【人教九上中档题专题提优】专题十八 二次函数的应用（含解析）

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专题十八 二次函数的应用(10)一分段函数
核心考点一 求分段函数的自变量取值范围
01.(2024硚口期末)有一款自动热水壶,其工作方式是:常规模式下,热水壶自动加热到时,自动停止加热,随后转入冷却阶段,当水温降至时,热水壶又自动加热,,重复上述过程;若在冷却过程中,按下“再沸腾”键,则马上开始加热,加热到后,又重复上述程序,如图是常规模式下,冷却、加热过程中水温(c)与时间(min)之间的函数图象,其中段是抛物线的一部分(是该抛物线的顶点),表示冷却过程;线段表示加热过程.
（1）直接写出抛物线段,线段分别对应的函数解析式;
（2）从开始冷却,其间按下“再沸腾”键,马上加热到.
①若按下“再沸腾”键时,水温是,求该冷却、加热过程一共所用时间;
②若该冷却、加热过程一共所用时间比常规模式缩短了,直接写出按下“再沸腾”键时的水温.
核心考点二 分段函数中的利润最值与自变量取值范围
02.(2024江岸期中)某商家在购进一款产品时,由于运输成本及产品成本的提高,该产品第天的成本(元/件)与(天)之间的关系如图所示,并连续50天均以80元/件的价格出售,第天该产品的销售量(件)与(天)满足关系式.
（1）第5天,该商家获得的利润是元;第40天,该商家获得的利润是___元;
（2）设第天该商家出售该产品的利润为元.
①求与之间的函数关系式,并指出第几天的利润最大,最大利润是多少
②在出售该产品的过程中，当天利润不低于1125元的共有___天？（直接填写结果）
专题十八 二次函数的应用(10)一分段函数
核心考点一 求分段函数的自变量取值范围
01.(2024硚口期末)有一款自动热水壶,其工作方式是:常规模式下,热水壶自动加热到时,自动停止加热,随后转入冷却阶段,当水温降至时,热水壶又自动加热,,重复上述过程;若在冷却过程中,按下“再沸腾”键,则马上开始加热,加热到后,又重复上述程序,如图是常规模式下,冷却、加热过程中水温(c)与时间(min)之间的函数图象,其中段是抛物线的一部分(是该抛物线的顶点),表示冷却过程;线段表示加热过程.
（1）直接写出抛物线段,线段分别对应的函数解析式;
（2）从开始冷却,其间按下“再沸腾”键,马上加热到.
①若按下“再沸腾”键时,水温是,求该冷却、加热过程一共所用时间;
②若该冷却、加热过程一共所用时间比常规模式缩短了,直接写出按下“再沸腾”键时的水温.
解:(1)由题意,段抛物线的顶点为,
可设抛物线为.
又抛物线过点,
抛物线为.
由题意,设直线的解析式为,
又
线段对应的函数解析式为.
(2)①若按下“再沸腾”键时,水温是,
(不合题意,舍去),冷却过程所用时间为.
又对于函数,令.
加热过程所用时间为该冷却、加热过程一共所用时间为:(min).
②若该冷却、加热过程一共所用时间比常规模式缩短了,
直线向左平移22个单位长度得:,即,
与联立得,解得(舍).
令,得按下“再沸腾”键时的水温为.
核心考点二 分段函数中的利润最值与自变量取值范围
02.(2024江岸期中)某商家在购进一款产品时,由于运输成本及产品成本的提高,该产品第天的成本(元/件)与(天)之间的关系如图所示,并连续50天均以80元/件的价格出售,第天该产品的销售量(件)与(天)满足关系式.
（1）第5天,该商家获得的利润是元;第40天,该商家获得的利润是___元;
（2）设第天该商家出售该产品的利润为元.
①求与之间的函数关系式,并指出第几天的利润最大,最大利润是多少
②在出售该产品的过程中，当天利润不低于1125元的共有___天？（直接填写结果）
解:(1)根据题意得:第5天的成本,
该商家获得的利润是元.
设直线,把代入得:
,解得.当时,,
即第40天时该产品的成本是60元/件,利润为:元.
（2）①根据题意得:,
化简得.
当时,随增大而增大,
当时,;当时,.
开口向下,对称轴时,随增大而减小.
又为整数,时,.
,此时,即第30天利润最大,最大利润1200元.
②当时,.
又且为整数,或29或30.
当时,.
令.
又且为整数,或32或33或34或35.
综上所述,第28,29,30,31,32,33,34,35天共计8天利润不低于1125元.