江苏省南京师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期期初测试数学试题（含解析）

2023—2024学年南师附中高二期初测试
数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知，，，则（ ）
A B.
C. D.
2.已知复数（是虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（ ）
A.7 B.15 C.25 D.35
4.有3个完全相同的小球，，，随机放入甲、乙两个盒子中，则两个盒子都不空的概率为（ ）
A. B. C. D.
5.设，，则“”是“且”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
6.设，且，则（ ）
A. B.10 C. D.
7.已知函数是定义在上的偶函数.，，且，都有，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
8.平面四边形中，，，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，若四面体顶点在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.某大学生暑假到工厂参加生产劳动，生产了100件产品，质检人员测量其长度（单位：厘米），
将所得数据分成6组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图，则对这100件产品，下列说法中正确的是（ ）
A. B.长度落在区间内的个数为35
C.长度的众数一定落在区间内 D.长度的中位数一定落在区间内
10.已知，，且，下列不等式恒成立的有（）
A. B.
C. D.
11.已知函数对任意，都有成立，且函数是奇函数，当时，.则下列结论正确的是（ ）
A.当时，
B.函数的最小正周期为2
C.函数的图象关于点（）中心对称
D.函数在（）上单调递减
12.连接球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦，的长度分别等于，，，分别为，的中点，每条弦的两端都在球面上运动，则（ ）
A.弦，可能相交于点 B.弦，可能相交于点
C的最大值为5 D.的最小值为1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为______.
14.在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，，，，则的最大值是______.
15.已知函数（且），若函数的图象上有且仅有一组点关于轴对称，则的取值范围是______.
16.已知的内角，，的对边分别为、、，设的面积为，若，则的最大值为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知，，是同一平面内的三个向量，其中.
（1）若，且，求的坐标；
（2）若，且与垂直，求与的夹角.
18.（12分）已知函数.
（1）求函数的值域；
（2）若，求的值.
19.（12分）某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是.若各家庭回答是否正确互不影响.
（1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
（2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率.
20.（12分）已知函数，，若函数在定义域内存在实数，使得成立，则称函数具有性质.
（1）判断函数是否具有性质？并说明理由；
（2）证明：函数具有性质.
21.（12分）如图，在四棱柱中，侧棱垂直于底面，底面为等腰梯形，，，，，、、分别是棱、、的中点.
（1）证明：直线平面；
（2）求二面角的余弦值.
22.（12分）设的三个内角、、所对的边分别为、、且.
（1）求的大小；
（2）若，求的取值范围.
2023—2024学年南师附中高二期初测试
数学试题参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】C.
【解析】∵，，
∴，
∴.
故选：C.
2.【答案】C.
【解析】因为，
所以对应点的坐标为，所以在复平面内对应的点位于第三象限.
故选：C.
3.【答案】B.
【解析】青年职工、中年职工、老年职工三层之比为7:5:3，
所以样本容量为.
故选：B.
4.【答案】C.
【解析】先求两个盒子中有一个空的概率为，
所以两个盒子都不空的概率为.
故选：C.
5.【答案】B.
【解析】若，则如满足条件，但不满足且，不是充分条件，
若且，则，，所以，即，是必要条件，
所以“”是“且”的必要不充分条件.
故选：B.
6.【答案】D.
【解析】∵，∴，，
∴，
∴，
故选：D.
7.【答案】B.
【解析】因为函数是定义在上的偶函数，所以关于轴对称，
由向左平移1个单位得到，所以关于直线对称，
，，且，都有，
在上单调递增，
∴在上单调递减，
∵，且，，
∴，∴，解得，
∴原不等式的解集为.
故选：B.
8.【答案】B.
【解析】由题意，四面体顶点在同一个球面上，和都是直角三角形，
所以的中点就是球心，所以，球的半径为：，
所以球的表面积为：.
故选：B.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.【答案】ABD.
【解析】对于A：由频率之和为1，得，解得，所以选项A正确，
对于选项B：长度落在区间内的个数为，所以选项B正确，
对于选项C：对这100件产品，长度的众数不一定落在区间内，所以选项C错误，
对于选项D：对这100件产品，因为，而，所以长度的
中位数一定落在区间内，所以选项D正确，
故选：ABD.
10.【答案】BC.
【解析】因为正实数，满足，
所以，当且仅当时取等号，
，A错误；
∵正实数，满足，
，则，B成立；
，
当且仅当，即时取等号，C成立；
，
当且仅当，即，时取等号，D错误.
故选：BC.
11.【答案】AB.
【解析】因为函数对任意都有，所以，
即，所以，
所以，即恒成立，所以的周期为4.
函数是奇函数，当时，.
故时，.
任取，则，
因为函数对任意都有，
即，
所以.
所以，
作出的图象如图所示：
对于A.由前面的推导可得：当时，.故A正确；
对于B.函数的图象可以看成的图象轴上方的图象保留，把轴上方的图象轴下方的图象翻折到轴上方，
所以函数的最小正周期为2.故B正确；
对于C.由图象可知：函数的图象关于点（）中心对称，故C错误；
对于D.作出的图像如图所示，在上函数单调递增.故D错误.
故选：AB.
12.【答案】ACD.
【解析】设球心为，则，.
因为，所以弦，可能相交于点，不可能相交于点.
因为，所以，
当、、三点共线且，在两侧时，有最大值5；
当、、三点共线且，在同侧时，有最小值1；
故选：ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.【答案】或.
【解析】当直线在坐标轴上的截距为0时，可设直线：，
∵直线过点，
∴，即直线的方程为，
当直线在坐标轴上的截距不为0时，可设直线：，
∵直线过点，
∴，即，即直线的方程为.
故答案为：或.
14.【答案】.
【解析】如图，由题知，球的体积要尽可能大时，球需与三棱柱内切.
需保证截面圆与内切，记圆的半径为，
则由等面积法得，
∴，又，，
∴，得.
由于三棱柱高为5，此时可以保证球在三棱柱内部，
若增大，则无法保证球在三棱柱内，
故球的最大半径为2，
∴的最大值是.
故答案为：.
15.【答案】.
【解析】易得时已有一个点关于轴对称，故只需当，且时，函数的图象上有且仅有1个点关于轴对称即可.
由题意，时，显然成立；
时，关于轴的对称函数为，则，∴，
综上所述，的取值范围是，
故答案为：.
16.【答案】.
【解析】由，得，
则，同时，
则，
，
，当且仅当时取等号，
则，
故的最大值为，
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.【答案】（1），或；（2）.
【解析】（1）∵；
∴设，且，；
∴；
∴；
∴，或；
（2）∵与垂直，
∴，即，
又，，
∴，
∴，
又，
∴与的夹角.
18.【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由，
得，
所以的值域为.
（2）由（1）知，，
所以，
所以.
19.【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）设事件表示“甲家庭回答正确这道题”，事件表示“乙家庭回答正确这道题”，事件表示“丙家庭回答正确这道题”，
由题意得：，
解得乙家庭回答正确这道题的概率，
丙家庭回答正确这道题的概率.
（2）甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率为：
.
20.【答案】（1）否，理由见解析；（2）见解析.
【解析】（1）函数不具有性质.
由，可得，，，
由，即，可得，即，该方程无解，
故函数不具有性质；
（2）证明：，
由，可得，
化简可得，即，由图像可知，两个函数必有交点，
可得函数在定义域内存在实数，使得成立，
故函数具有性质.
21.【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】（1）取的中点，连接，，，.
∵，，
∴，，
∴四边形为平行四边形，∴.
∵，分别为，的中点，∴，
∴，
又平面，平面，
∴平面.
（2）过作交于，以为坐标原点建立如图空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
由，所以.
又平面，
所以为平面的一个法向量.
设平面的一个法向量为，
则由得，
即，取，则，，
因此，
所以，
故所求二面角的余弦值为.
22.【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由正弦定理得：
，
∴，
∵，∴
又∵，∴.
（2）由正弦定理得：∵，，
又由（1）知：，∴
∴
，
∵，∴，∴，
∴，∴.