江苏省南京市第十三中学2023-2024学年高二上学期期初调研数学试卷（含解析）

2023-2024学年度高二年级第一学期期初调研
数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．当圆截直线所得的弦长最短时，实数（ ）
A． B． C． D．1
2．如图，在同一直角坐标系中，表示直线与正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知过点和点的直线为，．若，，则的值为（ ）
A． B． C．0 D．8
4．若圆与轴相切，则这个圆截轴所得的弦长为（ ）．
A． B． C．6 D．8
5．已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点，为的上顶点。若，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．已知圆，一条光线从点射出经轴反射，则下列结论不正确的是（ ）
A．圆关于轴的对称圆的方程为
B．若反射光线平分圆的周长，则入射光线所在直线方程为
C．若反射光线与圆相切于，与轴相交于点，则
D．若反射光线与圆交于，两点，则面积的最大值为
7．已知为椭圆的右焦点，为上一点，为圆上一点，则的最大值为（ ）
A．3 B．6 C． D．
8．已知椭圆，，为两个焦点，为原点，为椭圆上一点，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．已知圆，直线与，下列结论正确的是（ ）
A．直线，不可能平行
B．直线与圆相切
C．直线与圆截得弦长为
D．
10．已知椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，，则（ ）
A．若点的横坐标为2，则
B．的最大值为9
C．若为直角，则的面积为9
D．若为钝角，则点的横坐标的取值范围为
11．已知椭圆，点为右焦点，直线与椭圆交于，两点，直线与椭圆交于另一点，则（ ）
A．周长为定值 B．直线与的斜率乘积为定值
C．线段的长度存在最小值 D．该椭圆离心率为
12．点是直线上的一个动点，，是圆上的两点．则（ ）
A．存在，，，使得
B．若，均与圆相切，则弦长的最小值为
C．若，均与圆相切，则直线经过一个定点
D．若存在，，使得，则点的横坐标的取值范围是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．椭圆的短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率为______．
14．由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为______．
15．焦点在轴上的椭圆的离心率为，则它的短半轴长为______．
16．已知圆被直线，截得的两条弦长分别为，，则的最大值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知四边形满足，，，．
（1）求直线的方程；
（2）求点的坐标．
18．已知椭圆关于轴，轴都对称，并且经过两点，．
（1）求椭圆方程；
（2）直线经过椭圆的左焦点且垂直于椭圆的长轴，与椭圆交于，两点，求的面积．
19．在平面直角坐标系中，圆的方程为，．
（1）当时，过原点作直线与圆相切，求直线的方程；
（2）对于，若圆上存在点，使，求实数的取值范围．
20．在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于坐标原点．
（1）求圆的标准方程；
（2）经过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程．
21．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长、短半轴长的乘积．已知椭圆的中心为坐标原点，焦点，均在轴上，面积为，点在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）经过点的直线与曲线交于，两点，与椭圆的面积比为，求直线的方程．
22．已知椭圆的左顶点为，椭圆的离心率为且与直线相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）斜率存在且不为0的直线交椭圆于，两点（异于点），且．则直线是否恒过定点，如果过定点求出该定点坐标，若不过定点请说明理由．
2023-2024学年度高二年级第一学期期初调研
数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．
【答案】B
【解析】
将直线的方程变形为，由可得，
所以，直线经过定点，
圆的标准方程为，圆心为，
因为，即点在圆内，
故当时，圆心到直线的距离取最大值，此时，直线截圆所得弦长最短，
，直线的斜率为，所以，，解得．
故选：B．
2．
【答案】C
【解析】
当时，直线过原点，且单调递增，
直线单调递增，且纵截距为正数，
没有符合的图象．
当时，直线过原点，且单调递减，
直线单调递增，且纵截距为负数，
C选项符合．
故选：C
3．
【答案】A
【解析】
因为，所以，解得，又，所以，
解得．所以．
故选：A．
4．
【答案】D
【解析】
由圆，可得圆心，半径为，
因为圆与轴相切，可得，即，
所以圆心到轴的距离为，
则圆截轴所得的弦长为．
故选：D．
5．
【答案】B
【解析】
解：因为离心率，解得，，
，分别为的左右顶点，则，，
为上顶点，所以．
所以，，因为
所以，将代入，解得，，
故椭圆的方程为．
故选：B．
6．
【答案】C
【解析】
对于，由圆方程可得，故圆心，半径，
∴圆关于轴对称的圆的圆心为，半径为1，
∴所求圆的方程为：，即，A$正确；
对于，∵反射光线平分圆的周长，∴反射光线经过圆心，
∴入射光线所在直线经过点，∴，
∴入射光线所在直线方程为：，即，B正确；
对于，∵反射光线经过点关于轴的对称点，
∴，
∴，则，C错误；
对于D，设，
则圆心到直线的距离，
∴，
∴，
则当时，，D正确
故选：C．
7．
【答案】D
【解析】
圆的圆心为，，
设椭圆的左焦点为，如下图，由椭圆的定义知，，
所以，所以
，
当且仅当，，三点在一条直线上时取等，
，，，．
故选：D．
8．
【答案】B
【解析】
由题意椭圆，，为两个焦点，可得，，，
则①，即，
由余弦定理得，
，故，②
联立①②，解得：，∴，
而，所以，
即，
故选：B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．
【答案】ACD
【解析】
对于A，由得直线，不可能平行，故A正确；
对于B，圆的圆心为，半径为2，所以圆心到直线的距离
为，所以直线与圆相离，故B错误；
对于C，直线到圆心的距离为，
所以直线与圆截得弦长为，故C正确；
对于D，∵∵，故D正确．
故选：ACD
10．
【答案】BCD
【解析】
椭圆的长半轴为，半焦距为，∴，
对A，时，代入椭圆方程得，，，A错；
对B，的最大值为，B对；
对C， 为直角，设，则，则有
，
则的面积为，C对；
对D，以原点为圆心，为半径作圆，则为圆的直径，则点在圆内时，
为钝角，联立，消得，故点的横坐标的取值范围为
，D对．
故选：BCD
11．
【答案】BCD
【解析】
该椭圆中，，，则，
所以离心率为，故D正确；
设，，，
则在PM、QM斜率都存在的前提Q有，，
于是
为定值，故B正确；
由题意可设PM的方程为，
联立，消x得，
则，，
所以
，
则当时，，
所以线段PM的长度存在最小值，故C正确．
当时，直线与椭圆交于点和，
不妨取点P为，得直线PF方程为，
求得交点M为，
则，，，此时的周长为，
当时，联立，解得，不妨取，
则PM垂直于x轴，此时，，，
此时的周长为，
显然周长不为定值，故A错误；
故选：BCD．
12．
【答案】BCD
【解析】
由图可知，当直线PA，PB与圆相切且点P在y轴上时最大，
此时，，，，
所以最大时是锐角，故A错；
，所以，
则当最小时，弦长AB最小，，所以，故B正确；
设点，A，B是以PO为直径的圆上的两点，圆的方程为
，
即①，又A，B是圆②上的两点，
所以直线AB的方程为②-①：，过定点，故C正确；
若存在A，B，使得，则，
当直线PA，PB与圆相切时，最大，对应的余弦值最小，
当直线PA，PB与圆相切，且时，，，
因为，所以，则，故D正确．
故选：BCD．
三、填空题：本题共4小魉，每小题5分，共20分．
13．
【答案】
【解析】
解：依题意可知
∴
∴
故答案为
14．
【答案】
【解析】
圆的圆心为，，
在直线上取一点，过向圆引切线，设切点为．连接，．
在中，．要使最小，则应最小．
又当PC直线垂直时，最小，其最小值为．
故的最小值为．
故答案为：．
5．
【答案】
【解析】
因为圆的焦点在轴上，且离心率为，
则，
，
∴，
∴，
∴；
故答案为
16．
【答案】4
【解析】
因为圆可化为，故圆心为，半径为
，
所以圆心到的距离为，
则该圆被截得弦长满足，
圆心到的距离为，
则该圆被截得弦长满足，
所以，则，即，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值为4．
故答案为：4．
四、解答题：本题共6小题，共70分．
17．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【小问1详解】
由图知，则直线的倾斜角为60°，直线的斜率，点，
所以直线的方程为，即．
【小问2详解】
因为，则直线的方程为，而，则直线的倾斜角为
30°，斜率，
直线的方程为，由解得，，即点，
又，则有直线斜率，因此直线的方程为，
即，
由解得，即点，
所以点的坐标是．
18．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【小问1详解】
设椭圆方程为：，
将，代入，
，解得：，
故椭圆方程为．
【小问2详解】
由题意得：左焦点为，
故线段l所在直线方程为：，
将代入中，解得：，
不妨设，，故，
点到直线的距离为，
所以．
19．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【小问1详解】
当时，圆的方程为，
圆心，半径，
①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，满足条件；
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由直线与圆相切，则，解得，
所以的方程为，即，
综上得，直线的方程为或；
【小问2详解】
圆心，，
则线段OP的中垂线的方程为，即，
要使得，则M在线段OP的中垂线上，
所以存在点M既要在上，又要在圆C上，
所以直线与圆C有公共点，
所以，解得，
所以．
20．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【小问1详解】
∵圆M的圆心在直线上，
设，
则，
解得，即，
∴圆的半径为，
∴圆M的标准方程为；
【小问2详解】
经过点的直线l被圆截得的弦长为，
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，
此时直线l被圆截得的弦长为，不符，舍去；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即，
∴，
解得或，
∴直线l的方程为或．
21．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【小问1详解】
设椭圆的方程为：，
因为椭圆的面积为，点在椭圆上．
所以，解得：，，所以椭圆M的标准方程为：
【小问2详解】
因为经过点直线l与曲线M交于A，B两点，
当直线l的斜率不存在时，，，此时，
因为与椭圆M的面积比为，但，即直线斜率存在；
不妨设直线l的方程为，联立，
消去y并整理可得：，
不妨设，，则无，，
因为，
，
所以
，
因为与椭圆M的面积比为，
所以，化简为，
即，即，
解得：，所以直线l的方程为或，
所以直线l的方程为或．
22．
【答案】（1）
（2）直线恒过定点，理由见解析
【解析】
【小问1详解】
椭圆C的离心率为，可得，所以，
椭圆方程为，由
可得，
由题意可得，解得，，
所以椭圆方程为；
【小问2详解】
直线l恒过定点，理由如下：
由（1）得，设直线l的方程为，，，
由联立得，
由得，
且，，
由得，
即
可得
整理得，解得，或舍去，
即时，不论m为何值时都符合，
此时直线l的方程为，
则直线恒过定点．