2023-2024学年福建省泉州市德化二中高二（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年福建省泉州市德化二中高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，，，则的最小值是( )
A. B. C. D.
3.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
4.复数的共轭复数是( )
A. B. C. D.
5.已知平面向量，满足，，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
6.已知，，，则( )
A. B. C. D.
7.三棱锥中，，，，则等于( )
A. B. C. D.
8.当时，曲线与的交点个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列“若，则”形式的命题中，是的必要条件的是( )
A. 若两个三角形全等，则这两个三角形相似 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.若，，，则下列命题正确的是( )
A. 若且，则 B. 若且，则
C. 若，则 D.
11.已知函数对任意实数，都满足且，则下列说法正确的是( )
A. 是偶函数
B.
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的零点个数为______．
13.函数的最大值为______．
14.设函数，，则函数的值域是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，．
求的值；
若与共线，求实数的值．
16.本小题分
如图，在四面体中，，，点，分别是，的中点．求证：
直线面；
平面面．
17.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若，，求周长．
18.本小题分
已知集合，．
求和；
若集合，且，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，，都有，则称是“利普希兹条件函数”．
判断函数，是否为“利普希兹条件函数”，并说明理由；
若函数是周期为的“利普希兹条件函数”，证明：对定义域内任意的，，均有．
参考答案
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15.解：向量，，
则，
则有；
根据题意，，，
若与共线，则有，
解可得：；
故．
16.证明：，分别是，的中点．
是的中位线，，
面，面，直线面；
，，，
，是的中点，
又，面，
面，面面
17.解：因为，
所以，即，
由为三角形内角得，
即；
因为，
，由正弦定理可得：，
可得，
又因为，所以，，
在中，由正弦定理得，
所以，，
所以的周长为．
综上，的周长为．
18.解：，，
，
，；
若，且，则，
所以，解得，
故的取值范围．
19.解：由题知，函数的定义域为，
所以，
即，
所以函数是“利普希兹条件函数“；
函数的定义域为，
所以，，
所以，
所以函数是“利普希兹条件函数“；
证明：若，，
当，则；
若，设，
则
，
所以对任意的，，都有，
因为函数是周期为的周期函数，
所以对任意的，，都存在，，使得，，
所以，
综上可得对定义域内任意的，，均有．
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