5.3.1 函数的极值与导数 教学设计（表格式）

课题 函数的极值与导数（A案）
教材 新课程教材选修2
课型 新授课 复习课 习题讲评课 其他补充
一、课标要求 利用导数研究函数的极值》是在学生已掌握了函数求导及导数的几何性质，已初步具备了运用导数研究函数单调性的能力的基础上，再一次来探究导数研究函数其他性质的功能与方法。它是对导数几何意义，求函数导数，运用导数研究函数单调区间等知识的一次串联和回顾。是数形结合思想的一次切身的体验和升华。
二、教材内容结构分析 函数的极值与导数》是在学生学习了《函数的单调性与导数》，初步具备了运用导数研究函数的能力后学习的，并为《函数的最大（小）值与导数》奠定了知识与方法的基础，起着承上启下的作用
三、学情分析 通过用导数研究函数的极值，提高了学生的导数应用能力。通过用导数求函数的极大值和极小值，得到求极值的一般方法
核心素养 目标 数学抽象：数极值的概念。 逻辑推理：直观认识函数极值与导数的关系。 数学运算，掌握求极值的方法，运用导数求函数极值。 直观想象：导数与极值的关系。局部的辩证关系。
教学重难点 教学重点：掌握利用导数求函数极值的一般方法。 教学难点：运用导数求函数极值的方法解决综合性问题.
教 学 设 计 教材处理与课程资源开发教材分析： 《函数的极值与导数》是在学生学习了《函数的单调性与导数》，初步具备了运用导数研究函数能力后学习的，并为《函数的最大（小）值与导数》奠定了知识与方法的基础，起着承上启下的作用。本节课在本单元乃至整个数学学习中都具有十分重要的地位。课程资源开发： 利用网络等资源，搜集与课程相关的资料、信息，进行整理、归纳，激发学生学习兴趣。注重生生资源，师生资源的开发。教 学 策 略教法选择： 情境创设、探索发现、归纳总结。学法引导： 以学生发现探究，自主合作交流为主，教师点拨疏导为辅。课堂组织形式：创设情景—发现问题—自主探索—协作探究—交流评价。教具组织形式：多媒体课件
议题式教学 比较法 讨论法 其他补充
学 法 小组合作学习 自主学习 其他补充
资 源 教师用书 统编版教材 新课标 高考评价体系和说明 其他补充 ________________
九、教学过程 设计意图
【导入新课】 1．观察图1.3.8 表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数=-4.9t2+6.5t+10的图象，回答以下问题 （1）当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数在t=a处的导数是多少呢？ （2）在点t=a附近的图象有什么特点？ （3）点t=a附近的导数符号有什么变化规律？ 共同归纳: 函数h(t)在a点处h/(a)=0,在t=a的附近, 当t＜a时,函数单调递增, ＞0;当t＞a时,函数单调递减, ＜0,即当t在a的附近从小到大经过a时, 先正后负,且连续变化,于是h/(a)=0. 3、对于这一事例是这样，对其他的连续函数是不是也有这种性质呢？ 【推进新课】 1、观察1.3.9图所表示的y=f(x)的图象，回答以下问题： （1）函数y=f(x)在a.b点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系 （2） 函数y=f(x)在a.b.点的导数值是多少 （3）在a.b点附近, y=f(x)的导数的符号分别是什么，并且有什么关系呢 2、极值的定义: 我们把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值； 点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极大值。 极大值点与极小 值点称为极值点, 极大值与极小值称为极值. 创设情境，引导学生观察思考，提高学生的抽象思维能力。从而引出课题。培养学生自学能力，为新知的获取提供知识前提。 引导学生通过合作总结函数极值的定义。
关于极值的归纳总结 （1） 极值是某一点附近的小区间而言的，是函数的局部性质，不是整体的最值； （2） 函数的极值不一定唯一，在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值； （3）极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小 （4）对于可导函数，若x0是极值点，则 f '(x0)=0;反之，若f '(x0)=0，则x0不一定是极值点.即f ′(x0)=0是函数f(x)在x0处取得极值的必要条件. （5）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 （6）单调函数一定没有极值 【典例讲析】 类型1：函数图像与导函数图像关系 [例1] 1.已知函数 f(x) 的定义域为 (a,b) ，导函数 f′(x) 在 (a,b) 上的图象如图1所示，则函数 f(x) 在 (a,b) 上的极大值点的个数为( ). A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2．下图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象（如图2），给出下列命题： ①－3是函数y＝f(x)的极值点； ②－1是函数y0＝f(x)的最小值点； ③y＝f(x)在x＝处切线的斜率小于零； ④y＝f(x)在区间(－3,1)上单调递增． 则正确命题的序号是(　　) A．①② B．①④ C．②③ D．③④ （图一）（图二） 类型2：求函数的极值 [例2]　求下列函数的极值： f(x)＝-3－9x＋5； f(x)= [思路点拨]　首先确定函数的定义域，然后求出函数的导数，利用函数极值的定义求出函数的极值点，进而求出极值． 解：略 方法归纳：求函数的极值必须严格按照求函数极值的步骤进行，其关键是列表检查导数值为0的点的左、右两侧的导数值是否异号，若异号，则该点是极值点；否则，不是极值点 类型3：已知函数极值求参数的值 独立思考，交流合作，规范解答。并归纳总结利用导数求函数极值的基本步骤。掌握利用导数求极值的方法
[例3]　已知函数f(x)＝，当x＝1时，有极大值3. (1)求a，b的值；(2)求函数y＝f(x)的极小值． [思路点拨]　利用函数在x＝1处取得极大值3建立关于a，b的方程组即可求解． 解：略 方法归纳：已知函数的极值求参数的方法 (1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号. 注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件. 对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立 类型4：与函数极值有关的综合问题 [例4]　设函数f(x)＝. (1)求函数f(x)的单调区间和极值； 2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同实根，求实数a的取值范围． [ 思路点拨]　第(1)问利用导数求单调区间和极值，第(2)问可由(1)的结论，把问题转化为函数y＝f(x)与y＝a的图像有3个不同的交点，利用数形结合的方法来求解． 解：略 　方法归纳：极值问题的综合应用主要是利用函数的单调性和极值确定函数图像的大致形状和位置．题目着重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类讨论的思想、数形结合思想在解题中的应用，熟练掌握单调性问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键． 【题组集训】 求的极值. 已知函数f(x)＝在x＝－3处取得极值，则a= ( ) A．2　　 B．3 C．4 D．5 已知函数f(x)=，都是函数的极值点。 求的值 若，求的极值。 函数的零点个数为（ ） 【课堂小结】 谈谈本节课的收获有哪些？ 【课堂小结】 给出极值求函数解析式中的参数（多媒体展示） 随堂基础练习部分，能力提升训练部分。让学生独立总结，同学之间相互补充。从而提高归纳、总结的能力。提高对知识形成的认识，增强学习数学的信心
【分层作业】 若函数的图象与直线y＝a恰有三个不同的交点，则实数a的取值范围是多少？ 已知函数，在区间上有两个极值点，求实数的取值范围。 若函数
【板书设计】 函数的极值与导数 函数的极值的概念 4、类型1，类型2，类型3，类型4 2函数极值的判定与求法 5、课堂小结 3、函数极值的应用 6、布置作业 【教学反思】 数形结合思想的应用，借助图像来研究函数的极值与导数，是非常方便和直接的，更有利于学生的理解。学生已经初步学习了函数极值与导数的关系，但还不够深入，因此在学习上还有一定困 难。本节课能够进一步提高学生运用导数研究函数的能力，充分利用数形结合思想，体会导数的工具作用。考虑到我校学生的实际情况，利用问题导学的方式，让学生自主探究，一步步接近“事实的真相”，掌握本节课的重点；并在问题辨析中，突破难点。通过小组活动，让学生体验竞争的氛围，又通过合作体验成功的喜悦。
【教学反思】