广东省惠州市惠城区2024年九年级数学学业水平考试
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.
1．（2024·惠城模拟）-4的相反数是（ ）
A． B． C．4 D．-4
2．（2024·惠城模拟）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·惠城模拟）赤道长约为40 000 000m，用科学记数法可以把数字40 000 000表示为（ ）
A．4×107 B．40×106 C．400×105 D．4000×103
4．（2024·惠城模拟）如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·惠城模拟）某校为庆祝中国共产党建党100周年举行“传承红色基因，沐浴阳光成长”歌咏比赛，七年级8个班通过抽签决定出场顺序，七年级（1）班恰好抽到第1个出场的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·惠城模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12．若D，E分别为边AC，BC的中点，则DE的长为（ ）
A．5 B．5.5 C．6 D．6.5
7．（2024·惠城模拟）不等式组 的解在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·惠城模拟）设方程的两根分别是，则是（ ）．
A．-3 B．-2 C．2 D．3
9．（2024·惠城模拟）某服装的进价为400元，出售时标价为600元，由于换季，商场准备打折销售，但要保证利润率不低于20%，那么该服装至多打（ ）折．
A．7 B．.5 C．8 D．8.5
10．（2024·惠城模拟）如图，四边形内接于是的直径，连接，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分.
11．（2024·惠城模拟）计算： ．
12．（2024·惠城模拟）某仓库运进小麦6吨，记为+6吨，那么仓库运出小麦8吨应记为 吨．．
13．（2024·惠城模拟）已知反比例函数y的图象经过点（﹣3，4），则k的值为 ．
14．（2024·惠城模拟）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为 ．
15．（2024·惠城模拟） 如图，四边形是边长为2的正方形，点在正方形内，是等边三角形，则的面积为 ．
三、解答题（一）：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
16．（2024·惠城模拟）计算：.
17．（2024·惠城模拟）先化简，再求值：()×，其中．
18．（2024·惠城模拟）如图，AB=CB，BE=BF，∠1=∠2，证明：△ABE≌△CBF．
19．（2024·惠城模拟）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功．航模店看准商机，同样花费320元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多4个且每个“天宫”模型成本比每个“神舟”模型成本少．“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？
20．（2024·惠城模拟）某县消防大队到某小区进行消防演习.已知，图是一辆登高云梯消防车的实物图，图是其工作示意图，起重臂可伸缩，且起重臂可绕点在一定范围内转动，张角为转动点A距离地面的高度为．当起重臂长度为，张角，求云梯消防车最高点距离地面的高度.（参考数据：，，，）
四、解答题（二）：本大题共3小题，第21题8分，第22、23题各9分，共26分.
21．（2024·惠城模拟）如图，线段AD是△ABC的角平分线.
（1）尺规作图：作线段AD的垂直平分线分别交AB，AC于点E，F：（保留痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，连接DE，DF，求证：四边形AEDF是菱形.
22．（2024·惠城模拟）问题情景：九（1）班综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾用的无盖纸盒．
操作探究：
（1）若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的 图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒；
（2）图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后，与“卫”字相对的是 ；
（3）如图3，有一张边长为20cm的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒．
①请你在图3中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕；
②若四角各剪去了一个边长为3cm的小正方形，求这个纸盒的容积．
23．（2024·惠城模拟）某校260名学生参加植树活动，要求每人植4～7棵，活动结束后随机抽查了若干名学生每人的植树量，并分为四种类型，A：4棵；B：5棵；C：6棵；C：7棵；将各类的人数绘制成扇形图(如图1)和条形图(如图2).回答下列问题：
（1）在这次调查中D类型有多少名学生？(并在图中画出)
（2）写出被调查学生每人植树量的众数、中位数；
（3）求被调查学生每人植树量的平均数，并估计这260名学生共植树多少棵？
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分.
24．（2024·惠城模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：y＝kx+n与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D，已知A（﹣1，0），D（5，﹣6），P点为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）．
（1）求抛物线和直线l的解析式；
（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，连接PA、PD，当△PAD的面积最大时，求P点的坐标.
（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C、M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
25．（2024·惠城模拟）问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在 ABCD中，BE⊥AD，垂足为E，F为CD的中点，连接EF，BF，试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明．
（1）独立思考：请解答老师提出的问题；
（2）实践探究：希望小组受此问题的启发，将 ABCD沿着BF（F为CD的中点）所在直线折叠，如图②，点C的对应点为C'，连接DC'并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明．
（3）问题解决：智慧小组突发奇想，将 ABCD沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点为A'，使A'B⊥CD于点H，折痕交AD于点M，连接A'M，交CD于点N．该小组提出一个问题：若此 ABCD的面积为20，边长AB＝5，BC＝2，求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】-4的相反数是4，
故答案为：C.
【分析】根据相反数的定义即可求解.
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故选项A符合题意；
B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故选项B不合题意；
C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故选项C不合题意；
D．是中心对称图形，不是轴对称图形，故选项D不合题意.
故答案为：A．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，逐项判断即可．
3．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 40 000 000 = 4×107 .
故答案为：A.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数-1.
4．【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵l1∥l2，
∴∠2+∠3+∠1＝180°，
∵∠1＝35°，∠2＝50°，
∴∠3＝180°-50°-35°=95°．
故答案为：D．
【分析】根据平行线的性质推出∠2+∠3+∠1＝180°，即可求出∠3＝95°．
5．【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵七年级共有8个班，
∴七年级（1）班恰好抽到第1个出场的概率为．
故答案为：B．
【分析】根据概率公式求解即可．
6．【答案】D
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，
根据勾股定理得：，
∵D ，E分别为边AC，BC的中点，
∴，
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理求出，然后根据三角形中位线定理求出DE的长即可.
7．【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解： ，
解不等式①，得x≥﹣1，
解不等式②，得x＜1，
所以不等式组的解集是﹣1≤x＜1，
在数轴上表示为：
故答案为：B.
【分析】首先求出两个不等式的解集，然后取其公共部分可得不等式组的解集，据此判断.
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：已知x2﹣3x+2＝0，
根据根与系数的关系得：.
故答案为：D．
【分析】利用根与系数的关系，即可求解．
9．【答案】C
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设该服装打x折销售，
根据题意得：600×﹣400≥400×20%，
解得：x≥8，
∴x的最小值为8，即该服装至多打8折．
故答案为：C．
【分析】设该服装打x折销售，利用利润＝售价﹣进价，得：600×﹣400≥400×20%，解不等式取x的最小值，即可得到答案．
10．【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质；直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连，
∵四边形内接与，，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】连，根据圆内接四边形的性质求得，然后利用直径所对的圆周角是直角确定，然后根据直角三角形的两个锐角互余，即可得到答案．
11．【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：.
【分析】根据合并同类二次根式即可得到答案．
12．【答案】-8
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：某仓库运进小麦6吨，记为+6吨，那么仓库运出小麦8吨应记为﹣8吨.
故答案为：﹣8．
【分析】根据正数和负数表示具有相反意义的量，即可得到答案．
13．【答案】-12
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把（﹣3，4）代入反比例函数，
得：k＝﹣3×4＝﹣12，
故答案为：﹣12．
【分析】把（﹣3，4）代入函数解析式，即可求得k的值．
14．【答案】
【知识点】圆锥的计算；扇形的面积
【解析】【解答】解：圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，
代入圆锥的侧面积公式得：S＝π×4×6＝24π（cm2），
故答案为：24π．
【分析】根据圆锥的侧面积公式S=πrl，代数求解即可．
15．【答案】
【知识点】三角形的面积；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵△PBC是等边三角形，
∴点P在BC的垂直平分线上，
∴点P到CD的距离为1，点P到BC的距离为，
∴S△PCD＝＝1，
S△PBC＝×2×＝，
S△BCD＝×2×2＝2，
∴△PBD的面积为S△PBC+S△PCD﹣S△BCD＝＝﹣1.
故答案为：﹣1．
【分析】根据题意分别求出S△PCD＝1，S△PBC＝，S△BCD＝2，然后根据△PBD的面积等于S△PBC+S△PCD﹣S△BCD，代数求解即可．
16．【答案】解：原式=4×-－2+1
=－2+1
=1.
【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根
【解析】【分析】先计算零指数幂、特殊角的三角函数值、算术平方根，然后根据实数混合运算的运算顺序计算求解即可.
17．【答案】解：原式=×
=3
当x=2时，原式=2+3=5.
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简为3，再把x＝2代入进行计算求解即可．
18．【答案】证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠FBE=∠2+∠FBE，即∠ABE=∠CBF
在△ABE与△CBF中，
∴△ABE≌△CBF（SAS）．
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】掌握全等三角形SAS的判定方法。
19．【答案】解：设“神舟”模型成本为每个x元，则“天宫”模型成本为每个(元)，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
(元)，
答：“神舟”模型成本为每个20元，“天宫”模型成本为每个16元.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设“神舟”模型成本为每个x元，则“天宫”模型成本为每个(元)，根据同样花费320元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多4个，列出分式方程，解方程并检验即可．
20．【答案】解：如图所示，过点作，垂足为，过点A作，垂足为，
则，，
，
，
在中，，，
，
，
云梯消防车最高点距离地面的高度为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过点A作AG⊥CF，垂足为G，根据题意可得：AE＝FG＝3m，∠EAG＝∠AGC＝90°，从而可得∠CAG＝37°，然后在Rt△AGC中，利用锐角三角函数的定义求出CG=12米，从而利用线段的和差关系，代数求解即可．
21．【答案】（1）解：如图，直线EF即为所求．
（2）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠AOE＝∠AOF＝90°，AO＝AO，
∴△AOE≌△AOF（ASA），
∴AE＝AF，
∵EF垂直平分线段AD，
∴EA＝ED，FA＝FD，
∴EA＝ED＝DF＝AF，
∴四边形AEDF是菱形．
【知识点】菱形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）利用垂直平分线的作图法作图即可；
（2）先利用“ASA”证明△AOE≌△AOF，可得AE=AF，再利用垂直平分线的性质可得EA＝ED，FA＝FD，即可得到EA＝ED＝DF＝AF，所以四边形AEDF是菱形。
22．【答案】（1）C
（2）保
（3）解：
①如图：
②（20﹣3×2）×（20﹣3×2）×3
＝14×14×3
＝588（cm3）．
【知识点】含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：（1）无盖正方体有五个面，
∴B和D不符合题意，
“田”组合不能折叠成立方体，
∴A不符合题意；
故答案为：C；
（2）还原后的正方体为：
∴“保”与“卫”相对，
故答案为：保；
【分析】（1）无盖正方体有五个面，田”的组合不能折叠成立方体，即可得到答案；
（2）将立方体还原，即可得到答案；
（3）①在现有正方形四个角画出全等的四个小正方形，然后依次虚线连接相邻两个小正方形在大正方形内的顶点；
②长方体的高即为小正方形的边长，长和宽为大正方形边长减去两个小正方形的边长，然后根据长方体的体积公式计算即可．
23．【答案】（1）解：如图
总人数：8÷40%=20（名）
D类型人数：20×10%=2（名）
答：这次调查中D类型有2名学生.
（2）解：被调查学生每人植树量的众数是5棵、中位数是5棵.
（3）解：平均数：=5.3（棵）
260×5.3=1378（棵）
答：估计这260名学生共植树1378棵.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）利用总人数20乘以D类型 对应的百分比即可求得D类的人数，然后补全直方图；
（2）根据众数、中位数的定义，直角写出答案即可；
（3）首先求得调查的20人的平均数，乘以总人数260，即可得到答案．
24．【答案】（1）解：将点A、D的坐标代入y=kx+n，得
故直线l的解析式为y=-x-1
将点A，D的坐标代入抛物线解析式，
同理可得抛物线的解析式为；
（2）解：过点P作PQ x轴交直线l于点Q，
由题意设点P（t，+3t+4），则点Q（t，t1）
PQ=+3t+4t1）
=+3t+4+t+1
=+4t+5
×（+4t+5）
=+12t+15
=+27
∵-1当t=2时，取最大值27
P（2，6）
（3）解：点M的坐标为（2+，3）或（2，3）
或（4，5）或（4，3）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的判定与性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（3）
由题意得NC＝5，
①当NC是平行四边形的一条边时，设点P坐标为（x，﹣x2+3x+4），则点M（x，﹣x﹣1），
由题意得：|yM﹣yP|＝5，即：|﹣x2+3x+4+x+1|＝5
解得：或0或4（舍去0，此时M和C重合），
则点M坐标为或或（4，﹣5）；
②当NC是平行四边形的对角线时，则NC的中点坐标为，
设点P坐标为（m，﹣m2+3m+4），则点M（n，﹣n﹣1），
∵N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形，
∴NC的中点即为PM中点，
∴，
解得：n＝0或﹣4（舍去0，此时M和C重合），
故点M（﹣4，3），
综上所述，存在点M，使得以点N、C、M、P为顶点的四边形为平行四边形，点M的坐标为：或或（4，﹣5）或（﹣4，3）．
【分析】（1）分别将A（﹣1，0），D（5，﹣6）代入抛物线解析式与直线l的解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）过点P作PQ⊥x轴交直线l于点Q，设点P（t，﹣t2+3t+4），则点Q（t，﹣t﹣1），得到PQ＝﹣t2+4t+5，S△PAD＝﹣3（t﹣2）2+27，根据二次函数的性质得，当t＝2时，S△PAD取最大值，求得P（2，6）；
（3）分两种情况：当NC是平行四边形的一条边时，当NC是平行四边形的对角线时，根据平行四边形的性质，分别求解即可．
25．【答案】（1）解：结论：EF＝BF．
理由：如图①中，作FH∥AD交BE于H．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵FH∥AD，
∴DE∥FH∥CB，
∵DF＝CF，
∴. ，
∴EH＝HB
∵BE⊥AD，FH∥AD，
∴FH⊥EB，
∴EF＝BF．
（2）解：结论：AG＝BG．
理由：如图②中，连接CC'．
∵△BFC'是由△BFC翻折得到，
∴BF⊥CC'，FC＝FC'，
∵DF＝FC，
∴DF＝FC＝FC'，
∴∠CC'D＝90°，
∴CC'⊥GD，
∴DG∥BF，
∵DF∥BG，
∴四边形DFBG是平行四边形，
∴DF＝BG，
∵AB＝CD，，
∴，
∴AG＝GB．
（3）解：S四边形BHNM＝S△A'BM﹣S△NHA'＝
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：（3）如图③中，过点D作DJ⊥AB于J，过点M作MT⊥AB于T．
∵S平行四边形ABCD＝AB DJ，
∴DJ＝＝4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝2，AB∥CD，
由勾股定理得：AJ＝，
∵A'B⊥AB，DJ⊥AB，
∴∠DJB＝∠JBH＝∠DHB＝90°，
∴四边形DJBH是矩形，
∴BH＝DJ＝4，
∴A'H＝A'B﹣BH＝5﹣4＝1，
∵，
设AT＝x，则MT＝2x，
∵∠ABM＝∠MBA'＝45°，
∴MT＝TB＝2x，
∴3x＝5，
∴x＝，
∴MT＝，
∵tan∠A＝tan∠A'＝＝2，
∴NH＝2，
∴S△ABM＝S△A'BM＝，
∴S四边形BHNM＝S△A'BM﹣S△NHA'＝．
【分析】（1）结论：EF＝BF．作FH∥AD交BE于H．根据平行四边形的性质及平行线分线段成比例基本事实证明FH垂直平分线段BE，即可证明EF＝BF；
（2））结论：AG＝BG．根据翻折的性质、平行四边形的判定定理证明四边形BFDG是平行四边形，然后根据平行四边形的性质可得AG＝BG；
（3）过点D作DJ⊥AB于J，过点M作MT⊥AB于T．根据S四边形BHNM＝S△A'BM﹣S△NHA'，求解即可．
1 / 1广东省惠州市惠城区2024年九年级数学学业水平考试
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.
1．（2024·惠城模拟）-4的相反数是（ ）
A． B． C．4 D．-4
【答案】C
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】-4的相反数是4，
故答案为：C.
【分析】根据相反数的定义即可求解.
2．（2024·惠城模拟）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故选项A符合题意；
B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故选项B不合题意；
C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故选项C不合题意；
D．是中心对称图形，不是轴对称图形，故选项D不合题意.
故答案为：A．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，逐项判断即可．
3．（2024·惠城模拟）赤道长约为40 000 000m，用科学记数法可以把数字40 000 000表示为（ ）
A．4×107 B．40×106 C．400×105 D．4000×103
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 40 000 000 = 4×107 .
故答案为：A.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数-1.
4．（2024·惠城模拟）如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵l1∥l2，
∴∠2+∠3+∠1＝180°，
∵∠1＝35°，∠2＝50°，
∴∠3＝180°-50°-35°=95°．
故答案为：D．
【分析】根据平行线的性质推出∠2+∠3+∠1＝180°，即可求出∠3＝95°．
5．（2024·惠城模拟）某校为庆祝中国共产党建党100周年举行“传承红色基因，沐浴阳光成长”歌咏比赛，七年级8个班通过抽签决定出场顺序，七年级（1）班恰好抽到第1个出场的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵七年级共有8个班，
∴七年级（1）班恰好抽到第1个出场的概率为．
故答案为：B．
【分析】根据概率公式求解即可．
6．（2024·惠城模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12．若D，E分别为边AC，BC的中点，则DE的长为（ ）
A．5 B．5.5 C．6 D．6.5
【答案】D
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，
根据勾股定理得：，
∵D ，E分别为边AC，BC的中点，
∴，
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理求出，然后根据三角形中位线定理求出DE的长即可.
7．（2024·惠城模拟）不等式组 的解在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解： ，
解不等式①，得x≥﹣1，
解不等式②，得x＜1，
所以不等式组的解集是﹣1≤x＜1，
在数轴上表示为：
故答案为：B.
【分析】首先求出两个不等式的解集，然后取其公共部分可得不等式组的解集，据此判断.
8．（2024·惠城模拟）设方程的两根分别是，则是（ ）．
A．-3 B．-2 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：已知x2﹣3x+2＝0，
根据根与系数的关系得：.
故答案为：D．
【分析】利用根与系数的关系，即可求解．
9．（2024·惠城模拟）某服装的进价为400元，出售时标价为600元，由于换季，商场准备打折销售，但要保证利润率不低于20%，那么该服装至多打（ ）折．
A．7 B．.5 C．8 D．8.5
【答案】C
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设该服装打x折销售，
根据题意得：600×﹣400≥400×20%，
解得：x≥8，
∴x的最小值为8，即该服装至多打8折．
故答案为：C．
【分析】设该服装打x折销售，利用利润＝售价﹣进价，得：600×﹣400≥400×20%，解不等式取x的最小值，即可得到答案．
10．（2024·惠城模拟）如图，四边形内接于是的直径，连接，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质；直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连，
∵四边形内接与，，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】连，根据圆内接四边形的性质求得，然后利用直径所对的圆周角是直角确定，然后根据直角三角形的两个锐角互余，即可得到答案．
二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分.
11．（2024·惠城模拟）计算： ．
【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：.
【分析】根据合并同类二次根式即可得到答案．
12．（2024·惠城模拟）某仓库运进小麦6吨，记为+6吨，那么仓库运出小麦8吨应记为 吨．．
【答案】-8
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：某仓库运进小麦6吨，记为+6吨，那么仓库运出小麦8吨应记为﹣8吨.
故答案为：﹣8．
【分析】根据正数和负数表示具有相反意义的量，即可得到答案．
13．（2024·惠城模拟）已知反比例函数y的图象经过点（﹣3，4），则k的值为 ．
【答案】-12
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把（﹣3，4）代入反比例函数，
得：k＝﹣3×4＝﹣12，
故答案为：﹣12．
【分析】把（﹣3，4）代入函数解析式，即可求得k的值．
14．（2024·惠城模拟）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为 ．
【答案】
【知识点】圆锥的计算；扇形的面积
【解析】【解答】解：圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，
代入圆锥的侧面积公式得：S＝π×4×6＝24π（cm2），
故答案为：24π．
【分析】根据圆锥的侧面积公式S=πrl，代数求解即可．
15．（2024·惠城模拟） 如图，四边形是边长为2的正方形，点在正方形内，是等边三角形，则的面积为 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵△PBC是等边三角形，
∴点P在BC的垂直平分线上，
∴点P到CD的距离为1，点P到BC的距离为，
∴S△PCD＝＝1，
S△PBC＝×2×＝，
S△BCD＝×2×2＝2，
∴△PBD的面积为S△PBC+S△PCD﹣S△BCD＝＝﹣1.
故答案为：﹣1．
【分析】根据题意分别求出S△PCD＝1，S△PBC＝，S△BCD＝2，然后根据△PBD的面积等于S△PBC+S△PCD﹣S△BCD，代数求解即可．
三、解答题（一）：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
16．（2024·惠城模拟）计算：.
【答案】解：原式=4×-－2+1
=－2+1
=1.
【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根
【解析】【分析】先计算零指数幂、特殊角的三角函数值、算术平方根，然后根据实数混合运算的运算顺序计算求解即可.
17．（2024·惠城模拟）先化简，再求值：()×，其中．
【答案】解：原式=×
=3
当x=2时，原式=2+3=5.
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简为3，再把x＝2代入进行计算求解即可．
18．（2024·惠城模拟）如图，AB=CB，BE=BF，∠1=∠2，证明：△ABE≌△CBF．
【答案】证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠FBE=∠2+∠FBE，即∠ABE=∠CBF
在△ABE与△CBF中，
∴△ABE≌△CBF（SAS）．
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】掌握全等三角形SAS的判定方法。
19．（2024·惠城模拟）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功．航模店看准商机，同样花费320元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多4个且每个“天宫”模型成本比每个“神舟”模型成本少．“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？
【答案】解：设“神舟”模型成本为每个x元，则“天宫”模型成本为每个(元)，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
(元)，
答：“神舟”模型成本为每个20元，“天宫”模型成本为每个16元.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设“神舟”模型成本为每个x元，则“天宫”模型成本为每个(元)，根据同样花费320元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多4个，列出分式方程，解方程并检验即可．
20．（2024·惠城模拟）某县消防大队到某小区进行消防演习.已知，图是一辆登高云梯消防车的实物图，图是其工作示意图，起重臂可伸缩，且起重臂可绕点在一定范围内转动，张角为转动点A距离地面的高度为．当起重臂长度为，张角，求云梯消防车最高点距离地面的高度.（参考数据：，，，）
【答案】解：如图所示，过点作，垂足为，过点A作，垂足为，
则，，
，
，
在中，，，
，
，
云梯消防车最高点距离地面的高度为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过点A作AG⊥CF，垂足为G，根据题意可得：AE＝FG＝3m，∠EAG＝∠AGC＝90°，从而可得∠CAG＝37°，然后在Rt△AGC中，利用锐角三角函数的定义求出CG=12米，从而利用线段的和差关系，代数求解即可．
四、解答题（二）：本大题共3小题，第21题8分，第22、23题各9分，共26分.
21．（2024·惠城模拟）如图，线段AD是△ABC的角平分线.
（1）尺规作图：作线段AD的垂直平分线分别交AB，AC于点E，F：（保留痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，连接DE，DF，求证：四边形AEDF是菱形.
【答案】（1）解：如图，直线EF即为所求．
（2）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠AOE＝∠AOF＝90°，AO＝AO，
∴△AOE≌△AOF（ASA），
∴AE＝AF，
∵EF垂直平分线段AD，
∴EA＝ED，FA＝FD，
∴EA＝ED＝DF＝AF，
∴四边形AEDF是菱形．
【知识点】菱形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）利用垂直平分线的作图法作图即可；
（2）先利用“ASA”证明△AOE≌△AOF，可得AE=AF，再利用垂直平分线的性质可得EA＝ED，FA＝FD，即可得到EA＝ED＝DF＝AF，所以四边形AEDF是菱形。
22．（2024·惠城模拟）问题情景：九（1）班综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾用的无盖纸盒．
操作探究：
（1）若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的 图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒；
（2）图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后，与“卫”字相对的是 ；
（3）如图3，有一张边长为20cm的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒．
①请你在图3中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕；
②若四角各剪去了一个边长为3cm的小正方形，求这个纸盒的容积．
【答案】（1）C
（2）保
（3）解：
①如图：
②（20﹣3×2）×（20﹣3×2）×3
＝14×14×3
＝588（cm3）．
【知识点】含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：（1）无盖正方体有五个面，
∴B和D不符合题意，
“田”组合不能折叠成立方体，
∴A不符合题意；
故答案为：C；
（2）还原后的正方体为：
∴“保”与“卫”相对，
故答案为：保；
【分析】（1）无盖正方体有五个面，田”的组合不能折叠成立方体，即可得到答案；
（2）将立方体还原，即可得到答案；
（3）①在现有正方形四个角画出全等的四个小正方形，然后依次虚线连接相邻两个小正方形在大正方形内的顶点；
②长方体的高即为小正方形的边长，长和宽为大正方形边长减去两个小正方形的边长，然后根据长方体的体积公式计算即可．
23．（2024·惠城模拟）某校260名学生参加植树活动，要求每人植4～7棵，活动结束后随机抽查了若干名学生每人的植树量，并分为四种类型，A：4棵；B：5棵；C：6棵；C：7棵；将各类的人数绘制成扇形图(如图1)和条形图(如图2).回答下列问题：
（1）在这次调查中D类型有多少名学生？(并在图中画出)
（2）写出被调查学生每人植树量的众数、中位数；
（3）求被调查学生每人植树量的平均数，并估计这260名学生共植树多少棵？
【答案】（1）解：如图
总人数：8÷40%=20（名）
D类型人数：20×10%=2（名）
答：这次调查中D类型有2名学生.
（2）解：被调查学生每人植树量的众数是5棵、中位数是5棵.
（3）解：平均数：=5.3（棵）
260×5.3=1378（棵）
答：估计这260名学生共植树1378棵.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）利用总人数20乘以D类型 对应的百分比即可求得D类的人数，然后补全直方图；
（2）根据众数、中位数的定义，直角写出答案即可；
（3）首先求得调查的20人的平均数，乘以总人数260，即可得到答案．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分.
24．（2024·惠城模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：y＝kx+n与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D，已知A（﹣1，0），D（5，﹣6），P点为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）．
（1）求抛物线和直线l的解析式；
（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，连接PA、PD，当△PAD的面积最大时，求P点的坐标.
（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C、M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
【答案】（1）解：将点A、D的坐标代入y=kx+n，得
故直线l的解析式为y=-x-1
将点A，D的坐标代入抛物线解析式，
同理可得抛物线的解析式为；
（2）解：过点P作PQ x轴交直线l于点Q，
由题意设点P（t，+3t+4），则点Q（t，t1）
PQ=+3t+4t1）
=+3t+4+t+1
=+4t+5
×（+4t+5）
=+12t+15
=+27
∵-1当t=2时，取最大值27
P（2，6）
（3）解：点M的坐标为（2+，3）或（2，3）
或（4，5）或（4，3）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的判定与性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（3）
由题意得NC＝5，
①当NC是平行四边形的一条边时，设点P坐标为（x，﹣x2+3x+4），则点M（x，﹣x﹣1），
由题意得：|yM﹣yP|＝5，即：|﹣x2+3x+4+x+1|＝5
解得：或0或4（舍去0，此时M和C重合），
则点M坐标为或或（4，﹣5）；
②当NC是平行四边形的对角线时，则NC的中点坐标为，
设点P坐标为（m，﹣m2+3m+4），则点M（n，﹣n﹣1），
∵N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形，
∴NC的中点即为PM中点，
∴，
解得：n＝0或﹣4（舍去0，此时M和C重合），
故点M（﹣4，3），
综上所述，存在点M，使得以点N、C、M、P为顶点的四边形为平行四边形，点M的坐标为：或或（4，﹣5）或（﹣4，3）．
【分析】（1）分别将A（﹣1，0），D（5，﹣6）代入抛物线解析式与直线l的解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）过点P作PQ⊥x轴交直线l于点Q，设点P（t，﹣t2+3t+4），则点Q（t，﹣t﹣1），得到PQ＝﹣t2+4t+5，S△PAD＝﹣3（t﹣2）2+27，根据二次函数的性质得，当t＝2时，S△PAD取最大值，求得P（2，6）；
（3）分两种情况：当NC是平行四边形的一条边时，当NC是平行四边形的对角线时，根据平行四边形的性质，分别求解即可．
25．（2024·惠城模拟）问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在 ABCD中，BE⊥AD，垂足为E，F为CD的中点，连接EF，BF，试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明．
（1）独立思考：请解答老师提出的问题；
（2）实践探究：希望小组受此问题的启发，将 ABCD沿着BF（F为CD的中点）所在直线折叠，如图②，点C的对应点为C'，连接DC'并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明．
（3）问题解决：智慧小组突发奇想，将 ABCD沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点为A'，使A'B⊥CD于点H，折痕交AD于点M，连接A'M，交CD于点N．该小组提出一个问题：若此 ABCD的面积为20，边长AB＝5，BC＝2，求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．
【答案】（1）解：结论：EF＝BF．
理由：如图①中，作FH∥AD交BE于H．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵FH∥AD，
∴DE∥FH∥CB，
∵DF＝CF，
∴. ，
∴EH＝HB
∵BE⊥AD，FH∥AD，
∴FH⊥EB，
∴EF＝BF．
（2）解：结论：AG＝BG．
理由：如图②中，连接CC'．
∵△BFC'是由△BFC翻折得到，
∴BF⊥CC'，FC＝FC'，
∵DF＝FC，
∴DF＝FC＝FC'，
∴∠CC'D＝90°，
∴CC'⊥GD，
∴DG∥BF，
∵DF∥BG，
∴四边形DFBG是平行四边形，
∴DF＝BG，
∵AB＝CD，，
∴，
∴AG＝GB．
（3）解：S四边形BHNM＝S△A'BM﹣S△NHA'＝
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：（3）如图③中，过点D作DJ⊥AB于J，过点M作MT⊥AB于T．
∵S平行四边形ABCD＝AB DJ，
∴DJ＝＝4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝2，AB∥CD，
由勾股定理得：AJ＝，
∵A'B⊥AB，DJ⊥AB，
∴∠DJB＝∠JBH＝∠DHB＝90°，
∴四边形DJBH是矩形，
∴BH＝DJ＝4，
∴A'H＝A'B﹣BH＝5﹣4＝1，
∵，
设AT＝x，则MT＝2x，
∵∠ABM＝∠MBA'＝45°，
∴MT＝TB＝2x，
∴3x＝5，
∴x＝，
∴MT＝，
∵tan∠A＝tan∠A'＝＝2，
∴NH＝2，
∴S△ABM＝S△A'BM＝，
∴S四边形BHNM＝S△A'BM﹣S△NHA'＝．
【分析】（1）结论：EF＝BF．作FH∥AD交BE于H．根据平行四边形的性质及平行线分线段成比例基本事实证明FH垂直平分线段BE，即可证明EF＝BF；
（2））结论：AG＝BG．根据翻折的性质、平行四边形的判定定理证明四边形BFDG是平行四边形，然后根据平行四边形的性质可得AG＝BG；
（3）过点D作DJ⊥AB于J，过点M作MT⊥AB于T．根据S四边形BHNM＝S△A'BM﹣S△NHA'，求解即可．
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