北京市第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（含答案）

北京市第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试
数学（学科）
2024年4月
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。考试结束后，将所有试卷交回。祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合要求）
1.在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知向量，，若，则（ ）
A.﹣4 B.1 C.2 D.4
3.设，为非零向量，且满足，则与的关系是（ ）
A.同向 B.反向 C.垂直 D.既不共线也不垂直
4.已知点，，向量，则向量（ ）
A. B. C. D.
5..三角形，，，，=（ ）
A. B.-3 C.3 D.
6.已知A，B，C，D是平面内四个不同的点，则“”是“四边形为平行四边形”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
7等边的边长为2，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
8.为了得到.函数的图像，可以将函数的图像（ ）
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C..向左平移个单位长度 D..向右平移个单位长度
9.据《九章算术》记载，商高是我国西周时期的数学家，曾经和周公讨论过“勾三股四弦五”的问题，比毕达哥拉斯定理早五百到六百年.如图，现有满足“勾三股四弦五”，其中，，点是延长线上的一点，则等于（ ）
A.3 B.4 C.9 D.不能确定
10.在中，，，且，（）的最小值是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5，每小题6分，共30分）
11.已知向量，，且，则___________.
12.已知复数，则___________；_________________.
13.已知向量，，与的夹角为，则求___________.
14.已知非零平面向量，，，
①若，则；②若，则；
③若，则；④若，则或.
其中正确命题的序号是_________________.
15.如图，四边形是正方形，延长至E，使，若点P是以点A为圆心，为半径的圆弧（不超出正方形）上的任一点，设向量，则的取值范围是_____________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）。
16.（本小题10分）已知，，与的夹角为.
（1）；
（2）求；
（3）当k为何值时，？
17.（本小题12分）在中，，，，且，与交于点，设，.
（1）用向量，表示，；O
（2）求的值.
18.（本小题12分）海上某货轮在处看灯塔在货轮的北偏东75°方向，距离为海里；在处看灯塔在货轮的北偏西30°方向，距离为海里；货轮由处向正北行驶到处时看灯塔在货轮的北偏东120°方向.根据题意画出示意图，求：
（1）处与处之间的距离；
（2）灯塔与处之间的距离.
19.（本小题12分）已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量，，且
（1）求角A
（2）若，，求的面积
20.（本小题12分）已知函数，其中，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知条件，使存在，并完成下列两个问题.
（1）求的值；
（2）若，函数在区间上最小值为，求实数的取值范围.
条件①：对任意的，都有成立；
条件②：；
条件③：.
21.（本小题12分）对于任意实数a，b，c，d，表达式称为二阶行列式，记作.
（Ⅰ）求下列行列式的值：
①；②
（Ⅱ）求证：向量与向量共线的充要条件是；
（Ⅲ）讨论关于，的二元一次方程组（）有唯一解的条件，并求出解.（结果用二阶行列式的记号表示）
答案
高一年级数学（学科）
一、选择题（每题5分，总计50分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A D B C B B A C C D
二、填空题（每小题6分，共计30分）
11.8 12. 13. 14.②、③ 15.
三、解答题（6道小题，共计70分）
16.（本小题10分）
（1） ┈┈3分
（2） ┈┈3分
（3） ┈┈2分
┈┈2分
17（本小题12分）
（1） ┈┈3分
（2） ┈┈3分
（3） ┈┈2分
┈┈1分
┈┈1分
┈┈2分
18.（本小题12分）
图形 ┈┈4分
（1）在中 ┈┈2分
┈┈2分
（2）在中
┈┈2分
┈┈2分
19（本小题12分）
（1） ┈┈3分
┈┈3分
（2） ┈┈2分
（舍） ┈┈2分
┈┈2分
20.（本小题12分）
①（1） ┈┈3分
┈┈3分
（2）
┈┈6分
②不能选
③答案同①
21.（本小题12分）
（1）①1 ②0 ┈┈4分
（2）∵∴，.∴┈┈2分
∵∴， ∴ ┈┈2分
（3）方程组唯一解的条件：
当时，有唯一解，，