，在离水池边2米的外面围上栏杆。栏杆长多少米？
喷水池的直径为：62.8÷3.14=20（米）
栏杆的长为：3.14×（20+2+2）
=3.14×24
=75.36（米）
答：栏杆的长是75.36米。
课堂总结
通过今天的学习，你有哪些收获？
我会计算圆的周长了。
我还知道一个圆的周长总是它的直径的3倍多一些。
板书设计
圆的周长
圆的周长总是直径的3倍多一些
C=πd或C=2πr
2×3.14×33＝207.24（cm）≈ 2（m）
1km＝1000m
1000÷2=500（圈）
分层作业
【知识技能类作业】
必做题：
1. 选择。
（1）求车轮滚动一周前进的距离，是求车轮的（ ）。
A.半径 B.直径 C.周长
（2）圆的周长是直径的（ ）倍。
A.3.14 B.π C.3
（3）圆周率π（ ）3.14
A.大于 B.等于 C.小于
C
B
A
分层作业
【知识技能类作业】
必做题：
2.摩天轮的半径是10米，坐着它转动一周，大约在空中转过多少米？
2×3.14×10
＝6.28×10
＝62.8（米）
答：大约在空中转过62.8米。
【知识技能类作业】
选做题：
1.一张半圆形的饼，它的半径是10厘米，它的周长是多少厘米？
两条半径的长度之和
（或一条直径）
圆的周长的一半
圆的周长的一半：2×3.14×10÷2=31.4（cm）
一条直径：10×2=20（cm）
半圆形的周长：31.4+20=51.4（cm）
答：它的周长是51.4厘米。
分层作业
分层作业
【知识技能类作业】
选做题：
2.一个圆形花圃的直径是25米。沿着它的边线大约每隔0.5米种一棵杜鹃花，一共要种多少棵杜鹃花？
3.14×25＝78.5（米）
78.5÷0.5＝157（棵）
答：一共要种157棵杜鹃花。
作业布置
用一根绳子测量出一个圆形物体的周长，并尝试计算物体的直径。
【综合实践类作业】
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
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