中小学教育资源及组卷应用平台
北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》测试卷（A）
满分：120分 考试时间：90分钟
选择题。（每小题3分，共30分）
1．下列各组中的四条线段成比例的是( )
A．a＝，b＝3，c＝2，d＝ B．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10
C．a＝2，b＝，c＝2 ，d＝ D．a＝2，b＝3，c＝4，d＝1
2．如图，已知l1∥l2∥l3，若AB＝1，BC＝2，DE＝1.5，则EF的长为( )
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
(第2题) (第3题) 第4题
3．如图，面积为1 的等边三角形ABC 中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的面积是( )
A. B. C. D.
4.如图,直线a,b,c被直线l1,l2所截,交点分别为点A,C,E和点B,D,F.已知a∥b∥c,且,BD=6,则BF的长是( )
A.8 B.10 C.14 D.16
5.在△ABC中,AB=AC,∠A=36°.以点A为位似中心,把△ABC放大2倍后得△AB'C',则∠B'= ( )
A.72° B.54° C.36° D.144°
6．如图，AB∥CD，AE∥FD，AE，FD分别交BC于点G，H，则图中共有相似三角形( )
A．4对 B．5对 C．6对 D．7对
第6题 第7题 第8题
7．如图，△ABC与△A1B1C1位似，位似中心是点O，若OA∶OA1＝1∶2，则△ABC与△A1B1C1的周长比是( )
A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶
8．将三角形纸片(△ABC)按如图所示的方式折叠，使点C落在AB边上的点D处，折痕为EF.已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B，D，F为顶点的三角形与△ABC相似，那么CF的长度是( )
A．2 B.或2 C. D.或2
9．如图，AB是斜靠在墙上的一个梯子，梯脚B距墙1.4 m，梯子上点D距墙1.2 m，BD长0.5 m，则梯子的长为( )
A．3.5 m B．3.85 m C．4 m D．4.2 m
第9题 第10题
如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，则下列结论：
①＝； ②＝； ③＝； ④＝.
其中正确的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
填空题（每小题4分共28分）
11.假期,爸爸带小明去A地旅游.小明想知道A地与他所居住的城市的距离,他在比例尺为1∶500 000的地图上测得所居住的城市距A地32 cm,则小明所居住的城市与A地的实际距离为 km.
12.已知△ABC∽△A'B'C',AD和A'D'是它们的对应中线,若AD=8,A'D'=6,则△ABC与△A'B'C'的周长比是 .
13.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC上，DE∥BC，EF∥AB.若AB＝8，BD＝3，BF＝4，则FC的长为________．
14．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长均为1，△AOB与△A′OB′是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为3∶2，点A，B都在格点上，则点B′的坐标是______．
第13题 第14题 第15题
15．如图，把△DEF沿DE平移到△ABC的位置，它们重合部分的面积是△DEF面积的，若AB＝6，则△DEF移动的距离AD＝________．
16．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，E为CD的中点，连接AE，BD交于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q，则PQ＝________．
第16题 第17题
17. 如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y＝x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为(27,9)，阴影部分三角形的面积从左向右依次记为S1，S2，S3，…，Sn，则第4个正方形的边长是 ，S3的值为 .
三、解答题(每小题6分共18分）
18.(1)已知a,b,c,d是成比例线段,其中a=2,b=3,d=6,求线段c的长.
(2)已知,且a+b-5c=15,求c的值.
19．如图，已知∠ADC＝∠BAC，BC＝16 cm，AC＝12 cm，求DC的长．
20.如图，已知△ABC∽△ACD，AC＝6，AD＝4，CD＝2AD，求BD和BC的长．
解答题 (每小题8分共24分）
21.如图,在平面直角坐标系中,△ABC三个顶点的坐标分别为A(-2,-2),B(-5,-4),C(-1,-5).
(1)以原点O为位似中心,将△ABC放大为原来的2倍,得到△A1B1C1,请在网格纸中画出△A1B1C1,并写出点C1的坐标.
(2)若图中每个小方格的面积为1,求出△A1B1C1的面积.
22．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场上的旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶端A在同一直线上．已知DE＝0.5 m，EF＝0.25 m，目测点D到地面的距离DG＝1.5 m，到旗杆的水平距离DC＝20 m ，求旗杆的高度．
23.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，DE的延长线与BC的延长线交于点F.求证：
(1)△FDC∽△FBD；
(2)AC·BF＝BC·DF.
五、解答题 (每小题10分共20分）
24.如图，已知∠MON，A，B分别是射线OM，ON上的点．
(1)尺规作图：在∠MON的内部确定一点C，使得BC∥OA且BC＝OA；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)中，连接OC，用无刻度直尺在线段OC上确定一点D，使得OD＝2CD，并证明OD＝2CD.
25. 如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AO⊥BC于点O，点F是线段AO上的点(与A，O不重合)，∠EAF＝90°，AE＝AF，连接FE，FC，BE，BF.
(1)求证：BE＝BF；
(2)如图②，若将△AEF绕点A旋转，使边AF在∠BAC的内部，延长CF交AB于点G，交BE于点K.求证：△AGC∽△KGB.
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D D C A C A B A C
二 、填空
题号 11 12 13 14 15 16 17
答案 160 4:3 （-2，） 2
解答题
18. (1)∵a,b,c,d是成比例线段,∴即
∴c=4.
(2)设=k,则a=2k,b=3k,c=4k.
∵a+b-5c=15, ∴2k+3k-20k=15,
解得k=-1,
∴c=-4.
19. 解：∵∠ADC＝∠BAC，∠C＝∠C，
∴△ADC∽△BAC.∴＝.
∵BC＝16 cm，AC＝12 cm，
∴DC＝＝9(cm)．
20．解：∵AD＝4，CD＝2AD，∴CD＝8.
∵△ABC∽△ACD，∴＝＝，即＝＝，
解得AB＝9，BC＝12，
∴BD＝AB－AD＝5.
解答题
21.(1)△A1B1C1如图所示,点C1的坐标为(2,10).
(3)=4S△ABC=4×(4×3-×1×3-×3×2-×1×4)=22.
22.解：∵∠DEF＝∠DCA＝90°，∠EDF＝∠CDA，
∴△DEF∽△DCA.∴＝.
∵DE＝0.5 m，EF＝0.25 m，DC＝20 m，
∴＝.∴AC＝10 m.
又∵CB＝DG＝1.5 m，
∴AB＝AC＋CB＝10＋1.5＝11.5(m)．
答：旗杆的高度为11.5 m.
23．证明：(1)∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°.
又∵E是AC的中点，∴DE＝EC.∴∠EDC＝∠ECD.
∵∠ACB＝90°，∠BDC＝90°，
∴∠ECD＋∠DCB＝90°，∠DCB＋∠B＝90°.
∴∠ECD＝∠B.∴∠EDC＝∠B.
又∵∠F＝∠F，∴△FDC∽△FBD.
(2)∵△FDC∽△FBD，∴＝.
∵∠BDC＝∠BCA＝90°，∠B＝∠B，
∴△CBD∽△ABC.∴＝，即＝.
∴＝.∴AC·BF＝BC·DF.
五、解答题
24.解：(1)如图，点C即为所求．
(2)如图，连接AB交OC于点D，则点D即为所求．
证明如下：由(1)得BC∥OA，BC＝OA，
∴∠DBC＝∠DAO，∠DCB＝∠DOA，
∴△DBC∽△DAO，∴＝＝，
∴OD＝2CD.
25. 证明： (1)∵∠BAC＝90°，AO⊥BC且AB＝AC，
∴∠OAC＝∠OAB＝45°.
∴∠EAB＝∠EAF－∠BAF＝45°.
∴∠EAB＝∠BAF.
∵AE＝AF，且AB＝AB.
∴△EAB≌△FAB(SAS).
∴BE＝BF.
(2)∵∠BAC＝90°，∠EAF＝90°，
∴∠EAB＋∠BAF＝∠BAF＋∠FAC＝90°.
∴∠EAB＝∠FAC.
∵AE＝AF，且AB＝AC.
∴△AEB≌△AFC(SAS).
∴∠EBA＝∠FCA.
又∵∠KGB＝∠AGC，
∴△AGC∽△KGB.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》测试卷（B）
满分：120分 考试时间：90分钟
选择题。（每小题3分，共30分）
1. 如果4a＝5b(ab≠0)，那么下列比例式变形正确的是( )
A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝
2. 下列各组图形，不一定相似的是( )
A. 两个等边三角形 B. 各有一个角是100°的两个等腰三角形
C. 两个正方形 D. 各有一个角是45°的两个等腰三角形
3. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC.若AD＝2 cm，DB＝1 cm，AE＝1.8 cm，则EC＝( )
A. 0.9 cm B. 1 cm C. 3.6 cm D. 0.2 cm
第3题 第4题 第5题
4．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC，DF与l1，l2，l3的交点分别为A，B，C，D，E，F.已知AB＝6，BC＝4，DF＝9，则DE＝( )
A．5.4 B．5 C．4 D．3.6
5．如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于点E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于点F，AD交PC于点G，则下列结论中错误的是( )
A．△CGE∽△CBP B．△APD∽△PGD C．△APG∽△BFP D．△PCF∽△BCP
6．一个四边形的各边之比为1∶2∶3∶4，和它相似的另一个四边形的最小边长为5 cm，则最大边长为( )
A．10 cm B．15 cm C．20 cm D．25 cm
7．如图，已知点C，D都是线段AB的黄金分割点，如果CD＝4，那么AB的长度是( )
A．2 －2 B．6－2 C．8＋4 D．2＋
8．如图，AB∥CD，AE∥FD，AE，FD分别交BC于点G，H，则图中共有相似三角形( )
A．4对 B．5对 C．6对 D．7对
第7题 第8题 第9题
9.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,P为BC上任意一点,连接PA,以PA,PC为邻边作平行四边形APCQ,连接PQ,则PQ的最小值为 ( )
A. B. C. D.2
10.在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点坐标分别是O(0,0),A(8,0),B(8,6),C(0,6).已知矩形OA1B1C1与矩形OABC位似,位似中心是原点O,且矩形OA1B1C1的面积等于矩形OABC面积的,则点B1的坐标为 ( )
A.(4,3) B.(4,3)或(-4,-3) C.(4,3) D.(4,3)或(-4,-3)
二、填空题（每小题4分共28分）
11．若＝＝＝2，且b＋d＋f＝4，则a＋c＋e＝________．
12．已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应中线，若AD＝10，A′D′＝6，则△ABC与△A′B′C′的周长比是________
13. 如果线段AB＝10，点C是AB上靠近点B的黄金分割点，那么AC的值是 .
14. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD∶DB＝1∶2，DE＝2，则BC的长是 .
第14题 第15题 第16题 第17题
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，点A落在矩形ABCD的边CD上的点G处，连接CE，则CE的长是________．
16．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，在线段AB上取一点D，作DE⊥AB交AC于点E，连接BE，将△ADE沿DE折叠．设点A落在线段BD上的对应点为A1，DA1的中点为F，若△FEA1∽△FBE，则AD＝________．
17.如图,在△ABC中,AB=8 cm,BC=16 cm,点P从点A出发,沿AB以2 cm/s的速度向点B移动,点Q从点B出发,沿BC以4 cm/s的速度向点C移动.如果两点同时出发,那么经过 s,△PBQ与△ABC相似.
三、解答题(每小题6分共18分）
18. 已知a，b，c是△ABC的三边，且满足＝＝，且a＋b＋c＝12，请你探索△ABC的形状.
19. 如图S4－10，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，点E为AC的中点，AD⊥BC于点D，ED延长后交AB的延长线于点F，求证：△AEF∽△ABC.
20．如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′.(1)α＝________，它们的相似比是________；
(2)求边x的长度．
解答题 (每小题8分共24分）
21. 如图，△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形，且AB＝AC＝5，A′B′＝A′C′＝3.若∠B＋∠B′＝90°，求△ABC与△A′B′C′的面积比.
22.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,E,D分别是BC,AC上的点,且∠AED=45°.
(1)求证:△ABE∽△ECD.
(2)若AB=4,BE=,求CD的长.
23. 小明想用镜子测量一棵松树的高度，但因树旁有一条河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他两次利用镜子.如图，第一次他把镜子放在点C处，人在点F处时正好在镜子中看到树尖A；第二次把镜子放在点D处，人在点G处正好看到树尖A. 已知小明的眼睛距离地面1.7 m，量得CD＝12 m，CF＝1.8 m，DH＝3.8 m. 请你求出松树的高.
五、解答题 (每小题10分共20分）
24.如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为OC上动点(与点O、C不重合)，作AF⊥BE，垂足为G，交BC于F，交BO于H，连接OG，CG.
(1)求证：AH＝BE；
(2)试探究：∠AGO的度数是否为定值？请说明理由；
(3)若OG⊥CG，BG＝.求△OGC的面积．
25．一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120 mm，高AD＝80 mm，把它加工成正方形零件，如图①，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．
(1)求证：△AEF∽△ABC；
(2)如果把它加工成矩形零件，如图②，当EG为多少时，矩形EGHF有最大面积？最大面积是多少？
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D A A A C C C A D
二 、填空
题号 11 12 13 14 15 16 17
答案 8 5:3 5， －5 6 0.8或2
三、解答题
18.解：设＝＝＝k，
可得a＝3k－4，b＝2k－3，c＝4k－8.
代入a＋b＋c＝12，得9k－15＝12.
解得k＝3.∴a＝5，b＝3，c＝4.
∵a2＝b2＋c2，
∴△ABC为直角三角形.
19. 证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°.
∵点E为AC的中点，∴ED＝EC.
∴∠EDC＝∠C.
∴∠AEF＝∠EDC＋∠C＝2∠C.
∵∠ABC＝2∠C，∴∠ABC＝∠AEF.
∵∠EAF＝∠BAC，
∴△AEF∽△ABC.
20(1)81°；3∶2
(2)∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，∴＝，
解得x＝.
四、解答题
21.解：分别作AD⊥BC于点D，A′D′⊥B′C′于点D′，
则∠ADB＝∠A′D′B′＝90°.
∴∠B＋∠BAD＝90°.
又∵∠B＋∠B′＝90°，
∴∠BAD＝∠B′.∴△ABD∽△B′A′D′.
∴S△ABD∶S△B′A′D′＝
()2＝25∶9.
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴S△ABC＝2S△ABD.
同理可得S△A′B′C′＝2S△B′A′D′.
∴S△ABC∶S△A′B′C′＝25∶9.
22. (1)证明:在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠B=∠C=45°,
又∠AEC=∠B+∠BAE=∠AED+∠CED,∠AED=45°,
∴∠BAE=∠CED,
∴△ABE∽△ECD.
(2)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=4,
∴BC=4.
∵BE=
∴EC=3.
∵△ABE∽△ECD,∴即
23. 解：根据反射定律可以推出∠ACB＝∠ECF，∠ADB＝∠GDH.
∵AB⊥BC，EF⊥BC，GH⊥BC，
∴∠ABC＝∠EFC，∠ABD＝∠GHD.
∴△BAC∽△FEC，△ADB∽△GDH.
设AB＝x m，BC＝y m，
则
即
解得
答：这棵松树的高为10.2 m.
解答题
24.(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，∠AOB＝∠BOE＝90°.
∵AF⊥BE，∴∠GAE＋∠AEG＝∠OBE＋∠AEG＝90°.
∴∠GAE＝∠OBE，∴△AOH≌△BOE，∴AH＝BE.
(2)解：是．理由如下：
∵∠AOH＝∠BGH＝90°，∠AHO＝∠BHG，
∴△AOH∽△BGH，∴＝，∴＝ .
∵∠OHG＝∠AHB，∴△OHG∽△AHB，
∴∠AGO＝∠ABO＝45°，即∠AGO的度数为定值．
(3)解：∵∠ABC＝90°，AF⊥BE，
∴∠BAG＝∠FBG，∠AGB＝∠BGF＝90°，
∴△ABG∽△BFG，
∴＝，∴AG·GF＝BG 2＝5，
∵△AHB∽△OHG，∴∠BAH＝∠GOH＝∠GBF.
∵∠AOB＝∠BGF＝90°，∴∠AOG＝∠GFC.
∵∠AGO＝45°，CG⊥GO，∴∠AGO＝∠FGC＝45°.
∴△AGO∽△CGF，∴＝，
∴GO·CG＝AG·GF＝5.
∴S△OGC＝CG·GO＝.
25．(1)证明：∵四边形EGHF为正方形，
∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC.
(2)解：设EG＝a mm，
∵四边形EGHF为矩形，
∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC.
∵AK与AD是对应边上的高，∴＝，∴＝，
∴EF＝mm，
∴S矩形EGHF＝a＝－a2＋120a＝－(a－40)2＋2 400(mm2)，
当a＝40时，矩形EGHF的面积最大，最大面积是2 400 mm2，即当EG＝40 mm时，矩形EGHF的面积最大，最大面积是2 400 mm2.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
