江苏省南京市六校联合体2023-2024学年高二上学期期初联合调研数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 江苏省南京市六校联合体2023-2024学年高二上学期期初联合调研数学试题（含解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 918.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-30 21:16:56 | ||
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文档简介
2023-2024学年第一学期六校联合体期初联合调研
高二数学
一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.
1.直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2.已知直线：和直线：，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知直角梯形，且，，，，则过其中三点的圆的方程可以为（ ）
A. B.
C. D.
4.已知直线：，则点到直线距离的最大值为（ ）
A. B. C.5 D.10
5.设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A.若，，则 B.若，，则
C.若，，则 D.若，，，则
6.有5件工艺品，其中合格品2件，不合格品3件，从中任取2件，若事件的概率为，则事件可以是（ ）
A.恰有1件合格品 B.至少1件合格品
C.至多有1件合格品 D.都不是合格品
7.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为1，高为1的正四棱锥，所得棱台的体积为（ ）
A.18 B.21 C.54 D.63
8.设圆：与圆：，点，分别是，上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错得0分.
9.对于数据2，6，8，2，3，4，6，9，则这组数据的（ ）
A.极差为7 B.第25百分位数为2
C.平均数为5 D.方差为
10.设，为两个随机事件，以下命题正确的是（ ）
A.若，是对立事件，则
B.若，是互斥事件，，，则
C.若，，且，则，是独立事件
D.若，是独立事件，，，则
11.以下四个命题正确的是（ ）
A.若点在圆外，则实数的取值范围为
B.圆上有且仅有3个点到直线：的距离等于
C.圆：和圆：外离
D.设为实数，若直线与曲线恰有一个公共点，则
12.如图，点在正方体的面对角线上运动（点异于，点），则下列结论正确的是（ ）
A.异面直线与所成角为
B.平面
C.三棱锥的体积不变
D.直线与平面所成角正弦值的取值范围为
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把答案填涂在答题卡相应位置.
13.圆与圆外切，则实数______.
14.过直线和直线的交点，且斜率为的直线的一般式方程为______.
15.已知圆：，直线上点，过点作圆的两条切线，（其中，为切点），则四边形面积的最小值为______.
16.已知三棱锥的四个顶点在半径为的球面上，是边长为3的等边三角形，平面平面，平面平面，则______.
四、解答题：本大题共6个小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
17.全国爱卫办组织开展“地级市创卫工作”满意度调查工作.2023年2月14日-24日在网上进行问卷调查，该调查是国家卫生城市评审的重要依据，居民可根据自身实际感受，对所在市创卫工作作出客观、公正的评价.现随机抽取了100名居民的问卷进行评分统计，评分的频率分布直方图如图所示，数据分组依次为：，，，，，.
（1）求的值及这100名居民问卷评分的中位数；
（2）若根据各组频率的比例采用分层随机抽样的方法，从评分在和内的居民中共抽取7人，查阅他们的答卷情况，再从这7人中选取2人进行专项调查，求这2人中恰有1人评分在内的概率.
18.已知圆：，.
（1）过点作圆的切线，求直线的方程
（2）过点作直线与圆相交，所得弦长不小于，求直线的斜率的取值范围.
19.已知平面内两点，.
（1）求过点且与直线垂直的直线的方程.
（2）若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程.
20.如图，在四棱锥中，平面平面，，四边形为梯形，，，，，，，交于点，点在线段上，且.
（1）证明：平面.
（2）求二面角的正弦值.
21.某商场停车场临时停车按时段收费，收费标准为每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元（不足1小时的部分按1小时计算）.现有甲、乙两人在该商场临时停车，两人停车都不超过4小时.
（1）若甲停车1小时以上且不超过2小时的率为，停车付费多于14元的概率为，求甲临时停车付费恰为6元的概率；
（2）若甲、乙两人停车的时长不超过1小时的概率分别为，，停车1小时以上且不超过2小时的概率分别为，，停车2小时以上且不超过3小时的率分别为，，求甲乙两人停车付费相差16元的概率.
22.已知圆：和点，为圆外一点，直线与圆相切于点，.
（1）求点的轨迹方程；
（2）记（1）中的点的轨迹为，是否存在斜率为的直线，使以被曲线截得得弦为直径得圆过点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.
2023-2024学年第一学期六校联合体期初联合调研
高二数学
一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.
1.【答案】D
【解析】：设直线倾斜角为，由题意得直线的斜率为，，.
2.【答案】A
【解析】：当时，：与：平行；
若，则，解得或，所有是充分不必要条件.
3.【答案】：C
【解析】：当圆过、、三点时，的垂直平分线方程为，的垂直平分线方程为，，线段是直径，长为，圆的方程为.
4.【答案】：B
【解析】：直线线：过定点，当直线垂直于直线时，距离最大，此时最大值为.
5.【答案】：A
【解析】：对于B，若，，则或；
对于C，当，时，和位置关系不一定；
对于D，若，，，和位置关系不一定，也可以平行.
6.【答案】：C
【解析】：对于A，恰有1件合格品的概率为；
对于B，至少1件合格品的概率为；
对于C，至多有1件合格品的概率为；
对于D，都不是合格品的概率为.
7.【答案】：B
【解析】：如图所示，因为上下边长比为，所以，则棱台高，根据体积公式可得.
8.【答案】：C
【解析】：如图所示，由题意可知和的圆心坐标分别为、，半径，，，而直线与直线垂直，所以当与和共线时最小，此时，，所以最小值为.
二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错得0分.
9.【答案】：AC
【解析】：将题中数据进行从小到大排列：2，2，3，4，6，6，8，9
对于A，极差为7；
对于B，，所以第25百分位数为；
对于C，平均数为；
对于D，
10.【答案】：BCD
【解析】：对于A，若，是对立事件，则；
对于B，；
对于C，若，，则，，满足；
对于D，因为，是独立事件，所以，所以.
11.【答案】：ABD
【解析】：对于A，圆的标准方程为，因为点在圆外，所以点到圆心的距离，解得或，所以A对；
对于B，圆心到直线的距离，而圆的半径，所以有且仅有3个点到直线的距离等于；
对于C，圆的圆心坐标和半径为，，圆的圆心坐标和半径为，，圆心之间的距离，所以错误；
对于D，
如图所示，恰有一个公共点的时候，.
12.【答案】：BCD
【解析】：
对于A，异面直线与夹角为；
对于B，，，平面，
，同理可得平面，，平面；
对于C，为定值；
对于D，建立如图所示直角坐标系，设边长为1，设，，，，，，则，所以，平面的法向量为，直线与平面所成角正弦值为，因为，所以当时取得最大值，当时取得最小值为.
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把答案填涂在答题卡相应位置.
13.【答案】：±4
【解析】：因为两圆外切，则，解得.
14.【答案】：
【解析】：联立两直线方程解得交点坐标为，根据点斜式可得，所以一般式方程为.
15.【答案】：
【解析】：
当与直线垂直时面积最小，此时，半径，所以，则四边形面积的最小值为.
16.【答案】：4
【解析】：
取AB、AC中点为D、E，是等边三角形，，
平面平面，交线为，平面平面，交线为
平面，平面，，，平面.
在中，由正弦定理可得，外接球直径为，则.
四、解答题：本大题共6个小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
17.【答案】：（1）0.02 77.5 （2）
【解析】：（1）解得
因为，所以中位数在之间
设中位数为，则，
解得，所以中位数为77.5.
（2）评分在和的频率为0.1和0.25，
由分层抽样可得在中抽取2人，在中抽取5人，
所以2人中恰有1人评分在内的概率为.
18.【答案】：（1） （2）
【解析】：（1）点在圆上，设直线方程为，
因为相切，所以，
解得，
所以直线的方程为.
（2）由（1）的，设直线与圆交于，两点，
所以，
解得或者.
19.【答案】：（1） （2）或
【解析】：（1）由题意得，则直线的斜率为，
所以过点且与直线垂直的直线的方程为：，
即.
（2）的中点坐标为，
由（1）可知线段垂线的斜率为，所以线段垂直平分线的方程为，
即.
因为是以为顶点的等腰直角三角形，
所以点在直线上，
故设点为，
由可得：，
解得或，
所以点坐标为或，
则直线的方程为或.
20.【答案】：（1）见解析 （2）
【解析】：
（1）平面平面，交于，且，平面.
在中，，，.
且，是等腰直角三角形，
，.
，，
又，为等腰直角三角形，.
，，
又，，
平面.
（2）由（1）得平面，且，所以建立如图所示空间直角坐标系.
可得，，，
即，.
设平面的法向量为，则，
解得.
平面的法向量为.
设二面角为，所以，
则.
21.【答案】：（1） （2）
【解析】：（1）停车费多于14元，则停车时间超过2小时.
设“甲临时停车付费恰为6元”为事件，则.
（2）设甲停车付费元，乙停车付费元，由题意得.
则甲乙停车付费相差16元的情况有，，，共四种，
所以甲乙两人停车付费相差16元的概率为.
22.【答案】：（1） （2）或
【解析】：（1）设点坐标为，直线与圆相切于点，
则，所以，
即，
化简得.
（2）设直线方程为，点，.
联立方程，得，
所以.
因为以为直径得圆过点，则，
即，
化简得，
带入韦达定理得，
解得或，
故直线的方程为或.
高二数学
一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.
1.直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2.已知直线：和直线：，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知直角梯形，且，，，，则过其中三点的圆的方程可以为（ ）
A. B.
C. D.
4.已知直线：，则点到直线距离的最大值为（ ）
A. B. C.5 D.10
5.设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A.若，，则 B.若，，则
C.若，，则 D.若，，，则
6.有5件工艺品，其中合格品2件，不合格品3件，从中任取2件，若事件的概率为，则事件可以是（ ）
A.恰有1件合格品 B.至少1件合格品
C.至多有1件合格品 D.都不是合格品
7.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为1，高为1的正四棱锥，所得棱台的体积为（ ）
A.18 B.21 C.54 D.63
8.设圆：与圆：，点，分别是，上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错得0分.
9.对于数据2，6，8，2，3，4，6，9，则这组数据的（ ）
A.极差为7 B.第25百分位数为2
C.平均数为5 D.方差为
10.设，为两个随机事件，以下命题正确的是（ ）
A.若，是对立事件，则
B.若，是互斥事件，，，则
C.若，，且，则，是独立事件
D.若，是独立事件，，，则
11.以下四个命题正确的是（ ）
A.若点在圆外，则实数的取值范围为
B.圆上有且仅有3个点到直线：的距离等于
C.圆：和圆：外离
D.设为实数，若直线与曲线恰有一个公共点，则
12.如图，点在正方体的面对角线上运动（点异于，点），则下列结论正确的是（ ）
A.异面直线与所成角为
B.平面
C.三棱锥的体积不变
D.直线与平面所成角正弦值的取值范围为
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把答案填涂在答题卡相应位置.
13.圆与圆外切，则实数______.
14.过直线和直线的交点，且斜率为的直线的一般式方程为______.
15.已知圆：，直线上点，过点作圆的两条切线，（其中，为切点），则四边形面积的最小值为______.
16.已知三棱锥的四个顶点在半径为的球面上，是边长为3的等边三角形，平面平面，平面平面，则______.
四、解答题：本大题共6个小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
17.全国爱卫办组织开展“地级市创卫工作”满意度调查工作.2023年2月14日-24日在网上进行问卷调查，该调查是国家卫生城市评审的重要依据，居民可根据自身实际感受，对所在市创卫工作作出客观、公正的评价.现随机抽取了100名居民的问卷进行评分统计，评分的频率分布直方图如图所示，数据分组依次为：，，，，，.
（1）求的值及这100名居民问卷评分的中位数；
（2）若根据各组频率的比例采用分层随机抽样的方法，从评分在和内的居民中共抽取7人，查阅他们的答卷情况，再从这7人中选取2人进行专项调查，求这2人中恰有1人评分在内的概率.
18.已知圆：，.
（1）过点作圆的切线，求直线的方程
（2）过点作直线与圆相交，所得弦长不小于，求直线的斜率的取值范围.
19.已知平面内两点，.
（1）求过点且与直线垂直的直线的方程.
（2）若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程.
20.如图，在四棱锥中，平面平面，，四边形为梯形，，，，，，，交于点，点在线段上，且.
（1）证明：平面.
（2）求二面角的正弦值.
21.某商场停车场临时停车按时段收费，收费标准为每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元（不足1小时的部分按1小时计算）.现有甲、乙两人在该商场临时停车，两人停车都不超过4小时.
（1）若甲停车1小时以上且不超过2小时的率为，停车付费多于14元的概率为，求甲临时停车付费恰为6元的概率；
（2）若甲、乙两人停车的时长不超过1小时的概率分别为，，停车1小时以上且不超过2小时的概率分别为，，停车2小时以上且不超过3小时的率分别为，，求甲乙两人停车付费相差16元的概率.
22.已知圆：和点，为圆外一点，直线与圆相切于点，.
（1）求点的轨迹方程；
（2）记（1）中的点的轨迹为，是否存在斜率为的直线，使以被曲线截得得弦为直径得圆过点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.
2023-2024学年第一学期六校联合体期初联合调研
高二数学
一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.
1.【答案】D
【解析】：设直线倾斜角为，由题意得直线的斜率为，，.
2.【答案】A
【解析】：当时，：与：平行；
若，则，解得或，所有是充分不必要条件.
3.【答案】：C
【解析】：当圆过、、三点时，的垂直平分线方程为，的垂直平分线方程为，，线段是直径，长为，圆的方程为.
4.【答案】：B
【解析】：直线线：过定点，当直线垂直于直线时，距离最大，此时最大值为.
5.【答案】：A
【解析】：对于B，若，，则或；
对于C，当，时，和位置关系不一定；
对于D，若，，，和位置关系不一定，也可以平行.
6.【答案】：C
【解析】：对于A，恰有1件合格品的概率为；
对于B，至少1件合格品的概率为；
对于C，至多有1件合格品的概率为；
对于D，都不是合格品的概率为.
7.【答案】：B
【解析】：如图所示，因为上下边长比为，所以，则棱台高，根据体积公式可得.
8.【答案】：C
【解析】：如图所示，由题意可知和的圆心坐标分别为、，半径，，，而直线与直线垂直，所以当与和共线时最小，此时，，所以最小值为.
二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错得0分.
9.【答案】：AC
【解析】：将题中数据进行从小到大排列：2，2，3，4，6，6，8，9
对于A，极差为7；
对于B，，所以第25百分位数为；
对于C，平均数为；
对于D，
10.【答案】：BCD
【解析】：对于A，若，是对立事件，则；
对于B，；
对于C，若，，则，，满足；
对于D，因为，是独立事件，所以，所以.
11.【答案】：ABD
【解析】：对于A，圆的标准方程为，因为点在圆外，所以点到圆心的距离，解得或，所以A对；
对于B，圆心到直线的距离，而圆的半径，所以有且仅有3个点到直线的距离等于；
对于C，圆的圆心坐标和半径为，，圆的圆心坐标和半径为，，圆心之间的距离，所以错误；
对于D，
如图所示，恰有一个公共点的时候，.
12.【答案】：BCD
【解析】：
对于A，异面直线与夹角为；
对于B，，，平面，
，同理可得平面，，平面；
对于C，为定值；
对于D，建立如图所示直角坐标系，设边长为1，设，，，，，，则，所以，平面的法向量为，直线与平面所成角正弦值为，因为，所以当时取得最大值，当时取得最小值为.
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把答案填涂在答题卡相应位置.
13.【答案】：±4
【解析】：因为两圆外切，则，解得.
14.【答案】：
【解析】：联立两直线方程解得交点坐标为，根据点斜式可得，所以一般式方程为.
15.【答案】：
【解析】：
当与直线垂直时面积最小，此时，半径，所以，则四边形面积的最小值为.
16.【答案】：4
【解析】：
取AB、AC中点为D、E，是等边三角形，，
平面平面，交线为，平面平面，交线为
平面，平面，，，平面.
在中，由正弦定理可得，外接球直径为，则.
四、解答题：本大题共6个小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
17.【答案】：（1）0.02 77.5 （2）
【解析】：（1）解得
因为，所以中位数在之间
设中位数为，则，
解得，所以中位数为77.5.
（2）评分在和的频率为0.1和0.25，
由分层抽样可得在中抽取2人，在中抽取5人，
所以2人中恰有1人评分在内的概率为.
18.【答案】：（1） （2）
【解析】：（1）点在圆上，设直线方程为，
因为相切，所以，
解得，
所以直线的方程为.
（2）由（1）的，设直线与圆交于，两点，
所以，
解得或者.
19.【答案】：（1） （2）或
【解析】：（1）由题意得，则直线的斜率为，
所以过点且与直线垂直的直线的方程为：，
即.
（2）的中点坐标为，
由（1）可知线段垂线的斜率为，所以线段垂直平分线的方程为，
即.
因为是以为顶点的等腰直角三角形，
所以点在直线上，
故设点为，
由可得：，
解得或，
所以点坐标为或，
则直线的方程为或.
20.【答案】：（1）见解析 （2）
【解析】：
（1）平面平面，交于，且，平面.
在中，，，.
且，是等腰直角三角形，
，.
，，
又，为等腰直角三角形，.
，，
又，，
平面.
（2）由（1）得平面，且，所以建立如图所示空间直角坐标系.
可得，，，
即，.
设平面的法向量为，则，
解得.
平面的法向量为.
设二面角为，所以，
则.
21.【答案】：（1） （2）
【解析】：（1）停车费多于14元，则停车时间超过2小时.
设“甲临时停车付费恰为6元”为事件，则.
（2）设甲停车付费元，乙停车付费元，由题意得.
则甲乙停车付费相差16元的情况有，，，共四种，
所以甲乙两人停车付费相差16元的概率为.
22.【答案】：（1） （2）或
【解析】：（1）设点坐标为，直线与圆相切于点，
则，所以，
即，
化简得.
（2）设直线方程为，点，.
联立方程，得，
所以.
因为以为直径得圆过点，则，
即，
化简得，
带入韦达定理得，
解得或，
故直线的方程为或.
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