云南省大理市2023-2024学年高二下学期数学6月质量检测试卷
1．（2024高二下·大理月考） 小王每次通过英语听力测试的概率是，且每次通过英语听力测试相互独立，他连续测试3次，那么其中恰有1次通过的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二下·大理月考）的展开式中的系数为
A．-40 B．-10 C．40 D．30
3．（2024高二下·大理月考）函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二下·大理月考）某班联欢会原定5个节目，已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插入节目单中，要求新节目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的插法种数为（ ）
A．12 B．18 C．20 D．60
5．（2024高二下·大理月考）设为等差数列的前项和，若，公差，，则（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
6．（2024高二下·大理月考）已知随机变量ε服从正态分布，若，则（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.6
7．（2024高二下·大理月考） 已知是等比数列的前项和，若，则数列的公比是（ ）
A．或1 B．或1 C． D．
8．（2024高二下·大理月考）定义集合，在使得的所有中，下列成立的是( )
A．是偶函数 B．在处取最大值
C．严格增 D．在处取到极小值
9．（2024高二下·大理月考）声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数 ，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 是 的一个周期 B． 在 上有3个零点
C． 的最大值为 D． 在 上是增函数
10．（2024高二下·大理月考）某不透明的盒子里装有若干个形状、大小、材质完全相同的红色和黑色的小球，现从盒子里随机抽取小球，每次抽取一个，用随机变量表示事件"抽到的小球为红色"发生的次数，下列说法正确的有（ ）
A．若盒子里有2个红色小球，4个黑色小球，从盒子里不放回地抽取小球，则第一次抽到红色小球且第二次抽到黑色小球的概率为
B．若盒子里有2个红色小球，4个黑色小球，从盒子里有放回地抽取6次小球，则且
C．若盒子里有个小球，其中红色小球有个，从盒子里不放回地随机抽取6个小球，且有红色球的数学期望为2，则盒子里黑色小球的个数是红色小球个数的2倍
D．若，则
11．（2024高二下·大理月考）大衍数列来源《乾坤诺》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程．已知大衍数列满足，，则( )
A．
B．
C．
D．
12．（2024高二下·大理月考）假设有两箱零件，第一箱内装有10件，其中有2件次品；第二箱内装有20件，其中有3件次品.现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件，则取出的零件是次品的概率是 .
13．（2024高二下·大理月考）记为等差数列的前项和，若，则 .
14．（2024高二下·大理月考）若曲线y＝ex+x在点（0，1）处的切线也是曲线y＝ln（x+1）+a的切线，则a＝ ．
15．（2024高二下·大理月考）袋子中有大小相同的2个白球 3个黑球，每次从袋子中随机摸出一个球.
（1）若摸出的球不再放回，求在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到白球的概率；
（2）若对摸出球看完颜色后就放回，这样连续摸了3次，求3次摸球中摸到白球的次数的分布列和均值.
16．（2024高二下·大理月考）已知等差数列的首项为1，公差为2．正项数列的前项和为，且．
（1）求数列和数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
17．（2024高二下·大理月考）已知函数
（1）当时，求函数的最小值；
（2），，求的取值范围.
18．（2024高二下·大理月考）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：
时间范围 学业成绩
优秀 5 44 42 3 1
不优秀 134 147 137 40 27
（1）该地区29000名学生中体育锻炼时长大于1小时人数约为多少？
（2）估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）
（3）是否有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？
附：，.
19．（2024高二下·大理月考）已知无穷数列，构造新数列满足满足满足，若为常数数列，则称为阶等差数列；同理令，若为常数数列，则称为阶等比数列..
（1）已知为二阶等差数列，且，求的通项公式；
（2）若为阶等差数列，为一阶等比数列，证明：为阶等比数列；
（3）已知，令的前项和为，证明：.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】离散型随机变量及其分布列；二项分布
【解析】【解答】解：由已知可得，
恰有1次通过的概率是，
故答案为：A
【分析】利用相互独立事件恰好发生次概率公式求解即可.
2．【答案】D
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：二项式展开式的通项公式为，
故展开式中含项的系数为.
故答案为：D.
【分析】根据二项式展开式的通项公式求解即可.
3．【答案】A
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的点斜式方程
【解析】【解答】解：因为，．由，
所以切线的斜率为
所以切线的方程为，
故答案为：A．
【分析】利用导数的几何和直线的点斜式方程，从而求解.
4．【答案】C
【知识点】分类加法计数原理；排列与组合的综合
【解析】【解答】解： 原定5个节目排列后中间形成4个空位，
当新节目插在中间的四个空位中的一个时，有种方法；
当新节目插在中间的四个空位中的两个时，有种方法，
由分类计数原理可得共有种不同的方法.
故答案为：C.
【分析】根据题意，分新节目插在中间的四个空位中的一个和新节目插在中间的四个空位中的两个，再结合排列数与组合数的计算求解即可.
5．【答案】D
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为是等差数列，且，公差
由
代入等差数列前n项和公式得：
，
即，
解得，
故答案为：D．
【分析】利用等差数列的求和公式即可得到答案
6．【答案】B
【知识点】连续型随机变量
【解析】【解答】解：因为，所以，
又因为随机变量 ε服从正态分布，所以，即曲线关于直线对称，
所以，故B选项符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据题意可得：，又因为随机变量付出 正态分布可得曲线关于直线对称，然后利用对称性进行解题即可.
7．【答案】A
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等比数列的首项为，公比为，由题可得，解得或.
故答案为：A.
【分析】根据等比数列的通项公式和前项和公式列方程组，求解即可.
8．【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数的奇偶性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：A、若存在 是偶函数， 取 ，
则对 ， 但 ， 与题干矛盾，故A错误；
B、构造函数，满足集合，
当时，，当时，，当时，，
则该函数的最大值是，故B正确；
C、假设存在，使得函数严格增，则，与题干矛盾，故C错误；
D、假设存在，使得在处取极小值，则在的左侧附近存在，使得，与题干矛盾，故D错误.
故答案为：B.
【分析】利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断ACD；构造函数即可判断B.
9．【答案】A,B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；正弦函数的性质；函数的零点
【解析】【解答】解：因为： ① 的周期是 ，
的周期是 ，
所以 的周期是 ，A符合题意.②当 ， 时，
或
解得 或 或 ，
所以 在 上有3个零点，故 正确.③
令 ，求得 或 ，
因为 在 单调递增，在 单调递减，
所以 时取得最大值，则
，C符合题意.④由③得 ，
要求增区间则 ，
即 （不成立），或 ，
所以
所以 在 上是增函数是错误的，D不符合题意.
故答案为：ABC
【分析】①分别计算 和 的周期，再求其最小公倍数即可得到 的周期.②令 即可求得零点.③对 求导，令 ，判断单调性即可求得极值.④对 求导，令 ，即可求出单调递增区间.
10．【答案】A,C
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：对于A选项：第一次抽到红色小球且第二次抽到黄色小球的概率为：故A选项正确；
对于B选项：有放回地抽取6次小球，变量，所以，则，故B选项错误；
对于C选项：根据题意可得，解得：，所以黑色小球的个数为，故C选项正确；
对于D选项：
因为所以，可解得：，则，
故故D选项错误.
故答案为：AC.
【分析】根据古典概型公式即可判定A选项；再利用二项分布列的方差公式即可判定B选项；根据C选项的题意可得，进而即可判定C选项；最后根据二项式分布列的概率公式可求得p，进而可求得，进而即可判定D选项.
11．【答案】B,C,D
【知识点】等差数列的前n项和；数列的递推公式
【解析】【解答】解：A.由，可得，，，
错误；
B.当为奇数时，
当为偶数时，，正确；
C.当为奇数时，
，也成立
当为偶数时，
（也成立）， 正确
D.，正确
故答案为：
【分析】本题考查数列的递推式，等差数列的前n项和公式.利用数列的递推式进行计算，可判断选项；讨论为奇数和偶数，可推出数列的递推公式，判断B选项；利用等差数列的前n项和公式和累加法可求出，据此可判断C选项；依次求出数列的前8项，再进行计算，可判断D选项.
12．【答案】
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】设 （ ，2）表示从第 箱取到的零件是次品， 表示从第一箱中取零件， 表示从第二箱中取零件，
由全概率计算公式得取出的零件是次品的概率是：
.
故答案为： .
【分析】设 （ ，2）表示从第 箱取到的零件是次品， 表示从第一箱中取零件， 表示从第二箱中取零件，由全概率计算公式能求出取出的零件是次品的概率.
13．【答案】95
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，因为等差数列满足，
所以，解得，则.
故答案为：95.
【分析】设等差数列的公差为，由题意，根据等差数列通项公式列方程组，解出，再利用等差数列的求和公式求解即可.
14．【答案】ln2
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：∵y＝ex+x，
∴，
此时k=，
故 曲线y＝ex+x在点（0，1）处的切线方程为：y=2x+1，
又∵y＝ln（x+1）+a ，
，
∵切线y=2x+1是公切线，设 曲线y＝ln（x+1）+a的切点为，
∴，解得，故切点为，
代入曲线，有y＝ln+a=0，解得.
故答案为：ln2.
【分析】通过导数求曲线的切线方程，利用公切线得出等量关系即可求出a.
15．【答案】（1）解：角度一：第一次摸到白球，第二次摸球时袋子中有1个白球，3个黑球，所求概率.
角度二：设"第一次摸到白球"，"第二次摸到白球"，
则，
所求概率；
（2）解：的所有可能取值为0，1，2，3．
的分布列为：
0 1 2 3
均值
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；条件概率；条件概率乘法公式
【解析】【分析】本题主要考查条件概率公式，离散型随机变量的分布列及均值，属于基础题型.
（1）根据条件的概率公式直接进行计算即可求解；
（2）的所有可能取值为0，1，2，3，然后计算出每个值对应的概率，然后列出分布列，然后根据数学期望的公式进行计算即可.
16．【答案】（1）解： 依题意可得，∵①，当时，②，
，
，，∵，∴，
且在①式中令或（舍去），∴，
综上可得，.
（2）解： 由（1）可得，
∴
．
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）先根据等差数列通项公式求出，再根据，得，进而求出.
（2）先求得，然后分组求和即可.
17．【答案】（1）解：当时，
，
当时，，函数单调递减.
当时，，函数单调递增.
（2）解：，
令，.
当时，，函数单调递增.
当时，，函数单调递减.
即的取值范围是
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）利用导数判断函数单调性；
（2）分离参数，，将恒成立问题转化为最值问题，利用导数求解即可得到答案.
18．【答案】（1）解：由表可知，锻炼时长不少于1小时的人数占比为，
则估计该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数为；
（2）解：该地区初中生的日均体育锻炼时长约为
．
则该地区初中学生日均体育锻炼的时长为0.9小时；
（3）解：由题，列出联表，如表所示：
其他 合计
优秀 45 50 95
不优秀 177 308 485
合计 222 358 580
零假设：该地区成绩优秀与日均锻炼时长不少于1小时但少于2小时无关，
，则零假设不成立，
即有的把握认为学业成绩优秀与日均锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关．
【知识点】众数、中位数、平均数；独立性检验；2×2列联表
【解析】【分析】（1）求出相关占比，乘以总人数即可；
（2）根据平均数的计算公式即可得到答案；
（3）由题意，作出列联表，再进行零假设，计算卡方值，和临界值比较大小判断即可.
19．【答案】（1）由知，故可设.
所以，故.
从而，代入，可得，所以.
故的通项公式为：.
（2）先证明2个引理.
引理1：对任意非负整数，存在，使得对任意正整数成立，这里约定.
证明：用数学归纳法证明该结论.
当时，有，取即可，故结论成立；
假设结论对成立，则
.
故可设，这就得到
.
所以取，，即可，这得到结论对成立.
由数学归纳法即知引理1成立.
引理2：是阶等差数列的充分必要条件是能够表示为关于的至多次的多项式形式，即.
证明：我们对使用数学归纳法.
当时，结论显然成立；
对，假设结论对成立，考虑的情形：
一方面，如果，则有
.
故由于结论对成立，知是阶等差数列，所以是阶等差数列；
另一方面，如果是阶等差数列，则是阶等差数列.
故由于结论对成立，知的通项公式具有形式.
故.
据引理1可知，每个都可以表示为的形式，故
.
综上，结论对成立.
由数学归纳法知引理2成立.
回到原题.
由于为一阶等比数列，故恒为常值，设，则.
为使有意义，必有不为零.
所以.
由于为阶等差数列，故由引理2，可设.
取就有，，所以由引理2可知和都是阶等差数列.
设，，，，则和都是常值.
而归纳即知，故是常值，从而为阶等比数列.
（3）用数学归纳法证明：.
当时，由知结论成立；
对，假设结论已对成立，即，则
.
所以结论对也成立.
综上，对任意的正整数，都有.
故.
这就得到
.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式
【解析】【分析】本题考查等差数列的定义，等比数列的定义，等差数列的通项公式，等比数列的通项公式.
（1）根据二阶等差数列的定义可推出，利用累加法可求出，再根据，可求出的值，据此可求出的通项公式；
（2）先证明引理1和引理2，再确定是阶等差数列的充分必要条件，设，利用引理2可知和都是阶等差数列，再证明和都是常值.再结合阶等比数列的定义可证明结论；
（3）先利用数学归纳法证明，再利用该结果进行放缩可得：，再利用等比数列的前n项和公式进行计算可得：，据此可证明结论；
1 / 1云南省大理市2023-2024学年高二下学期数学6月质量检测试卷
1．（2024高二下·大理月考） 小王每次通过英语听力测试的概率是，且每次通过英语听力测试相互独立，他连续测试3次，那么其中恰有1次通过的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】离散型随机变量及其分布列；二项分布
【解析】【解答】解：由已知可得，
恰有1次通过的概率是，
故答案为：A
【分析】利用相互独立事件恰好发生次概率公式求解即可.
2．（2024高二下·大理月考）的展开式中的系数为
A．-40 B．-10 C．40 D．30
【答案】D
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：二项式展开式的通项公式为，
故展开式中含项的系数为.
故答案为：D.
【分析】根据二项式展开式的通项公式求解即可.
3．（2024高二下·大理月考）函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的点斜式方程
【解析】【解答】解：因为，．由，
所以切线的斜率为
所以切线的方程为，
故答案为：A．
【分析】利用导数的几何和直线的点斜式方程，从而求解.
4．（2024高二下·大理月考）某班联欢会原定5个节目，已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插入节目单中，要求新节目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的插法种数为（ ）
A．12 B．18 C．20 D．60
【答案】C
【知识点】分类加法计数原理；排列与组合的综合
【解析】【解答】解： 原定5个节目排列后中间形成4个空位，
当新节目插在中间的四个空位中的一个时，有种方法；
当新节目插在中间的四个空位中的两个时，有种方法，
由分类计数原理可得共有种不同的方法.
故答案为：C.
【分析】根据题意，分新节目插在中间的四个空位中的一个和新节目插在中间的四个空位中的两个，再结合排列数与组合数的计算求解即可.
5．（2024高二下·大理月考）设为等差数列的前项和，若，公差，，则（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】D
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为是等差数列，且，公差
由
代入等差数列前n项和公式得：
，
即，
解得，
故答案为：D．
【分析】利用等差数列的求和公式即可得到答案
6．（2024高二下·大理月考）已知随机变量ε服从正态分布，若，则（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.6
【答案】B
【知识点】连续型随机变量
【解析】【解答】解：因为，所以，
又因为随机变量 ε服从正态分布，所以，即曲线关于直线对称，
所以，故B选项符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据题意可得：，又因为随机变量付出 正态分布可得曲线关于直线对称，然后利用对称性进行解题即可.
7．（2024高二下·大理月考） 已知是等比数列的前项和，若，则数列的公比是（ ）
A．或1 B．或1 C． D．
【答案】A
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等比数列的首项为，公比为，由题可得，解得或.
故答案为：A.
【分析】根据等比数列的通项公式和前项和公式列方程组，求解即可.
8．（2024高二下·大理月考）定义集合，在使得的所有中，下列成立的是( )
A．是偶函数 B．在处取最大值
C．严格增 D．在处取到极小值
【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数的奇偶性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：A、若存在 是偶函数， 取 ，
则对 ， 但 ， 与题干矛盾，故A错误；
B、构造函数，满足集合，
当时，，当时，，当时，，
则该函数的最大值是，故B正确；
C、假设存在，使得函数严格增，则，与题干矛盾，故C错误；
D、假设存在，使得在处取极小值，则在的左侧附近存在，使得，与题干矛盾，故D错误.
故答案为：B.
【分析】利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断ACD；构造函数即可判断B.
9．（2024高二下·大理月考）声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数 ，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 是 的一个周期 B． 在 上有3个零点
C． 的最大值为 D． 在 上是增函数
【答案】A,B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；正弦函数的性质；函数的零点
【解析】【解答】解：因为： ① 的周期是 ，
的周期是 ，
所以 的周期是 ，A符合题意.②当 ， 时，
或
解得 或 或 ，
所以 在 上有3个零点，故 正确.③
令 ，求得 或 ，
因为 在 单调递增，在 单调递减，
所以 时取得最大值，则
，C符合题意.④由③得 ，
要求增区间则 ，
即 （不成立），或 ，
所以
所以 在 上是增函数是错误的，D不符合题意.
故答案为：ABC
【分析】①分别计算 和 的周期，再求其最小公倍数即可得到 的周期.②令 即可求得零点.③对 求导，令 ，判断单调性即可求得极值.④对 求导，令 ，即可求出单调递增区间.
10．（2024高二下·大理月考）某不透明的盒子里装有若干个形状、大小、材质完全相同的红色和黑色的小球，现从盒子里随机抽取小球，每次抽取一个，用随机变量表示事件"抽到的小球为红色"发生的次数，下列说法正确的有（ ）
A．若盒子里有2个红色小球，4个黑色小球，从盒子里不放回地抽取小球，则第一次抽到红色小球且第二次抽到黑色小球的概率为
B．若盒子里有2个红色小球，4个黑色小球，从盒子里有放回地抽取6次小球，则且
C．若盒子里有个小球，其中红色小球有个，从盒子里不放回地随机抽取6个小球，且有红色球的数学期望为2，则盒子里黑色小球的个数是红色小球个数的2倍
D．若，则
【答案】A,C
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：对于A选项：第一次抽到红色小球且第二次抽到黄色小球的概率为：故A选项正确；
对于B选项：有放回地抽取6次小球，变量，所以，则，故B选项错误；
对于C选项：根据题意可得，解得：，所以黑色小球的个数为，故C选项正确；
对于D选项：
因为所以，可解得：，则，
故故D选项错误.
故答案为：AC.
【分析】根据古典概型公式即可判定A选项；再利用二项分布列的方差公式即可判定B选项；根据C选项的题意可得，进而即可判定C选项；最后根据二项式分布列的概率公式可求得p，进而可求得，进而即可判定D选项.
11．（2024高二下·大理月考）大衍数列来源《乾坤诺》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程．已知大衍数列满足，，则( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B,C,D
【知识点】等差数列的前n项和；数列的递推公式
【解析】【解答】解：A.由，可得，，，
错误；
B.当为奇数时，
当为偶数时，，正确；
C.当为奇数时，
，也成立
当为偶数时，
（也成立）， 正确
D.，正确
故答案为：
【分析】本题考查数列的递推式，等差数列的前n项和公式.利用数列的递推式进行计算，可判断选项；讨论为奇数和偶数，可推出数列的递推公式，判断B选项；利用等差数列的前n项和公式和累加法可求出，据此可判断C选项；依次求出数列的前8项，再进行计算，可判断D选项.
12．（2024高二下·大理月考）假设有两箱零件，第一箱内装有10件，其中有2件次品；第二箱内装有20件，其中有3件次品.现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件，则取出的零件是次品的概率是 .
【答案】
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】设 （ ，2）表示从第 箱取到的零件是次品， 表示从第一箱中取零件， 表示从第二箱中取零件，
由全概率计算公式得取出的零件是次品的概率是：
.
故答案为： .
【分析】设 （ ，2）表示从第 箱取到的零件是次品， 表示从第一箱中取零件， 表示从第二箱中取零件，由全概率计算公式能求出取出的零件是次品的概率.
13．（2024高二下·大理月考）记为等差数列的前项和，若，则 .
【答案】95
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，因为等差数列满足，
所以，解得，则.
故答案为：95.
【分析】设等差数列的公差为，由题意，根据等差数列通项公式列方程组，解出，再利用等差数列的求和公式求解即可.
14．（2024高二下·大理月考）若曲线y＝ex+x在点（0，1）处的切线也是曲线y＝ln（x+1）+a的切线，则a＝ ．
【答案】ln2
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：∵y＝ex+x，
∴，
此时k=，
故 曲线y＝ex+x在点（0，1）处的切线方程为：y=2x+1，
又∵y＝ln（x+1）+a ，
，
∵切线y=2x+1是公切线，设 曲线y＝ln（x+1）+a的切点为，
∴，解得，故切点为，
代入曲线，有y＝ln+a=0，解得.
故答案为：ln2.
【分析】通过导数求曲线的切线方程，利用公切线得出等量关系即可求出a.
15．（2024高二下·大理月考）袋子中有大小相同的2个白球 3个黑球，每次从袋子中随机摸出一个球.
（1）若摸出的球不再放回，求在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到白球的概率；
（2）若对摸出球看完颜色后就放回，这样连续摸了3次，求3次摸球中摸到白球的次数的分布列和均值.
【答案】（1）解：角度一：第一次摸到白球，第二次摸球时袋子中有1个白球，3个黑球，所求概率.
角度二：设"第一次摸到白球"，"第二次摸到白球"，
则，
所求概率；
（2）解：的所有可能取值为0，1，2，3．
的分布列为：
0 1 2 3
均值
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；条件概率；条件概率乘法公式
【解析】【分析】本题主要考查条件概率公式，离散型随机变量的分布列及均值，属于基础题型.
（1）根据条件的概率公式直接进行计算即可求解；
（2）的所有可能取值为0，1，2，3，然后计算出每个值对应的概率，然后列出分布列，然后根据数学期望的公式进行计算即可.
16．（2024高二下·大理月考）已知等差数列的首项为1，公差为2．正项数列的前项和为，且．
（1）求数列和数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1）解： 依题意可得，∵①，当时，②，
，
，，∵，∴，
且在①式中令或（舍去），∴，
综上可得，.
（2）解： 由（1）可得，
∴
．
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）先根据等差数列通项公式求出，再根据，得，进而求出.
（2）先求得，然后分组求和即可.
17．（2024高二下·大理月考）已知函数
（1）当时，求函数的最小值；
（2），，求的取值范围.
【答案】（1）解：当时，
，
当时，，函数单调递减.
当时，，函数单调递增.
（2）解：，
令，.
当时，，函数单调递增.
当时，，函数单调递减.
即的取值范围是
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）利用导数判断函数单调性；
（2）分离参数，，将恒成立问题转化为最值问题，利用导数求解即可得到答案.
18．（2024高二下·大理月考）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：
时间范围 学业成绩
优秀 5 44 42 3 1
不优秀 134 147 137 40 27
（1）该地区29000名学生中体育锻炼时长大于1小时人数约为多少？
（2）估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）
（3）是否有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？
附：，.
【答案】（1）解：由表可知，锻炼时长不少于1小时的人数占比为，
则估计该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数为；
（2）解：该地区初中生的日均体育锻炼时长约为
．
则该地区初中学生日均体育锻炼的时长为0.9小时；
（3）解：由题，列出联表，如表所示：
其他 合计
优秀 45 50 95
不优秀 177 308 485
合计 222 358 580
零假设：该地区成绩优秀与日均锻炼时长不少于1小时但少于2小时无关，
，则零假设不成立，
即有的把握认为学业成绩优秀与日均锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关．
【知识点】众数、中位数、平均数；独立性检验；2×2列联表
【解析】【分析】（1）求出相关占比，乘以总人数即可；
（2）根据平均数的计算公式即可得到答案；
（3）由题意，作出列联表，再进行零假设，计算卡方值，和临界值比较大小判断即可.
19．（2024高二下·大理月考）已知无穷数列，构造新数列满足满足满足，若为常数数列，则称为阶等差数列；同理令，若为常数数列，则称为阶等比数列..
（1）已知为二阶等差数列，且，求的通项公式；
（2）若为阶等差数列，为一阶等比数列，证明：为阶等比数列；
（3）已知，令的前项和为，证明：.
【答案】（1）由知，故可设.
所以，故.
从而，代入，可得，所以.
故的通项公式为：.
（2）先证明2个引理.
引理1：对任意非负整数，存在，使得对任意正整数成立，这里约定.
证明：用数学归纳法证明该结论.
当时，有，取即可，故结论成立；
假设结论对成立，则
.
故可设，这就得到
.
所以取，，即可，这得到结论对成立.
由数学归纳法即知引理1成立.
引理2：是阶等差数列的充分必要条件是能够表示为关于的至多次的多项式形式，即.
证明：我们对使用数学归纳法.
当时，结论显然成立；
对，假设结论对成立，考虑的情形：
一方面，如果，则有
.
故由于结论对成立，知是阶等差数列，所以是阶等差数列；
另一方面，如果是阶等差数列，则是阶等差数列.
故由于结论对成立，知的通项公式具有形式.
故.
据引理1可知，每个都可以表示为的形式，故
.
综上，结论对成立.
由数学归纳法知引理2成立.
回到原题.
由于为一阶等比数列，故恒为常值，设，则.
为使有意义，必有不为零.
所以.
由于为阶等差数列，故由引理2，可设.
取就有，，所以由引理2可知和都是阶等差数列.
设，，，，则和都是常值.
而归纳即知，故是常值，从而为阶等比数列.
（3）用数学归纳法证明：.
当时，由知结论成立；
对，假设结论已对成立，即，则
.
所以结论对也成立.
综上，对任意的正整数，都有.
故.
这就得到
.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式
【解析】【分析】本题考查等差数列的定义，等比数列的定义，等差数列的通项公式，等比数列的通项公式.
（1）根据二阶等差数列的定义可推出，利用累加法可求出，再根据，可求出的值，据此可求出的通项公式；
（2）先证明引理1和引理2，再确定是阶等差数列的充分必要条件，设，利用引理2可知和都是阶等差数列，再证明和都是常值.再结合阶等比数列的定义可证明结论；
（3）先利用数学归纳法证明，再利用该结果进行放缩可得：，再利用等比数列的前n项和公式进行计算可得：，据此可证明结论；
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