2023-2024学年江西省上饶市金桥学校高二（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年江西省上饶市金桥学校高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数列满足，，，若数列是递减数列，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.设为等差数列的前项和，若，公差，，则( )
A. B. C. D.
3.设数列的前项和为，，，则下列说法正确的是( )
A. 是等比数列
B. ，，成等差数列，公差为
C. 当且仅当时，取得最大值
D. 时，的最大值为
4.若数列的前项和为，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
5.已知函数的图象如图所示，设函数从到的平均变化率为，从到的平均变化率为，则与的大小关系为( )
A.
B.
C.
D. 不确定
6.已知函数的导函数为，且，则( )
A. B. C. D.
7.下列求导运算结果正确的是( )
A. B.
C. D.
8.已知函数，则( )
A. 在处的切线方程为 B. 的极小值为
C. 在单调递增 D. 有三个实根
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知各项均为正数的数列满足为其前项和，则( )
A. B. C. D.
10.下列表述中正确的是( )
A. 若不存在，则曲线在点处没有切线
B.
C. 已知函数，则
D. 若，则
11.下列选项正确的是( )
A. ，则
B. ，则
C. ，则
D. 设函数，且，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知为数列的前项和，且，，则 ______．
13.已知函数，则 ______．
14.函数仅有一个零点，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的通项公式为，在与中插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前项和为，
求的通项公式及；
设为数列的前项和，求．
16.本小题分
已知数列的前项和为，，．
证明：是等比数列，并求出的通项公式；
已知，求数列的前项和．
17.本小题分
已知函数在处取得极值．
求实数的值；
证明：对于任意的正整数，不等式成立．
18.本小题分
已知函数．
当时，求的单调区间；
当时，求证：在区间有唯一的极值点；
若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知且，函数．
记，，为数列的前项和当时，试比较与的大小，并说明理由；
当时，证明：；
当且时，试讨论的零点个数．
参考答案
1.
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8.
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12.
13.
14.
15.解：由题意可得，
；
．
所以，
两式相减得
，
所以．
16.解：证明：因为，，
当时，，，；
当时，由，可得，
相减可得，
即，
又，
是首项为，公比为的等比数列，
；
，
．
17.解：已知，函数定义域为，
可得，
因为为函数的极值点，
所以，
解得，
当时，函数，
可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，函数取得极大值，
故；
证明：由知当时，，
即，
令，
此时，
所以，
则，
故．
18.解：当时，．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以的单调递增区间为，单调递减区间为．
证明：令，
所以，
当时，，当时，，
所以在单调递减，在单调递增．
又，，
所以存在唯一实数，使得，
所以当时，，即，当时，，即，
所以在单调递减，在单调递增，
所以区间有唯一极小值点得证．
解：由知：在单调递减，在单调递增，且．
当，即时，在单调递增，
所以，解得，故无解；
当，即时，在单调递减，
所以恒成立，故；
当，即时，在单调递减，在单调递增，
所以，
解得，故．
综上所述，的范围为
19.解：，
为数列的前项和，
．
证明：当时，．
记，．
当时，；当时．，
在上单调递减，在上单调递增．
，即，当且仅当时，取等号，
在上单调递增，
当时，；当时，．
．
，，
当时，，是上的增函数，
又当时，；当时，，
故有个零点．
当时，记，
则，
当时，；当时，，
故在上单调递减，在上单调递增．
．
若，则，即，
故在上单调递增，
又当时，；当时，，
故有个零点．
Ⅱ若，，，，
易证任意，，从而．
故存在，，使得．
当，或时，，即；
当时，，即．
在，上单调递增，在上单调递减．
又，，，
又当时，；当时，，
有个零点．
综上，当时，有个零点；
当且时，有个零点．
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