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《圆》单元整体设计
一、单元主题解读
（一）课程标准要求分析
《圆》单元是图形与几何领域第三学段“图形的认识与测量”和“图形的位置与运动”中的重要内容。《数学课程标准》在“内容要求”中指出：“认识圆和扇形，会用圆规画圆；认识圆周率；探索圆的周长和面积计算公式，能解决简单的实际问题。能从平移、旋转和轴对称的角度欣赏生活中的图案，能借助方格纸设计简单图案，感受数学美，形成空间观念。”在“学业要求”中指出：“会用圆规画圆，能描述圆和扇形的特征；知道圆的周长、半径和直径，了解圆的周长与其直径之比是一个定值，认识圆周率；会计算圆的周长和面积，能用相应公式解决简单的实际问题。对给定的简单图形，能用平移、旋转和轴对称的方法，在方格纸上设计图案，并能说出设计图案与简单图形的关系。”
（二）单元教材内容分析
本单元是在学生学过了长方形、正方形、三角形等多种平面图形的认识和面积计算的基础上来学习圆的，在这一单元，教材安排了“圆的认识”、“圆的周长和面积”、“扇形的认识”及综合实践活动“确定起跑线”四个方面的内容，由易到难，层层深入。由于圆和原来学习的图形不同，它是曲线图形，所以教材在编排中，渗透了曲线图形与直线图形的关系，引导学生认识到研究曲线图形的基本方法。
（三）学生认知情况
在学习本单元知识之前，学生已经认识了长方形、正方形、三角形等多种平面图形，并能计算它们的面积，这为学习本单元的知识奠定了一定的基础。六年级的学生经过小学五年的学习，已经积累了一定的知识基础，还有着丰富的生活体验，但空间观念和抽象能力比较薄弱，对圆的认识还停留在一年级的水平，“物”和“图”分辨不清。由于以前学习的长方形、正方形等是直线平面图形，而圆是曲线平面图形，估计学生在动手操作、合作探究方面会存在一些困难，这需要老师的引导。
二、单元目标拟定
1.学会用圆规画圆，认识圆的各部分名称，理解并掌握其特征。
2.能利用直尺和圆规设计一些与圆有关的简单图案。
3.通过实践活动，理解圆周率的意义，推导并掌握圆的周长计算公式，并能运用公式解决相关的实际问题。
4.推导并掌握圆的面积计算公式，并能运用公式解决相关的实际问题。
5.认识扇形，掌握扇形的一些基本特征。
6.经历圆的周长、面积公式推导过程，感受“化曲为直”“等积变形”“极限”“转化”“割补”等数学思想方法。
三、关键内容确定
（一）教学重点
1.掌握圆的特征以及圆的半径与直径的关系。
2.推导并理解圆的周长和面积计算公式，并能运用公式解决一些简单的实际问题。
（二）教学难点
1.经历推导圆的周长与面积的计算公式过程，体会转化、极限等数学思想。
2.能运用圆的周长和面积计算公式解决一些简单的实际问题，提高分析问题和解决问题的能力。
四、单元整合框架及说明
整合指导思想定位：
会用数学的眼光观察现实世界
会用数学的思维思考现实世界
会用数学的语言表达现实世界
这是数学课程的核心素养内涵。《数学课程标准》在第三学段的“学段目标”中指出：“会计算常见平面图形的周长和面积，初步形成空间观念和几何直观。”《标准(2022版) 》也指出：数学活动经验需要在“做”的过程和“思考”的过程中积淀，是在数学学习活动过程中逐步积累的。
本单元教材的具体编排结构如下：
本单元教科书编写的基本特点主要体现在以下几个方面：*com
1.教材在编排中充分体现了以实践性的活动引领学生的学习，让学生在“做”中“思考”，进而主动探索，最终理解概念。
2.在学习圆的周长、面积公式时，渗透了“化曲为直”“等积变形”“极限”“转化”“割补”等数学思想，让学生体验到数学学习的内在价值。
3.圆在我们的生活中无处不在，所以教材十分注重将本单元知识与生活实际紧密结合，体现数学知识的广泛应用。
五、单元课时规划
单元划分依据 □课程标准 教材章节 □知识结构
课程内容模块 数与代数 图形与几何 统计与概率 □综合与实践
单元数量 5
单元主题 单元名称 主要内容 课时
圆 圆 圆的认识 1
利用圆设计图案 1
圆的周长 1
圆的面积 1
圆环的面积 1
解决问题 1
扇形 1
确定起跑线 1
重点渗透的数学思想方法 抽象 符号化 分类 集合 对应 演绎 归纳 类比 转化 数形结合 □极限 模型 □方程 函数 统计 分析 综合 比较 □假设 □其他
课时 学习目标 评价形式 评价标准
5.1《圆的认识》 目标： 使学生学会用圆规画圆，认识圆的各部分名称，理解并掌握其特征。 任务一：画圆 → 任务二：认识圆各部分的名称 → 任务三：探究圆的特点 → 1.能用不同的方法画圆，并感受到用圆规画圆的优点，学会用圆规画圆。 2.知道圆各部分的名称，理解圆心和半径的作用。 3.知道同圆中半径、直径的特点以及关系，同时理解圆的对称性。
5.2《利用圆设计图案》 目标： 能利用直尺和圆规设计一些简单的与圆有关的图案。 任务一：欣赏由圆组成的图案 → 任务二：画一画 → 1.观察图案，知道图案的组成。 2.能用尺规画出漂亮图案。
5.3《圆的周长》 目标： 理解圆周率的意义，推导出圆周长的计算公式，并能解决实际问题。 任务一：测量圆的周长 → 任务二：探究圆的周长计算方法 → 任务三：圆周长公式的应用 → 1.能用绕、滚、围等策略测量圆的周长。 2.通过测量、计算，理解圆周率的意义，并推导出圆的周长计算公式。 3.能运用圆的周长公式解决实际问题。
5.4《圆的面积》 目标： 使学生在理解的基础上掌握圆面积的计算公式的推导，并会运用公式正确地计算圆的面积。 任务一：圆面积公式的推导 → 任务二：圆面积公式的运用 → 1.能利用剪、拼等方法将圆转化成已学的图形，并推导出圆的面积计算公式。 2.能运用圆的面积公式解决实际问题。
5.5《圆环的面积》 目标： 认识生活中的圆环，掌握圆环面积的计算方法。 任务一：认识圆环 → 任务二：探究圆环的面积 → 1.利用画一画、剪一剪，认识圆环。 2.通过解决实际问题，掌握环形面积计算方法。
5.6《解决问题》 目标： 让学生解决圆内接正方形、外切正方形与圆之间部分的面积，进而掌握解决关于圆的组合图形的面积计算方法。 任务一：阅读与理解 → 任务二：分析与解答 → 任务三：回顾与反思 → 1.能在例题情景中捕捉已知条件与问题。 2.理解“外方内圆”和“外圆内方”中正方形和圆之间的关系，找到解题的思路。 3.能用字母表示面积，清楚的了解正方形与圆的面积间的关系。
5.7《扇形》 目标： 引导学生初步认识扇形，知道扇形的各部分名称(弧、圆心角)，初步了解扇形的特征。理解扇形的概念以及圆心角的大小决定扇形面积。 任务一：认识扇形 → 任务二：认识圆心角 → 1.认识扇形，知道扇形的各部分名称(弧)，理解扇形的概念。 2.认识圆心角，知道扇形的大小与圆心角的关系。
5.8《确定起跑线》 目标： 了解田径场环形跑道的基本结构，学会综合运用圆的周长等知识来计算并确定环形跑道的起跑线。 任务一：收集信息和数据 → 任务二：分析题意，解决问题 → 1.了解跑道的形状，知道跑道各部分的组成、名称及相关数据。 2.能综合运用圆的周长等知识来计算并确定环形跑道的起跑线，找到确定起跑线的位置的方法。
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第八课时
确定起跑线
（人教版）六年级
上
01
学习目标
内容总览
02
新知导入
03
探究新知
04
课堂练习
05
课堂总结
06
分层作业
核心素养目标
使学生了解田径场环形跑道的基本结构，学会综合运用圆的周长等知识来计算并确定环形跑道的起跑线。
01
02
使学生经历观察、计算、推理等数学活动过程，发展运用知识解决实际问题的能力，体会抽象、推理等数学思想。
03
使学生感受到数学知识在生活中的广泛应用，增强数学学习的积极性。
新知导入
为什么运动员站在不同的起跑线上？
终点相同，如果在同一条起跑线上，外圈跑道的同学跑的路程长，就不公平了!
新知导入
所以外圈的起跑线位置应该往前移。
各跑道的起跑线应该相差多少米呢？
学习任务一
收集信息和数据
探究新知
关于跑道平面图，你知道什么？
跑道由两条直的跑道和两个半圆形跑道组成。
探究新知
直道的长度是85.96 m，第一条（最内圈）半圆形跑道的直径为72.6 m，每条跑道宽1.25 m。
探究新知
观察跑道图，谁知道怎样计算每条跑道的长度？
两个半圆形跑道，合起来就是一个圆。
各条跑道直道的长度都一样，只要计算两头两个半圆形跑道。
探究新知
观察跑道图，谁知道怎样计算每条跑道的长度？
我知道了，跑道一圈长度等于2条直道长度加一个圆的周长。
跑道一圈长度=2条直道长度+一个圆的周长
探究新知
内外跑道的差异是怎样形成的？
因为内圆和外圆的周长不一样。
探究新知
你能计算每两条跑道的周长相差多少了吗？
分组完成下表。（可用计算器，圆周率取3.14159，得数保留两位小数。）
72.6
228.08
400
75.1
235.93
407.85
77.6
243.79
415.71
80.1
251.64
423.56
82.6
259.50
431.42
85.1
267.35
439.27
探究新知
我把每条跑道的长度都算出来，相差7.85米。
我不用算出每条跑道的长度，也知道它们相差多少米。
探究新知
只需要把弯道长度相减。
235.93－228.08=7.85（m）
243.78－235.93=7.85（m）
……
探究新知
关于计算每两条跑道的差，大家还有什么好的方法吗？
（75.1－72.6）×3.14159
=2.5×3.14159
≈7.85（m）
（74.1－72.6）×3.14159
=2.5×3.14159
≈7.85（m）
运用乘法分配律，我发现：相邻两条跑道的直径相差的距离都是2个道宽的距离，所以他们的周长差都是1.25×2×3.14159≈7.85（m）。
探究新知
相邻两条跑道的差=（相邻外圆直径－内圆直径）×π
=跑道宽×2×π
起跑线的确定与跑道的宽度有关。
探究新知
按照这样的推理……
400m要跑一圈，每一道的起跑线要比前一道提前7. 85 m。
200m只过一个弯道，所以每一道的起跑线要比前一道提前1.25πm。
200m跑呢？
课堂练习
基础题：
1.在下面的跑道上，如果跑一圈，相邻的两条跑道，外跑道比内圈跑道多跑（ ）m。若终点相同，则外圈跑道的起跑位置应该往前移（ ）m。
20m
50m
跑道宽1.5m。
9.42
9.42
课堂练习
基础题：
2.跑完一圈最外侧跑道比最内侧跑道长________米，如果只跑半圈最外侧跑道比最内侧跑道长________米。
18.84
9.42
课堂练习
提高题：
3.我们学校塑胶跑道跑一圈是200米，相邻两道相距1.2米．学校举行运动会，200米决赛时，相邻两道起跑线相差多少米？
2.4×3.14=7.536（米）
答：相邻两道起跑线相差7.536米。
课堂练习
拓展题：
4.如图，这是育才学校的操场平面图，跑道总共宽10米。
（1）操场的面积是多少平方米？
3.14×（60÷2＋10）2＋100×（60＋10×2）
＝3.14×1600＋100×80
＝5024＋8000
＝13024（平方米）
答：操场的面积是13024平方米。
课堂练习
拓展题：
4.如图，这是育才学校的操场平面图，跑道总共宽10米。
（2）沿操场跑道内侧跑一圈，大约是几百米？
3.14×60＋100×2
＝188.4＋200
≈400（米）
答：大约是4百米。
课堂总结
通过今天的学习，你有哪些收获？
我会计算相邻两条跑道的差了。
我还知道“相邻两条跑道的差=跑道宽×2×π”。
板书设计
确定起跑线
跑道一圈长度=2条直道长度+一个圆的周长
相邻两条跑道的差=（相邻外圆直径－内圆直径）×π
=跑道宽×2×π
分层作业
【知识技能类作业】
必做题：
1.环形跑道的环宽是1米，如果只跑一个弯，相邻两条跑道，外道选手的起跑点要比内道提前多少米？
2×3.14×1÷2
=6.28÷2
=3.14（米）
答：外道选手的起跑点要比内道提前3.14米。
分层作业
【知识技能类作业】
必做题：
2. 在正规400m跑道跑一圈，每一道的起跑线要比前一道提前7.85m，那么进行200m比赛呢？800m比赛呢？
400÷200＝2
800÷400＝2
7.85÷2＝3.925（米）
7.85×2＝15.7（米）
答：200米比赛每一道的起跑线要比前一道提前3.925米；800米比赛每一道的起跑线要比前一道提前15.7米。
3.14×5×2=31.4（米）
答：小明比小海多跑31.4米。
【知识技能类作业】
选做题：
1.下图是海港路小学的操场示意图，周围是一条跑道。小明沿外圈跑一周，小海沿内圈跑一周，小明比小海多跑多少米？
5m
15m
38m
分层作业
分层作业
【知识技能类作业】
选做题：
2.市实验小学新修了一条长200米（最内跑道一圈，如图）的塑胶跑道，弯道最内圈的半径是15米。每条跑道宽1.5米，现在有4条路道（比赛时跑步的选手一般压着跑道的内圈跑）。
（1）第2道运动员跑一圈跑了多少米？
200+1.5×2×3.14=209.42（米）
答：第2道运动员跑一圈跑了209.42米。
分层作业
【知识技能类作业】
选做题：
2.市实验小学新修了一条长200米的塑胶跑道（如图），弯道最内圈的半径是15米。每条跑道宽1.5米，现在有4个跑道（比赛时跑步的选手一般压着跑道的内圈跑）。
（2）若进行200米赛跑，第4道运动员应比第2道运动员的起跑线提前多少米？
2×3.14×（2×1.5）=18.84（米）
答：第4道运动员应比第2道运动员的起跑线提前18.84米。
作业布置
本周学校要在操场的400米跑道举行200米短跑比赛，请同学们确定每条跑道运动员起跑的位置。
【综合实践类作业】
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
让备课更有效
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《5.8 确定起跑线》教学设计
课题 确定起跑线 单元 第五单元 学科 数学 年级 六年级
教材分析 “确定起跑线”是在学生掌握了圆的概念和周长等知识的基础上设计的一个综合与实践活动。一方面，使学生体会到数学在生活中无处不在，在各个生活领域随处都能发现数学问题，培养学生用数学的眼光看待生活、发现生活中数学问题的习惯；另一方面，使学生学会应用所学的数学知识解决生活中的实际问题，进一步提高问题解决的能力。这一活动包含了图形的认识、测量、数据调查、计算、推理等多方面的数学知识与技能，具有较强的综合性。同时，让学生经历发现和提出问题、分析和解答问题的过程，积累相应的数学活动经验，体会和掌握数学抽象、数学推理等基本的数学思想。
学习目标 1.学习目标描述：使学生了解田径场环形跑道的基本结构，学会综合运用圆的周长等知识来计算并确定环形跑道的起跑线。2.学习内容分析：本课是一节数学综合应用的实践活动课，培养学生用数学解决问题的能力是义务教育阶段数学课程的重要目标之一。因此，本册教材设计了“确定起跑线”这个数学综合运用活动，让学生综合运用所学的数学知识和方法（如：圆的知识），体会数学在日常生活中的应用价值，增强学生应用数学的意识，不断提高学生的实践能力和解决问题的能力。3.学科素养核心分析：使学生经历观察、计算、推理等数学活动过程，发展运用知识解决实际问题的能力，体会抽象、推理等数学思想。使学生感受到数学知识在生活中的广泛应用，增强数学学习的积极性。
重点 不同跑道周长的计算和起跑线的确定。
难点 起跑线之间关系的推理。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 师：同学们站在操场跑道边，等待着一场紧张的比赛——400米决赛。课件出示：师：为什么运动员站在不同的起跑线上？师：是呀，正因为外圈运动员跑的路程长，所以外圈的起跑线位置……师：各跑道的起跑线应该相差多少米呢？这就是我们这节课要研究的“确定起跑线”。板书课题：确定起跑线 学生：终点相同，如果在同一条起跑线上，外圈跑道的同学跑的路程长，就不公平了! 学生：应该往前移。 通过交流引入新课，使学生知道所研究的数学知识跟生活紧密联系，激发学生的学习积极性，从而为新课的开展奠定基础。
讲授新课 任务一：收集信息和数据课件出示：师：关于跑道平面图，你知道什么？师：直道的长度是85.96 m，第一条（最内圈）半圆形跑道的直径为72.6 m，每条跑道宽1.25 m。课件出示： 学生：跑道由两条直的跑道和两个半圆形跑道组成。 通过观察，学生了解了跑道的形状，知道跑道各部分的组成及名称，为下一环节的探究学习打好基础。
任务二：分析题意，解决问题师：观察跑道图，谁知道怎样计算每条跑道的长度？根据学生的回答，课件出示：跑道一圈长度=2条直道长度+一个圆的周长师：内外跑道的差异是怎样形成的？师：现在你能计算每两条跑道的周长相差多少了吗？课件出示：分组完成下表。（可用计算器，圆周率取3.14159，得数保留两位小数。）反馈：我把每条跑道的长度都算出来，相差7.85米。表格师：关于计算每两条跑道的差，大家还有什么好的方法吗？师：怎样计算？师：这样计算对吗？在练习本上算算。展示：235.93－228.08=7.85（m）243.78－235.93=7.85（m）……师：比较两个相邻跑道差，你有什么发现？引导学生观察得出：（75.1－72.6）×3.14159=2.5×3.14159≈7.85（m）（74.1－72.6）×3.14159=2.5×3.14159≈7.85（m）……运用乘法分配律，我发现：相邻两条跑道的直径相差的距离都是2个道宽的距离，所以他们的周长差都是1.25×2×3.14159≈7.85（m）。根据学生的回答，师引导学生得出结论：相邻两条跑道的差=（相邻外圆直径－内圆直径）×π=跑道宽×2×π师：起跑线的确定与什么有关？师：也就是说只要知道了跑道的宽度，就能确定起跑线的位置。那么按照这样的推理，400m要跑一圈，每一道的起跑线要比前一道提前……师：200m跑呢？ 学生1：各条跑道直道的长度都一样，只要计算两头两个半圆形跑道。 学生2：两个半圆形跑道，合起来就是一个圆。 学生3：我知道了，跑道一圈长度等于2条直道长度加一个圆的周长。 学生：因为内圆和外圆的周长不一样。 学生分组完成，然后集体展示反馈。 学生：我不用算出每条跑道的长度，也知道它们相差多少米。 学生：因为各条跑道直道的长度都一样，只需要把弯道长度相减。 学生独自完成，然后集体展示反馈。 学生：与跑道的宽度有关。学生：提前7. 85 m。学生：200m只过一个弯道，所以200m每一道的起跑线要比前一道提前1.25πm。 通过交流计算每条跑道长度的计算方法，提高学生分析问题和解决问题的能力，同时为后面的计算做准备。 引导学生采用不同的方法解决问题，使学生经历观察、计算、推理等数学活动过程，发展运用知识解决实际问题的能力。在探案、交流等活动中，学生找到起跑线位置的规律“400米每条跑道起跑线的差就是跑道宽度×2×π”也知道了跑道的宽度确定起跑线的位置。
课堂练习 基础题：1.在下面的跑道上，如果跑一圈，相邻的两条跑道，外跑道比内圈跑道多跑（ ）m。若终点相同，则外圈跑道的起跑位置应该往前移（ ）m。2.跑完一圈最外侧跑道比最内侧跑道长________米，如果只跑半圈最外侧跑道比最内侧跑道长________米。 学生独自完成，然后集体订正。 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，语言，有效应用。
提高题：3.我们学校塑胶跑道跑一圈是200米，相邻两道相距1.2米．学校举行运动会，200米决赛时，相邻两道起跑线相差多少米？
拓展题 4.如图，这是育才学校的操场平面图，跑道总共宽10米。 （1）操场的面积是多少平方米？（2）沿操场跑道内侧跑一圈，大约是几百米？
课堂小结 通过本节课的学习，你们有什么收获？ 学生自由说说。 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架。
板书 确定起跑线跑道一圈长度=2条直道长度+一个圆的周长相邻两条跑道的差=（相邻外圆直径－内圆直径）×π=跑道宽×2×π 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 【知识技能类作业】 必做题：1.环形跑道的环宽是1米，如果只跑一个弯，相邻两条跑道，外道选手的起跑点要比内道提前多少米？2.在正规400m跑道跑一圈，每一道的起跑线要比前一道提前7.85m，那么进行200m比赛呢？800m比赛呢？ 选做题：1.下图是海港路小学的操场示意图，周围是一条跑道。小明沿外圈跑一周，小海沿内圈跑一周，小明比小海多跑多少米？2.市实验小学新修了一条长200米（最内跑道一圈，如图）的塑胶跑道，弯道最内圈的半径是15米。每条跑道宽1.5米，现在有4条路道（比赛时跑步的选手一般压着跑道的内圈跑）。（1）第2道运动员跑一圈跑了多少米？（2）若进行200米赛跑，第4道运动员应比第2道运动员的起跑线提前多少米？
【综合实践类作业】本周学校要在操场的400米跑道举行200米短跑比赛，请同学们确定每条跑道运动员起跑的位置。
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