【人教九上中档题专题提优】专题六 二次函数与判别式(2)—几何求参（含解析）

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专题六 二次函数与判别式(2)—几何求参
核心考点一 根据图象的临界位置,利用判别式求参数范围
01.如图，抛物线y＝－2x2＋8x－6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝x＋m与C1、C2共有3个不同的交点，求m的取值范围．
核心考点二 根据图形的唯一存在性,利用判别式求参数范围
02. 在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋（k－1）x－k与直线y＝kx＋1交于A，B两点，点A在点B的左侧，设抛物线与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧）．在直线y＝kx＋1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．
核心考点三 根据图形的恒存在性,利用判别式求参数范围
03. 如图，点P是直线l：y＝－2x－2上的点，过点P的另一条直线m交抛物线y＝x2于A、B两点，试证明：对于直线l上任意给定的一点P，在抛物线上都能找到点A，使得PA＝AB成立．
专题六 二次函数与判别式(2)—几何求参
核心考点一 根据图象的临界位置,利用判别式求参数范围
01.如图，抛物线y＝－2x2＋8x－6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝x＋m与C1、C2共有3个不同的交点，求m的取值范围．
【思路点拔】首先求出点A和点B的坐标，然后求出C2解析式，分别求出直线y＝x＋m与抛物线C2相切时m的值以及直线y＝x＋m过点B时m的值，结合图形即可得到答案．
解：令y＝－2x2＋8x－6＝0，
即x2－4x＋3＝0，解得x＝1或3，
则点A（1，0），B（3，0），
由于将C1向右平移2个长度单位得C2，
则C2解析式为y＝－2（x－4）2＋2（3≤x≤5），
当y＝x＋m1与C2相切时，
令y＝x＋m1＝y＝－2（x－4）2＋2，
即2x2－15x＋30＋m1＝0，
Δ＝－8m1－15＝0，解得m1，
当y＝x＋m2过点B时，
即0＝3＋m2，m2＝－3，
当－3＜m时，直线y＝x＋m与C1、C2共有3个不同的交点．
【点评】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度．
核心考点二 根据图形的唯一存在性,利用判别式求参数范围
02. 在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋（k－1）x－k与直线y＝kx＋1交于A，B两点，点A在点B的左侧，设抛物线与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧）．在直线y＝kx＋1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．
【思路点拔】“存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°”的含义是，以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，由圆周角定理可知，此时∠OQC＝90°且点Q为唯一．以此为基础，构造相似三角形，利用比例式列出方程，求得k的值．需要另外注意一点是考虑直线AB是否与抛物线交于C点，此时亦存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°．
【解答】解：以CO为直径，作⊙M，
当直线AB与⊙M相切时，
此时在直线y＝kx＋1上存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°，且切点为Q，
连接QM，则MQ⊥AB，如图1，
当直线AB与⊙M相切时，
设直线AB：y＝kx＋1与x轴、y轴分别交于点E、F，
则E（，0），F（0，1），OE，OF＝1．
在Rt△EOF中，由勾股定理得：EF．
令y＝x2＋（k－1）x－k＝0，即（x＋k）（x－1）＝0，
解得：x＝－k或x＝1．
∴C（－k，0），OC＝k，
∴MC＝MO＝MQ，
∴EM，
∵∠EQM＝∠EOF＝90°，∠MEQ＝∠FEO，
∴，即，
解得：k＝±，
由图象可知k＞0，
∴k．
当直线AB与⊙M相交于时，
若在直线y＝kx＋1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°，
则直线AB必过点C，即A与C重合如图2：
∵OC＝k，OA，
∴k，∴k＝1，
综上所述：k＝1或k．
【点评】本题考查二次函数的综合问题，涉及相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理等知识，内容较为综合，知识点较多，需要学生灵活运用所学知识进行解答．
核心考点三 根据图形的恒存在性,利用判别式求参数范围
03. 如图，点P是直线l：y＝－2x－2上的点，过点P的另一条直线m交抛物线y＝x2于A、B两点，试证明：对于直线l上任意给定的一点P，在抛物线上都能找到点A，使得PA＝AB成立．
【思路点拔】首先设P（a，－2a－2），A（m，m2），再表示出B点坐标，进而利用根的判别式求出，无论a为何值时，关于m的方程总有两个不相等的实数根，进而得出答案．
【解答】证明：设P（a，－2a－2），A（m，m2）．
如图所示，
分别过点P、A、B作x轴的垂线，垂足分别为点G、E、F．
∵PA＝AB，∴AE是梯形PGFB的中位线，
∴GE＝EF，AE（PG＋BF）．
∵OF＝|EF－OE|，GE＝EF，
∴OF＝|GE－EO|
∵GE＝GO－EO＝m－a，EO＝－m，
∴OF＝|m－a－（－m）|＝|2m－a|，
∴OF＝2m－a，
∵AE（PG＋BF），
∴BF＝2AE－PG＝2m2＋2a＋2，
可得：B（2m－a，2m2＋2a＋2）．
∵点B在抛物线y＝x2上，
∴2m2＋2a＋2＝（2m－a）2
整理得：2m2－4am＋a2－2a－2＝0．
Δ＝8（a＋1）2＋8＞0，
∴无论a为何值时，关于m的方程总有两个不相等的实数根．
即对于任意给定的点P，抛物线上总能找到满足条件的点A，使得PA＝AB成立．
【点评】本题考查二次函数与一次函数的图象与性质、梯形及梯形中位线、一元二次方程等知识点，掌握二次函数、一次函数点的坐标特征，正确表示出B点坐标是解题关键．