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学 科 数学 年 级 九年级 设计者 尹坚
教材版本 北师大版 册、章 上册第四章
课标要求 知识技能了解本章内容，建立本章知识体系；正确合理选择判断方法找出相似三角形，运用相似三角形解决数学问题。数学思考经历观察、实验、猜想、证明等找相似的过程，进一步发展几何直觉，发展合理推理能力和初步的演绎推理能力。能有条理地清晰地阐述自己学习体验和结果，发展表达能力。问题解决能与同学交流“找相似”的体验和结果，体验“交流”对自己的帮助。在“找相似”的过程中形成反思意识，获得“找相似”的成功体验。情感态度能积极参与到课堂学习中，对本章学习有兴趣和热情；体验数学活动充满探索与创新，感受数学的严谨性；形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯。
内容分析 1、主要内容：相似图形的概念和性质、相似三角形的判定和应用、相似多边形、位似变换。在本章学习之前，已经研究了图形的全等以及图形的一些变换,如平移、轴对称、旋转等，本章将在这些内容的基础上研究相似三角形和相似多边形的性质与判定,并进一步研究一种特殊的变换--位似变换,结合一些图形性质的探索、证明等，进一步发展学生的探究能力,培养学生的逻辑思维能力。2、教材特点（1）突出图形性质的探索过程,重视实验操作和逻辑推理的有机结合,通过多种手段，如观察度量、实验操作、图形变换、逻辑推理等来探索图形的性质，以及相似三角形的判定方法。（2）注意联系实际，通过生活中大量的实例引入相似图形、位似图形的概念,例题、习题中也有许多应用相似图形知识的实例。教材还给出了一些利用相似三角形的性质和判定方法来解决生活中不能直接测量物体长度的问题等。(3)重视数学思想方法的渗透。本章主要涉及的数学思想方法是转化。
学情分析 学生知识状况分析 学生已经学行线的知识以及图形的全等及全等三角形等知识，页研究了全等图形的变换。全等是图形之间的一种关系，而相似也是图形间的关系，仅仅是形状相同，大小不同的两个图形，是按一定的比例放大或缩小的另一个图形，这种变换就是相似变换。全等实际是一种特殊的相似。所以研究相似是一种全等的拓展和发展。学生对两个图形之间的关系有了一定的理解和认识，并且大部分学生能够熟练运用学过的知识解决问题。本章的学习，学生通过大量的现实情景，从“相似”这个角度认识了图形的另一种关系，丰富了学生对图形的直观体验，学生已经具备了一定的分析理解能力和逻辑推理能力。
单元目标 教学目标在丰富的现实情境中，经历对相似图形的观察、操作、思考、类比、归纳、交流等数学活动，进一步发展学生的探索精神、合作意识和数学推理能力，以及从相似的角度提出问题，分析问题，解决问题的能力，增强数学应用意识。结合图形了解线段比、成比例线段，掌握平行线分线段成比例的基本事实。了解相似多边形和相似比，探索三角形相似的条件。了解相似三角形的判定定理，了解相似三角形的性质定理，利用三角形相似的判定定理和性质定理解决实际问题。了解图形的位似，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小。在直角坐标系中，探索并了解将一个直线形的图形（有一个顶点在原点，一条边在横坐标上）分别放大（或缩小）相同的倍数的图形。通过建筑、艺术等方面的实例，了解黄金分割。通过典型实例，了解现实生活中的相似图形，利用图形的相似解决一些实际问题，并通过图形的相似的具体运用，进一步体会数学与自然及人类社会的密切联系，加强对数学的人文价值的理解和运用。（二）教学重点、难点教学重点：图形的相似。教学难点：利用图形的相似知识解决实际问题。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1成比例线段12平行线分线段成比例13相似多边形14探索三角形相似的条件（AA）15探索三角形相似的条件（SAS）16探索三角形相似的条件（SSS）17探索三角形相似的条件（黄金分割）18相似三角形判定定理的证明19利用相似三角形测高110相似三角形性质（1）111相似三角形性质（2）112位似图形（1）113位似图形（2）114回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务成比例线段一、知识与技能：1．掌握比例线段的概念及其性质。2．会求两条线段的比及判断四条线段是否成比例。二、过程与方法：能够灵活运用比例线段的性质解决问题。三、情感、态度与价值观：感知知识的实际应用，增强对知识就是力量的客观认识，进一步加强理论联系实际的学习1、学生观察图片，回答问题。相同点：形状相同不同点：大小不相同教师引导学生结合图形分析题意,明确图中两四边形的四条边的长度可以通过观察或勾股定理得出.给学生充足的时间计算.在教师的引导下探究等比性质。学生灵活应用比例性质、等比定理，解决实际问题。升华对等比定理的理解和运用。环节一：情境导入。环节二：探究成比例线段。环节三：探究等比性质。环节四：典例精析。平行线分线段成比例一、知识目标理解并掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论，并会灵活应用。二、能力目标通过应用，培养识图能力和推理论证能力。三、情感与价值观目标1．培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生活中的价值。2．在进行探索的活动过程中发展学生的探索发现归纳意识并养成合作交流的习惯。1、学生思考回答问题。2、探究活动一：学生通过观察、度量、计算、猜测、验证、推理与交流等数学活动,得出结论。3、探究活动二：让学生在探究得出结论的基础上,对平行线分线段成比例定理的有进一步的理解。并掌握定理的符号语言,进一步发展推理能力。4、让学生脱离表格,不通过计算,运用平行四边形的性质推理得出平行线等分线段定理的推论。5、通过对平行线分线段成比例定理的简单应用,规范书写格式,培养学生严谨的逻辑推理能力,深化对知识的理解。环节一：回顾旧知。环节二：探究平行线分线段成比例。环节三：典例精析。相似多边形1.经历相似多边形概念的形成过程，了解相似多边形的含义．掌握相似多边形的性质和判断。2.在探索相似多边形本质特征的过程中，进一步发展学生观察、操作、归纳、类比等多方面的能力，提高学生的数学思维水平．3.使学生体会团队合作精神，充分认识数学与人类生活的密切联系，体验数学活动充满探索与创造．1、小组讨论，形成共识，展示讨论结果。2、从正三角形、正方形对应角、对应边的关系抽象出正多边形的相似概念。3、思考【想一想】的5个问题，掌握判断两个图形的相似条件是什么？4、完成例题1的学习，掌握已知两个图形相似求边的长度或角的大小。5、完成例题2的学习了解多边形相似的判断方法。环节一：回顾交流导入新课。环节二：探究相似多边形的判断和性质。环节三：典例精析。探索三角形相似的条件（AA)1、经历两个三角形相似条件的探索过程，进一步发展学生的探索、交流能力，以及动手、动脑，手脑和谐一致的习惯 2、掌握三角形相似的判定条件：两角对应相等的两个三角形相似； 3、能够运用三角形相似的条件解决简单的问题，进一步发展学生的合情推理能力和初步的逻辑推理意识。1、学生回顾旧知。2、根据三角形相似定义（原命题）写出三角形相似的条件（逆命题）。3、利用实验法（按条件画三角形）探索三角形相似的条件（两个角分别相等）的两个三角形相似。4、学生自学例题，教师关注学困生，注意答题规范。环节一：回顾旧知导入新课。环节二：探究三角形相似的条件（AA）。环节三：典例精析。探索三角形相似的条件（SAS)1．知识目标：理解并掌握三角形相似的判定定理：“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”。2．能力目标：在进行探索的活动过程中，发展类比的数学思想，激发学生的探索发现归纳意识，增强合情推理的语言表达能力。3．情感态度与价值观目标：培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生活中的价值。4．类比三角形全等猜想三角形相似的条件。5．掌握三角形相似的判定定理“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，并会运用定理解决相关问题。复习三角形相似的判断（1）找相似三角形。对问题1、2、3小组进行讨论三角形相似的条件2.然后归纳两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。教师指导学生自学例题，注意答题规范。环节一：回顾旧知导入新课。环节二：探究三角形相似的条件（SAS）。环节三：典例精析。探索三角形相似的条件（SSS)1．知识目标：理解并掌握三角形相似的判定定理：“三条边对应成比例两个三角形相似”。并会运用定理解决相关问题。2．能力目标：在进行探索的活动过程中，发展类比的数学思想，激发学生的探索发现归纳意识，增强合情推理的语言表达能力。3．情感态度与价值观目标：培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生活中的价值。完成复习题。回答问题。3、提出问题，小组讨论三角形相似的条件（SSS）4、总结归纳三角形相似的条件（SSS）5、教师指导学生自学例题1、2.关注学困生，注意答题规范。环节一：回顾旧知导入新课。环节二：探究三角形相似的条件（SSS）。环节三：典例精析。探索三角形相似的条件（黄金分割）1、知道黄金分割的定义；会找一条线段的黄金分割点；会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点；2、通过找一条线段的黄金分割点，培养学生理解与动手能力。3、理解黄金分割的意义，并能动手找到和制作黄金分割点和图形，让学生认识教学与人类生活的密切联系对人类历史发展的作用。1、欣赏图片。2、完成测量、计算工作.3、理解黄金分割的含义。4、找出黄金分割点。用尺规找黄金分割点。完成三个练习，掌握解题思路。教师对学困生适当点拨。在欣赏图片的同时认识黄金矩形。环节一：发现美。环节二：探究美。环节三：运用美。环节四：欣赏美。相似三角形判断定理的证明1、学会证明相似三角形判定定理，并理解其证明过程2、通过师生合作、生生合作，在教师引导下完成证明，并体验所运用到的数学思想方法，如转化、类比等，领悟辅助线的添加办法。3、 通过交流合作，培养学生团队协作的精神和意识，逐步突破，完成证明，感受成功带来的喜悦，从而增强学生学习数学的信心，敢于挑战的勇气，提高学生学习数学的兴趣。完成复习题。回答三角形相似的判定定理1、2、3。在三角形中添加辅助线、全等三角形的证明、相似图形的传递性、平行线分线段成比例等相关知识来证明相似三角形判定定理的正确性。基本解题思路是只要再证明三边对应成比例，三角对应相等。完成三种基本模型三角形相似（两个对应相等的两个三角形相似）的证明环节一：回顾旧知导入新课。环节二：探究三角形相似判断定理的证明。环节三：数学建模。利用相似三角形测高1．通过测量旗杆的高度的活动，巩固相似三角形有关知识，积累数学活动的经验。2．熟悉测量工具的使用技能，了解小镜子使用的物理原理（学科融合）。3.通过测量活动，使学生初步学会数学建模的方法。提高综合运用知识的能力。4.在增强相互协作的同时，经历成功的体验，激发学习数学的兴趣。1、观看课件思考怎样测量物体的高度。2、小组讨论三种方法测量高度的方法、原理、测量数据、优缺点。3、完成3个例题的学习。4、独立完成例题4、5的学习，关注学困生。环节一：情境导入。环节二：探究测高的方法。环节三：典例精析。相似三角形的性质（1）1、理解掌握相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线与相似比之间的关系；掌握定理的证明方法。灵活运用相似三角形的判定和性质，解决相关问题。2、对性质定理的探究经历观察——猜想——论证——归纳的过程，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度。3、通过实际情境的创设和解决，使学生逐步掌握把实际问题转化为数学问题，复杂问题转化为简单问题的思想方法。4、在学习和探讨的过程中，体验特殊到一般的认知规律。通过对生活问题的解决，体会数学知识在实际中的广泛应用1、由学生集体回答或个别回答。2、学生思考，小组交流探究，然后与老师共同完成命题证明过程。3、总结归纳相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线的比等于相似比。4、教师指导学生学习两个例题。环节一：回顾与思考。环节二：探究相似三角形性质（1）。环节三：典例精析相似三角形性质（2）经历探索相似三角形性质的过程，并在探究过程中发展学生积极的情感、态度、价值观，体验解决问题策略的多样性。理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，并能用来解决简单的问题。3．探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，体验化归思想。1、回顾相似三角形性质，2、完成习题。3、小组合作探究相似三角形周长比等于相似比。4、小组合作探究相似三角形的面积等于相似比的平方。5、总结归纳。本环节将采用“同伴互助，小组质疑”的形式进行。组织学生从思路到步骤以及书写查找问题，规范做题思路和步骤。环节一：回顾与思考。环节二：探究相似三角形性质（2）。环节三：典例精析图形的位似（1）1．知道位似图形及其有关概念，知道位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。2．利用图形的位似解决一些简单的实际问题，并在有关的学习和运用过程中发展自己的数学应用意识和动手操作能力。1、回顾旧知，思考问题。2、探究位似图形的定义：学生先独立思考，再与本小组同学交流，教师巡视，随时掌握学情，适时点拨指引。3、探究位似图形的性质。4、探究位似图形变换的步骤。5、学生自学例题，对学困生教师适当点拨。环节一：回顾与思考。环节二：探究位似图形的定义、性质和位似图形的变换。环节三：典例精析图形的位似（2）1、在直角坐标系中，感受以O为位似中心的多边形的坐标变化与相似比之间的关系．2、经历探究平面直角坐标系中以原点O为位似中心的多边形的坐标变化与相似比之间关系的过程，发展形象思维能力和数形结合意识。3、能熟练地利用平面直角坐标系中，多边形坐标变化与其位似图形的关系，将一个图形放大或缩小4、经历探究平面直角坐标系中，以O为位似中心的多边形的坐标变化与相似比之间关系的过程，领会所学知识，归纳作图步骤，总结规律，并较熟练地进行应用。1、学生回顾知识。2、求出变换后顶点坐标3、描点连线4、观察图形的特点，思考为什么是位似图形，找位似中心和位似比。5、引导学生总结横纵坐标都乘以相同的数，形成的位似图形的变化规律。6、学生先独立思考做题，然后小组讨论互相对答案纠错同时，之后让学生展示。环节一：知识回顾。环节二：探究位似图形在直角坐标系中的变换规律。环节三：典例精析回顾与思考1、了解比例的基本性质，黄金分割。2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方。3、了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件。4、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小。5、通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题。6、从微观的角度去研究相似，用坐标来说明这种基本变换。1、回顾知识，形成知识架构。2、梳理成比例线段知识点并进行针对性练习。3、梳理相似多边形知识点并进行针对性练习。4、梳理相似三角形知识点并进行针对性练习。5、梳理位似图形知识点并进行针对性练习。环节一：知识架构。环节二：知识梳理
《图形的相似》单元教学设计计
活动一：情境引入
活动二：探究成比例线段
任务一：成比例线段
活动三：探究等比性质
活动四：典例精析
活动一：回顾旧知
活动二：探究平行线分线段成比例
任务二：平行线分线段成比例
活动三：典例精析
活动一：回顾交流导入新课
任务三：相似多边形
活动二：探究相似多边形
活动三：典例精析
图
形
的
相
似
活动一：回顾旧知导入新课
活动二：探究三角形相似的条件(AA)
任务四：探索三角形相似的
条件（AA）
活动三：典例精析
活动一：回顾旧知导入新课
活动二：探究三角形相似的条件(SAS)
任务五：探索三角形相似的
条件（SAS）
活动三：典例精析
活动一：回顾旧知导入新课
任务六：探索三角形相似的
条件（SSS）
活动二：探究三角形相似的条件(SAS)
活动三：典例精析
活动一：发现美
活动二：探究美
任务七：探索三角形相似的
条件（黄金分割）
活动三：运用美
活动四：欣赏美
活动一：回顾旧知导入新课
任务八：相似三角形判断定理的证明
活动二：探究三角形相似判断定理的证明
活动三：数学建模
活动一：情境引入
活动二：探究测高的方法
任务九：利用相似三角形测高
活动三：典例精析
活动一：回顾与思考
活动二：相似三角形性质（1）
任务十：相似三角形性质（1）
活动三：典例精析
图
形
的
相
似
活动一：回顾与思考
活动二：相似三角形性质（2）
任务十一：相似三角形性质（2）
活动三：典例精析
活动一：回顾旧知导入新课
活动二：探究位似图形（1）
任务十二：图形的位似（1）
活动三：典例精析
活动一：回顾旧知
活动二：探究位似图形（2）
任务十三：图形的位似（2）
活动三：典例精析
任务十四：回顾与思考
活动一：知识架构
活动一：知识梳理
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（北师大版版）九年级
上
4.6利用相似三角形测高
图形的相似
第四章
“—”
教学目标
01
知识回顾
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
07
内容总览
教学目标
1．通过测量旗杆的高度的活动，巩固相似三角形有关知识，积累数学活动的经验。
2．熟悉测量工具的使用技能，了解小镜子使用的物理原理（学科融合）。
3.通过测量活动，使学生初步学会数学建模的方法。提高综合运用知识的能力。
4.在增强相互协作的同时，经历成功的体验，激发学习数学的兴趣
情境引入
在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯。一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的。你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？
学校广场上的五星红旗高高飘扬,每周一的早上,全校师生都要在那里举行庄严的升国旗仪式.那么你知道旗杆的高度吗 你能测量出旗杆的高度吗
情境引入
新知讲解
一、利用阳光下的影子测量旗杆高度
利用阳光下的影子：
如图，每个小组选一名同学直立于旗杆影子的顶端处，其他人分为两部分，一部分同学测量该同学的影长，另一部分同学测量同一时刻旗杆的影长.根据测量数
据，你能求出旗杆的高度吗？
说明你的理由.
C
A
E
B
D
新知讲解
测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.
方法：表达式：物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长
数据：需要测量人的高度，影长和旗杆的影长
优点：只需要皮尺就行
缺点：计算量比较大，受阳光的限制
C
A
E
B
D
例1 如图，木杆 EF 长 2 m，它的影长 FD 为3m，测得 OA 为 201 m，求金字塔的高度 BO.
解：太阳光是平行的光线，因此 ∠BAO =∠EDF
又 ∠AOB =∠DFE = 90°
∴△ABO ∽△DEF
因此金字塔的高度为134 m.
新知讲解
新知讲解
如图，每个小组选一名同学作为观察者，在观察者与旗杆质检的地面上直立一根高度适当的标杆。观察者适当调整自己所处的位置，使旗杆的顶端、标杆的顶端与自己的眼镜恰好在一条直线上，这时其他同学立即测出观察者的脚到旗杆地段的距离，已经观察者的脚到标杆地段的距离，然后测出标杆的高。
根据测量数据，你能求出旗杆的高度吗？说明你的理由。
二、利用标杆测量旗杆高度
新知讲解
测量原理：因为CD∥AB,所以∠FHD=∠FGA,∠FDH=∠A
所以△DHF∽△AGF,所以 ,其中FH=EC
FG=BE,DH=DC-HC=DC-EF.可求出AG,
所以AB=AG+EF
测量数据：标杆CD的高度，人的眼睛与地面的距离EF,人与标杆的距离EC,人与物体的距离BE.
优点：只需要标杆和皮尺就行，不受阳光的限制。
缺点：计算量比较大，眼睛离地面的距离测量较困难。
例2 如图，小明为了测量一棵树CD的高度，他在距树24m处立了一根高为2m的标杆EF，然后小明前后调整自己的位置，当他与树相距27m的时候，他的眼睛、标杆的顶端和树的顶端在同一条直线上.已知小明的眼高1.6m，求树的高度.
新知讲解
解：过点A作AN//BD交CD于N，交EF于M，因为人、标杆、树都垂直于地面，
∴∠ABF=∠EFD=∠CDF=90°
∴AB//EF//CD, ∴∠EMA=∠CNA
∵∠EAM=∠CAN
∴△AEM∽△ACN
∴
∵AB=1.6m , EF=2m , BD=27m , FD=24m
∴ , ∴CN=3.6（m）
∴CD=3.6+1.6=5.2（m）
故树的高度为5.2m
新知讲解
新知讲解
三、利用镜子的反射测量旗杆高度
测量原理：因为∠AMB=∠CMD.∠ABM=∠CDM=90°
所以△ABM∽△CDM.从而可知
测量数据：人的眼睛与地面的距离AB,人与平面镜的距离BM,平面镜与物体的距离DM.
学科融合：平面镜反射原理：
入射角等于反射角．
新知讲解
例3 为了测量一棵大树的高度，某同学利用手
边的工具（镜子、皮尺）设计了如下测量方案
如图：
①在距离树AB底部15m的E处放下镜子；
②该同学站在距离镜子1.2m的C处，
目高CD为1.5m；
③观察镜面，恰好看到树的顶端.
你能帮助他计算出大树的大约高度吗？
新知讲解
解：∵∠1=∠2,∠DCE=∠BAE=90°
∴△DCE∽△BAE.
∴
解得 BA=18.75（m）
因此，树高约为18.75m.
典例精析
例题4.如图所示，王刚同学所在的学习小组欲测量
校园里一棵大树的高度，他们选王刚作为观测
者，并在王刚与大树之间的地面上直立一根高
为2 m的标杆CD，然后，王刚开始调整自己的
位置，当他看到标杆的顶端C与树的顶端E重合时，就在该位置停止不动，这时其他同学通过测量，发现王刚离标杆的距离为1 m，
离大树底部的距离为9 m，王刚的眼睛离地
面的高度AB为1.5 m，那么大树EF的高度为多少？
典例精析
解：如图所示，过点A作AH⊥EF，垂足为H，交CD于点G.
典例精析
例题5：如图，小军，小珠之间的距离为2.7 m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8 m，1.5 m，已知小军，小珠的身高分别为1.8 m，1.5 m，求路灯的高是多少米？
典例精析
解：设AB=x cm，BD=y cm.如图所示，因为CD∥AB∥MN，
所以∠EAB=∠ECD，∠ABE=∠CDE，∠BAF=∠NMF，∠ABF=∠MNF.
所以△ABE∽△CDE，△ABF∽△MNF.
解得x=3，即AB=3 m，故路灯的高为3 m.
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1.某建筑物在地面上的影长为36 m,同时高为1.2 m的标杆影长为2 m,那么该建筑物的高为 m.
2.垂直于地面的竹竿的影长为12 m,其顶端到其影子顶端的距离为13 m,如果此时测得某小树的影长为6 m,则小树高 m.
21.6
2.5
课堂练习
3.如图，在同一时刻，小明测得他的影长为1米，距他不远处的一棵槟榔树的影长为5米，已知小明的身高为1.5米，则这棵槟榔树的高是 米.
7.5
课堂练习
4.一个简易的幻灯机的工作情况如图所示，幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离30 cm. 幻灯片到屏幕的距离是1.5 m，幻灯片上小树的高度是10 cm，则屏幕上小树的高度是 cm.
60
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
5. 晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞. 小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高. 于是，两人在灯下沿直线NQ移动，如图，当小聪正好站在广场的点A（距点N5块地砖长）时，其影长AD恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的点B（距点N9块地砖长）时，其影长BF恰好为2块地砖长. 已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高AC为1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ. 请你根据以上信息，求出小军身高BE的长. （结果精确到0.01米）
课堂练习
解：由题意得，∠CAD=∠MND=90°，∠CDA=∠MDN.
∴△CAD～△MND.
∴MN=9.6.
∵∠EBF=∠MNF=90°，∠EFB=∠MFN， ∴△EFB～△MFN.
∴EB≈1. 75. ∴小军身高约为1.75米.
【综合拓展类作业】
课堂练习
6. 如图，某测量人员的眼睛A与标杆顶端F、电视塔顶端E在同一条直线上，已知此人的眼睛到地面的距离AB=1.6 m，标杆FC=2.2 m，且BC=1 m，CD=5 m，标杆FC、ED垂直于地面. 求电视塔的高ED.
【综合拓展类作业】
课堂练习
解：作AH⊥ED交ED于点H，交FC于点G. 如图所示：
∵FC⊥BD，ED⊥BD，∴FG∥EH.
∵AB＝1.6，FC＝2.2，BC＝1，CD＝5，
∴FG＝2.2-1.6＝0.6，BD＝6. ∵FG∥EH，
解得EH＝3.6. ∴ED＝3.6+1.6＝5.2（m）.
答：电视塔的高ED是5.2 m.
课堂总结
板书设计
利用相似三角形测高
利用阳光下的影子
（物高与影长成正比）
利用标杆
利用镜子的反射
（反射角=入射角）
作业布置
1.小明在测量楼高时,测出楼房落在地面上的影长BA为15米,同时在A处竖立一根高2米的标杆,测得标杆的影长AC为3米,则楼高为( )
A.10米 B.12米 C.15米 D.22.5米
2.如图，身高为1.6米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC＝2.0米，BC＝8.0米，则旗杆的高度是( )
A．6.4米 B．7.0米 C．8.0米 D．9.0米
【知识技能类作业】必做题：
A
C
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
3. 如图所示，有点光源 S 在平面镜上面，若在 P 点看到点光源的反射光线，并测得 AB＝10 cm，BC＝20 cm，PC⊥AC，且 PC＝24 cm，则点光源 S 到平面镜的距离 SA 的长为 .
12 cm
C
C
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
6.数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的高度,下午课外活动时她测得一根长为1 m的竹竿的影长是0.8 m,但当她马上测量树高时,发现树的影子不全落在地面上,有一部分影子落在教学楼的墙壁上(如图所示),她先测得留在墙壁上的影高为1.2 m,又测得地面上的影长为2.6 m,请你帮她算一下,树高是( )米
4.45
作业布置
解析:根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同,得
解得BD=0.96(m),所以树在地面上的实际影子长是0.96+2.6=3.56(m),再利用竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同,即树高比3.56=1比0.8
求出树高4.45米
【综合拓展类作业】
7.为了测量水平地面上一棵直立大树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索. 根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在与树底端B相距8米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=1.6米，观察者目高CD=1.5米，求树AB的高度
作业布置
【综合拓展类作业】
解：根据题意，易得∠CDE＝∠ABE＝90°，∠CED＝∠AEB，
∴△ABE∽△CDE.
∵BE=8，DE=1.6，CD=1.5，
解得AB＝7.5.
答：树AB的高度为7.5米．
作业布置
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分课时教学设计
第一课时《利用三角形相似测高》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课的内容是继上节课《探索三角形相似的条件》之后的复习与应用。它将生活中的一些无法直接测量物体高度的实际问题是转化成数学问题，利用学生已有的相似三角形的知识采用不同的方法给予解决，通过对此问题的解决方案的探究，渗透数学识模和建模的思想，从而提高学生解决实际问题的能力，增强应用意识，同时为今后学习三角函数埋下伏笔。
学习者分析 学生在前几节课的学习中，已初步理解相似三角形的特征，掌握了两个三角形相似的条件，具备利用三角形相似来解决现实世界中的具体问题的基本知识。
教学目标 1．通过测量旗杆的高度的活动，巩固相似三角形有关知识，积累数学活动的经验。 2．熟悉测量工具的使用技能，了解小镜子使用的物理原理（学科融合）。 3.通过测量活动，使学生初步学会数学建模的方法。提高综合运用知识的能力。 4.在增强相互协作的同时，经历成功的体验，激发学习数学的兴趣。
教学重点 通过利用三种方法测量旗杆高度，结合应用相似的判定，性质解决实际问题。
教学难点 通过两次相似解决实际问题。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：情境导入教师活动1： 情境1：在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯。一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的。你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？ 情境2：学校广场上的五星红旗高高飘扬,每周一的早上,全校师生都要在那里举行庄严的升国旗仪式.那么你知道旗杆的高度吗 你能测量出旗杆的高度吗 学生活动1： 观看课件思考怎样测量物体的高度。活动意图说明： 情境导入，激发学生的求知欲环节二：探究测高的方法教师活动2： 一、利用阳光下的影子测量旗杆高度 如图，每个小组选一名同学直立于旗杆影子的顶端处，其他人分为两部分，一部分同学测量该同学的影长，另一部分同学测量同一时刻旗杆的影长.根据测量数据，你能求出旗杆的高度吗？说明你的理由. 测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决. 方法：表达式：物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长 数据：需要测量人的高度，影长和旗杆的影长 优点：只需要皮尺就行 缺点：计算量比较大，受阳光的限制 例1 如图，木杆 EF 长 2 m，它的影长 FD 为3m，测得 OA 为 201 m，求金字塔的高度 BO. 解：太阳光是平行的光线，因此 ∠BAO =∠EDF 又 ∠AOB =∠DFE = 90° ∴△ABO ∽△DEF 因此金字塔的高度为134 m. 二、利用标杆测量旗杆高度 如图，每个小组选一名同学作为观察者，在观察者与旗杆质检的地面上直立一根高度适当的标杆。观察者适当调整自己所处的位置，使旗杆的顶端、标杆的顶端与自己的眼镜恰好在一条直线上，这时其他同学立即测出观察者的脚到旗杆地段的距离，已经观察者的脚到标杆地段的距离，然后测出标杆的高。 根据测量数据，你能求出旗杆的高度吗？说明你的理由。 测量原理：因为CD∥AB,所以∠FHD=∠FGA,∠FDH=∠A 所以△DHF∽△AGF,所以 其中FH=EC FG=BE,DH=DC-HC=DC-EF.可求出AG, 所以AB=AG+EF 测量数据：标杆CD的高度，人的眼睛与地面的距离EF,人与标杆的距离EC,人与物体的距离BE. 优点：只需要标杆和皮尺就行，不受阳光的限制。 缺点：计算量比较大，眼睛离地面的距离测量较困难。 例2 如图，小明为了测量一棵树CD的高度，他在距树24m处立了一根高为2m的标杆EF，然后小明前后调整自己的位置，当他与树相距27m的时候，他的眼睛、标杆的顶端和树的顶端在同一条直线上.已知小明的眼高1.6m，求树的高度. 解：过点A作AN//BD交CD于N，交EF于M，因为人、标杆、树都垂直于地面， ∴∠ABF=∠EFD=∠CDF=90° ∴AB//EF//CD, ∴∠EMA=∠CNA ∵∠EAM=∠CAN ∴△AEM∽△ACN ∴ ∵AB=1.6m , EF=2m , BD=27m , FD=24m ∴ , ∴CN=3.6（m） ∴CD=3.6+1.6=5.2（m） 故树的高度为5.2m 三、利用镜子的反射测量旗杆高度 测量原理：因为∠AMB=∠CMD.∠ABM=∠CDM=90° 所以△ABM∽△CDM.从而可知 测量数据：人的眼睛与地面的距离AB,人与平面镜的距离BM,平面镜与物体的距离DM. 学科融合：平面镜反射原理： 入射角等于反射角 例3 为了测量一棵大树的高度，某同学利用手 边的工具（镜子、皮尺）设计了如下测量方案 如图： ①在距离树AB底部15m的E处放下镜子； ②该同学站在距离镜子1.2m的C处， 目高CD为1.5m； ③观察镜面，恰好看到树的顶端. 你能帮助他计算出大树的大约高度吗？ 解：∵∠1=∠2,∠DCE=∠BAE=90° ∴△DCE∽△BAE. ∴ 解得 BA=18.75（m） 因此，树高约为18.75m.学生活动2： 小组讨论三种方法测量高度的方法、原理、测量数据、优缺点。 完成3个例题的学习。活动意图说明： 介绍三种方法测量物体高度的方法，紧跟例题，培养解决实际问题的能力环节三：典例精析教师活动3： 例题4.如图所示，王刚同学所在的学习小组欲测量 校园里一棵大树的高度，他们选王刚作为观测 者，并在王刚与大树之间的地面上直立一根高 为2 m的标杆CD，然后，王刚开始调整自己的 位置，当他看到标杆的顶端C与树的顶端E重合时，就在该位置停止不动，这时其他同学通过测量，发现王刚离标杆的距离为1 m， 离大树底部的距离为9 m，王刚的眼睛离地 面的高度AB为1.5 m，那么大树EF的高度为多少？ 解：如图所示，过A作AH⊥EF,垂足为H，交CD于点G 由题意得：AB⊥BF,CD⊥BF,EF⊥BF ∴ABD;GABFH;GDHF都是矩形。 ∴AB=GD=FH,AF=BF;AG=BD,CD∥EF ∴∠AGC=∠AHE=90° 又∵∠CAG=∠EAH ∴△ACG∽△AEH ∴ EH=4.5(m) EF=EH+HF=4.5+1.5=6(m) 例题5：如图，小军，小珠之间的距离为2.7 m， 他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8 m，1.5 m， 已知小军，小珠的身高分别为1.8 m，1.5 m，求路 灯的高是多少米？ 解：设AB=x cm，BD=y cm.如图所示，因为CD∥AB∥MN， 所以∠EAB=∠ECD，∠ABE=∠CDE，∠BAF=∠NMF，∠ABF=∠MNF. 所以△ABE∽△CDE，△ABF∽△MNF. 即： 解得x=3，即AB=3 m，故路灯的高为3 m.学生活动3： 独立完成例题4、5的学习，关注学困生。活动意图说明： 运用所学知识解决实际问题，提高学生的运用意识。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.某建筑物在地面上的影长为36 m,同时高为1.2 m的标杆影长为2 m,那么该建筑物的高为 21.6 m. 2.垂直于地面的竹竿的影长为12 m,其顶端到其影子顶端的距离为13 m,如果此时测得某小树的影长为6 m,则小树高 2.5 m. 3.如图，在同一时刻，小明测得他的影长为1米，距他不 远处的一棵槟榔树的影长为5米，已知小明的身高为1.5 米，则这棵槟榔树的高是 7.5 米. 4.一个简易的幻灯机的工作情况如图所示，幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离30 cm. 幻灯片到屏幕的距离是1.5 m，幻灯片上小树的高度是10 cm，则屏幕上小树的高度是 60 cm. 选做题： 5. 晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞. 小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高. 于是，两人在灯下沿直线NQ移动，如图，当小聪正好站在广场的点A（距点N5块地砖长）时，其影长AD恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的点B（距点N9块地砖长）时，其影长BF恰好为2块地砖长. 已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高AC为1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ. 请你根据以上信息，求出小军身高BE的长. （结果精确到0.01米） 解：由题意得，∠CAD=∠MND=90°，∠CDA=∠MDN. ∴△CAD～△MND. ∴MN=9.6. ∵∠EBF=∠MNF=90°，∠EFB=∠MFN， ∴△EFB～△MFN. ∴ ∴EB≈1. 75. ∴小军身高约为1.75米. 【综合拓展类作业】 6. 如图，某测量人员的眼睛A与标杆顶端F、电视塔顶端E在同一条直线上，已知此人的眼睛到地面的距离AB=1.6 m，标杆FC=2.2 m，且BC=1 m，CD=5 m，标杆FC、ED垂直于地面. 求电视塔的高ED. 解：作AH⊥ED交ED于点H，交FC于点G. 如图所示： ∵FC⊥BD，ED⊥BD，∴FG∥EH. ∵AB＝1.6，FC＝2.2，BC＝1，CD＝5， ∴FG＝2.2-1.6＝0.6，BD＝6. ∵FG∥EH， 解得EH＝3.6. ∴ED＝3.6+1.6＝5.2（m）. 答：电视塔的高ED是5.2 m.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.小明在测量楼高时,测出楼房落在地面上的影长BA为15米,同时在A处竖立一根高2米的标杆,测得标杆的影长AC为3米,则楼高为( A ) A.10米 B.12米 C.15米 D.22.5米 2.如图，身高为1.6米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC＝2.0米，BC＝8.0米，则旗杆的高度是( C ) A．6.4米 B．7.0米 C．8.0米 D．9.0米 第1题 第2题 第3题 3. 如图所示，有点光源 S 在平面镜上面，若在 P 点看到点光源的反射光线，并测得 AB＝10 cm，BC＝20 cm，PC⊥AC，且 PC＝24 cm，则点光源 S 到平面镜的距离 SA 的长为 12m . 选做题： 6.数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的高度,下午课外活动时她测得一根长为1 m的竹竿的影长是0.8 m,但当她马上测量树高时,发现树的影子不全落在地面上,有一部分影子落在教学楼的墙壁上(如图所示),她先测得留在墙壁上的影高为1.2 m,又测得地面上的影长为2.6 m,请你帮她算一下,树高是( 4.5 )米 解析:根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同,得 解得BD=0.96(m),所以树在地面上的实际影子长是0.96+2.6=3.56(m),再利用竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同,即树高比3.56=1比0.8 求出树高4.45米 【综合拓展类作业】 7.为了测量水平地面上一棵直立大树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索. 根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在与树底端B相距8米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=1.6米，观察者目高CD=1.5米，求树AB的高度 解：根据题意，易得∠CDE＝∠ABE＝90°，∠CED＝∠AEB， ∴△ABE∽△CDE. ∴ ∵BE=8，DE=1.6，CD=1.5， ∴ 解得AB＝7.5. 答：树AB的高度为7.5米．
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