2023~2024学年江苏扬州仪征市仪征市第二中学高三上学期期中数学试卷（10月）（PDF版含解析）

2023~2024学年江苏扬州仪征市仪征市第二中学高三上学期期中数学试卷
（10月）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、已知集合 ， ， ，则 （ ）．
A.
B.
C.
D.
2、“ ”是“ ”的（ ）．
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分又不必要条件
3、若 ，则 的大小关系为（ ）．
A.
B.
C.
D.
4、在空间直角坐标系 中，已知异面直线 ， 的方向向量分别为 ， ，则 ，
所成角的余弦值为（ ）
A.
B.
C.
D.
5、函数 的图象大致为（ ）
e
A.
B.
C.
D.
6、已知 ，且 ，则 是（ ）
A.偶函数
B.奇函数
C.非奇非偶函数
D.不能确定
7、 中若有 ，则 的形状一定是（ ）
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.等腰直角三角形
8、已知 ， ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、下列说法中正确的有（ ）
A.若 ，则
B.若 ，则
C.若 ，则
D.若 ，则
10、声强级 （单位： ）与声强 （单位： ）之间的关系是： ，其中 指的是人能听到
的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为 ，对应的声强级为 ，称为痛阈.某
歌唱家唱歌时，声强级范围为 （单位： ），下列选项中正确的是（ ）
A.闻阈的声强级为
B.此歌唱家唱歌时的声强范围为 （单位： ）
C.如果声强变为原来的2倍，对应声强级也变为原来的2倍
D.声强级增加 ，则声强变为原来的10倍
11、已知函数 ，则（ ）
A.函数 的最小正周期为
B.若函数 为偶函数，则
C.若 ，则函数 的图象可由函数 的图象向右平移 个单位长度得到
D.若 ，则函数 的图象的对称中心为
12、已知正方体 的棱长为4，正四面体 的棱长为a，则以下说法正确的是
（ ）
A.正方体 的内切球直径为4
B.正方体 的外接球直径为
C.若正四面体 可以放入正方体 内自由旋转，则a的最大值是
D.若正方体 可以放入正四面体 内自由旋转，则a的最小值是
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、已知 ，则 ．
14、已知函数 则函数 的所有零点构成的集合为 ．
15、已知x>0，y>0，且 ，则x+2y的最小值为 .
16、已知函数 e ，不论 为何值，曲线 均存在一条固定的切线，则这条切
线的方程是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
已知集合 ，集合 ．
(1)当 时，求 ；
(2)记 ，若p是 q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
18、（本小题12分）
在 中，设角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且 ．
（1）求 ；
（2）若D为 上点， 平分角A，且 ， ，求 ．
19、（本小题12分）
某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机
抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，
无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问
题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，
且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记 为小明的 累计得分，求 的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理 由.
20、（本小题12分）
已知底面 是正方形， 平面 ， ， ，点 、 分别为线段 、
的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值是 ，若存在求出 的值，若不
存在，说明理由．
21、（本小题12分）
已知函数 ，其中 ．
(1)若 是函数 的极值点，求a的值；
(2)若 ，讨论函数 的单调性．
22、（本小题12分）
若函数 为定义域 上单调函数，且存在区间 （其中 ），使得当 时， 的取值范
围恰为 ，则称函数 是D上的正函数，区间 叫做等域区间．
(1) 是否存在实数m，使得函数 是 上的正函数？若存在，请求出实数m的取值范围；若不
存在，请说明理由；
(2)若 ，且不等式 的解集恰为 ，求函数 的解析式，并判
断 是否为函数 的等域区间．
参考答案
一、单选题
1、
<答 案>:
A
<解析>:
∵集合 ，∴ ，
又 ，
∴ ．
故选：A．
2、
<答 案>:
B
<解析>:
， ，
当 时， 不成立，
故充分性不成立．
，
，即 ，
显然 成立，
故必要性成立．
“ ”是“ ”的必要不充分条件．
故选：B．
3、
<答 案>:
D
<解析>:
∵ 在 上单调递增，
∴ ，
∵ 在 上单调递增，
∴ ．
∴ .
故选：D．
4、
<答 案>:
A
<解析>:
设异面直线 ， 所成角为 ，
因为异面直线 ， 的方向向量 分别为 ， ，
所以 ，
故选：A
5、
<答 案>:
D
<解析>:
令 ，该函数的定义域为 ， ，
e e e
所以，函数 为偶函数，排除AB选项，
e
当 时， ，则 ，排除C选项.
e
因此正确答案为：D.
6、
<答 案>:
A
<解析>:
取 ，则 ，因为 ，所以 .
取 ，则 ，即 .
即函数 是偶函数.
故选：A
7、
<答 案>:
B
<解析>:
由 ，得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
所以 为直角三角形，
故选：B
8、
<答 案>:
D
<解析>:
解：因为 ， ，
所以平方得， ， ，
即 ， ，
两式相加可得 ，
即 ，
故 ，
.
故选：D.
二、多选题
9、
<答 案>:
A;C
<解析>:
对于A，若 ，则 ，A无误；
对于B，若 ，当 时， ，B有误；
对于C，若 ，则 ，C无误；
对于D，若 ，则 ，不一定有 ，D 有误.
因此正确答案为：AC.
10、
<答案 >:
B;D
<解析>:
由题意， ，则 ，
所以 ，
当 时， ，故A错误；
当 时，即 ，则 ，当 时，即 ，则 ，
故歌唱家唱歌时的声强范围为 （单位： ），故B正确；
将声强为 对应的声强级作商为 ，故C错误；
将 ， 对应声强作商为 ，故D正确.
故选：BD.
11、
<答案 >:
A;C;D
<解析>:
由题意，函数
，其中
可得函数 的最小正周期为 ，故A正确；
若函数 为偶函数，则 ，故B错误；
若 ，则函数 的图象可由函数 的图象向右平移 个单位长度得到，故C正确；
若 ，则函数 ，令 ，求得 ， ，
可得它的图象的对称中心为 ，故D正确，
故选：ACD．
12、
<答案 >:
A;C;D
<解析>:
对于A，正方体 的内切球直径即其棱长，所以直径为4，A正确；
对于B，正方体 的外接球直径即其体对角线，所以直径为 ，B 错误；
正四面体 的棱长为a
因为正四面体 的外接球的球心O到点F、G、H的距离相等，
所以O在平面 BCD内的射影 ，到点F、G、H的距离相等，
又因为在正四面体 中 是正三角形，
所以 是 的中心，进而在正四面体 中，
有 平面 ，所以球心O在高线 上，
同理：球心O也在其它面的高线上，
又正四面体 中各面上的高都 相等，
所以由 得，
点O到正四面体各面的距离相等，
所以点O也是正四面体 的 内切球的球心，
这样正四面体的内切球的球心与外接球的球心重合．
记正四面体 的高为 ，则 .
因此，只要求出其中一个，则另一个也出来了 .
因为在正四面体 中， 是正三 角形， 是其中心，
所以 ，因为 平面 , 平面 ，
所以 ，在 中，由勾股定理，
得 ，所以 ，
解得 ， ，
故所求的外接球的半径和内切球的半径分别为 .
对于C，若正四面体 可以放入正方体 内自由旋转，即正四面体 的外接
球小于等于正方体 内切球，又由棱长为a的正四面体的外接球半径
，C正确；
对于D，正方体 可以放入正四面体 内自由旋转，即正方体
的外接球小于等于正四面体 内切球，又由棱长为a的正四面体的内切球半径
，D正确.
故选：ACD.
三、填空题
13、
<答案 >:
/ /
<解析>:
因为 ，则 ，
所以 ．
故答案为：
14、
<答案 >:
<解析>:
函数 的零点，即方程 的所有根，
令 ，根据函数 ，方程 的解是 ，
则方程 的根，即为方程 的根，
当 时， ，由 ， ，
当 时， ，由 ， ，
综上，函数 所有零点构成的集合是 .
故答案为： .
15、
<答案 >:
<解析>:
解法一：设 ，
可解得 ，
从而
，
当且仅当 时取等号.
故答案为： ．
解法二：考虑直接使用柯西不等式的特殊形式，即权方和不等式： ，
，
所以 ，当且仅当 时取等号.
故答案为： ．
16、
<答案 >:
<解析>:
由 e ，得 e ，
则 ，
这两个值均与 无关，
所以不论 取何值，曲线 均存在一条固定的切线，
此时切点为 ，
所以切线方程为 ，
故答案为：
四、解答题
17、
<答案 >:
(1)
(2)
<解析>:
（1）∵ ，则 ，则 ，
故 ，当 时，
∴ ，
∴ .
（2）∵ ，
∵ 是 的必要不充分条件，即 ，
∴ ，解得 ，
∴实数 的取值范围是 ．
18、
<答案 >:
（1） ；（2） ．
<解析>:
（1）因 为 ，
由正弦定理可得 ，整理得 ，
由余弦定理，可得 ，
又因为 ，可得 ．
（2）因为D为 上点， 平分角 ，则 ，
又由 ，
可得 ，
又因为 ，可得 ，解得 ，
因为 ，所以 ．
19、
<答案 >:
（1）见解析；（2） 类．
<解析>:
（1）通过题意分析可以得， 的所有可能取值为 ， ， ．
P\left( X=0 ight)=1-0.8=0.2 ；
P\left( X=20 ight)=0.8\left( 1-0. 6 ight)=0.32 ；
P\left( X=100 ight)=0.8 imes 0.6=0.48 ．
所以 的分布列为
（2）由（1）知， E\left( X ight)=0 imes 0.2+20 imes 0.32+100 imes 0.48=54.4 ．
若小明先回答 问题，记 为小明的累计得分，则 的所有可能取值为 ， ， ．
P\left( Y=0 ight)=1-0.6=0.4 ；
P\left( Y=80 ight)=0.6\left( 1-0. 8 ight)=0.12 ；
P\left( X=100 ight)=0.8 imes 0.6=0.48 ．
所以 E\left( Y ight)=0 imes 0.4+80 imes 0 .12+100 imes 0.48=57.6 ．
因为 ，所以小明应选择先回答 类问题．
20、
<答案 >:
(1)证明见解析；
(2)存在， 或
<解析>:
（1）因为底面 是正方形，且 平面 ，
所以 两两互相垂直，建立如下图所示空间直 角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ，
所以 ， ， ，
易知平面 的一个法向量为 ，
所以 ， ，又 \n 平面 ，
所以 平面 .
（2）设平面 的法向量为 ，
则 ，当 ，可取 ，
假设存在点 ， ，
设 ，所以 ，
所以 ，得 ，
所以 ，
得 ，解得 或 ，
所以 或
21、
<答案 >:
(1)
(2)答案见解 析
<解析>:
（1） ，
因为 是函数 的极值点，所以 ，解得 ，
当 时， ，
若 ，则 ，若 ，则 或 .
即函数 在 上单调递减，在 上单调递增，即 是函数 的极值点.
故 ．
（2） ， ，
当 时，令 ，解得 或 ，
当 ，即 时，
当 时， ，当 或 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减．
当 ，即 时，
当 时， ，当 或 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减．
当 ，即 时， ，所以 在 上单调递减.
综上，
当 时， 在 上递减，在 上递增，在 上递减；
当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减．
22、
<答案 >:
(1)存在， ；
(2) 或 ，不是等域区间，理由见解析
<解析>:
（1）因为函数 是 上的增函数，
所以当 时， ，
故关于x的方程 在区间 内有两个不等实根，
故 ，解得 ．
（2） ，由不等式 的解集恰为 ，且 为二次函数，
则不等式 的解集为 ，不等式 对任意实数恒成立，
故 为方程 的两个根，即 的两个根，
由韦达定理可得 ， ，消去 可得 ，
整理得 .又 ，a， ，
从而 或 .所以 或 ，
当 时， ， ，显然 恒成立，故 满足要求，
此时 ， ，所以 不是 的等域区间；
当 时， ， ，
此时 恒成立， 满足要求，
此时 ， ，所以 不是 的等域区间．