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《圆》单元整体设计
一、单元主题解读
（一）课程标准要求分析
《圆》单元是图形与几何领域第三学段“图形的认识与测量”和“图形的位置与运动”中的重要内容。《数学课程标准》在“内容要求”中指出：“认识圆和扇形，会用圆规画圆；认识圆周率；探索圆的周长和面积计算公式，能解决简单的实际问题。能从平移、旋转和轴对称的角度欣赏生活中的图案，能借助方格纸设计简单图案，感受数学美，形成空间观念。”在“学业要求”中指出：“会用圆规画圆，能描述圆和扇形的特征；知道圆的周长、半径和直径，了解圆的周长与其直径之比是一个定值，认识圆周率；会计算圆的周长和面积，能用相应公式解决简单的实际问题。对给定的简单图形，能用平移、旋转和轴对称的方法，在方格纸上设计图案，并能说出设计图案与简单图形的关系。”
（二）单元教材内容分析
本单元是在学生学过了长方形、正方形、三角形等多种平面图形的认识和面积计算的基础上来学习圆的，在这一单元，教材安排了“圆的认识”、“圆的周长和面积”、“扇形的认识”及综合实践活动“确定起跑线”四个方面的内容，由易到难，层层深入。由于圆和原来学习的图形不同，它是曲线图形，所以教材在编排中，渗透了曲线图形与直线图形的关系，引导学生认识到研究曲线图形的基本方法。
（三）学生认知情况
在学习本单元知识之前，学生已经认识了长方形、正方形、三角形等多种平面图形，并能计算它们的面积，这为学习本单元的知识奠定了一定的基础。六年级的学生经过小学五年的学习，已经积累了一定的知识基础，还有着丰富的生活体验，但空间观念和抽象能力比较薄弱，对圆的认识还停留在一年级的水平，“物”和“图”分辨不清。由于以前学习的长方形、正方形等是直线平面图形，而圆是曲线平面图形，估计学生在动手操作、合作探究方面会存在一些困难，这需要老师的引导。
二、单元目标拟定
1.学会用圆规画圆，认识圆的各部分名称，理解并掌握其特征。
2.能利用直尺和圆规设计一些与圆有关的简单图案。
3.通过实践活动，理解圆周率的意义，推导并掌握圆的周长计算公式，并能运用公式解决相关的实际问题。
4.推导并掌握圆的面积计算公式，并能运用公式解决相关的实际问题。
5.认识扇形，掌握扇形的一些基本特征。
6.经历圆的周长、面积公式推导过程，感受“化曲为直”“等积变形”“极限”“转化”“割补”等数学思想方法。
三、关键内容确定
（一）教学重点
1.掌握圆的特征以及圆的半径与直径的关系。
2.推导并理解圆的周长和面积计算公式，并能运用公式解决一些简单的实际问题。
（二）教学难点
1.经历推导圆的周长与面积的计算公式过程，体会转化、极限等数学思想。
2.能运用圆的周长和面积计算公式解决一些简单的实际问题，提高分析问题和解决问题的能力。
四、单元整合框架及说明
整合指导思想定位：
会用数学的眼光观察现实世界
会用数学的思维思考现实世界
会用数学的语言表达现实世界
这是数学课程的核心素养内涵。《数学课程标准》在第三学段的“学段目标”中指出：“会计算常见平面图形的周长和面积，初步形成空间观念和几何直观。”《标准(2022版) 》也指出：数学活动经验需要在“做”的过程和“思考”的过程中积淀，是在数学学习活动过程中逐步积累的。
本单元教材的具体编排结构如下：
本单元教科书编写的基本特点主要体现在以下几个方面：*com
1.教材在编排中充分体现了以实践性的活动引领学生的学习，让学生在“做”中“思考”，进而主动探索，最终理解概念。
2.在学习圆的周长、面积公式时，渗透了“化曲为直”“等积变形”“极限”“转化”“割补”等数学思想，让学生体验到数学学习的内在价值。
3.圆在我们的生活中无处不在，所以教材十分注重将本单元知识与生活实际紧密结合，体现数学知识的广泛应用。
五、单元课时规划
单元划分依据 □课程标准 教材章节 □知识结构
课程内容模块 数与代数 图形与几何 统计与概率 □综合与实践
单元数量 5
单元主题 单元名称 主要内容 课时
圆 圆 圆的认识 1
利用圆设计图案 1
圆的周长 1
圆的面积 1
圆环的面积 1
解决问题 1
扇形 1
确定起跑线 1
重点渗透的数学思想方法 抽象 符号化 分类 集合 对应 演绎 归纳 类比 转化 数形结合 □极限 模型 □方程 函数 统计 分析 综合 比较 □假设 □其他
课时 学习目标 评价形式 评价标准
5.1《圆的认识》 目标： 使学生学会用圆规画圆，认识圆的各部分名称，理解并掌握其特征。 任务一：画圆 → 任务二：认识圆各部分的名称 → 任务三：探究圆的特点 → 1.能用不同的方法画圆，并感受到用圆规画圆的优点，学会用圆规画圆。 2.知道圆各部分的名称，理解圆心和半径的作用。 3.知道同圆中半径、直径的特点以及关系，同时理解圆的对称性。
5.2《利用圆设计图案》 目标： 能利用直尺和圆规设计一些简单的与圆有关的图案。 任务一：欣赏由圆组成的图案 → 任务二：画一画 → 1.观察图案，知道图案的组成。 2.能用尺规画出漂亮图案。
5.3《圆的周长》 目标： 理解圆周率的意义，推导出圆周长的计算公式，并能解决实际问题。 任务一：测量圆的周长 → 任务二：探究圆的周长计算方法 → 任务三：圆周长公式的应用 → 1.能用绕、滚、围等策略测量圆的周长。 2.通过测量、计算，理解圆周率的意义，并推导出圆的周长计算公式。 3.能运用圆的周长公式解决实际问题。
5.4《圆的面积》 目标： 使学生在理解的基础上掌握圆面积的计算公式的推导，并会运用公式正确地计算圆的面积。 任务一：圆面积公式的推导 → 任务二：圆面积公式的运用 → 1.能利用剪、拼等方法将圆转化成已学的图形，并推导出圆的面积计算公式。 2.能运用圆的面积公式解决实际问题。
5.5《圆环的面积》 目标： 认识生活中的圆环，掌握圆环面积的计算方法。 任务一：认识圆环 → 任务二：探究圆环的面积 → 1.利用画一画、剪一剪，认识圆环。 2.通过解决实际问题，掌握环形面积计算方法。
5.6《解决问题》 目标： 让学生解决圆内接正方形、外切正方形与圆之间部分的面积，进而掌握解决关于圆的组合图形的面积计算方法。 任务一：阅读与理解 → 任务二：分析与解答 → 任务三：回顾与反思 → 1.能在例题情景中捕捉已知条件与问题。 2.理解“外方内圆”和“外圆内方”中正方形和圆之间的关系，找到解题的思路。 3.能用字母表示面积，清楚的了解正方形与圆的面积间的关系。
5.7《扇形》 目标： 引导学生初步认识扇形，知道扇形的各部分名称(弧、圆心角)，初步了解扇形的特征。理解扇形的概念以及圆心角的大小决定扇形面积。 任务一：认识扇形 → 任务二：认识圆心角 → 1.认识扇形，知道扇形的各部分名称(弧)，理解扇形的概念。 2.认识圆心角，知道扇形的大小与圆心角的关系。
5.8《确定起跑线》 目标： 了解田径场环形跑道的基本结构，学会综合运用圆的周长等知识来计算并确定环形跑道的起跑线。 任务一：收集信息和数据 → 任务二：分析题意，解决问题 → 1.了解跑道的形状，知道跑道各部分的组成、名称及相关数据。 2.能综合运用圆的周长等知识来计算并确定环形跑道的起跑线，找到确定起跑线的位置的方法。
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《5.6 解决问题》教学设计
课题 解决问题 单元 第五单元 学科 数学 年级 六年级
教材分析 例3通过让学生解决圆的内接正方形、外切正方形与圆之间部分的面积这一实际问题，经历问题解决的全过程，并在解决具体问题的基础上发现更为一般的数学规律，提高发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。例题以中国古建筑中“外方内圆”和“外圆内方”两种经典设计为情境，直观清晰地提出了需要解决的数学问题——求正方形与圆之间的那部分面积。两个图中的圆大小相同，但正方形位置与大小都不同。很自然地引出一个问题：中间部分的面积与圆的面积有没有关系 有什么样的关系 例3给出一个特殊的圆半径,先解决特殊问题，在“反思”部分再讨论一般性的规律。“分析与解答”引导学生根据图示寻找正方形与圆之间的关系。第一个图很容易看出正方形的边长就是圆的直径；第二个图正方形的边长不知道，不能用边长的平方直接计算面积。此时，就需要转换思路，将正方形看成两个底是圆的直径、高是圆的半径的三角形(或四个小三角形)。
学习目标 1.学习目标描述：让学生计算圆的内接正方形、外切正方形与圆之间部分的面积，进而掌握解决关于圆的组合图形的面积计算方法。2.学习内容分析：本节课主要谈论圆的面积和正方形面积的关系。本节课的教学内容是由中国建筑中常能见到的“外方内圆”和“外圆内方”的设计引出这两个图形面积间的关系。综合分析学生的认知，本节课主要是让学生自己探究两者间的关系。圆形与正方形的面积关系也是本节课的重点教学。3.学科素养核心分析：培养学生的探索、推理、归纳、迁移等能力。通过学生自主解决问题并以小组合作的方式解决圆的面积与正方形面积间的关系，激发学生对学习数学的乐趣。
重点 理解并掌握圆的面积与正方形面积间的关系。
难点 明确圆的面积与正方形面积间的关系。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 1.复习旧知（1）求出下面图形的面积。（2）说说下面的组合图形是由哪些基本图形组成的？2.导入新课师：在我们的生活中，到处都能看见数学的影子。课件出示： 师：这些都是日常生活中的一些物体，你发现数学的影子了吗？师：中间的两幅图都是由一个正方形和一个圆组成的，我们可以通过探索它们之间的关系来研究正方形和圆的面积关系。板书课题：解决问题 学生独自完成，然后集体交流。 学生独自观察，然后自由说说。 通过复习旧知，检查学生掌握知识的情况，为后面学习新的知识奠定基础。 通过交流引入新课，使学生知道所研究的数学知识跟生活紧密联系，激发学生的学习积极性，从而为新课的开展奠定基础。
讲授新课 任务一：阅读与理解师：中国建筑中经常能见到“外方内圆”和“外圆内方”的设计。课件出示：师：知道什么是“外方内圆”和“外圆内方”吗？根据学生的回答，师小结：在正方形内所做的最大的圆，我们把它叫做“外方内圆”；而通过正方形的四个顶点所做的圆，我们把它叫做“外圆内方”。课件出示：上图中的两个圆半径都是1m，你能求出正方形和圆之间部分的面积吗 师：读一读，说说你知道了什么？需要解决的问题是什么？师：正方形和圆之间部分的面积是指哪一部分？ 学生观察图片，然后根据自己的理解自由说说。学生1：知道了两个圆的半径都是1m。学生2：要解决的问题是求出正方形和圆之间部分的面积。学生1：左图求的是正方形比圆多的面积。学生2：右图求的是正方形比圆少的面积。 通过了解“外方内圆”和“外圆内方”，帮助学生明确正方形和圆的位置关系。这一环节主要是在例题情景中培养学生捕捉信息和语言概括的能力，明确例题中的已知条件与问题，为后面的解答做好铺垫。
任务二：分析与解答课件出示：师：“外方内圆”中正方形和圆之间有什么关系？师：根据两个图形之间的关系，你能解决这个问题了吗？师：谁来说说你是怎么做的？反馈：正方形的边长：1×2=2（m）正方形的面积：2×2=4（m2）圆的面积：3.14×12=3.14（m2）正方形和圆之间部分的面积：4－3.14=0.86（m2）师：你能算算“外圆内方”中正方形和圆之间部分的面积吗？课件出示：师：可是“外圆内方”中正方形的边长又是多少呢？师：正方形的边长不知道，不能用边长的平方直接计算面积，我们是否可以把正方形分割成其他图形呢？分组交流。师巡视指导，然后提问：你们找到了吗？师：观察的真仔细！现在你能解决这个问题了吗？反馈：正方形的面积：（×2×1）×2=2（m2）圆的面积：3.14×12=3.14（m2）正方形和圆之间部分的面积：3.14－2=1.14（m2） 学生独自观察，然后自由说说。学生1：“外方内圆”中正方形的边长与圆的直径长度相等。学生2：正方形和圆之间部分的面积等于正方形的面积减去圆的面积。学生独自列式解答。学生一边展示，一边反馈。学生：正方形和圆之间部分的面积等于圆的面积减去正方形的面积。学生独自观察，然后回答：正方形的边长找不到。学生分组交流。学生：可以把“外圆内方”中的正方形看成两个三角形，它们的底和高分别是圆的直径和半径。学生独自完成，然后展示反馈。 通过观察交流，明确“外方内圆”中正方形和圆之间的关系，进而找到解题的思路，让学生获得成功的体验，提高学习的积极性。将问题抛给学生，让学生通过观察、交流找到计算正方形面积的方法，渗透迁移的思想，同时通过交流解答思路，增强学生语言表达能力，让学生体会数学中的一题多解的数学思维。
任务三：回顾与反思师：如果两个圆的半径都是r，结果又是怎样的？反馈：图（1）：（2r）2－3.14×r2=0.86r2图（2）：3.14×r2－（×2r×r）×2=1.14r2师：当r=1m时，和前面的结果完全一致吗？展示：图（1）：0.86r2=0.86×12=0.86图（2）：1.14r2=1.14×12=1.14当r=1m时，和前面的结果完全一致。师：看来前面的结果是正确的，我们一起写出答语。师：现在你能说说在“外方内圆”和“外圆内方”中圆与正方形的关系吗？根据学生的回答，师小结：正方形里面有一个最大的圆，则正方形的边长就是圆的直径。圆里有一个最大的正方形，则圆的直径是把正方形分成两个相同的三角形后形成的第三边。师：知道为什么我们周围很多东西的平面轮廓都是圆形的？我们一起去了解一下。课件出示： 学生独自思考，然后尝试写出结果，并展示反馈。 学生独自计算，然后展示反馈。 学生口答。 学生自由说说。 学生阅读了解。 将具体的计算得数抽象成字母、连比的方式，学生能够直观的观察字母表示的面积以及比的关系，清楚的了解正方形与圆的面积间的关系。通过阅读，能激发学生探究数学原理的兴趣，加深对数学应用价值的体会。
课堂练习 基础题：1.求阴影部分的面积。2.求涂上部分的面积。 学生独自完成，然后集体订正。 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，语言，有效应用。
提高题：3.一个圆的半径是2米，一个长方形的长等于圆的周长，宽等于这个圆的直径，它们的面积相差多少？
拓展题 4.已知正方形的面积是9dm2，你能算算圆的面积吗？
课堂小结 通过本节课的学习，你们有什么收获？ 学生自由说说。 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架。
板书 解决问题 正方形的边长=圆的直径 正方形的面积－圆的面积 正方形的面积=两个三角形的面积圆的面积－正方形的面积 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 【知识技能类作业】 必做题：1.求出阴影部分的面积。2.在边长为4分米的正方形硬纸板中，截去一个最大的圆后，还剩下多少平方分米的硬纸板？ 选做题：1.求出阴影部分的面积。2.求出阴影部分的面积。（单位：厘米）
【综合实践类作业】找找身边有关圆的组合图形。
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第六课时
解决问题
（人教版）六年级
上
01
学习目标
内容总览
02
新知导入
03
探究新知
04
课堂练习
05
课堂总结
06
分层作业
核心素养目标
让学生计算圆的内接正方形、外切正方形与圆之间部分的面积，进而掌握解决关于圆的组合图形的面积计算方法。
01
02
培养学生的探索、推理、归纳、迁移等能力。
03
通过学生自主解决问题并以小组合作的方式解决圆的面积与正方形面积间的关系，激发学生对学习数学的乐趣。
新知导入
1.求出下面图形的面积。
2dm
5m
5×5=25（米2）
S=a2
3.14×（2÷2）2=3.14（dm2）
S=πr2
新知导入
2.说说下面的组合图形是由哪些基本图形组成的？
正方形+圆
三角形+正方形
新知导入
在我们的生活中，到处都能看见数学的影子。
学习任务一
阅读与理解
探究新知
中国建筑中经常能见到“外方内圆”和“外圆内方”的设计。
什么是“外方内圆”和“外圆内方”
探究新知
外方内圆
在正方形内所做的最大的圆，我们把它叫做“外方内圆”。
外圆内方
通过正方形的四个顶点所做的圆，我们把它叫做“外圆内方”。
探究新知
右图中的两个圆半径都是1m，你能求出正方形和圆之间部分的面积吗
知道了两个圆的半径都是1m。
要解决的问题是求出正方形和圆之间部分的面积。
探究新知
正方形和圆之间部分的面积是指哪一部分？
左图求的是正方形比圆多的面积。
右图求的是正方形比圆少的面积。
学习任务二
分析与解答
探究新知
“外方内圆”中正方形和圆之间有什么关系？
“外方内圆”中正方形的边长与圆的直径长度相等。
正方形和圆之间部分的面积等于正方形的面积减去圆的面积。
探究新知
图中圆的半径是1m，你能求出正方形和圆之间部分的面积吗
正方形的边长：1×2=2（m）
正方形的面积：2×2=4（m2）
圆的面积：3.14×12=3.14（m2）
正方形和圆之间部分的面积：4－3.14=0.86（m2）
探究新知
你能算算“外圆内方”中正方形和圆之间部分的面积吗？
可是“外圆内方”中正方形的边长又是多少呢？
思考：
正方形的边长不知道，不能用边长的平方直接计算面积。我们是否可以把正方形分割成其他图形呢？
探究新知
图中圆的半径是1m，你能求出正方形和圆之间部分的面积吗
d
把“外圆内方”中的正方形看成两个三角形，它们的底和高分别是圆的直径和半径。
r
探究新知
图中圆的半径是1m，你能求出正方形和圆之间部分的面积吗
d
正方形的面积：（ ×2×1）×2=2（m2）
1
2
圆的面积：3.14×12=3.14（m2）
正方形和圆之间部分的面积：3.14－2=1.14（m2）
学习任务三
回顾与反思
探究新知
如果两个圆的半径都是r，结果又是怎样的？
（2r）2－3.14×r2=
0.86r2
3.14×r2－（ ×2r×r）×2=
1
2
1.14r2
探究新知
0.86r2=0.86×12=0.86
1.14r2=1.14×12=1.14
完全一致。
答:左图中正方形与圆之间部分的面积是0.86 m2，右图中圆与正方形之间部分的面积是1.14 m2。
当r=1m时，和前面的结果完全一致吗？
探究新知
说说在“外方内圆”和“外圆内方”中圆与正方形的关系。
正方形里面有一个最大的圆，则正方形的边长就是圆的直径。圆里有一个最大的正方形，则圆的直径是把正方形分成两个相同的三角形后形成的第三边。
探究新知
生活中的数学
如果你仔细观察就会发现：我们周围很多东西的平面轮廓都是圆形的，如车轮、马路上的大多数井.....这是为什么呢
车轮平面轮廓采用圆形，是利用同一圆的半径都相等的性质，把车轴装在车轮的圆心上。当车轮在地面上滚动的时候，车轴离地面的距离总是等于车轮的半径，因此只要道路平坦，车子就会平稳地在地面上行驶。试想一下，如果车轮是正方形的，为了保持车辆的平稳行驶，道路应该是什么样子的呢
井盖平面轮廓采用圆形的一个原因是圆形井盖
怎么放都不会掉到井里，并且能恰好盖住井口，这
里利用了同一圆的直径都相等的性质。
课堂练习
基础题：
1.求阴影部分的面积。
4cm
2×4×4－3.14×（4÷2）2×2
=32－25.12
=6.88（cm2）
课堂练习
基础题：
2.求涂色部分的面积。
10厘米
5厘米
3.14×（10÷2）2÷2－10×5÷2
=157－25
=132（平方厘米）
课堂练习
提高题：
3.一个圆的半径是2米，一个长方形的长等于圆的周长，宽等于这个圆的直径，它们的面积相差多少？
3.14×22=12.56（平方米）
（2×3.14×2）×（2×2）=50.14（平方米）
50.24-12.56=37.68（平方米）
答：它们的面积相差37.68平方米
课堂练习
拓展题：
4.已知正方形的面积是9dm2，你能算算圆的面积吗？
o
正方形的边长是圆的半径，
所以正方形的面积等于半径的平方，即9dm2。
3.14×9=28.26（dm2）
答：圆的面积是28.26dm2。
课堂总结
通过今天的学习，你有哪些收获？
我认识了“外方内圆”和“外圆内方”。
我还会计算正方形和圆之间部分的面积了。
板书设计
解决问题
正方形的边长=圆的直径 正方形的面积=两个三角形的面积
正方形的面积－圆的面积 圆的面积－正方形的面积
分层作业
【知识技能类作业】
必做题：
1. 求出阴影部分的面积。
12×12－3.14×（12÷2）2
=144－113.04
=30.96（cm2）
分层作业
【知识技能类作业】
必做题：
2.在边长为4分米的正方形硬纸板中，截去一个最大的圆后，还剩下多少平方分米的硬纸板？
4×4﹣3.14×（4÷2）2
=16﹣12.56
=3.44（平方分米）
答：还剩下3.44平方分米的硬纸板。
分层作业
【知识技能类作业】
选做题：
1.求出阴影部分的面积。
3.14×102÷2－10×10
=157－100
=57（cm2）
【知识技能类作业】
选做题：
2.求出阴影部分的面积。（单位：厘米）
3.14×（10÷2）2×2－10×10
=157－100
=57（cm2）
分层作业
作业布置
找找身边有关圆的组合图形。
【综合实践类作业】
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