2023~2024学年江西抚州乐安县第二中学高三上学期期中数学试卷（11月）（PDF版含解析）

2023~2024学年江西抚州乐安县乐安县第二中学高三上学期期中数学试卷
（11月）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、已知集合 ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
2、 （ ），则b等于（ ）
A.
B.34
C.43
D.35
3、若函数 在 上单调，则 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
4、已知平面向量 ， ， 满足 ， ，且 ．若 ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
5、圆 在点 处的切线方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
6、如图，四棱雉 的底面是边长为3的正方形， ，且 ， 为 上靠近点 的
三等分点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A.
B.
C.
D.
7、已知 是椭圆 的左焦点， 是椭圆上一动点，若 ，则 的最小值为（ ）
A.
B.
C.
D.
8、若 恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、下列数列为等比数列的是（ ）
A.
B.
C.
D.
10、关于 的展开式，下列判断正确的是（ ）
A.展开式共有6项
B.展开式的各二项式系数的和为64
C.展开式的第6项的系数为30
D.展开式中二项式系数最大的项是第4项
11、在棱长为6的正方体 中， ， 是 中点，则下列选项正确的是（ ）
A.平面 截正方体所得截面为梯形
B.直线 与 所成的角的余弦值是
C.从点 出发沿正方体的表面到达点 的最短路径长为
D.点 到平面 的距离为
12、欧拉函数 的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数（公约数只有1的两
个正整数称为互质整数），例如： ， ，则（ ）
A． B．数列 单调递增
C．方程 有无数个根 D．数列 的前n项和为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲、乙能破译的概率分别为 和 ，则甲与乙两人同时破译密码的
概率为 ．
14、已知长方体 的底面 是正方形， ， ， 为棱 的中点，则
.
15、我国古代数学著作《算法统宗》记载：遥望巍巍塔七层，灯光点点倍加增.意思是：总共七层，相邻两层，
下一层灯数是上一层灯数的两倍.若要满足总灯数不少于千灯，则顶层最少 盏灯.
16、已知函数 有三个零点，且它们的和为0，则 的取值范围是 .
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
在① ，② ，③ ，这三个条件
中任选一个作为已知条件，然后解答问题.记 的内角 的对边分别为 ， 的面积为S，已
知______.
(1)求A；
(2)若 ，求 .
18、（本小题12分）
“一带一路”是促进各国共同发展，实现共同繁荣的合作共赢之路.为了了解我国与某国在“一带一路”合作中两国
的贸易量情况，随机抽查了100天进口贸易量与出口贸易量（单位：亿人民币/天）得下表：
进口
出口
32 18 4
6 8 12
3 7 10
附： .
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
(1)估计事件“我国与该国贸易中，一天的进口贸易量与出口贸易量均不超过100亿人民币”的概率；
(2)根据所给数据，完成下面的 列联表：
进口
出口
(3)根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为“我国与该国贸易中一天的进口贸易量与出口贸易量”有
关？
19、（本小题12分）
如图，在直三棱柱 中， ， ， ，点 分别为 的中
点．
(1)证明： 平面 ；
(2)求 与平面 所成角的正 弦值．
20、（本小题12分）
已知等差数列 的前 项和为 ， ， 为整数，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)设数列 满足 ，且数列 前 项和为 ，若 对 恒成立，求实数 的取
值范围.
21、（本小题12分）
在一张纸上有一个圆 ： ，圆心为点 ，定点 ，折叠纸片使圆 上某一点 好与点
重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕 ，设折痕 与直线 的交点为 .
(1)求出点 的轨迹 的方程；
(2)若过点 且斜率为 （ 或 ）的直线 交曲线 于 ， 两点， 为 轴上一点，满足
，试问 是否为定值 若是，求出该定值；若不是，请说明理由
22、（本小题12分）
已知函数 ， ， 为其导函数．函数 在其定义域 内有零点 ．
(1)求实数a的取值范围；
(2)设函数 ，求证：对任意的 且 ， ．
(3)求证： ．
参考答案
一、单选题
1、
<答 案>:
A
<解析>:
由题设 .
故选：A
2、
<答 案>:
A
<解析>:
因为 且 ，所以 .
故选：A
3、
<答 案>:
D
<解析>:
解：因为 ，
所以 ，
因为 在 单调，
所以 ，
∴ ，
故选：D.
4、
<答 案>:
A
<解析>:
设 ，则 ，可得 ，
所以 .
故选:A
5、
<答 案>:
A
<解析>:
易知该切线斜率存在，不妨设切线方程 ，
易知圆心 ，半径 ，所以 到 的距离为 ，
解之得 ，即切线 .
故选：A
6、
<答 案>:
C
<解析>:
由于 ，
所以 ，由于 平面 ，
所以 平面 ，而四边形 是正方形，所以 ，
由此以 为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
则 ，
，
设异面直线 与 所成角为 ，
则 .
故选：C
7、
<答 案>:
C
<解析>:
椭圆 ，则 ， ， ，
如图，设椭圆的右焦点为 ，
则 ；
，
由图形知，当 在直线 （与椭圆的交点）上时， ，
当 不在直线 （与椭圆的交点）上时，根据三角形的两边之差小于第三边有，
；
当 在 的延长线（与椭圆的 交点）上时， 取得最小值 ，
的最小值为 ．
故选：C．
8、
<答 案>:
A
<解析>:
易知， ，由 e ，
得到 e ，
可变形为 e ，即 e e ，
所以 e 恒成立，
即 e e 恒成立，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 时， ，即 在区间 上单调递减，在区间 上单
调递增，
所以 ，即 在区间 上恒成立，
所以 在区间 上单调递增，
又 e e ，所以e 恒成立，也即 恒成立，
又 ，所以 恒立，令
，则 ，
当 e 时， ，当 e 时， ，即 在区间 e 上单调递增，在区间 e 上
单调递减，
故 e ，所以 ，故选：A.
e e
二、多选题
9、
<答 案>:
C;D
<解析>:
A： ，则 不为定值，不满足；
B： ，则 不为定值，不满足；
C： ，则 为定值，且 ，满足；
D： ，则 为定值，且 ，满足.
故选：CD
10、
<答案 >:
B;D
<解析>:
解：展开式共有7项，故A错误；
展开式的各二项式系数的和为 ，故B正确；
展开式的第6项是 ，其系数为-3 0，故C错误；
展开式共7项，所以第4项的二项式系数最大，故D正确.
故选: .
11、
<答案 >:
A;B;D
<解析>:
A选项，如图1，取 的中点 ，连接 ，
因为 是 中点，故 ，且 ，
所以四边形 为平行四边形，则 ，
在 上取点 ，使得 ，
因为 ，所以 ，故 ，
故四边形 即为平面 截正方体所得截面 ，
又 与平面 不平行，故 与 不平行，
故四边形 为梯形，
故平面 截正方体所得 截面为梯形，A正确；
选项B，以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ，
故 ，
则 ，
故直线 与 所成的角的余弦值是 ，B正确；
C选项，将平面 与平面 沿着 折叠到同一平面内，
连接 ，如图，
则 ，由勾股定理得 ，
由于 ，
故从点 出发沿正方体 的表面到达点 的最短路径长不为 ，C错误；
D选项， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，
令 ，则 ，故 ，
则点 到平面 的距离为 ，D正确.
故选：ABD
12、
<答案 >:
ACD
<解析>:
略
三、填空题
13、
<答案 >:
/
<解析>:
设甲独立破解密码为事件 ，乙独立破解密码为事件 ，
则 ，
两人同时破译密码的概率为 .
故答案为：
14、
<答案 >:
8
<解析>:
解：以 、 、 所在直线分别为 轴, 轴， 轴建立空间坐标系，如图所示：
则 , , ,
所以 ，
所以 .
故答案为： .
15、
<答案 >:
504
<解析>:
设第 层的灯数为 ，
由题意可知：数列 是公比为 的等比数列，
则 ，解得 ，
且 ，所以顶层最少504盏灯.
故答案为：504.
16、
<答案 >:
<解析>:
设 ， ， 是 的三个零点，则 ，
所以 ，所以 ， ，
若 有三个零点，则 有两个极值点，
故对于方程 ， ， ， 的两个极值点分别为 和 ，其中
为极大值点， 为极小值点.
若 存在三个零点，则需满足 ，且 ，
所以 ，解得 ，
又因为 ，所以 的取值范围是 .
故答案为： .
四、解答题
17、
<答案 >:
(1) ；
(2)
<解析>:
（1）选① ，由正弦定理得 ，
是三角形内角， ，则 ， ，
所以 ，又 ，所以 ，所以 ；
选② ， ，
，即 ，以下同选①；
选③ ，则 ， 是三角形内角， ，所以 ，
又 ，所以 ；
（2）由（1）知 ， ，
，
所以 ．
18、
<答案 >:
(1) ；
(2)列联表见解析；
(3)有99%的把握认为 我国与该国贸易中一天的进口贸易量与出口贸易量有关.
<解析>:
（1）由表中，在100天中，进口贸易与出口贸易均不超过100的天数为 ，
用频率估计概率，可得所求概率为 .
（2）列出 列联表如下：
进口
出口
64 16
10 10
（3）由（2）得 ，
所以有99%的把握认为我国与该国贸易中一天的进口贸易量与出口贸易量有关.
19、
<答案 >:
(1)证明见解析
(2)
<解析>:
（1）证明：如图所示，连接 ， ，
在三棱柱 为直三棱柱， 为 的中点，则 为 的中点，
又因为 为 的中点，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
（2）解：以 为原点，以 ， ， 所在直线分别为 轴，建立 空间直角坐标系，如图所示，则
， ， ， ，
所以 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ，所以 ，
设 与平面 所成角为 ，则 ．
20、
<答案 >:
(1)
(2)
<解析>:
（1）设等差数列 的公差为 .
由 ，可知 ， ，即
因为 为整数，所以 ，
结合不等式组 解得 ，
所以 .
（2）由（1）可知 .
当 为偶数时，
.
又 ，即 对任意偶数都成立，所以 .
同理，当 为奇数时，
，
又 ，即 对任意奇数都成立，
易知当奇数 时，函数 取得最小值-15，
故 .
综上， .
21、
<答案 >:
(1) ；
(2) 为定值.
<解析>:
（1）由题意，可画出如下示意图， ，
由圆 ，则圆心 ，半径为2，
所以 ，
即 轨迹是以 为焦点的双曲线，且 ， ，故 ，
所以轨迹 的方程为 .
（2）令 且 ，联立 ，
所以 ，且 ，
令 ，则 ，
所以 ， ，
故 中点坐标为 ，则 垂直平分线为 ，
令 ，则 ，即 ，故 ，
又直线 交曲线 于 ， 两点必在右支，则 ，
所以 ，则 ，
而 ，
综上， 为定值.
22、
<答案 >:
(1)
(2)证明见解 析
(3)证明见解析
<解析>:
（1） ，则 ， ，
设 ， 在 上恒成立，函数 单调递减，
故 ，故 ，即 ；
（2） ， ， ，
， ，
设 ，则 e ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， 恒成立，即 ，故 ；
设 ，则 e e ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
当 时， 恒成立，即 ，即 ，
故 ，得证；
（3） ，要证 ，即 ， ，
故 ，即 ，即 ，
整理得到： ，
设 e ，则 e ， 在 上恒成立，
故函数 单调递增，故 ，即 ，
即 .