【人教九上中档题专题提优】专题十二 二次函数应用题(4)——过桥与边界问题（含解析）

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专题十二 二次函数应用题(4)——过桥与边界问题
核心考点一 给出坐标系,求高度或水平距离
01.(2024七一华源月考)某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示,函数关系为,当水面宽度为时,水面与桥拱顶的高度CO＝ m.
02.(2024·光谷未来月考)某抛物线型拱桥的示意图如图所示,水面,拱桥最高处点到水面的距离为,在该抛物线上的点处要安装两盏警示灯(点关于轴对称),警示灯距水面的高度是,则这两盏灯的水平距离EF＝ m.
核心考点二 建立坐标系,求高度或水平距离
03.(2024·武汉外校月考)如图是抛物线型拱桥,当拱顶高离水面时,水面宽,水面上升,水面宽度为 m.
04.(2024·武汉三寄月考)如图,有一抛物线形拱桥,当拱顶离水面时,水面宽,当水面宽增加时,则水面应下降的高度是 m.
核心考点三 给出坐标系,分析边界值
05.九(1)班数学课题学习小组,为了研究学习二次函数问题,他们经历了实践到应用的过程.
（1）实践:他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量,测得一隧道的路面宽为.隧道顶部最高处距地面,并画出了隧道截面图.建立了如图所示的直角坐标系,请你求出抛物线的解析式;
（2）应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为.为了确保安全,问该隧道能否让最宽,最高的两辆厢式货车居中并列行驶(两车并列行驶时不考虑两车间的空隙) 并说明理由.
06.(2024·武汉元调)某一抛物线形隧道,一侧建有垂直于地面的隔离墙,其横截面如图所示,并建立平面直角坐标系.已知抛物线经过三点.
（1）求抛物线的解析式（不考虑自变量的取值范围）;
（2）有一辆高,顶部宽的工程车要通过该隧道,该车能否正常通过 并说明理由;
（3）现准备在隧道上处安装一个直角形钢架,对隧道进行维修.两点分别在隔离墙和地面上,且与隔离墙垂直,与地面垂直,求钢架的最大长度.
专题十二 二次函数应用题(4)——过桥与边界问题
核心考点一 给出坐标系,求高度或水平距离
01.(2024七一华源月考)某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示,函数关系为,当水面宽度为时,水面与桥拱顶的高度CO＝ 4 m.
解:根据题意的横坐标为10,把代入,得,
,即水面与桥拱顶的高度等于.
02.(2024·光谷未来月考)某抛物线型拱桥的示意图如图所示,水面,拱桥最高处点到水面的距离为,在该抛物线上的点处要安装两盏警示灯(点关于轴对称),警示灯距水面的高度是,则这两盏灯的水平距离EF＝ 24 m.
解:设该抛物线的解析式为,由题意可得,点的坐标为,
,解得.
当时,,解得,
点,点,
这两盏灯的水平距离是.
核心考点二 建立坐标系,求高度或水平距离
03.(2024·武汉外校月考)如图是抛物线型拱桥,当拱顶高离水面时,水面宽,水面上升,水面宽度为.
解:建立如图所示的平面直角坐标系,此时,
抛物线解析式为.
当时,,解得,
水面宽度为.
04.(2024·武汉三寄月考)如图,有一抛物线形拱桥,当拱顶离水面时,水面宽,当水面宽增加时,则水面应下降的高度是 1 m.
解:建立如图所示的平面直角坐标系,
由题意可知:,
抛物线解析式为.
当时,,
∴水面应下降的高度是.
核心考点三 给出坐标系,分析边界值
05.九(1)班数学课题学习小组,为了研究学习二次函数问题,他们经历了实践到应用的过程.
（1）实践:他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量,测得一隧道的路面宽为.隧道顶部最高处距地面,并画出了隧道截面图.建立了如图所示的直角坐标系,请你求出抛物线的解析式;
（2）应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为.为了确保安全,问该隧道能否让最宽,最高的两辆厢式货车居中并列行驶(两车并列行驶时不考虑两车间的空隙) 并说明理由.
解:(1)设抛物线的解析式为,
图象过点,
解得抛物线的解析式为.
(2),
当时,.
答:隧道能让最宽,最高的两辆厢式货车居中并列行驶.
06.(2024·武汉元调)某一抛物线形隧道,一侧建有垂直于地面的隔离墙,其横截面如图所示,并建立平面直角坐标系.已知抛物线经过三点.
（1）求抛物线的解析式（不考虑自变量的取值范围）;
（2）有一辆高,顶部宽的工程车要通过该隧道,该车能否正常通过 并说明理由;
（3）现准备在隧道上处安装一个直角形钢架,对隧道进行维修.两点分别在隔离墙和地面上,且与隔离墙垂直,与地面垂直,求钢架的最大长度.
解:(1)由题意,设抛物线的解析式为,
,
抛物线的解析式为.
（2）工程车不能正常通过.理由如下:
工程车高,令,即,
纵坐标为5时,两点的距离为,
故高,顶部宽的工程车不能正常通过.
(3)由题意,如图,设).
当时,令或
在墙面上,.
由.
又当时,的值随的增大而减小,
当时,取最大值,最大值为9,
钢架的最大长度为.