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分课时教学设计
《小结与复习》教学设计
课型 新授课口 复习课√ 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 《反比例函数》是初中数学课程中的重要章节，它继一次函数学习之后，是初中阶段三大基础函数之一。反比例函数（y=，k为常数且k≠0）的学习不仅加深了学生对函数概念的理解，还为后续更高层次的函数学习、函数与方程、不等式间关系的处理奠定了基础。通过本章节的复习，学生需要进一步掌握反比例函数的概念、图象、性质，并能运用这些知识解决简单的实际问题。
学习者分析 学习态度与兴趣：大部分学生在课堂上能够积极参与讨论，对反比例函数的概念和性质表现出较高的兴趣。遇到问题时，学生能够主动向老师或同学请教，表现出解决问题的积极态度。 学习表现：学生的成绩呈现正态分布，高分和低分的学生相对较少，大部分学生成绩集中在中等水平。随着教学的深入，学生的成绩整体呈现上升趋势，部分学生在理解和掌握反比例函数方面表现出较大的进步。 常见错误：部分学生对反比例函数的概念理解不够深入，容易将其与正比例函数混淆；在解题过程中有时会忽视反比例函数的定义域限制，导致答案错误；在计算过程中也容易出现符号错误、计算不精确等问题。
教学目标 1.复习反比例函数的概念、图象与性质，通过配套练习加深学生对反比例函数本章知识的理解与掌握。 2.能够根据问题中的条件确定反比例函数的解析式，会画出它的图象，并根据问题确定自变量的取值范围及增减性。 3.通过对相关问题的探究，正确运用反比例函数知识，进一步体验形成解决问题的一些基本策略，发展实践能力和创新精神。 4.体验数形结合的思想,认识数学在现实生活中的应用价值，培养学生的数学应用意识.
教学重点 进一步掌握反比例函数的概念、图像、性质并正确运用。
教学难点 反比例函数性质的灵活运用，特别是解决综合应用问题时的灵活运用。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：复习回顾教师活动1： 问题1：举例说明什么是反比例函数？ 教师讲授：一般地， 如果两个变量y与x的关系可以表示成 y= (k为常数,k≠0)，的形式， 那么称y是x的反比例函数，其中x是自变量，常数k(k≠0)称为反比例函数的比例系数. 如当路程s一定时，平均速度v与时间t成反比例关系， 因此， 我们把这样的函数称为反比例函数. 问题2：分别画出当 k＞0，k＜0时，反比例函数y= (k为常数)的大致图象， 并说说反比例函数图象的性质. 教师讲授： 当k>0时，反比例函数 y=的图象由分别在第一、三象限内的两支曲线组成， 它们与x轴、y轴都不相交，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小. 当k<0时， 反比例函数y=的图象由分别在第二、 四象限内的两支曲线组成， 它们与x轴、y轴都不相交， 在每个象限内， 函数值y随自变量x的增大而增大. 问题3：请你举出一些生活中应用反比例函数的实例. 教师讲授： 1.压力 F(N)、 压强 p(Pa)与受力面积 S(m2)之间的关系式为 p=，当F一定时，p是S的反比例函数。 2.当电路的电压U为定值时，该电路的电流I关于电阻R的函数表达式为I=，该电路的电阻R与电流I成反比例关系．学生活动1： 回顾反比例函数的定义 举手回答问题，认真听讲 动手画图 回顾k>0时反比例函数的性质 举手回答问题，认真听讲 回顾k<0时反比例函数的性质 举手回答问题，认真听讲 提高应用意识活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机。环节二：例题精讲教师活动2： 例1下列关系式：①y=；②y=；③xy=-1；④y= ；⑤y=2x-1．其中y是x的反比例函数的为 ．(只填序号) 答案：②③⑤ 教师讲授：反比例函数的一般形式的结构特征： ① k≠0 ②以分式形式呈现 ③在分母中x的指数为1 例2某反比例函数图象经过点(-1,8),则下列各点中此函数图象也经过的点是（ ） A．(-2,4) B．(4,2) C．(2,4) D．(8,1) 答案：A 教师讲授： 待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： 设：所求的反比例函数表达式为y= (k为常数,k≠0),其中k是待确定的常数. 列：把一对已知的自变量与函数的对应值代入y=,得到关于k方程. 解：解这个关于k的方程,求出常数k的值. 写：把求得的k的值代入y=,就得到所求的反比例函数表达式. 例3 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m）的反比例函数，其图象如图所示． （1）求这个函数的表达式； （2）当气球的体积是1m3时，气球内的气压是多少千帕？ 答案：（1）解：设p与V的函数的表达式为p= 把点A（0.8，120）代入， ∴这个函数的表达式为p= （2）解：把V=1代入p= 得：p=96， 当气球的体积为1m'时，气球内的气压是96千帕． 教师讲授： 建立反比例函数模型解决实际问题的一般步骤: (1)审题：找函数关系. (2)建模：根据题目中的函数关系建立反比例函数模型，列出函数关系式. (3)解模：解关系式，求出待定系数，写出函数关系式，并注意解析式中变量的取值范围. (4)解题：利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题.学生活动2： 认真思考，独立完成习题 回顾反比例函数的一般形式的结构特征 认真思考，独立完成习题 回顾待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤 认真思考，独立完成习题 认真听讲 学生认真听讲，回顾建立反比例函数模型解决实际问题的一般步骤 活动意图说明：体验数形结合的思想,认识数学在现实生活中的应用价值，培养学生的数学应用意识，通过配套练习加深学生对反比例函数本章知识的理解与掌握。环节三：课堂总结教师活动3： 建立反比例函数模型解决实际问题的一般步骤: (1)审题：找函数关系. (2)建模：根据题目中的函数关系建立反比例函数模型，列出函数关系式. (3)解模：解关系式，求出待定系数，写出函数关系式，并注意解析式中变量的取值范围. (4)解题：利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题.学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，已知直线与双曲线的一个交点坐标为（－1，3），则它们的另一个交点坐标是（ ） A．（1，3） B．（3，1） C．（1，－3） D．（－1，3） 2.公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂=动力×动力臂.小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1200N和0.5m，则动力F(单位：N)关于动力臂l(单位：m)的函数表达式正确的是（ ） A． B． C． D． 3.已知y=（a﹣1）是反比例函数，则a= 4.函数 和函数 的图象交于点 ，若 ，则x的取值范围为 . . 选做题： 5.如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流与电阻成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法错误的是（ ） A．与的函数关系式是 B．当时， C．当时， D．当时，的取值范围是 6.某工厂生产化肥的总任务一定，平均每天化肥产量y（吨）与完成生产任务所需要的时间x（天）之间成反比例关系，如果每天生产化肥125吨，那么完成总任务需要7天. （1）求y关于x的函数表达式，并指出比例系数； （2）若要5天完成总任务，则每天产量应达到多少？ 【综合拓展类作业】 已知小聪家与学校相距3000米，他从家里出发骑自行车去学校，设速度为（米/分），到达学校所用的时间为（分）． （1）求关于的函数表达式．这个函数是反比例函数吗？如果是，说出比例系数． （2）求当时自变量的值，并说明这个值的实际意义． （3）利用关于的函数表达式说明：若小聪到达学校所用的时间减少到原来的，则他骑车的速度应怎样变化？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数 和 的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接 ，则 的面积为（ ） A．6 B．7 C．8 D．14 2.已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 3.如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A、C分别在x、y轴上，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM、ON、MN．下列结论：①△OCN≌△OAM；②ON＝MN； ③四边形DAMN与△MON面积相等；④若∠MON＝45°，MN＝2，则点C的坐标为（0，+1）．其中正确结论的有 ． 【综合拓展类作业】 已知反比例函数y=，当x＞0时，y随着x的增大而减小． （1）求m的值； （2）当1＜x＜4时，求y的取值范围．
教学反思 在课堂上，教师要注意细节问题的处理，对于学生的疑问和困惑要及时解答，避免问题积累。同时，要关注学生的个体差异，针对不同层次的学生采取不同的教学策略，确保每位学生都能得到充分的关注和指导。而在授课过程中，要合理分配时间，确保每个教学环节都能得到充分的展开和深入。同时，要留给学生足够的思考和讨论时间，培养他们的自主学习和合作学习能力。
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（湘教版）九年级
上
小结与复习
反比例函数
第一章
“—”
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
内容总览
教学目标
1.复习反比例函数的概念、图象与性质，通过配套练习加深学生对反比例函数本章知识的理解与掌握。
2.能够根据问题中的条件确定反比例函数的解析式，会画出它的图象，并根据问题确定自变量的取值范围及增减性。
3.通过对相关问题的探究，正确运用反比例函数知识，进一步体验形成解决问题的一些基本策略，发展实践能力和创新精神。
4.体验数形结合的思想,认识数学在现实生活中的应用价值，培养学生的数学应用意识.
复习回顾
举例说明什么是反比例函数？
一般地， 如果两个变量y与x的关系可以表示成
y= (k为常数,k≠0)
的形式， 那么称y是x的反比例函数，其中x是自变量，常数k(k≠0)称为反比例函数的比例系数.
如当路程s一定时，平均速度v与时间t成反比例关系， 因此， 我们把这样的函数称为反比例函数.
复习回顾
分别画出当 k＞0，k＜0时，反比例函数y= (k为常数)的大致图象， 并说说反比例函数图象的性质.
当k>0时，反比例函数 y=的图象由分别在第一、三象限内的两支曲线组成， 它们与x轴、y轴都不相交，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小.
复习回顾
当k<0时， 反比例函数y=的图象由分别在第二、 四象限内的两支曲线组成， 它们与x轴、y轴都不相交， 在每个象限内， 函数值y随自变量x的增大而增大.
复习回顾
请你举出一些生活中应用反比例函数的实例.
1.压力 F(N)、 压强 p(Pa)与受力面积 S(m2)之间的关系式为 p=，当F一定时，p是S的反比例函数。
2.当电路的电压U为定值时，该电路的电流I关于电阻R的函数表达式为I=，该电路的电阻R与电流I成反比例关系．
典例精析
下列关系式：①y=；②y=；③xy=-1；④y= ；⑤y=2x-1．其中y是x的反比例函数的为 ．(只填序号)
反比例函数的一般形式的结构特征：
① k≠0
②以分式形式呈现
③在分母中x的指数为1
②③⑤
典例精析
某反比例函数图象经过点(-1,8),则下列各点中此函数图象也经过的点是（ ）
A．(-2,4) B．(4,2) C．(2,4) D．(8,1)
待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤
设：所求的反比例函数表达式为y= (k为常数,k≠0),其中k是待确定的常数.
列：把一对已知的自变量与函数的对应值代入y=,得到关于k方程.
解：解这个关于k的方程,求出常数k的值.
写：把求得的k的值代入y=,就得到所求的反比例函数表达式.
A
典例精析
某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求这个函数的表达式；
（2）当气球的体积是1m3时，气球内的气压是多少千帕？
【答案】（1）解：设p与V的函数的表达式为p=
把点A（0.8，120）代入，
∴这个函数的表达式为p=
（2）解：把V=1代入p= 得：p=96，
当气球的体积为1m'时，气球内的气压是96千帕．
典例精析
建立反比例函数模型解决实际问题的一般步骤:
(1)审题：找函数关系.
(2)建模：根据题目中的函数关系建立反比例函数模型，列出函数关系式.
(3)解模：解关系式，求出待定系数，写出函数关系式，并注意解析式中变量的取值范围.
(4)解题：利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题.
1.如图，已知直线与双曲线的一个交点坐标为（－1，3），则它们的另一个交点坐标是（ ）
A．（1，3）
B．（3，1）
C．（1，－3）
D．（－1，3）
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
C
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
2.公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂=动力×动力臂.小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1200N和0.5m，则动力F(单位：N)关于动力臂l(单位：m)的函数表达式正确的是（ ）
A． B． C． D．
B
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
3.已知y=（a-1）是反比例函数，则a=__________.
4.函数 和函数 的图象交于点
，若 ，则x的取值范围为 .
-1
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
5.如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流与电阻成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法错误的是（ ）
A．与的函数关系式是
B．当时，
C．当时，
D．当时，的取值范围是
C
6.某工厂生产化肥的总任务一定，平均每天化肥产量y（吨）与完成生产任务所需要的时间x（天）之间成反比例关系，如果每天生产化肥125吨，那么完成总任务需要7天.
（1）求y关于x的函数表达式，并指出比例系数；
（2）若要5天完成总任务，则每天产量应达到多少？
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
【答案】（1）解：设y= ，
根据题意得：k=xy=125×7=875，
∴每天生产化肥产量y（吨）与完成生产任务所需要的时间x（天）之间的函数解析式为y= ，比例系数为875
6.某工厂生产化肥的总任务一定，平均每天化肥产量y（吨）与完成生产任务所需要的时间x（天）之间成反比例关系，如果每天生产化肥125吨，那么完成总任务需要7天.
（1）求y关于x的函数表达式，并指出比例系数；
（2）若要5天完成总任务，则每天产量应达到多少？
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
【答案】（2）解：当x=5时，y= =175（吨），
即若要5天完成总任务，则每天产量应达到175吨.
【综合拓展类作业】
课堂练习
已知小聪家与学校相距3000米，他从家里出发骑自行车去学校，设速度为（米/分），到达学校所用的时间为（分）．
（1）求关于的函数表达式．这个函数是反比例函数吗？如果是，说出比例系数．
（2）求当时自变量的值，并说明这个值的实际意义．
（3）利用关于的函数表达式说明：若小聪到达学校所用的时间减少到原来的，则他骑车的速度应怎样变化？
【答案】（1）解：由题意得：，是反比例函数，比例系数为3000；
【综合拓展类作业】
课堂练习
（2）解：把代入，得，
解得：t=15
实际意义：当速度为 200米/分时，到达学校所用的时间为15分钟
（3）解： ∵小聪到达学校所用的时间减少到原来的，
∴，
即他骑车的速度应变为原来的倍.
课堂总结
建立反比例函数模型解决实际问题的一般步骤:
(1)审题：找函数关系.
(2)建模：根据题目中的函数关系建立反比例函数模型，列出函数关系式.
(3)解模：解关系式，求出待定系数，写出函数关系式，并注意解析式中变量的取值范围.
(4)解题：利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题.
板书设计
反比例函数的定义:
反比例函数的图象与性质：
反比例函数的应用：
小结与复习
习题讲解书写部分
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1.如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数 和 的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接 ，则 的面积为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．14
B
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
2.已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
B
连接OM、ON、MN．下列结论：①△OCN≌△OAM；②ON＝MN； ③四边形DAMN与△MON面积相等；④若∠MON＝45°，MN＝2，则点C的坐标为（0，+1）．其中正确结论的有 ．
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
3.如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A、C分别在x、y轴上，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、N，ND⊥x轴，垂足为D，
①③④
【综合拓展类作业】
作业布置
已知反比例函数y=，当x＞0时，y随着x的增大而减小．
（1）求m的值；
（2）当1＜x＜4时，求y的取值范围．
【答案】解：（1）∵反比例函数y=，当x＞0时，y随着x的增大而减小，
∴m2-2=-1，2m-1＞0，
解得：m=±1，m＞，
故m=1；
【综合拓展类作业】
作业布置
已知反比例函数y=，当x＞0时，y随着x的增大而减小．
（1）求m的值；
（2）当1＜x＜4时，求y的取值范围．
【答案】解：
（2）∵y=x-1，
∴当x=1时，y=1，x=4时，y=，
∴当1＜x＜4时，y的取值范围是：＜y＜1．
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学 科 数学 年 级 九 设计者
教材版本 湘教版 册、章 上册第一章
课标要求 1.结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式。2.能画反比例函数的图象，根据图象和表达式(k≠0)探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况。3.能用反比例函数解决简单实际问题。
内容分析 本章是湘教版九年级上册第一章《反比例函数》，属于《义务教育数学课程标准》中的“数与代数”领域中的“函数”.本章的主要内容有反比例函数的概念、解析式、图象、性质及应用.反比例函数是初中数学中的重要内容，是学生在学习了变量之间的关系、一次函数等基础知识后进一步深入学习的内容。反比例函数是在探索具体问题中数量关系和变化规律基础上抽象出的重要数学概念，是研究现实世界变化规律的重要数学模型。且反比例函数在日常生活和生产中也有着许多直接应用，有利于学生建模思想、数形结合思想等重要思想方法的形成，有利于学生增强几何直观，在教材中有着重要的地位.
学情分析 九年级学生在前面的学习过程中，已经对函数的概念、函数所反映的是两个变量之间的关系的内涵有了一定的了解，并学习了正比例函数、一次函数等基础知识。他们已经具备了思维的完备性、深刻性、实践性、批判性等思维品质，但尚待提高，特别是在抽象概括能力和对函数意义的理解上还存在一定的难度。虽然学生对函数的基本概念有一定的了解，能够初步理解变量之间的关系，具备一定的数学基础和逻辑思维能力，能够进行简单的数学推理和计算。但是对反比例函数这种较为抽象的数学概念理解不深，特别是对反比例函数图像和性质的把握存在困难。在将实际问题抽象成数学问题并加以解决的过程中，部分学生存在困难。所以教师在设计教学时需设计提问，注重引导。
单元目标 （一）教学目标1.结合具体情境体会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念.2.掌握并会求反比例函数的表达式.3.会用描点法画反比例函数的图象.4.能根据反比例函数的图象和表达式(k≠0)探索并理解其性质.5.能用反比例函数的性质和图象解决某些实际问题.（二）教学重点、难点教学重点：反比例函数教学难点：1.反比例函数的图象和性质2.综合运用反比例的知识解较复杂的实际问题
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1.1反比例函数11.2反比例函数的图象与性质31.3反比例函数的应用1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务1.1反比例函数1.经历抽象反比例函数概念的过程，了解反比例函数的意义，理解反比例函数的基本概念.2.确定反比例函数自变量的取值范围.3.会列简单实际问题中的反比例函数表达式.1.能够判断函数是否是反比例函数.2．会列简单实际问题中的反比例函数表达式.3．确定反比例函数自变量的取值范围.任务一：回顾反比例关系任务二：经历抽象反比例函数概念的过程，理解反比例函数的概念任务三：了解反比例函数的一般形式，确定反比例函数自变量的取值范围.任务四：习题检测.1.2.1反比例函数的图象与性质1.能够绘制反比例函数的图象，理解图象的特点和性质.2.掌握反比例函数的基本性质：增减性3.通过动手操作，学会在平面直角坐标系中用描点法画出反比例函数的图象。1.能够用描点法绘制反比例函数的图象.2.能够用反比例函数的基本性质解决问题任务一：回顾描点法.任务二：经历描点法绘制反比例函数图象的过程.任务三：通过函数图象探究反比例函数的性质.任务四：习题检测.1.2.2反比例函数的图象与性质1.巩固反比例函数图象的性质,通过对图象的分析,进一步探究反比例函数的增减性.2.掌握反比例函数的增减性,能运用反比例函数的性质解决一些简单的实际问题.3.激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数形结合思想，增强几何直观.能够用反比例函数的基本性质解决问题任务一：回顾描点法和反比例函数的增减性.任务二：通过函数图象进一步探究反比例函数的性质.任务三：掌握反比例函数的增减性.任务四：习题检测.1.2.3反比例函数的图象与性质1.会用待定系数法求反比例函数的解析式.2.通过实例进一步加深对反比例函数的认识，能结合具体情境,体会反比例函数的意义，理解比例系数k的具体意义.3.会通过已知自变量的值求相应反比例函数的值，运用已知反比例函数的值求相应自变量的值解决一些简单的问题.会用待定系数法求反比例函数的解析式任务一：回顾反比例函数的增减性.任务二：用待定系数法求反比例函数的解析式.任务三：灵活运用性质和待定系数法解题.任务四：习题检测.1.3反比例函数的应用1.学生能够掌握反比例函数的应用方法，能够根据实际问题建立反比例函数模型并求解.2.会综合运用反比例函数的解析式，函数图象以及性质解决实际问题.3. 通过实际问题引入、建立函数模型、求解与应用等过程，培养学生的数学思维和探究能力.1.能够根据实际问题建立反比例函数模型并求解.2.能够综合运用反比例函数的解析式，函数图象以及性质解决实际问题.任务一：回顾用待定系数法求反比例函数解析式任务二：根据实际问题建立反比例函数模型任务三：综合运用反比例函数的解析式，函数图象以及性质解决实际问题.任务四：习题检测
《反比例函数》单元教学设计
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