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（北师大版版）九年级
上
4.8图形的位似(1)
图形的相似
第四章
“—”
教学目标
01
知识回顾
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
07
内容总览
教学目标
1．知道位似图形及其有关概念，知道位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。
2．利用图形的位似解决一些简单的实际问题，并在有关的学习和运用过程中发展自己的数学应用意识和动手操作能力。
复习导入
下列是一些图的变换，请连线：
轴对称图形
图形的旋转
图形的平移
复习导入
我们发现：前三个图中的两个图形都是全等的，而第四个图形中的两个图形相似，那么第四个图是怎样的一种变换呢？
新课导入
问题：观察下面四组图形有哪些相似点？
新知讲解
一、位似多边形的概念
问题1：下列图形中有相似多边形吗？如果有，这种相似有什么特征？
新知讲解
问题2：下面两个多边形相似，将两个图形的顶点相连，观察发现连接的直线相交于点O. 有什么关系？
新知讲解
总结
如果两个相似多边形任意一组对应顶点P，P 所在的直线都过同一点O,且OP =k· OP （k≠0）,那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心.其中k为相似多边形的相似比.
新知讲解
注意
(1)位似图形必须同时满足：
①两个图形是相似图形；
②两个相似图形的每组对应点的连线都经过同一点．二者缺一不可．
(2)位似中心可能在两个位似图形的一侧，也可能在两个位似图形之间，也可能在图形的边上（包括顶点上），还可能在图形的内部．
做一做
1、下列各组图形中，是位似图形的有( )
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
D
2、如图，△ABC与△DEF是位似图形，O是位似中心，OA=AD，则△ABC与△DEF的位似比是（ ）
做一做
A
新知讲解
二、探究位似图形的性质
观察猜想
①对应线段有可能平行，也可能共线。
③位似中心可能位于两个图形的内部，也
可能在两图形的公共顶点上，还可能在两
个图形的外部。
②两图形可能出现在位似中心的同侧或者异侧。
新知讲解
总结：位似图形的性质
1. 位似图形是一种特殊的相似图形，它具有相似图形的所有性质，即对应角相等，对应边的比相等．
2. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.（位似图形的相似比也叫做位似比）
3. 对应线段平行或者在一条直线上．
两个位似多边形中的对应角_________ ,对应线
段_____,对应顶点的连线必经过_______
2.位似多边形上某一对对应点到位似中心的
距离分别为5和10，则它们的相似比为___。
3.四边形ABCD和四边形A’B’C’D’位似，
O为位似中心，若OA:OA’=1:4,那么
S四边形ABCD:S四边形A’B’C’D’=_____。
做一做
相等
成比例
位似中心
1:2
1:16
新知讲解
三、位似图形的画法
解：如图，画射线OA，OB，OC
在射线OA，OB，OC上分别取点
D，E，F，使OD=2OA
OE=2OB，OF=2OC
顺次连接D，E，F，
则△ DEF与△ABC位似
相似比为２
如图，已知△ABC，以点O为位似中心画△DEF，使它与△ABC位似，且相似比为2.
满足条件△DEF在点Ｏ的同侧
新知讲解
解：画射线OA,OB,OC;
沿着射线OA,OB,OC反方向上分别
取点D,E,F,
OD = 2OA,OE = 2OB,OF = 2OC;
顺序连接D,E,F,使△DEF与
△ABC 位似,相似比为2.
满足条件△DEF在点Ｏ的异侧
位似变换的步骤
新知讲解
①确定位似中心，位似中心的位置可随意选择；
②确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点；
③确定位似比，根据位似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小，并连接对应点；
④符合要求的图形不唯一，因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关，并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形。
典例精析
例1：如图，矩形ABCD与矩形A′B′C′D′是位似图形，点A是位似中心，已知矩形ABCD的周长为24，BB′＝4，DD′＝2，求AB和AD的长．
解：∵矩形ABCD的周长为24，
∴AB+AD=12，设AB=x,则AD=12-x,
∴A'B'=x+4,A'D'=14-x
∵矩形ABCD与矩形A′B′C′D′是位似图形,
∴矩形ABCD∽矩形A′B′C′D′
解得:x=8
∴AB=8，AD=12-x=4.
典例精析
例2：如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点．
(1)以点O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1∶2；
(2)连接(1)中的AA′，求四边形AA′C′C的周长．(结果保留根号)
典例精析
解：（1）如图
2）AA′=CC′=2．
在Rt△OA′C′中， OA′=OC′=2，
∴四边形AA′C′C的周长= 。
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1．下列关于位似图形的三个表述中正确的有( )
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
C
课堂练习
2.下列各选项的两个图形中，不是位似图形的是( ）
C
3. 如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2 : 3，已知 AB＝4，则 DE 的长为___．
6
课堂练习
4．如图P，E，F分别是AC，AB，AD的中点，四边形AEPF与四边形ABCD是位似图形吗？如果是位似图形，说出位似中心和位似比.
是位似图形
位似中心是点A
位似比是1:2
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
5.如图，△ABC. 根据要求作△A'B'C'，使△A' B' C'∽△ABC，且相似比为 1 : 5.
(1) 位似中心在△ABC的一条边AB上；
假设位似中心点 O 为 AB中点，点 O 位置如图所示.
根据相似比可确定 A′，
B′，C′ 的位置.
课堂练习
(2) 以点 C 为位似中心.
根据相似比可确定 A′，
B′，C′ 的位置.
5.如图，△ABC. 根据要求作△A'B'C'，使△A' B' C'∽△ABC，且相似比为 1 : 5.
【综合拓展类作业】
课堂练习
6.已知边长为1的正方形ABCD，以它的两条对角线的交点为位似中心，画一个边长为2且与它位似的正方形.
解：画射线OA、OB、OC、OD;在射线OA、OB、OC、OD上分别取点D、E、F,使OE = 2OA , OF = 2OB , OG = 2OC , OH = 2OD;顺次连结E、F、G、H,使正方形ABCD与正方形EFGH位似,相位似比为1：2
课堂总结
板书设计
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1.如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且位似比是1∶2，若AB＝2 cm，则A′B′＝________ cm，并在图中画出位似中心O.
4
O
2.在任意一个三角形内部画一个小三角形，使其各边与原三角形各边平行，则它们的位似中心是( )
A．一定点
B．原三角形三边垂直平分线的交点
C．原三角形角平分线的交点
D．位置不定的一点
D
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
A
C
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
C
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
【综合拓展类作业】
作业布置
1:4 ．
Thanks!
2
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学 科 数学 年 级 九年级 设计者 尹坚
教材版本 北师大版 册、章 上册第四章
课标要求 知识技能了解本章内容，建立本章知识体系；正确合理选择判断方法找出相似三角形，运用相似三角形解决数学问题。数学思考经历观察、实验、猜想、证明等找相似的过程，进一步发展几何直觉，发展合理推理能力和初步的演绎推理能力。能有条理地清晰地阐述自己学习体验和结果，发展表达能力。问题解决能与同学交流“找相似”的体验和结果，体验“交流”对自己的帮助。在“找相似”的过程中形成反思意识，获得“找相似”的成功体验。情感态度能积极参与到课堂学习中，对本章学习有兴趣和热情；体验数学活动充满探索与创新，感受数学的严谨性；形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯。
内容分析 1、主要内容：相似图形的概念和性质、相似三角形的判定和应用、相似多边形、位似变换。在本章学习之前，已经研究了图形的全等以及图形的一些变换,如平移、轴对称、旋转等，本章将在这些内容的基础上研究相似三角形和相似多边形的性质与判定,并进一步研究一种特殊的变换--位似变换,结合一些图形性质的探索、证明等，进一步发展学生的探究能力,培养学生的逻辑思维能力。2、教材特点（1）突出图形性质的探索过程,重视实验操作和逻辑推理的有机结合,通过多种手段，如观察度量、实验操作、图形变换、逻辑推理等来探索图形的性质，以及相似三角形的判定方法。（2）注意联系实际，通过生活中大量的实例引入相似图形、位似图形的概念,例题、习题中也有许多应用相似图形知识的实例。教材还给出了一些利用相似三角形的性质和判定方法来解决生活中不能直接测量物体长度的问题等。(3)重视数学思想方法的渗透。本章主要涉及的数学思想方法是转化。
学情分析 学生知识状况分析 学生已经学行线的知识以及图形的全等及全等三角形等知识，页研究了全等图形的变换。全等是图形之间的一种关系，而相似也是图形间的关系，仅仅是形状相同，大小不同的两个图形，是按一定的比例放大或缩小的另一个图形，这种变换就是相似变换。全等实际是一种特殊的相似。所以研究相似是一种全等的拓展和发展。学生对两个图形之间的关系有了一定的理解和认识，并且大部分学生能够熟练运用学过的知识解决问题。本章的学习，学生通过大量的现实情景，从“相似”这个角度认识了图形的另一种关系，丰富了学生对图形的直观体验，学生已经具备了一定的分析理解能力和逻辑推理能力。
单元目标 教学目标在丰富的现实情境中，经历对相似图形的观察、操作、思考、类比、归纳、交流等数学活动，进一步发展学生的探索精神、合作意识和数学推理能力，以及从相似的角度提出问题，分析问题，解决问题的能力，增强数学应用意识。结合图形了解线段比、成比例线段，掌握平行线分线段成比例的基本事实。了解相似多边形和相似比，探索三角形相似的条件。了解相似三角形的判定定理，了解相似三角形的性质定理，利用三角形相似的判定定理和性质定理解决实际问题。了解图形的位似，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小。在直角坐标系中，探索并了解将一个直线形的图形（有一个顶点在原点，一条边在横坐标上）分别放大（或缩小）相同的倍数的图形。通过建筑、艺术等方面的实例，了解黄金分割。通过典型实例，了解现实生活中的相似图形，利用图形的相似解决一些实际问题，并通过图形的相似的具体运用，进一步体会数学与自然及人类社会的密切联系，加强对数学的人文价值的理解和运用。（二）教学重点、难点教学重点：图形的相似。教学难点：利用图形的相似知识解决实际问题。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1成比例线段12平行线分线段成比例13相似多边形14探索三角形相似的条件（AA）15探索三角形相似的条件（SAS）16探索三角形相似的条件（SSS）17探索三角形相似的条件（黄金分割）18相似三角形判定定理的证明19利用相似三角形测高110相似三角形性质（1）111相似三角形性质（2）112位似图形（1）113位似图形（2）114回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务成比例线段一、知识与技能：1．掌握比例线段的概念及其性质。2．会求两条线段的比及判断四条线段是否成比例。二、过程与方法：能够灵活运用比例线段的性质解决问题。三、情感、态度与价值观：感知知识的实际应用，增强对知识就是力量的客观认识，进一步加强理论联系实际的学习1、学生观察图片，回答问题。相同点：形状相同不同点：大小不相同教师引导学生结合图形分析题意,明确图中两四边形的四条边的长度可以通过观察或勾股定理得出.给学生充足的时间计算.在教师的引导下探究等比性质。学生灵活应用比例性质、等比定理，解决实际问题。升华对等比定理的理解和运用。环节一：情境导入。环节二：探究成比例线段。环节三：探究等比性质。环节四：典例精析。平行线分线段成比例一、知识目标理解并掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论，并会灵活应用。二、能力目标通过应用，培养识图能力和推理论证能力。三、情感与价值观目标1．培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生活中的价值。2．在进行探索的活动过程中发展学生的探索发现归纳意识并养成合作交流的习惯。1、学生思考回答问题。2、探究活动一：学生通过观察、度量、计算、猜测、验证、推理与交流等数学活动,得出结论。3、探究活动二：让学生在探究得出结论的基础上,对平行线分线段成比例定理的有进一步的理解。并掌握定理的符号语言,进一步发展推理能力。4、让学生脱离表格,不通过计算,运用平行四边形的性质推理得出平行线等分线段定理的推论。5、通过对平行线分线段成比例定理的简单应用,规范书写格式,培养学生严谨的逻辑推理能力,深化对知识的理解。环节一：回顾旧知。环节二：探究平行线分线段成比例。环节三：典例精析。相似多边形1.经历相似多边形概念的形成过程，了解相似多边形的含义．掌握相似多边形的性质和判断。2.在探索相似多边形本质特征的过程中，进一步发展学生观察、操作、归纳、类比等多方面的能力，提高学生的数学思维水平．3.使学生体会团队合作精神，充分认识数学与人类生活的密切联系，体验数学活动充满探索与创造．1、小组讨论，形成共识，展示讨论结果。2、从正三角形、正方形对应角、对应边的关系抽象出正多边形的相似概念。3、思考【想一想】的5个问题，掌握判断两个图形的相似条件是什么？4、完成例题1的学习，掌握已知两个图形相似求边的长度或角的大小。5、完成例题2的学习了解多边形相似的判断方法。环节一：回顾交流导入新课。环节二：探究相似多边形的判断和性质。环节三：典例精析。探索三角形相似的条件（AA)1、经历两个三角形相似条件的探索过程，进一步发展学生的探索、交流能力，以及动手、动脑，手脑和谐一致的习惯 2、掌握三角形相似的判定条件：两角对应相等的两个三角形相似； 3、能够运用三角形相似的条件解决简单的问题，进一步发展学生的合情推理能力和初步的逻辑推理意识。1、学生回顾旧知。2、根据三角形相似定义（原命题）写出三角形相似的条件（逆命题）。3、利用实验法（按条件画三角形）探索三角形相似的条件（两个角分别相等）的两个三角形相似。4、学生自学例题，教师关注学困生，注意答题规范。环节一：回顾旧知导入新课。环节二：探究三角形相似的条件（AA）。环节三：典例精析。探索三角形相似的条件（SAS)1．知识目标：理解并掌握三角形相似的判定定理：“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”。2．能力目标：在进行探索的活动过程中，发展类比的数学思想，激发学生的探索发现归纳意识，增强合情推理的语言表达能力。3．情感态度与价值观目标：培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生活中的价值。4．类比三角形全等猜想三角形相似的条件。5．掌握三角形相似的判定定理“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，并会运用定理解决相关问题。复习三角形相似的判断（1）找相似三角形。对问题1、2、3小组进行讨论三角形相似的条件2.然后归纳两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。教师指导学生自学例题，注意答题规范。环节一：回顾旧知导入新课。环节二：探究三角形相似的条件（SAS）。环节三：典例精析。探索三角形相似的条件（SSS)1．知识目标：理解并掌握三角形相似的判定定理：“三条边对应成比例两个三角形相似”。并会运用定理解决相关问题。2．能力目标：在进行探索的活动过程中，发展类比的数学思想，激发学生的探索发现归纳意识，增强合情推理的语言表达能力。3．情感态度与价值观目标：培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生活中的价值。完成复习题。回答问题。3、提出问题，小组讨论三角形相似的条件（SSS）4、总结归纳三角形相似的条件（SSS）5、教师指导学生自学例题1、2.关注学困生，注意答题规范。环节一：回顾旧知导入新课。环节二：探究三角形相似的条件（SSS）。环节三：典例精析。探索三角形相似的条件（黄金分割）1、知道黄金分割的定义；会找一条线段的黄金分割点；会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点；2、通过找一条线段的黄金分割点，培养学生理解与动手能力。3、理解黄金分割的意义，并能动手找到和制作黄金分割点和图形，让学生认识教学与人类生活的密切联系对人类历史发展的作用。1、欣赏图片。2、完成测量、计算工作.3、理解黄金分割的含义。4、找出黄金分割点。用尺规找黄金分割点。完成三个练习，掌握解题思路。教师对学困生适当点拨。在欣赏图片的同时认识黄金矩形。环节一：发现美。环节二：探究美。环节三：运用美。环节四：欣赏美。相似三角形判断定理的证明1、学会证明相似三角形判定定理，并理解其证明过程2、通过师生合作、生生合作，在教师引导下完成证明，并体验所运用到的数学思想方法，如转化、类比等，领悟辅助线的添加办法。3、 通过交流合作，培养学生团队协作的精神和意识，逐步突破，完成证明，感受成功带来的喜悦，从而增强学生学习数学的信心，敢于挑战的勇气，提高学生学习数学的兴趣。完成复习题。回答三角形相似的判定定理1、2、3。在三角形中添加辅助线、全等三角形的证明、相似图形的传递性、平行线分线段成比例等相关知识来证明相似三角形判定定理的正确性。基本解题思路是只要再证明三边对应成比例，三角对应相等。完成三种基本模型三角形相似（两个对应相等的两个三角形相似）的证明环节一：回顾旧知导入新课。环节二：探究三角形相似判断定理的证明。环节三：数学建模。利用相似三角形测高1．通过测量旗杆的高度的活动，巩固相似三角形有关知识，积累数学活动的经验。2．熟悉测量工具的使用技能，了解小镜子使用的物理原理（学科融合）。3.通过测量活动，使学生初步学会数学建模的方法。提高综合运用知识的能力。4.在增强相互协作的同时，经历成功的体验，激发学习数学的兴趣。1、观看课件思考怎样测量物体的高度。2、小组讨论三种方法测量高度的方法、原理、测量数据、优缺点。3、完成3个例题的学习。4、独立完成例题4、5的学习，关注学困生。环节一：情境导入。环节二：探究测高的方法。环节三：典例精析。相似三角形的性质（1）1、理解掌握相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线与相似比之间的关系；掌握定理的证明方法。灵活运用相似三角形的判定和性质，解决相关问题。2、对性质定理的探究经历观察——猜想——论证——归纳的过程，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度。3、通过实际情境的创设和解决，使学生逐步掌握把实际问题转化为数学问题，复杂问题转化为简单问题的思想方法。4、在学习和探讨的过程中，体验特殊到一般的认知规律。通过对生活问题的解决，体会数学知识在实际中的广泛应用1、由学生集体回答或个别回答。2、学生思考，小组交流探究，然后与老师共同完成命题证明过程。3、总结归纳相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线的比等于相似比。4、教师指导学生学习两个例题。环节一：回顾与思考。环节二：探究相似三角形性质（1）。环节三：典例精析相似三角形性质（2）经历探索相似三角形性质的过程，并在探究过程中发展学生积极的情感、态度、价值观，体验解决问题策略的多样性。理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，并能用来解决简单的问题。3．探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，体验化归思想。1、回顾相似三角形性质，2、完成习题。3、小组合作探究相似三角形周长比等于相似比。4、小组合作探究相似三角形的面积等于相似比的平方。5、总结归纳。本环节将采用“同伴互助，小组质疑”的形式进行。组织学生从思路到步骤以及书写查找问题，规范做题思路和步骤。环节一：回顾与思考。环节二：探究相似三角形性质（2）。环节三：典例精析图形的位似（1）1．知道位似图形及其有关概念，知道位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。2．利用图形的位似解决一些简单的实际问题，并在有关的学习和运用过程中发展自己的数学应用意识和动手操作能力。1、回顾旧知，思考问题。2、探究位似图形的定义：学生先独立思考，再与本小组同学交流，教师巡视，随时掌握学情，适时点拨指引。3、探究位似图形的性质。4、探究位似图形变换的步骤。5、学生自学例题，对学困生教师适当点拨。环节一：回顾与思考。环节二：探究位似图形的定义、性质和位似图形的变换。环节三：典例精析图形的位似（2）1、在直角坐标系中，感受以O为位似中心的多边形的坐标变化与相似比之间的关系．2、经历探究平面直角坐标系中以原点O为位似中心的多边形的坐标变化与相似比之间关系的过程，发展形象思维能力和数形结合意识。3、能熟练地利用平面直角坐标系中，多边形坐标变化与其位似图形的关系，将一个图形放大或缩小4、经历探究平面直角坐标系中，以O为位似中心的多边形的坐标变化与相似比之间关系的过程，领会所学知识，归纳作图步骤，总结规律，并较熟练地进行应用。1、学生回顾知识。2、求出变换后顶点坐标3、描点连线4、观察图形的特点，思考为什么是位似图形，找位似中心和位似比。5、引导学生总结横纵坐标都乘以相同的数，形成的位似图形的变化规律。6、学生先独立思考做题，然后小组讨论互相对答案纠错同时，之后让学生展示。环节一：知识回顾。环节二：探究位似图形在直角坐标系中的变换规律。环节三：典例精析回顾与思考1、了解比例的基本性质，黄金分割。2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方。3、了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件。4、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小。5、通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题。6、从微观的角度去研究相似，用坐标来说明这种基本变换。1、回顾知识，形成知识架构。2、梳理成比例线段知识点并进行针对性练习。3、梳理相似多边形知识点并进行针对性练习。4、梳理相似三角形知识点并进行针对性练习。5、梳理位似图形知识点并进行针对性练习。环节一：知识架构。环节二：知识梳理
《图形的相似》单元教学设计计
活动一：情境引入
活动二：探究成比例线段
任务一：成比例线段
活动三：探究等比性质
活动四：典例精析
活动一：回顾旧知
活动二：探究平行线分线段成比例
任务二：平行线分线段成比例
活动三：典例精析
活动一：回顾交流导入新课
任务三：相似多边形
活动二：探究相似多边形
活动三：典例精析
图
形
的
相
似
活动一：回顾旧知导入新课
活动二：探究三角形相似的条件(AA)
任务四：探索三角形相似的
条件（AA）
活动三：典例精析
活动一：回顾旧知导入新课
活动二：探究三角形相似的条件(SAS)
任务五：探索三角形相似的
条件（SAS）
活动三：典例精析
活动一：回顾旧知导入新课
任务六：探索三角形相似的
条件（SSS）
活动二：探究三角形相似的条件(SAS)
活动三：典例精析
活动一：发现美
活动二：探究美
任务七：探索三角形相似的
条件（黄金分割）
活动三：运用美
活动四：欣赏美
活动一：回顾旧知导入新课
任务八：相似三角形判断定理的证明
活动二：探究三角形相似判断定理的证明
活动三：数学建模
活动一：情境引入
活动二：探究测高的方法
任务九：利用相似三角形测高
活动三：典例精析
活动一：回顾与思考
活动二：相似三角形性质（1）
任务十：相似三角形性质（1）
活动三：典例精析
图
形
的
相
似
活动一：回顾与思考
活动二：相似三角形性质（2）
任务十一：相似三角形性质（2）
活动三：典例精析
活动一：回顾旧知导入新课
活动二：探究位似图形（1）
任务十二：图形的位似（1）
活动三：典例精析
活动一：回顾旧知
活动二：探究位似图形（2）
任务十三：图形的位似（2）
活动三：典例精析
任务十四：回顾与思考
活动一：知识架构
活动一：知识梳理
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分课时教学设计
第一课时《图形的位似（1）》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》4.8图形的位似第一课时。主要内容是位似图形的概念；掌握位似图形的判别条件；位似图形的性质和位似图形的画法。教学方法主要采用合作探究、小组讨论。进而能初步归纳出规律，形成有关技能，发展思维能力。本节课将观察、动手操作、合作探究等实践活动贯穿于教学活动的始终。同时，有意识地培养学生积极的情感和态度。
学习者分析 九年级的学生正处于由形象思维向抽象思维的过渡阶段，经过沉淀，已经积累了一定的学习数学的方法和经验。他们具备一定的探究能力，也喜欢动手探究。本节课是第四章第8节图形的位似的第一课时，学生已经对相似图形有一定的了解。，已获得一些相关的知识经验和体验，这些为本节课的学习奠定了基础。同时，在以往的数学学习中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的经验，以及归纳知识的能力。
教学目标 1．知道位似图形及其有关概念，知道位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。 2．利用图形的位似解决一些简单的实际问题，并在有关的学习和运用过程中发展自己的数学应用意识和动手操作能力。
教学重点 利用位似图形的定义能判断两个图形是否是位似图形及位似图形的性质的运用。
教学难点 判断位似图形和根据条件画位似图形。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：回顾与思考教师活动1： 1、下列是一些图的变换，请连线： 2、想一想 我们发现：前三个图中的两个图形都是全等的，而第四个图形中的两个图形相似，那么第四个图是怎样的一种变换呢？ 3、问题：观察下面四组图形有哪些相似点？ 学生活动1： 回顾旧知，思考问题。活动意图说明： 复习旧知，问题导入激发学生学习斗志。 环节二：探究新知教师活动2： 探究位似图形的定义： 问题1：下列图形中有相似多边形吗？如果有，这种相似有什么特征？ 问题2：下面两个多边形相似，将两个图形的顶点相连，观察发现连接的直线相交于点O. 有什么关系？ 总结： 如果两个相似多边形任意一组对应顶点P，P 所在的直线都过同一点O,且OP =k· OP （k≠0）,那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心.其中k为相似多边形的相似比. 注意： （1)位似图形必须同时满足： ①两个图形是相似图形； ②两个相似图形的每组对应点的连线都经过同一点．二者缺一不可． 位似中心可能在两个位似图形的一侧，也可能在两个位似图形之间，也可能在图形的边上（包括顶点上），还可能在图形的内部。 做一做： 1、下列各组图形中，是位似图形的有( D ) A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 2、如图，△ABC与△DEF是位似图形，O是位似中心，OA=AD，则△ABC与△DEF的位似比是（ A ） 二、探究位似图形的性质 观察猜想 ①对应线段有可能平行，也可能共线。 ②两图形可能出现在位似中心的同侧或者异侧。 ③位似中心可能位于两个图形的内部，也可能在两图形的公共顶点上，还可能在两个图形的外部。 总结：位似图形的性质 1. 位似图形是一种特殊的相似图形，它具有相似图形的所有性质，即对应角相等，对应边的比相等． 2. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.（位似图形的相似比也叫做位似比） 3. 对应线段平行或者在一条直线上． 做一做： 1.两个位似多边形中的对应角 相等 ,对应线段 成比例 ,对应顶点的连线必经过 位似中心 2.位似多边形上某一对对应点到位似中心的距离分别为5和10，则它们的相似比为 1:2 。 3.四边形ABCD和四边形A’B’C’D’位似，O为位似中心，若OA:OA’=1:4,那么 S四边形ABCD:S四边形A’B’C’D’= 1:16 。 三、位似图形的画法 如图，已知△ABC，以点O为位似中心画△DEF，使它与△ABC位似，且相似比为2. 满足条件△DEF在点Ｏ的同侧 解：如图，画射线OA，OB，OC 在射线OA，OB，OC上分别取点 D，E，F，使OD=2OA OE=2OB，OF=2OC 顺次连接D，E，F， 则△ DEF与△ABC位似 相似比为２ 满足条件△DEF在点Ｏ的异侧 解：画射线OA,OB,OC; 沿着射线OA,OB,OC反方向上分别 取点D,E,F, OD = 2OA,OE = 2OB,OF = 2OC; 顺序连接D,E,F,使△DEF与 △ABC 位似,相似比为2. 位似变换的步骤 ①确定位似中心，位似中心的位置可随意选择； ②确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点； ③确定位似比，根据位似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小，并连接对应点； ④符合要求的图形不唯一，因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关，并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形。学生活动2： 探究位似图形的定义：学生先独立思考，再与本小组同学交流，教师巡视，随时掌握学情，适时点拨指引。 探究位似图形的性质。 探究位似图形变换的步骤。 活动意图说明： 探究新知分为三个步骤；探究位似图形的概念，采用小组合作探究的方法，使学生掌握位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形。在掌握位似图形的定义后，探究位似图形的性质和位似图形的变换就水到渠成。环节三：典例精析教师活动3： 例1：如图，矩形ABCD与矩形A′B′C′D′是位似图形，点A是位似中心，已知矩形ABCD的周长为24，BB′＝4，DD′＝2，求AB和AD的长． 解：∵矩形ABCD的周长为24， ∴AB+AD=12，设AB=x,则AD=12-x, ∴A'B'=x+4,A'D'=14-x ∵矩形ABCD与矩形A′B′C′D′是位似图形, ∴矩形ABCD∽矩形A′B′C′D′ 解得:x=8 ∴AB=8，AD=12-x=4. 例2：如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点． (1)以点O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1∶2； (2)连接(1)中的AA′，求四边形AA′C′C的周长．(结果保留根号) 解：（1）如图 （2）AA′=CC′=2． 在Rt△OA′C′中， OA′=OC′=2 ∴四边形AA′C′C的周长= 学生活动3： 1学生自学例题，对学困生教师适当点拨。活动意图说明： 设计例题目的在于巩固所学知识，提高学生的应用能力。
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课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列关于位似图形的三个表述中正确的有( C ) ①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形； ②位似图形一定有位似中心； ③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2.下列各选项的两个图形中，不是位似图形的是( C ） 3. 如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2 : 3，已知 AB＝4，则 DE 的长为 6 ． 4．如图P，E，F分别是AC，AB，AD的中点，四边形AEPF与四边形ABCD是位似图形吗？如果是位似图形，说出位似中心和位似比. 是位似图形, 位似中心是点A,位似比是1:2. 选做题： 5.如图，△ABC. 根据要求作△A'B'C'，使△A' B' C'∽△ABC，且相似比为 1 : 5. (1) 位似中心在△ABC的一条边AB上； 假设位似中心点 O 为 AB中点，点 O 位置如图所示. 根据相似比可确定 A′， B′，C′ 的位置. (2) 以点 C 为位似中心. 根据相似比可确定 A′， B′，C′ 的位置. 【综合拓展类作业】 6.已知边长为1的正方形ABCD，以它的两条对角线的交点为位似中心，画一个边长为2且与它位似的正方形. 解：画射线OA、OB、OC、OD;在射线OA、OB、OC、OD上分别取点D、E、F,使OE = 2OA , OF = 2OB , OG = 2OC , OH = 2OD;顺次连结E、F、G、H,使正方形ABCD与正方形EFGH位似,相位似比为1：2
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且位似比是1∶2，若AB＝2 cm，则A′B′＝ 4 cm，并在图中画出位似中心O. 2.在任意一个三角形内部画一个小三角形，使其各边与原三角形各边平行，则它们的位似中心是( D ) A．一定点 B．原三角形三边垂直平分线的交点 C．原三角形角平分线的交点 D．位置不定的一点 3.四边形与四边形的面积比为( A ) A. ： B. ： C. ： D. ： 4.按如下方法，将的三边缩小的原来的，如图，任取一点，连、、
，并取它们的中点、、，得，则下列说法正确的个数是( C )
与是位似图形 与是相似图形
与的周长比为： 与的面积比为：． A. B. C. D. 第3题 第4题 5.下列说法：有一个锐角相等的两个直角三角形相似；顶角相等的两个等腰三角形相似；任意两个菱形一定相似；位似图形一定是相似图形；其中正确的个数是( C ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 选做题： 6.如图所示，点是线段的中点，分别以，为直角顶点的和均是等腰三角形，且在同侧．
和的数量关系为 和的位置关系为
在图中，以点为位似中心，作与位似，点是所在直线上的一点，连接，，分别得到图和图．
在图中，点在上，与的相似比为，是的中点求证：，
在图中，点在的延长线上，与的相似比是，若，请直接写出当的长为多少时，恰好使且用含的代数式表示．
解：；．
证明：由题意得，，
与的相似比为，
，，，
，
，
，，
，
，．
，
，
，
．
当的长为时，且．
理由：当，时，，
，
．
在和中， ，
，
与的相似比是，，
，，
的长为． 【综合拓展类作业】 7.如图，与是位似图形，点为位似中心，若，则与的面积比为 1:4 ． 8.如图，直线与轴，轴分别交于、两点，与是以点为位似中心的位似图形，且相似比为：，则点的坐标为 或 ． 第7题 第8题
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