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分课时教学设计
第一课时《图形的相似》回顾与思考教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课时北师大版九年级数学上册《图形的相似》回顾与思考。主要内容包括；1、成比例线段（成比例线段的定义，比例的基本性质，合（分）比性质，等比性质）。2、图形的相似（相似多边形的定义、性质相似多边形的判断）。3、三角形相似（三角形相似的定义，性质、相似三角形的判断，相似三角形的应用）。4、位似图形（位似图形的定义、性质及如何画位似图形）。 教学分2个环节，第一环节检查预习效果，展示学生绘制的知识架构图。第二环节知识梳理，此环节采用梳理知识后及时进行针对性练习。提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
学习者分析 学生学行线的知识和图形的全等，对于两个图形之间有了一定的了解和认识。并且大部分学生能够熟练的运用所学知识解决实际问题。本章的学习通过大量的情景事例。从相似的角度认识两个图形之间的另一种关系，丰富了学生对图形的直观体验，学生已经具备了一定的分析能力和逻辑思维能力。
教学目标 1.了解比例的基本性质，黄金分割。 2.通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方。 3.了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件。 4.了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小。 5.通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题。 6.从微观的角度去研究相似，用坐标来说明这种基本变换。
教学重点 归纳本章知识点，形成体系。 掌握三角形相似知识，并能灵活运用。
教学难点 培养学习处理图形问题的能力，加强相关知识间的联系。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：知识架构教师活动1： 学生活动1： 1、回顾知识，形成知识架构。活动意图说明： 通过形象直观的图片让学生迅速回顾本章的重要知识点。 环节二：知识梳理教师活动2： 一、成比例线段 1、对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如 （或a∶b＝c∶d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。此时也称这四条线段成比例。 2、线段的比要注意以下几点： 线段的比是正数。单位要统一。 平行线分线段成比例。 3、比例基本性质 4、合分比性质： 5、等比性质： 6、典例精析 若 分析：分a+b+c=0和a+b+c≠0两种情况，答案是±1 如图，在△ABC中,AB=AC=27,D 在AC上，且BD=BC=18 DE‖BC交AB于E,则DE= 分析：由△ABC∽△BCD,列出比例式求出CD,在由△ABC∽△AED,求出DE=10 3.已知：如图F是四边形ABCD的对角线AC上的一点，EF‖BC,FG‖AD,求证 解：∵EF‖BC,FG‖AD,A+FC=AC ∴ 4.如图，△ABC中CD⊥AB于D,E为BC的中点，延长AC，DE，交于F,求证： 解：过F作FG‖CB交AB的延长线于点G， ∵BC‖GF∴ 又∵∠BDC=90°，BE=EC,∴BE=DE,BE‖GF ∴,∴DE=GF ∴ 二、相似多边形 1、相似多边形的定义： 如果两个多边形满足各对应角相等，各对应边的比相等，那么这两个多边形相似。 2、相似多边形的判定： 如果两个多边形满足各对应角相等，各对应边的比相等，那么这两个多边形相似。 3、相似多边形的性质： （1）相似多边形对应角相等，对应边的比相等。 （2）相似多边形周长的比等于相似比。 （3）相似多边形面积的比等于相似比的平方。 4、典例精析 1. △ABC 的三边长分别为 5，12，13，与它相似的△DEF 的最小边长为 15，则 △DEF 的其他两条边长为 36和39 ． 2. 如图，△ABC 中，AB=9，AC=6，点 E 在 AB 上且 AE=3，点 F 在 AC 上，连接 EF，若 △AEF与 △ABC 相似，则 AF = 2或4.5 . 3. 如图，在 □ABCD 中，点 E 在边 BC 上，BE : EC =1 : 2，连接 AE 交 BD 于点 F，则 △BFE 的面积与 △DFA 的面积之为 1:9 . 三、相似三角形 相似三角形的判定 （1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 （2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 （3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。 （4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 相似三角形的性质 （1）对应边的比相等，对应角相等。 （2）相似三角形的周长比等于相似比。 （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方。 （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比。 相似三角形的应用 （1）测高（不能直接使用皮尺或刻度尺量的） 测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解 （2）测距（不能直接测量的两点间的距离） 测量不能到达两点间的距离，常构造相似三角形求解。 典例精析 （一）填空题 1.如图，DE∥BC，AD：DB=2：3，则△AED和△ABC 的相似比为 2:5 。 2.已知三角形甲各边的比为3：4：6，和它相似的三角形乙的最大边为10cm，则三角形乙的最短边为 5 cm。 3.等腰三角形ABC的腰长为18cm，底边长为6cm，在腰AC上取点D，使△ABC∽△BDC，则DC= 2cm 。 4.如图，△ADE∽△ACB，则DE：BC= 1:3 。 5.如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD，使△ABC∽△DBA的条件是（ D ）。 A、AC：BC=AD：BD B、AC：BC=AB：AD C、AB2=CD·BC D、AB2=BD·BC 第4题 第5题 第6题 6.如图，D、E分别为△ABC的AB、AC上的点，且DE∥BC，∠DCB=∠A，把每两个相似的三角形称为一组，那么图中共有相似三角形 4 组。 （二）证明题 如图，△ABC 是等边三角形，CE 是外角平分线，点 D 在 AC 上，连接 BD 并延长与 CE 交于点 E. 求证：△ABD ∽△CED； 若 AB = 6，AD = 2CD，求 BE 的长. (1)证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝∠ACB＝60°， ∠ACF＝120°． ∵CE是外角平分线， ∴∠ACE＝60°， ∴∠BAC＝∠ACE． 又∵∠ADB＝∠CDE， ∴△ABD∽△CED． (2)解：作 BM⊥AC 于点 M. ∵ AC＝AB＝6， ∴ AM＝CM＝3. ∵ AD ＝ 2CD，∴CD＝2，AD＝4， MD＝1. 在 Rt△BDM中，BM= BD= 由(1) △ABD ∽△CED得,即 ED=,BE=BD+ED=3 测高题 如图，某一时刻一根 2 m 长的竹竿 EF 的影长 GE 为 1.2 m，此时，小红测得一棵被风吹斜的柏树与地面成 30°角，树顶端 B 在地面上的影子点 D 与 B 到垂直地面的落点 C 的距离是 3.6 m，求树 AB的长． 解：如图，CD＝3.6m， ∵△BDC∽△FGE，, ∴ BC＝6m. 在 Rt△ABC 中∵ ∠A＝30°， ∴ AB＝2BC＝12 m， 即树长 AB 是 12 m. 四、位似图形 如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。 这个点叫做位似中心。这时的相似比又称为位似比。 位似图形的性质 1.进行位似变换后得到的图形与原图形相似，对应点的连线都经过位似中心，对应顶点到位似中心的比等于相似比。 2.进行位似变换时，位似中心可以在图形的外部，也可以在图形的内部或图形的一边上，图形的顶点处。 3.画已知图形的位似图形时，要明确位似中心，相似比，以及两图形在位似中心的同侧或两侧。 典例精析： 1. 在如图所示的四个图形中，位似图形的个数为 ( C ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 已知 △ABC ∽ △A′B′C′，下列图形中， △ABC 和△A′B′C′ 不存在位似关系的是 B 3. 如图，DE∥AB，CE = 3BE，则 △ABC 与 △DEC 是以点 C 为位似中心的位似图形，其位似比为 4:3 ，面积比为 16:9 . 4. 在平面直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别为(－6，3)，(－12，9)，△ABO 和 △A′B′O 是以原点 O 为位似中心的位似图形. 若点 A′ 的坐标为 (2，－1) 则点 B′的坐标为 4:-3 . 5、如图，下面的网格中，每个小正方形的边长均为 1， 点 O 和 △ABC 的顶点均为小正方形的顶点. 在图中 △ABC 内部作 △A′B′C′，使 △A′B′C′ 和 △ABC 位似，且位似中心为点 O，位似比为 2 解（1）如图所示： 线段 AA′ 的长度是 6. 如图，△ABC 在方格纸中. (1) 请在方格纸上建立平面直角坐标系，使A (2，3)，C (6，2)，并求出 B 点坐标； 解：如图所示， B (2，1). 2) 以原点 O 为位似中心，位似比为 2，在第一象限内将 △ABC 放大，画出放大后的图形 △A′B′C′； 解：如图所示， (3) 计算△A′B′C′的面积 S. 学生活动2： 1、梳理成比例线段知识点并进行针对性练习。 2、梳理相似多边形知识点并进行针对性练习。 3、梳理相似三角形知识点并进行针对性练习。 4、梳理位似图形知识点并进行针对性练习。 活动意图说明： 知识梳理分：成比例线段，相似图形、相似三角形及位似图形等几个方面进行梳理。采用一边梳理知识，一边进行针对性练习。在课堂结构上，层次分明，环环相扣；在例题设计上，目标明确，层层递进；在引导方式上，指向清晰，适时讨论。提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.已知线段a，b，c，求作线段x，使ax＝bc，下列每个图中的两条虚线都是平行线，则作法正确的是( A ) 2.如图，点P为 ABCD的边AD上的一点，点E，F分别为PB，PC的中点，△PEF，△PDC，△PAB的面积分别为S，S1，S2.若S＝3，则S1＋S2的值为( A ) A. 24 B. 12 C. 6 D. 3 3.如图，在同一时刻，小明测得他的影长为1 m，距他不远处的一棵槟榔树的影长为5 m.已知小明的身高为1.5 m，则这棵槟榔树的高是( D ) A.3 m B.4.5 m C.5 m D.7.5 m 第2题 第3题 4. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD∶DB＝1∶2，DE＝2，则BC的长是 14 . 5. 如图，路灯距离地面8 m，身高1.6 m的小明站在距离路灯的底部(点O)20 m的点A处，则小明的影子AM的长为 15.5 m. 6. 如图S4－8，正方形OEFG和正方形ABCD是位似形，点F的坐标为(1,1)，点C的坐标为(4,2)，则这两个正方形位似中心的坐标是（-2,0）或（）. 第4题 第5题 第6题 选做题： 7.已知：AB⊥DB于点B，CD⊥DB于点D，AB=6，CD=4，BD=14。问：在DB上是否存在P点，使以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似？如果存在，计算出点P的位置；如果不存在，请说明理由。 解（1）假设存在这样的点P，使△ABP∽△CDP 则有AB：CD=PB：PD 设PD=x，则PB=14―x， ∴6：4=（14―x）：x ∴x=5.6 （2）假设存在这样的点P，使△ABP∽△PDC， 则有AB：PD=PB：CD 设PD=x，则PB=14―x， ∴6：x=（14―x）：4 ∴x=2或x=12 ∴x=2或x=12或x=5.6时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似。 【综合拓展类作业】 8.如图，△ABC 是一块锐角三角形材料，边 BC＝120 mm，高 AD＝80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？ 解：设正方形 EFHG 为加工成的正方形零件，边 GH 在 BC 上，顶点 E、F 分别在AB、AC上，△ABC 的高 AD 与边EF 相交于点 M，设正方形的边长为 x mm. ∵ EF//BC， ∴△AEF∽△ABC， 又∵ AM＝AD－MD＝80－x， 解得 x = 48. 即这个正方形零件的边长是 48 mm. 9.如图，小明同学跳起来把一个排球打在离地 2 m远的地上，然后反弹碰到墙上，如果她跳起击球时的高度是 1.8 m，排球落地点离墙的距离是 6 m，假设球一直沿直线运动，球能碰到墙面离地多高的地方？ 解：∵∠ABO=∠CDO=90°， ∠AOB=∠COD， ∴△AOB∽△COD. 解得 CD = 5.4m. 故球能碰到墙面离地 5.4m 高的地方．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1..在△ABC中,AB=AC,∠A=36°.以点A为位似中心,把△ABC放大2倍后得△AB'C',则∠B'=( A ) A.72° B.54° C.36° D.144° 2.如图,直线a,b,c被直线l1,l2所截,交点分别为点A,C,E和点B,D,F.已知a∥b∥c,且=,BD=6,则BF的长是( C ) A.8 B.10 C.14 D.16 (第2题) (第3题) (第4题) 3.如图,已知△ABC中,D是AB边上一点,连接CD,不能判定△ACD∽△ABC的条件是( C ) A.∠ACD=∠B B.∠ADC=∠ACB C.= D.AC2=AD·AB 4.如图,F为 ABCD的边AD上一点,射线BF交CD的延长线于点E,则下列结论正确的是( B ) A.= B.= C.= D.= 5.假期,爸爸带小明去A地旅游.小明想知道A地与他所居住的城市的距离,他在比例尺为1∶500 000的地图上测得所居住的城市距A地32 cm,则小明所居住的城市与A地的实际距离为 160 km. 6.已知△ABC∽△A'B'C',AD和A'D'是它们的对应中线,若AD=8,A'D'=6,则△ABC与△A'B'C'的周长比是 4:3 . 7.作为主持人,小明应该站在舞台长度的黄金分割点处,如图,若舞台AB长为20米,小明现在站在A处,则他应朝B处至少走 7.6 米.(结果精确到0.1米) 8.如图,小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量某建筑物的高度AB,他调整自己的位置,设法使斜边DF保持水平,并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边DE=40 cm,EF=20 cm,测得边DF离地面的高度AC=1.5 m,小明与建筑物底部的距离CD=8 m,则建筑物的高度AB= 5.5 m. 第7题 第8题 选做题： 9.在 ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以4cm/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒钟 BPQ与 BAC相似？ 分析：由于 PBQ与 ABC有公共角∠B；所以 PBQ与 ABC相似，则有两种可能一种情况为， 另一种情况为 解：设经过x秒 BPQ与 BAC相似 当 即 解得x=2. 当 即 解得x=0.8. ∴经过2秒或0.8秒 BPQ与 BAC相似 【综合拓展类作业】 10.(1)已知a,b,c,d是成比例线段,其中a=2,b=3,d=6,求线段c的长. (2)已知==,且a+b-5c=15,求c的值. 解：(1)∵a,b,c,d是成比例线段,∴=, 即 = , ∴c=4. (2)设===k,则a=2k,b=3k,c=4k. ∵a+b-5c=15, ∴2k+3k-20k=15, 解得k=-1, ∴c=-4. 11.如图,在平面直角坐标系中,△ABC三个顶点的坐标分别为A(-2,-2),B(-5,-4),C(-1,-5). (1)以原点O为位似中心,将△ABC放大为原来的2倍,得到△A1B1C1,请在网格纸中画出△A1B1C1,并写出点C1的坐标. (2)若图中每个小方格的面积为1,求出△A1B1C1的面积. 解：(1)△A1B1C1如图所示,点C1的坐标为(2,10). =4S△ABC =4×(4×3-×1×3-×3×2-×1×4)=2 12.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,E,D分别是BC,AC上的点,且∠AED=45°. (1)求证:△ABE∽△ECD. (2)若AB=4,BE=,求CD的长. 解：(1)证明:在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC, ∴∠B=∠C=45°, 又∠AEC=∠B+∠BAE=∠AED+∠CED,∠AED=45°, ∴∠BAE=∠CED, ∴△ABE∽△ECD. (2)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=4, ∴BC=4. ∵BE=,∴EC=3. ∵△ABE∽△ECD, ∴=, ∴=, ∴CD=
教学反思
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学 科 数学 年 级 九年级 设计者 尹坚
教材版本 北师大版 册、章 上册第四章
课标要求 知识技能了解本章内容，建立本章知识体系；正确合理选择判断方法找出相似三角形，运用相似三角形解决数学问题。数学思考经历观察、实验、猜想、证明等找相似的过程，进一步发展几何直觉，发展合理推理能力和初步的演绎推理能力。能有条理地清晰地阐述自己学习体验和结果，发展表达能力。问题解决能与同学交流“找相似”的体验和结果，体验“交流”对自己的帮助。在“找相似”的过程中形成反思意识，获得“找相似”的成功体验。情感态度能积极参与到课堂学习中，对本章学习有兴趣和热情；体验数学活动充满探索与创新，感受数学的严谨性；形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯。
内容分析 1、主要内容：相似图形的概念和性质、相似三角形的判定和应用、相似多边形、位似变换。在本章学习之前，已经研究了图形的全等以及图形的一些变换,如平移、轴对称、旋转等，本章将在这些内容的基础上研究相似三角形和相似多边形的性质与判定,并进一步研究一种特殊的变换--位似变换,结合一些图形性质的探索、证明等，进一步发展学生的探究能力,培养学生的逻辑思维能力。2、教材特点（1）突出图形性质的探索过程,重视实验操作和逻辑推理的有机结合,通过多种手段，如观察度量、实验操作、图形变换、逻辑推理等来探索图形的性质，以及相似三角形的判定方法。（2）注意联系实际，通过生活中大量的实例引入相似图形、位似图形的概念,例题、习题中也有许多应用相似图形知识的实例。教材还给出了一些利用相似三角形的性质和判定方法来解决生活中不能直接测量物体长度的问题等。(3)重视数学思想方法的渗透。本章主要涉及的数学思想方法是转化。
学情分析 学生知识状况分析 学生已经学行线的知识以及图形的全等及全等三角形等知识，页研究了全等图形的变换。全等是图形之间的一种关系，而相似也是图形间的关系，仅仅是形状相同，大小不同的两个图形，是按一定的比例放大或缩小的另一个图形，这种变换就是相似变换。全等实际是一种特殊的相似。所以研究相似是一种全等的拓展和发展。学生对两个图形之间的关系有了一定的理解和认识，并且大部分学生能够熟练运用学过的知识解决问题。本章的学习，学生通过大量的现实情景，从“相似”这个角度认识了图形的另一种关系，丰富了学生对图形的直观体验，学生已经具备了一定的分析理解能力和逻辑推理能力。
单元目标 教学目标在丰富的现实情境中，经历对相似图形的观察、操作、思考、类比、归纳、交流等数学活动，进一步发展学生的探索精神、合作意识和数学推理能力，以及从相似的角度提出问题，分析问题，解决问题的能力，增强数学应用意识。结合图形了解线段比、成比例线段，掌握平行线分线段成比例的基本事实。了解相似多边形和相似比，探索三角形相似的条件。了解相似三角形的判定定理，了解相似三角形的性质定理，利用三角形相似的判定定理和性质定理解决实际问题。了解图形的位似，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小。在直角坐标系中，探索并了解将一个直线形的图形（有一个顶点在原点，一条边在横坐标上）分别放大（或缩小）相同的倍数的图形。通过建筑、艺术等方面的实例，了解黄金分割。通过典型实例，了解现实生活中的相似图形，利用图形的相似解决一些实际问题，并通过图形的相似的具体运用，进一步体会数学与自然及人类社会的密切联系，加强对数学的人文价值的理解和运用。（二）教学重点、难点教学重点：图形的相似。教学难点：利用图形的相似知识解决实际问题。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1成比例线段12平行线分线段成比例13相似多边形14探索三角形相似的条件（AA）15探索三角形相似的条件（SAS）16探索三角形相似的条件（SSS）17探索三角形相似的条件（黄金分割）18相似三角形判定定理的证明19利用相似三角形测高110相似三角形性质（1）111相似三角形性质（2）112位似图形（1）113位似图形（2）114回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务成比例线段一、知识与技能：1．掌握比例线段的概念及其性质。2．会求两条线段的比及判断四条线段是否成比例。二、过程与方法：能够灵活运用比例线段的性质解决问题。三、情感、态度与价值观：感知知识的实际应用，增强对知识就是力量的客观认识，进一步加强理论联系实际的学习1、学生观察图片，回答问题。相同点：形状相同不同点：大小不相同教师引导学生结合图形分析题意,明确图中两四边形的四条边的长度可以通过观察或勾股定理得出.给学生充足的时间计算.在教师的引导下探究等比性质。学生灵活应用比例性质、等比定理，解决实际问题。升华对等比定理的理解和运用。环节一：情境导入。环节二：探究成比例线段。环节三：探究等比性质。环节四：典例精析。平行线分线段成比例一、知识目标理解并掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论，并会灵活应用。二、能力目标通过应用，培养识图能力和推理论证能力。三、情感与价值观目标1．培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生活中的价值。2．在进行探索的活动过程中发展学生的探索发现归纳意识并养成合作交流的习惯。1、学生思考回答问题。2、探究活动一：学生通过观察、度量、计算、猜测、验证、推理与交流等数学活动,得出结论。3、探究活动二：让学生在探究得出结论的基础上,对平行线分线段成比例定理的有进一步的理解。并掌握定理的符号语言,进一步发展推理能力。4、让学生脱离表格,不通过计算,运用平行四边形的性质推理得出平行线等分线段定理的推论。5、通过对平行线分线段成比例定理的简单应用,规范书写格式,培养学生严谨的逻辑推理能力,深化对知识的理解。环节一：回顾旧知。环节二：探究平行线分线段成比例。环节三：典例精析。相似多边形1.经历相似多边形概念的形成过程，了解相似多边形的含义．掌握相似多边形的性质和判断。2.在探索相似多边形本质特征的过程中，进一步发展学生观察、操作、归纳、类比等多方面的能力，提高学生的数学思维水平．3.使学生体会团队合作精神，充分认识数学与人类生活的密切联系，体验数学活动充满探索与创造．1、小组讨论，形成共识，展示讨论结果。2、从正三角形、正方形对应角、对应边的关系抽象出正多边形的相似概念。3、思考【想一想】的5个问题，掌握判断两个图形的相似条件是什么？4、完成例题1的学习，掌握已知两个图形相似求边的长度或角的大小。5、完成例题2的学习了解多边形相似的判断方法。环节一：回顾交流导入新课。环节二：探究相似多边形的判断和性质。环节三：典例精析。探索三角形相似的条件（AA)1、经历两个三角形相似条件的探索过程，进一步发展学生的探索、交流能力，以及动手、动脑，手脑和谐一致的习惯 2、掌握三角形相似的判定条件：两角对应相等的两个三角形相似； 3、能够运用三角形相似的条件解决简单的问题，进一步发展学生的合情推理能力和初步的逻辑推理意识。1、学生回顾旧知。2、根据三角形相似定义（原命题）写出三角形相似的条件（逆命题）。3、利用实验法（按条件画三角形）探索三角形相似的条件（两个角分别相等）的两个三角形相似。4、学生自学例题，教师关注学困生，注意答题规范。环节一：回顾旧知导入新课。环节二：探究三角形相似的条件（AA）。环节三：典例精析。探索三角形相似的条件（SAS)1．知识目标：理解并掌握三角形相似的判定定理：“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”。2．能力目标：在进行探索的活动过程中，发展类比的数学思想，激发学生的探索发现归纳意识，增强合情推理的语言表达能力。3．情感态度与价值观目标：培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生活中的价值。4．类比三角形全等猜想三角形相似的条件。5．掌握三角形相似的判定定理“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，并会运用定理解决相关问题。复习三角形相似的判断（1）找相似三角形。对问题1、2、3小组进行讨论三角形相似的条件2.然后归纳两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。教师指导学生自学例题，注意答题规范。环节一：回顾旧知导入新课。环节二：探究三角形相似的条件（SAS）。环节三：典例精析。探索三角形相似的条件（SSS)1．知识目标：理解并掌握三角形相似的判定定理：“三条边对应成比例两个三角形相似”。并会运用定理解决相关问题。2．能力目标：在进行探索的活动过程中，发展类比的数学思想，激发学生的探索发现归纳意识，增强合情推理的语言表达能力。3．情感态度与价值观目标：培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生活中的价值。完成复习题。回答问题。3、提出问题，小组讨论三角形相似的条件（SSS）4、总结归纳三角形相似的条件（SSS）5、教师指导学生自学例题1、2.关注学困生，注意答题规范。环节一：回顾旧知导入新课。环节二：探究三角形相似的条件（SSS）。环节三：典例精析。探索三角形相似的条件（黄金分割）1、知道黄金分割的定义；会找一条线段的黄金分割点；会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点；2、通过找一条线段的黄金分割点，培养学生理解与动手能力。3、理解黄金分割的意义，并能动手找到和制作黄金分割点和图形，让学生认识教学与人类生活的密切联系对人类历史发展的作用。1、欣赏图片。2、完成测量、计算工作.3、理解黄金分割的含义。4、找出黄金分割点。用尺规找黄金分割点。完成三个练习，掌握解题思路。教师对学困生适当点拨。在欣赏图片的同时认识黄金矩形。环节一：发现美。环节二：探究美。环节三：运用美。环节四：欣赏美。相似三角形判断定理的证明1、学会证明相似三角形判定定理，并理解其证明过程2、通过师生合作、生生合作，在教师引导下完成证明，并体验所运用到的数学思想方法，如转化、类比等，领悟辅助线的添加办法。3、 通过交流合作，培养学生团队协作的精神和意识，逐步突破，完成证明，感受成功带来的喜悦，从而增强学生学习数学的信心，敢于挑战的勇气，提高学生学习数学的兴趣。完成复习题。回答三角形相似的判定定理1、2、3。在三角形中添加辅助线、全等三角形的证明、相似图形的传递性、平行线分线段成比例等相关知识来证明相似三角形判定定理的正确性。基本解题思路是只要再证明三边对应成比例，三角对应相等。完成三种基本模型三角形相似（两个对应相等的两个三角形相似）的证明环节一：回顾旧知导入新课。环节二：探究三角形相似判断定理的证明。环节三：数学建模。利用相似三角形测高1．通过测量旗杆的高度的活动，巩固相似三角形有关知识，积累数学活动的经验。2．熟悉测量工具的使用技能，了解小镜子使用的物理原理（学科融合）。3.通过测量活动，使学生初步学会数学建模的方法。提高综合运用知识的能力。4.在增强相互协作的同时，经历成功的体验，激发学习数学的兴趣。1、观看课件思考怎样测量物体的高度。2、小组讨论三种方法测量高度的方法、原理、测量数据、优缺点。3、完成3个例题的学习。4、独立完成例题4、5的学习，关注学困生。环节一：情境导入。环节二：探究测高的方法。环节三：典例精析。相似三角形的性质（1）1、理解掌握相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线与相似比之间的关系；掌握定理的证明方法。灵活运用相似三角形的判定和性质，解决相关问题。2、对性质定理的探究经历观察——猜想——论证——归纳的过程，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度。3、通过实际情境的创设和解决，使学生逐步掌握把实际问题转化为数学问题，复杂问题转化为简单问题的思想方法。4、在学习和探讨的过程中，体验特殊到一般的认知规律。通过对生活问题的解决，体会数学知识在实际中的广泛应用1、由学生集体回答或个别回答。2、学生思考，小组交流探究，然后与老师共同完成命题证明过程。3、总结归纳相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线的比等于相似比。4、教师指导学生学习两个例题。环节一：回顾与思考。环节二：探究相似三角形性质（1）。环节三：典例精析相似三角形性质（2）经历探索相似三角形性质的过程，并在探究过程中发展学生积极的情感、态度、价值观，体验解决问题策略的多样性。理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，并能用来解决简单的问题。3．探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，体验化归思想。1、回顾相似三角形性质，2、完成习题。3、小组合作探究相似三角形周长比等于相似比。4、小组合作探究相似三角形的面积等于相似比的平方。5、总结归纳。本环节将采用“同伴互助，小组质疑”的形式进行。组织学生从思路到步骤以及书写查找问题，规范做题思路和步骤。环节一：回顾与思考。环节二：探究相似三角形性质（2）。环节三：典例精析图形的位似（1）1．知道位似图形及其有关概念，知道位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。2．利用图形的位似解决一些简单的实际问题，并在有关的学习和运用过程中发展自己的数学应用意识和动手操作能力。1、回顾旧知，思考问题。2、探究位似图形的定义：学生先独立思考，再与本小组同学交流，教师巡视，随时掌握学情，适时点拨指引。3、探究位似图形的性质。4、探究位似图形变换的步骤。5、学生自学例题，对学困生教师适当点拨。环节一：回顾与思考。环节二：探究位似图形的定义、性质和位似图形的变换。环节三：典例精析图形的位似（2）1、在直角坐标系中，感受以O为位似中心的多边形的坐标变化与相似比之间的关系．2、经历探究平面直角坐标系中以原点O为位似中心的多边形的坐标变化与相似比之间关系的过程，发展形象思维能力和数形结合意识。3、能熟练地利用平面直角坐标系中，多边形坐标变化与其位似图形的关系，将一个图形放大或缩小4、经历探究平面直角坐标系中，以O为位似中心的多边形的坐标变化与相似比之间关系的过程，领会所学知识，归纳作图步骤，总结规律，并较熟练地进行应用。1、学生回顾知识。2、求出变换后顶点坐标3、描点连线4、观察图形的特点，思考为什么是位似图形，找位似中心和位似比。5、引导学生总结横纵坐标都乘以相同的数，形成的位似图形的变化规律。6、学生先独立思考做题，然后小组讨论互相对答案纠错同时，之后让学生展示。环节一：知识回顾。环节二：探究位似图形在直角坐标系中的变换规律。环节三：典例精析回顾与思考1、了解比例的基本性质，黄金分割。2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方。3、了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件。4、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小。5、通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题。6、从微观的角度去研究相似，用坐标来说明这种基本变换。1、回顾知识，形成知识架构。2、梳理成比例线段知识点并进行针对性练习。3、梳理相似多边形知识点并进行针对性练习。4、梳理相似三角形知识点并进行针对性练习。5、梳理位似图形知识点并进行针对性练习。环节一：知识架构。环节二：知识梳理
《图形的相似》单元教学设计计
活动一：情境引入
活动二：探究成比例线段
任务一：成比例线段
活动三：探究等比性质
活动四：典例精析
活动一：回顾旧知
活动二：探究平行线分线段成比例
任务二：平行线分线段成比例
活动三：典例精析
活动一：回顾交流导入新课
任务三：相似多边形
活动二：探究相似多边形
活动三：典例精析
图
形
的
相
似
活动一：回顾旧知导入新课
活动二：探究三角形相似的条件(AA)
任务四：探索三角形相似的
条件（AA）
活动三：典例精析
活动一：回顾旧知导入新课
活动二：探究三角形相似的条件(SAS)
任务五：探索三角形相似的
条件（SAS）
活动三：典例精析
活动一：回顾旧知导入新课
任务六：探索三角形相似的
条件（SSS）
活动二：探究三角形相似的条件(SAS)
活动三：典例精析
活动一：发现美
活动二：探究美
任务七：探索三角形相似的
条件（黄金分割）
活动三：运用美
活动四：欣赏美
活动一：回顾旧知导入新课
任务八：相似三角形判断定理的证明
活动二：探究三角形相似判断定理的证明
活动三：数学建模
活动一：情境引入
活动二：探究测高的方法
任务九：利用相似三角形测高
活动三：典例精析
活动一：回顾与思考
活动二：相似三角形性质（1）
任务十：相似三角形性质（1）
活动三：典例精析
图
形
的
相
似
活动一：回顾与思考
活动二：相似三角形性质（2）
任务十一：相似三角形性质（2）
活动三：典例精析
活动一：回顾旧知导入新课
活动二：探究位似图形（1）
任务十二：图形的位似（1）
活动三：典例精析
活动一：回顾旧知
活动二：探究位似图形（2）
任务十三：图形的位似（2）
活动三：典例精析
任务十四：回顾与思考
活动一：知识架构
活动一：知识梳理
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（北师大版版）九年级
上
回顾与思考
图形的相似
第四章
“—”
教学目标
01
知识框架
02
知识梳理
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
07
内容总览
教学目标
1.了解比例的基本性质，黄金分割。
2.通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方。
3.了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件。
4.了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小。
5.通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题。
6.从微观的角度去研究相似，用坐标来说明这种基本变换。
知识框架
一、本章知识结构图
知识梳理
一、成比例线段
1、对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如 （或a∶b＝c∶d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。此时也称这四条线段成比例。
2、线段的比要注意以下几点：
线段的比是正数。单位要统一。
平行线分线段成比例
知识梳理
3、比例基本性质
4、合比性质：
5、等比性质：
典例精析
典例精析
典例精析
典例精析
知识梳理
二、相似多边形
1、相似多边形的定义：
如果两个多边形满足各对应角相等，各对应边的比相等，那么这两个多边形相似。
2、相似多边形的判定：
如果两个多边形满足各对应角相等，各对应边的比相等，那么这两个多边形相似。
3、相似多边形的性质：
知识梳理
（1）相似多边形对应角相等，对应边的比相等。
（2）相似多边形周长的比等于相似比。
（3）相似多边形面积的比等于相似比的平方。
典例精析
1. △ABC 的三边长分别为 5，12，13，与它相似的△DEF 的最小边长为 15，则 △DEF 的其他两条边长为 ．
2. 如图，△ABC 中，AB=9，AC=6，点 E 在 AB 上且 AE=3，点 F 在 AC 上，连接 EF，若 △AEF与 △ABC 相似，则 AF = .
3. 如图，在 □ABCD 中，点 E 在边 BC 上，BE : EC =1 : 2，连接 AE 交 BD 于点 F，则 △BFE 的面积与 △DFA 的面积之为 .
36 和 39
2 或 4.5
B
C
A
E
1 : 9
三、相似三角形
知识梳理
相似三角形的判定
（1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
（2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
（4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
知识梳理
相似三角形的性质
（1）对应边的比相等，对应角相等。
（2）相似三角形的周长比等于相似比。
（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方。
（4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比。
相似三角形的应用
知识梳理
（1）测高（不能直接使用皮尺或刻度尺量的）
测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解
（2）测距（不能直接测量的两点间的距离）
测量不能到达两点间的距离，常构造相似三角形求解。
典例精析
1.如图，DE∥BC，AD：DB=2：3，则△AED和△ABC
的相似比为＿＿＿。
2：5
2.已知三角形甲各边的比为3：4：6，和它相似的三角形乙的最大边为10cm，则三角形乙的最短边为______cm。
3.等腰三角形ABC的腰长为18cm，底边长为6cm，在腰AC上取点D，使△ABC∽△BDC，则DC=______。
4.如图，△ADE∽△ACB，则DE：BC=_____。
5
2cm
1:3
填空题
典例精析
5.如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD，使△ABC∽△DBA的条件是（ ）。
A、AC：BC=AD：BD B、AC：BC=AB：AD
C、AB2=CD·BC D、AB2=BD·BC
6.D、E分别为△ABC的AB、AC上的点，且DE∥BC，
∠DCB=∠A，把每两个相似的三角形称为一组，
那么图中共有相似三角形_______组。
D
4
典例精析
证明题
6.如图，△ABC 是等边三角形，CE 是外角平分线，点 D 在 AC 上，连接 BD 并延长与 CE 交于点 E.
(1) 求证：△ABD ∽△CED；
A
B
C
D
F
E
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°，
∠ACF＝120°．
∵CE是外角平分线，
∴∠ACE＝60°，
∴∠BAC＝∠ACE．
又∵∠ADB＝∠CDE，
∴△ABD∽△CED．
(2) 若 AB = 6，AD = 2CD，求 BE 的长.
典例精析
A
B
C
D
F
E
解：作 BM⊥AC 于点 M.
∵ AC＝AB＝6， ∴ AM＝CM＝3.
∵ AD ＝ 2CD，∴CD＝2，AD＝4，
MD＝1.
M
在 Rt△BDM 中，
由(1) △ABD ∽△CED得，
即
∴
∴
典例精析
测高题
7.如图，某一时刻一根 2 m 长的竹竿 EF 的影长 GE 为 1.2 m，此时，小红测得一棵被风吹斜的柏树与地面成 30°角，树顶端 B 在地面上的影子点 D 与 B 到垂直地面的落点 C 的距离是 3.6 m，求树 AB的长．
解：如图，CD＝3.6m，
∵△BDC∽△FGE，
即
∴
∴ BC＝6m.
在 Rt△ABC 中∵ ∠A＝30°，
∴ AB＝2BC＝12 m，
即树长 AB 是 12 m.
四、位似图形
知识梳理
如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。
这个点叫做位似中心。
这时的相似比又称为位似比。
典例精析
位似图形的性质
1.进行位似变换后得到的图形与原图形相似，对应点的连线都经过位似中心，对应顶点到位似中心的比等于相似比。
2.进行位似变换时，位似中心可以在图形的外部，也可以在图形的内部或图形的一边上，图形的顶点处。
3.画已知图形的位似图形时，要明确位似中心，相似比，以及两图形在位似中心的同侧或两侧。
典例精析
1. 在如图所示的四个图形中，位似图形的个数为 ( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
C
2. 已知 △ABC ∽ △A′B′C′，下列图形中， △ABC 和△A′B′C′ 不存在位似关系的是
B'
A(A')
C'
B
C
B'
A(A')
C'
B
C
B'
A(A')
C'
B
C
B'
A
C'
B
C
A'
B
典例精析
3. 如图，DE∥AB，CE = 3BE，则 △ABC 与 △DEC 是以点 为位似中心的位似图形，其位似比为 ，面积比为 .
C
4 : 3
16 : 9
D
A
E
B
C
4. 在平面直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别为(－6，3)，(－12，9)，△ABO 和 △A′B′O 是以原点 O 为位似中心的位似图形. 若点 A′ 的坐标为 (2，－1) 则点 B′ 的坐标为 .
(4，－3)
典例精析
5、如图，下面的网格中，每个小正方形的边长均为 1，
点 O 和 △ABC 的顶点均为小正方形的顶点.
A
B
C
(1) 在图中 △ABC 内部作 △A′B′C′，使 △A′B′C′ 和 △ABC 位似，且位似中心为点 O，位似比为 2
解：如图所示.
O
A′
B′
C′
(2) 线段 AA′ 的长度是
典例精析
6. 如图，△ABC 在方格纸中.
(1) 请在方格纸上建立平面直角坐标系，使A (2，3)，
C (6，2)，并求出 B 点坐标；
x
y
O
解：如图所示，
B (2，1).
典例精析
(2) 以原点 O 为位似中心，位似比为 2，在第一象限内
将 △ABC 放大，画出放大后的图形 △A′B′C′；
解：如图所示.
(3) 计算△A′B′C′的面积 S.
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1.已知线段a，b，c，求作线段x，使ax＝bc，下列每个图中的两条虚线都是平行线，则作法正确的是( )
2.如图，点P为 ABCD的边AD上的一点，点E，F分别为PB，PC的中点，△PEF，△PDC，△PAB的面积分别为S，S1，S2.若S＝3，则S1＋S2的值为( )
A. 24 B. 12 C. 6 D. 3
A
A
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
3.如图，在同一时刻，小明测得他的影长为1 m，距
他不远处的一棵槟榔树的影长为5 m.已知小明的身高
为1.5 m，则这棵槟榔树的高是( )
A.3 m B.4.5 m C.5 m D.7.5 m
D
4. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD∶DB＝1∶2，DE＝2，则BC的长是
14
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
5. 如图，路灯距离地面8 m，身高1.6 m的小明站在距离路灯的底部(点O)20 m的点A处，则小明的影子AM的长为 m.
6. 如图S4－8，正方形OEFG和正方形ABCD是位似形，点F的坐标为(1,1)，点C的坐标为(4,2)，则这两个正方形位似中心的坐标是
15.5
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
7.已知：AB⊥DB于点B，CD⊥DB于点D，AB=6，CD=4，BD=14。问：在DB上是否存在P点，使以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似？如果存在，计算出点P的位置；如果不存在，请说明理由。
4
6
14
A
D
C
B
课堂练习
解（1）假设存在这样的点P，使△ABP∽△CDP
则有AB：CD=PB：PD
设PD=x，则PB=14―x，
∴6：4=（14―x）：x
∴x=5.6
P
6
x
14―x
4
A
D
C
B
课堂练习
（2）假设存在这样的点P，使△ABP∽△PDC，
则有AB：PD=PB：CD
设PD=x，则PB=14―x，
∴6：x=（14―x）：4
∴x=2或x=12
∴x=2或x=12或x=5.6时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似。
【综合拓展类作业】
课堂练习
8.如图，△ABC 是一块锐角三角形材料，边 BC＝120 mm，高 AD＝80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？
解：设正方形 EFHG 为加工成的正方形零件，边 GH 在 BC 上，顶点 E、F 分别在AB、AC上，△ABC 的高 AD 与边EF 相交于点 M，设正方形的边长为 x mm.
课堂练习
∵ EF//BC，
∴△AEF∽△ABC，
又∵ AM＝AD－MD＝80－x，
解得 x = 48.
即这个正方形零件的边长是 48 mm.
课堂练习
9.如图，小明同学跳起来把一个排球打在离地 2 m远的地上，然后反弹碰到墙上，如果她跳起击球时的高度是 1.8 m，排球落地点离墙的距离是 6 m，假设球一直沿直线运动，球能碰到墙面离地多高的地方？
A
B
O
C
D
2m
6m
1.8m
解：∵∠ABO=∠CDO=90°，
∠AOB=∠COD，
∴△AOB∽△COD.
解得 CD = 5.4m.
故球能碰到墙面离地 5.4m 高的地方．
课堂总结
图形的相似
1、成比例线段；平行线分线段成比例；比例的性质（基本性质、合比性质、等比性质）。
2、图形的相似：相似三角形的判断；相似三角形的性质；黄金分割，相似三角形的运用。
3、图形的位似：位似图形的判断、性质；位似中心；位似比。图形位似变换。
板书设计
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
A
C
C
作业布置
B
160
4:3
作业布置
7.作为主持人,小明应该站在舞台长度的黄金分割点处,如图,若舞台AB长为20米,小明现在站在A处,则他应朝B处至少走 米.(结果精确到0.1米)
8.如图,小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量某建筑物的高度AB,他调整自己的位置,设法使斜边DF保持水平,并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边DE=40 cm,EF=20 cm,测得边DF离地面的高度AC=1.5 m,小明与建筑物底部的距离CD=8 m,则建筑物的高度AB= m.
7.6
5.5
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
在 ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以4cm/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒钟 BPQ与 BAC相似？
分析：由于 PBQ与 ABC有公共角∠B；所以 PBQ与 ABC相似，则有两种可能一种情况为， 另一种情况为 。
作业布置
解：设经过x秒 BPQ与 BAC相似
当 即
解得x=2.
当 即
解得x=0.8.
∴经过2秒或0.8秒 BPQ与 BAC相似
【综合拓展类作业】
作业布置
【综合拓展类作业】
作业布置
11.如图,在平面直角坐标系中,△ABC三个顶点的坐标分别为A(-2,-2),B(-5,-4),C(-1,-5).
(1)以原点O为位似中心,将△ABC放大为原来的2倍,得到△A1B1C1,请在网格纸中画出△A1B1C1,并写出点C1的坐标.
(2)若图中每个小方格的面积为1,求出△A1B1C1的面积.
【综合拓展类作业】
作业布置
【综合拓展类作业】
作业布置
12.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,E,D分别是BC,AC上的点,且∠AED=45°.
(1)求证:△ABE∽△ECD.
(2)若AB=4,BE= ,求CD的长.
,
解：(1)证明:在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠B=∠C=45°,
又∠AEC=∠B+∠BAE=∠AED+∠CED,∠AED=45°,
∴∠BAE=∠CED,
∴△ABE∽△ECD.
【综合拓展类作业】
作业布置
Thanks!
2
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