2023-2024学年湖南省娄底市涟源市高二（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年湖南省娄底市涟源市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为虚数单位，若复数，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.函数与的图象( )
A. 关于轴对称 B. 关于轴对称
C. 关于原点轴对称 D. 关于直线轴对称
3.求的展开式中的系数( )
A. B. C. D.
4.对于任意两个向量和，下列命题中正确的是( )
A. 若，满足，且与同向，则 B.
C. D.
5.已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则的值为( )
A. B. C. D.
6.根据分类变量与的成对样本数据，计算得到已知，依据小概率值的独立性检验，则( )
A. 与不独立 B. 与不独立，这个结论犯错误的概率不超过
C. 与独立 D. 与独立，这个结论犯错误的概率不超过
7.将函数的图象向左平移后得到函数的图象，则的解析式是( )
A. B.
C. D.
8.长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过，这些人的近视率约为现从每天玩手机不超过的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.为调研某地空气质量，连续天测得该地是衡量空气质量的重要指标，单位：的日均值，依次为，，，，，，，，，，则( )
A. 这组数据的极差为 B. 这组数据的众数为
C. 这组数据的中位数为或 D. 这组数据的第百分位数为
10.下列关于概率统计说法中正确的是( )
A. 两个变量，的相关系数为，则越小，与之间的相关性越弱
B. 经验回归方程相对于点的残差为
C. 在回归分析中，为的模型比为的模型拟合得更好
D. 某人解答个问题，答对题数为，，则
11.已知函数，，则( )
A. 是偶函数
B. 恒成立
C. 的值域是
D. 的值域是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.从，，，四个数中任取两个数，则两个数相差为的概率是______．
13.某市高二数学统考，假设考试成绩服从正态分布如果按照，，，的比例将成绩从高到低划分为，，，四个等级，则等级的最低分是______．
14.甲、乙、丙三人做传球训练，第次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两人中的任何一人，则经过次传球后，球在甲手中的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
计算下列各式的值：
；
．
16.本小题分
三角形的内角、、所对的边分别为，，，．
求；
若，求面积的最大值．
17.本小题分
某学校高二年级有名学生，将数学和语文期中考试成绩的数据整理如表：
表
数学成绩 语文成绩 合计
优秀 不优秀
优秀
不优秀
合计
表
数学成绩 语文成绩 合计
优秀 不优秀
优秀
不优秀
合计
根据表数据，从名学生中随机选择一人做代表．
求选到的同学数学成绩优秀且语文成绩优秀的概率；
在选到的同学数学成绩优秀的条件下，求选到的同学语文成绩优秀的概率．
从名学生中获取了容量为的简单随机样本，样本数据整理如表，请填写完整表数据，并根据表数据，依据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，侧面是正三角形，侧面底面．
求与底面所成角的正切值；
求侧面与底面所成二面角的大小；
若是上的点，且平面，求四面体的体积．
19.本小题分
如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量若向量，则把有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作在此坐标系中，若，，，是的中点，与交于两点．
求；
求的坐标；
若过点的直线分别与轴、轴正方向交于、两点，求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.分
14.
15.解：
；
．
．
16.解：因为，
所以由正弦定理可得，
又，
所以，即，
又，
所以；
因为，，
所以由余弦定理可得，当且仅当时取等号，
所以，
所以，当且仅当时取等号，
则面积的最大值为．
17.解：记事件“选到同学数学成绩优秀”，记事件“选到同学语文成绩优秀”，则与相互独立，
，
．
表整理如下：
数学成绩 优秀 不优秀 合计
优秀
不优秀
合计
零假设：数学成绩与语文成绩无关联，根据表中的数据可得：，
依据的独立性检验，我们可以推断不成立；即认为数学成绩与语文成绩有关联，该推断犯错误的概率不超过．
18.解：设是的中点，连接，，
又侧面是正三角形，是的中点，
，
又因为侧面底面，，
底面，
是与底面所成角，
在中，，，
．
又在菱形中，，
为等边三角形，
又为的中点，所以，
由知，，
平面，则，
是侧面与底面所成二面角的平面角，
而在中，，
，
侧面与底面所成二面角大小为．
连结交于点，连结，
底面为菱形，且平面，
，
又在中，为中点，
为中点，
又平面，
点到平面的距离等于点到平面的距离，
即，
由知，平面平面，所以底面，
因为等边的边长为，，
又因为为中点，
点到底面的距离为，
为边长为的等边三角形，
三棱锥的体积为．
19.解：依题意可得，
，，
．
，，，
，，，，
四边形是平行四边形，即，∽，
是的中点，，，
又，
，
．
设，，则，，
，，三点共线，则设，
，
，
，
，，
，
当且仅当时取等号，
的最小值为．
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