2023~2024学年广西百色德保县广西德保中学高二上学期期中数学试卷（PDF版含解析）

2023~2024学年广西百色德保县广西德保中学高二上学期期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、 是虚数单位，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
2、圆 和 的位置关系是（ ）
A.外离
B.相交
C.内切
D.外切
3、已知椭圆方程为 ，则该椭圆的长轴长为（ ）
A.6
B.12
C.8
D.16
4、已知直线 与直线 ，若 ，则 （ ）
A.
B.2
C.2或
D.5
5、如图，空间四边形OABC中， ， ， ，点M在 上，且 ，点N为BC中
点，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
6、设 ，向量 ， ， ，且 ， // ，则
（ ）
A.
B.3
C.
D.4
7、已知点 ， ，若直线 ： 与线段 相交，则 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
8、已知空间中三点 ， ， ， ， ，则点C到直线AB的距离为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、下列说法中正确的是（ ）
A.若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大
B.若 ， ，则直线 的倾斜角为
C.若直线过点 ，且它的倾斜角为 ，则这条直线必过点
D.直线 的截距为
10、已知圆 ： ，直线 ： ，则（ ）
A.直线 过定点，坐标为
B.直线 与圆 的位置关系无法确定
C.直线 被圆 截得的最短弦长是
D.直线 被圆 截得的弦长最大时
11、关于函数 下列说法正确的是（ ）
A.函数 的最小正周期为
B.函数 的增区间为
C.函数 的最小值为
D.函数 的一条对称轴的方程为
12、设椭圆 的右焦点为 ，直线 与椭圆交于 ， 两点（ 在 轴左侧），则
（ ）
A. 为定值
B. 的周长的取值范围是
C.当 时， 为直角三角形
D.当 时， 的面积为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、已知空间向量 的夹角为 ，则 ．
14、直线 ： 与圆 相交 、 两点，则 ．
15、已知 为 轴上一点， ， 是椭圆的两个焦点，△ 为正三角形，且 的中点 恰好在椭圆上，则
该椭圆的离心率为 ．
16、在平面直角坐标系中，设军营所在区域为 ，将军从点 出发，河岸线所在直线方程为
，假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
已知直线 过点 且与直线 ： 垂直．
(1)求直线 的方程；
(2)若直线l经过 ，且过直线 与 的交点，求直线l的方程．
18、（本小题12分）
已知 ， .
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，求实数 的值.
19、（本小题12分）
已知圆 过点 ， 且圆心在直线 上.
(1)求圆 的方程；
(2)设点 在圆上运 动，点 ，记 为线段 的中点，求 的轨迹方程；
20、（本小题12分）
在下面的三个条件：① ，② ，③
.任选一个补充到问题中，并给出解答.
在锐角 中，角 的对边分别为 ，且__________.
(1)求角 ；
(2)若 ，求 的取值范围.
21、（本小题12分）
椭圆 > > 的左右焦点分别为 ， ，焦距为 ， 为原点.椭圆 上任意一点到 ， 距
离之和为 .
(1)求椭圆 的标 准方程；
(2)过点 ， 的斜率为2 的直线 交椭圆 于 两点，求 的面积.
22、（本小题12分）
如图，直三棱柱 的所有棱长都是2， 分别是 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所 成角的正弦值；
参考答案
一、单选题
1、
<答 案>:
A
<解析>:
.
故选：A
2、
<答 案>:
D
<解析>:
圆 的圆心为 ，半径为1，
圆 可化为 ，圆心为 ，半径为4，
而两圆心的距离为 ，故两圆外切，
故选：D
3、
<答 案>:
D
<解析>:
根据椭圆标准方程可知 ，解得 ；
所以该椭圆的长轴长为 .
故选：D
4、
<答 案>:
A
<解析>:
解：若 ，则 ，
所以 或 ．
当 时， 重合， 不符合题意，所以舍去；
当 时，符合题意．
故选：A
5、
<答 案>:
B
<解析>:
因为 ，点N为BC中点，所以 ，
故
.
故选：B
6、
<答 案>:
C
<解析>:
解： ， ，得 ，
又 // ，则 ，得 ，
，
，
.
因此正确答案为：C.
7、
<答 案>:
B
<解析>:
因为直线 ： ，即 ，令 ，解得 ，
所以直线 恒过定点 ，
又 ， ，直线 的斜率为 ，
要使直线 与线段 有公共点，由图可知 ，解得 ，
即 的取值范围是 .
故选：B.
8、
<答 案>:
A
<解析>:
通过题意得
则点C到直线AB的距离为
因此正确答案为：A
二、多选题
9、
<答 案>:
B;C
<解析>:
A：倾斜角为锐角，斜率为正；倾斜角为钝角时，斜率为负，错；
B：由于 ， 的横坐标相等，即直线 与y轴垂直，故 倾斜角为 ，对；
C：由题设，直线方程为 ，显然 在直线上，对；
D：直线 在y轴上的截距为 ，但 轴上的截距不一定为 ，错.
故选：BC
10、
<答案 >:
A;D
<解析>:
A选项， 变形为 ，
令 ，解得 ，
故直线 过定点，坐标为 ，A正确；
B 选项，因为 ，故 在圆内，则直线 与圆 相交，B错误；
C选项，当 与直线 垂直时，直线 被圆 截得的弦长最短，
此时 ，
由垂径定理得，最短弦长为 ，C错误；
D选项，直线 经过圆心 时，被圆 截得的弦长最大，
将 代入 中 ， ，
解得 ，D正确.
故选：AD
11、
<答案 >:
A;D
<解析>:
，
对A，最小正周期为 ，A对；
对B，由 ，得 ，B错；
对C，最小值为 ，C错；
对D，由 得 ，当 时，对称轴为 ，D对.
因此正确答案为：AD
12、
<答案 >:
A;D
<解析>:
如图所示，设椭圆的左焦点为 ，连接 ，
根据椭圆的对称性知 ，所以 ，故A正确；
由椭圆 ，可得 ，则 ，
因为 ，所以 的取值范围是 ，
所以 的周长为 ，其取值范围是 ，故B错误；
联立方程组 ，解得 ， ，
又由 ，所以 ，
所以 为钝角，则 为钝角三角形，故C错误；
联立方程组 ，解得 ， ，
可得 ，所以 ，
又由 ， ，可得 ，故D正确.
故选：AD.
三、填空题
13、
<答案 >:
13
<解析>:
空间向量 的夹角为 ，
则 .
故答案为：13
14、
<答案 >:
<解析>:
由 解得 或 ，不妨令 ，
所以 .
故答案为：
15、
<答案 >:
<解析>:
如图，连接 ．由△ 为正三角形，且 为线段 的中点，
∴ ．又 ， ，
∴ ， ，由椭圆的定义，得 ，即 ，
∴ ，即椭圆的离心率 ．
故答案为：
16、
<答案 >:
<解析>:
若军营所在区域为 ，圆： 的圆心为原点，半径为 ，如图：
设 为 关于直线 的对称点，于是 ，解得 ，即 ，
令原点为 ，连接 交直线 于点 ，交圆 于点 ，
对直线 上任意点 ， ，
因此将军饮马点为 时， 最小，最小值为 ，由于到达营区点即回到军营，
所以“将军饮马”的最短总路程为点 与圆 上的点的最短距离 .
故答案为：
四、解答题
17、
<答案 >:
(1)
(2)
<解析>:
（1）由已知可设直线 的方程为 .
又直线 过点 ，所以有 ， 解得 ，
所以，直线 的方程为 .
（2）联立直线 与 的方程 ，
可得 ，
所以，直线 与 的交点 .
又直线l经过 ，
代入直线的两点式方程可得， ，
整理可得 .
18、
<答案 >:
(1)
(2)
<解析>:
（1）由已知可得 ， ，
∴ .
（2） ， ，
∵ ，∴存在实数 使得 ，
∴ ， ， ，联立得 .
19、
<答案 >:
(1)
(2)
<解析>:
（1） ， 的中点坐标为 ，直线 的斜率为 ，
故线段 的垂直平分线方程为 ，即 ，
联立 得 ，即圆 的圆心为 ，半径为 ，
故圆 的方程为
（2）设 ， ，因 为线 段 的中点，
所以 ，则 ，
因点 在圆上运动，所以 ，
则 ，
即 的轨迹方程为 .
20、
<答案 >:
(1)条件选择见解析， ；
(2) .
<解析>:
（1）选①：由正弦定理及 ，得 ，
又 ，
，又 ，
，又 ，
；
选②：由 ，得 ，
即 ，
， ，
，
，即 ；
选③：由 及正弦定理，得 ，
又由余弦定理得 ，
所以 ， ，
；
（2）由 ，可得 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 的取值范围为 .
21、
<答案 >:
(1)
(2)
<解析>:
（1）由题意可得 ， ，∴ ， ， ，
所以椭圆的标准方程为 .
（2）直线l的方程为 ，
代入椭圆方程得 ，设 ， ，
则 ， ， ，
∴ ，
又∵点O到直线AB的距离 ，
∴ ，
即△OAB的面积为 .
22、
<答案 >:
(1)证明见解析
(2) .
<解析>:
（1）
如图所示，取 的中点 ，连接 ，
由直三棱柱 的所有棱长都 是2， 是 中点，所以 ，
又平面 平面 ，平面 平面 平面 ，
所以 平面 ，
由 分别为 的 中点，可得 ，可得 两两垂直.
以 为坐标原点，以 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示 的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ，
可得 ， ， ，
， ， ， ，
又 ， 平面 ， 平面 .
（2）由（1）可得 平面 ，则 ，即为平面 的一个法向量，又由
，
设直线 与平面 所成的角为 ，
可得 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .