浙江省宁波市五校联盟2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2024高二下·宁波期中） 设全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二下·宁波期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二下·宁波期中）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二下·宁波期中）已知函数（，）的部分图象如图所示，是等腰直角三角形，A，B为图象与x轴的交点，C为图象上的最高点，且，则（ ）
A．
B．
C．在上单调递减
D．函数的图象关于点中心对称
5．（2024高二下·宁波期中）下列图像中，不可能成为函数的图像的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高二下·宁波期中）某人外出，委托邻居给家里盆栽浇一次水，若不浇水，盆栽枯萎的概率为0.8；若浇水，盆栽枯萎的概率为0.2．若邻居浇水的概率为P，该人回来盆栽没有枯萎的概率为0.74，则实数P的值为（ ）
A．0.9 B．0.85 C．0.8 D．0.75
7．（2024高二下·宁波期中）函数的零点为，函数的零点为，若，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·宁波期中）已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分）
9．（2024高二下·宁波期中）函数，，用表示，中的较大者，记为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．，
C．有最大值 D．最小值为0
10．（2024高二下·宁波期中）下列关于排列组合数的说法正确的是（ ）
A．
B．
C．已知，则等式对，恒成立
D．，则x除以10的余数为6
11．（2024高二下·宁波期中）投掷一枚质地均匀的硬币，规定抛出正面得2分，抛出反面得1分，记投掷若干次后，得n分的概率为，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．当时， D．当时，
三、填空题（本大题共3小题，每题5分，共15分，其中第13题第（1）空2分，第（2）空3分）
12．（2024高二下·宁波期中）已知，，则 ．
13．（2024高二下·宁波期中）已知正实数a，b，c，，则的最大值为 ，的最小值为 ．
14．（2024高二下·宁波期中）某景区内有如图所示的一个花坛，此花坛有9个区域需栽种植物，要求同一区域中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，且圆环的3个区域种植绿色植物，中间的6个扇形区域种植鲜花．现有3种不同的绿色植物和3种不同的鲜花可供选择，则不同的栽种方案共有 种．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（2024高二下·宁波期中）已知集合，非空集合．
（1）当时，求；
（2）若是的必要条件，求m的取值范围．
16．（2024高二下·宁波期中）函数．
（1）若的定义域为R，求实数a的取值范围；
（2）方程在区间上有解，求实数a的取值范围．
17．（2024高二下·宁波期中） 已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）解不等式；
（3）函数的图象依次经过三次变换：①向左平移个单位长度，②纵坐标不变，横坐标变为原来的，③关于轴对称，得到函数的图象，求图象在轴右侧第二个对称中心的坐标．
18．（2024高二下·宁波期中）设a，，函数，，．
（1）若为偶函数，求b的值；
（2）当时，若，在上均单调递增，求a的取值范围；
（3）设，若对任意，都有，求的最大值．
19．（2024高二下·宁波期中）斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…，在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：，，（，），已知，则集合A中的元素个数可表示为，又有且．
（1）求集合A中奇数元素的个数，不需说明理由；并求出集合B中所有元素之积为奇数的概率；
（2）求集合B中所有元素之和为奇数的概率．
（3）取其中的6个数1，2，3，5，13，21，任意排列，若任意相邻三数之和都不能被3整除，求这样的排列的个数．（如排列1，2，3，5，13，21中，相邻三数如“1，2，3”（“3，5，13”、“5，13，21”），和能被3整除，则此排列不合题意）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：，，则，又因为，所以.
故答案为：C.
【分析】根据集合的交并补运算即可得解.
2．【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
则，解得，则函数的定义域为.
故答案为：C.
【分析】根据抽象函数求定义域的方法求解即可.
3．【答案】D
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】解：根据式子结构，构造函数，
则，
令，则，令，得，
因此在单调递增，在单调递减，
而，，
因为，所以.
故选：D
【分析】本题考查利用函数的单调性比较大小.根据式子结构，构造函数，求出导函数，根据导函数的正负，可判断函数的单调性，根据单调性可比较出a，b，c的大小.
4．【答案】D
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：由为等腰直角三角形，为图象上的最高点，且点的纵坐标为1，则，
故函数的周期为4，由，，解得，
因为，所以，则，
将点代入，得，
则，，又因为，所以，所以，
A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、若，则，显然函数不是单调的，故C错误；
D、，
所以函数的图象关于点中心对称，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据为图象上的最高点，且点的纵坐标为1，为等腰直角三角形可以求出，求出周期，利用周期公式求出，将点代入即可求出，从而确定函数解析式，再逐项分析判断即可.
5．【答案】C
【知识点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数的定义域为，求导可得，
当时，无解，且，
此时在，单调递增，故D符合；
当时，有两个解，，且，
此时在区间，单调递增，故B符合；
当时，，当时，易知，时， ，
所以函数图象不可能是C.
故答案为：C.
【分析】利用导数讨论函数的单调性以及函数值的正负判断即可.
6．【答案】A
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：记“盆栽没有枯萎”的事件为，“邻居给盆栽浇水”的事件为W，
由题意，可得，
由对立事件的概率公式可得：.
由全概率公式可得，
解得
故答案为：A.
【分析】根据已知条件，利用全概率公式列式，求解计算即可.
7．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：函数的定义域为，易得函数在上单调递增，
因为，，
所以函数在上存在唯一零点，即，
又因为，，所以，
即，
因为，所以，
则和这两个函数均单调递增，
所以，即，
所以，又，即，
所以，即，所以.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件，由函数零点的性质可得到，再结合简单复合函数的单调性求解即可.
8．【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：函数的定义域为，令定义域为，
且满足，故函数为奇函数，则关于原点对称，
所以关于对称，则，
则在定义域上单调递增，在上单调递减，所以在定义域上单调递减，则在定义域上单调递减，
则不等式，即，所以，
则，解得，即实数的取值范围是.
故答案为：B.
【分析】令，利用函数的奇偶性定义即可判断为奇函数，从而得到关于对称，则，再判断的单调性，由对称性将不等式化为，再利用单调性列不等式，求解即可.
9．【答案】B,D
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：，因此，A选项错误；
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，时，，，因此时，，B选项正确；
的值域为，，故，所以的最小值为，不存在最大值，C选项错误，D选项正确.
故答案为：BD.
【分析】本题考查分段函数及函数单调性的应用，本题转化为分段函数求出的解析式，根据解析式结合二次函数及一次函数的单调性确定各自的选项即可解出本题
10．【答案】A,B,C
【知识点】数列的求和；组合及组合数公式；二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：A、，故A正确；
B、因为的展开式为，
所以，
故的展开式的的系数为，又因为，
则，
同理的展开式为，
即的展开式的的系数为，由于，
所以，令，就有，故B正确；
C、若，则，故C正确；
D、因为，
所以，
所以，
而是一些正整数的乘积，且里面含有10，
所以的个位数字是0，所以x除以10的余数为9，不是6，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】根据组合数性质计算即可判断A；通过对比二项展开式的系数即可得恒等式，即可判断B；根据组合数的公式即可证明C；通过对通项变形，采用裂项求和的方法得，即可判断D.
11．【答案】A,C,D
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：A、由题意可知：第一次投掷出现反面，则，故A正确；
B、得2分的事件为：投掷1次出现正面或投掷2次都出现反面，故，故B错误；
C、当时，得n分的事件，可以在得分后投掷出现反面，
也可以是在得分后投掷出现正面，因此，故C正确；
D、由C可知，当时，，则，
因此数列是常数列，，即，
所以当时，，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据已知条件，利用相互独立事件、互斥事件的概率，逐项分析计算即可.
12．【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：由，则，
因为，所以，
所以.
故答案为：.
【分析】由题意，根据同角三角函数基本关系求得，再根据诱导公式计算即可.
13．【答案】；
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为，且，所以，
当且仅当时等号成立，故的最大值为；
因为，且，所以，
则，
而，当且仅当 ，即 时取等号，
故，
当且仅当时，即时等号成立，故的最小值为.
故答案为：；.
【分析】由题意，利用基本不等式直接求最大值即可；由变形为，再将变形为，利用基本不等式整理为，最后再利用基本不等式求解即可.
14．【答案】396
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：将六个扇形区域标号为1到6，如图所示：
若1和3种植的鲜花相同，先种植区域和，有种；再种植区域和，共有6种；最后种植圆环区域，共有种，
按照分步乘法计数原理知，共有种；
第二类：若1和3种植的鲜花不相同，此时先种植区域和，有种；再种植区域和，共有种；最后种植圆环区域，共有种，按照分步乘法计数原理知，
共有种；
按照分类加法计数原理得：共有种.
故答案为：396.
【分析】先按扇形区域中不相邻的两个区域是否是同种鲜花分类，每一类情况下分步完成求解即可.
15．【答案】（1）解：集合，即，
当时，集合，故．
（2）解：由是的必要条件，可得，
所以，即，
所以，即，故的取值范围为．
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交集及其运算；必要条件
【解析】【分析】（1）根据已知条件，解不等式求得集合和，再根据集合的交集运算求解即可；
（2）根据已知可得是的子集，列不等式组求解即可.
16．【答案】（1）解：令，因为函数的定义域为R，所以函数对恒成立，
所以方程无实数解，即，解得，故实数a的取值范围为．
（2）解：方程在区间上有解，等价于方程在区间上有解，
即命题，使得，
则命题，使得恒成立，或恒成立．
①对恒成立，或②对恒成立，
设，，
则在上单调递减，在上单调递增，
则，即或，
所以原命题．
【知识点】复合函数的单调性；函数恒成立问题；对数函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）令，由题意可得函数在上恒成立，只需方程无实数解，即判别式小于0列式求解即可；
（2）把问题转化为①对恒成立，或②对恒成立，然后利用换元法和复合函数的单调性求最值即可.
17．【答案】（1）解：因为
，
令，，
解得，，
函数的单调递增区间为，．
（2）解：不等式，
即，
又
，
则，
所以，，
解得，，
所以不等式的解集为，．
（3）解：将向左平移个单位长度得到，
再将的纵坐标不变，横坐标变为原来的得到，
最后将关于轴对称得到，
令，，解得，，
所以的对称中心坐标为，，
当为，当为，当为，
在轴右侧第二个对称中心的坐标为．
【知识点】两角和与差的正弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的单调性；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用两角和的正弦余弦公式、辅助角公式化简函数解析式，再根据正弦函数的性质计算即可；
（2）结合（1）可得，又，结合诱导公式及正弦函数的性质计算即可得解；
（3）首先根据三角函数的伸缩变换规则得到的解析式，再根据正弦函数的性质计算可得.
18．【答案】（1）解：因为为偶函数，所以对任意，都有，
则，即，则；
（2）解：在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
则，解得．
（3）解：对，恒成立，，恒成立，
且恒成立，
设，，
则对，，，，
由可知，，，
所以，即，由可得，
所以，所以，
当且仅当，时等号成立，故的最大值为．
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数的奇偶性；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）根据函数为偶函数得到，列式计算即可；
（2）根据函数的单调性可得，解不等式组即可；
（3）问题转化为，且恒成立，解得，计算最值即可.
19．【答案】（1）解：对于数列中的连续3项，，，由，
可得，即必为偶数，
则连续3项，，全为偶数，或为1个偶数2个奇数，
又由为偶数，可得与同奇同偶，
可知数列奇偶项分布为1偶2奇，
记A中奇数元素的个数为m，则，
集合B中所有元素之积为奇数，则B中所有元素为奇数，
设A中所有的奇数元素的集合为C，，且，
则集合B的元素组成情况，即集合C的非空子集共有种，
设事件M：B中所有元素之积为奇数，则．
（2）解：设事件N：B中所有元素之和为奇数，
设A中所有的偶数元素的集合为D．B中所有的偶数元素的集合为F，B中所有的奇数元素的集合为E，
则，，，，且为奇数，
则集合B中的偶数元素的组成情况，即F的情况有种，
则集合B中的奇数元素的组成情况，即E的情况有种，
则．
（3）解：1，13除以3的余数为1，记为，；
2.5除以3的余数为2，记为，；
3，21能被3整除，记为，，
由条件可知，不能连续排列，
①，，，，，各自捆绑，则有种排列方案；
②其中2组捆绑，1组分散，以，，，捆绑为例，则仅有或方案，
则有种方案；
③其中1组捆绑，2组分散，以，捆玤为例，在中插空，则必会出现连续，
即相邻3项和被3整除，不合题意；
④3组均分散，则必有连续排列，不合题意，
综上，共有种方案．
【知识点】元素与集合的关系；集合间关系的判断；古典概型及其概率计算公式；分类加法计数原理；组合及组合数公式
【解析】【分析】（1）根据已知条件，可得必为偶数，得出连续3项，，全为偶数，或为1个偶数2个奇数，得到数列奇偶项分布为1偶2奇，记A中奇数元素的个数为m，求得，结合集合C的非空子集共有种，即可求得相应的概率；
（2）设事件N：B中所有元素之和为奇数，A中所有的偶数元素的集合为D，B中所有的偶数元素的集合为F，B中所有的奇数元素的集合为E，分别求得中的种数，即可求得相应的概率；
（3）根据题意，得到不能连续排列，分，，，，，各自捆绑，2组捆绑，1组分散，1组捆绑，2组分散，以及3组均分散，四种情况，结合分类计数原理求解即可.
1 / 1浙江省宁波市五校联盟2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2024高二下·宁波期中） 设全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：，，则，又因为，所以.
故答案为：C.
【分析】根据集合的交并补运算即可得解.
2．（2024高二下·宁波期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
则，解得，则函数的定义域为.
故答案为：C.
【分析】根据抽象函数求定义域的方法求解即可.
3．（2024高二下·宁波期中）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】解：根据式子结构，构造函数，
则，
令，则，令，得，
因此在单调递增，在单调递减，
而，，
因为，所以.
故选：D
【分析】本题考查利用函数的单调性比较大小.根据式子结构，构造函数，求出导函数，根据导函数的正负，可判断函数的单调性，根据单调性可比较出a，b，c的大小.
4．（2024高二下·宁波期中）已知函数（，）的部分图象如图所示，是等腰直角三角形，A，B为图象与x轴的交点，C为图象上的最高点，且，则（ ）
A．
B．
C．在上单调递减
D．函数的图象关于点中心对称
【答案】D
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：由为等腰直角三角形，为图象上的最高点，且点的纵坐标为1，则，
故函数的周期为4，由，，解得，
因为，所以，则，
将点代入，得，
则，，又因为，所以，所以，
A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、若，则，显然函数不是单调的，故C错误；
D、，
所以函数的图象关于点中心对称，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据为图象上的最高点，且点的纵坐标为1，为等腰直角三角形可以求出，求出周期，利用周期公式求出，将点代入即可求出，从而确定函数解析式，再逐项分析判断即可.
5．（2024高二下·宁波期中）下列图像中，不可能成为函数的图像的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数的定义域为，求导可得，
当时，无解，且，
此时在，单调递增，故D符合；
当时，有两个解，，且，
此时在区间，单调递增，故B符合；
当时，，当时，易知，时， ，
所以函数图象不可能是C.
故答案为：C.
【分析】利用导数讨论函数的单调性以及函数值的正负判断即可.
6．（2024高二下·宁波期中）某人外出，委托邻居给家里盆栽浇一次水，若不浇水，盆栽枯萎的概率为0.8；若浇水，盆栽枯萎的概率为0.2．若邻居浇水的概率为P，该人回来盆栽没有枯萎的概率为0.74，则实数P的值为（ ）
A．0.9 B．0.85 C．0.8 D．0.75
【答案】A
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：记“盆栽没有枯萎”的事件为，“邻居给盆栽浇水”的事件为W，
由题意，可得，
由对立事件的概率公式可得：.
由全概率公式可得，
解得
故答案为：A.
【分析】根据已知条件，利用全概率公式列式，求解计算即可.
7．（2024高二下·宁波期中）函数的零点为，函数的零点为，若，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：函数的定义域为，易得函数在上单调递增，
因为，，
所以函数在上存在唯一零点，即，
又因为，，所以，
即，
因为，所以，
则和这两个函数均单调递增，
所以，即，
所以，又，即，
所以，即，所以.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件，由函数零点的性质可得到，再结合简单复合函数的单调性求解即可.
8．（2024高二下·宁波期中）已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：函数的定义域为，令定义域为，
且满足，故函数为奇函数，则关于原点对称，
所以关于对称，则，
则在定义域上单调递增，在上单调递减，所以在定义域上单调递减，则在定义域上单调递减，
则不等式，即，所以，
则，解得，即实数的取值范围是.
故答案为：B.
【分析】令，利用函数的奇偶性定义即可判断为奇函数，从而得到关于对称，则，再判断的单调性，由对称性将不等式化为，再利用单调性列不等式，求解即可.
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分）
9．（2024高二下·宁波期中）函数，，用表示，中的较大者，记为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．，
C．有最大值 D．最小值为0
【答案】B,D
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：，因此，A选项错误；
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，时，，，因此时，，B选项正确；
的值域为，，故，所以的最小值为，不存在最大值，C选项错误，D选项正确.
故答案为：BD.
【分析】本题考查分段函数及函数单调性的应用，本题转化为分段函数求出的解析式，根据解析式结合二次函数及一次函数的单调性确定各自的选项即可解出本题
10．（2024高二下·宁波期中）下列关于排列组合数的说法正确的是（ ）
A．
B．
C．已知，则等式对，恒成立
D．，则x除以10的余数为6
【答案】A,B,C
【知识点】数列的求和；组合及组合数公式；二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：A、，故A正确；
B、因为的展开式为，
所以，
故的展开式的的系数为，又因为，
则，
同理的展开式为，
即的展开式的的系数为，由于，
所以，令，就有，故B正确；
C、若，则，故C正确；
D、因为，
所以，
所以，
而是一些正整数的乘积，且里面含有10，
所以的个位数字是0，所以x除以10的余数为9，不是6，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】根据组合数性质计算即可判断A；通过对比二项展开式的系数即可得恒等式，即可判断B；根据组合数的公式即可证明C；通过对通项变形，采用裂项求和的方法得，即可判断D.
11．（2024高二下·宁波期中）投掷一枚质地均匀的硬币，规定抛出正面得2分，抛出反面得1分，记投掷若干次后，得n分的概率为，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．当时， D．当时，
【答案】A,C,D
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：A、由题意可知：第一次投掷出现反面，则，故A正确；
B、得2分的事件为：投掷1次出现正面或投掷2次都出现反面，故，故B错误；
C、当时，得n分的事件，可以在得分后投掷出现反面，
也可以是在得分后投掷出现正面，因此，故C正确；
D、由C可知，当时，，则，
因此数列是常数列，，即，
所以当时，，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据已知条件，利用相互独立事件、互斥事件的概率，逐项分析计算即可.
三、填空题（本大题共3小题，每题5分，共15分，其中第13题第（1）空2分，第（2）空3分）
12．（2024高二下·宁波期中）已知，，则 ．
【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：由，则，
因为，所以，
所以.
故答案为：.
【分析】由题意，根据同角三角函数基本关系求得，再根据诱导公式计算即可.
13．（2024高二下·宁波期中）已知正实数a，b，c，，则的最大值为 ，的最小值为 ．
【答案】；
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为，且，所以，
当且仅当时等号成立，故的最大值为；
因为，且，所以，
则，
而，当且仅当 ，即 时取等号，
故，
当且仅当时，即时等号成立，故的最小值为.
故答案为：；.
【分析】由题意，利用基本不等式直接求最大值即可；由变形为，再将变形为，利用基本不等式整理为，最后再利用基本不等式求解即可.
14．（2024高二下·宁波期中）某景区内有如图所示的一个花坛，此花坛有9个区域需栽种植物，要求同一区域中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，且圆环的3个区域种植绿色植物，中间的6个扇形区域种植鲜花．现有3种不同的绿色植物和3种不同的鲜花可供选择，则不同的栽种方案共有 种．
【答案】396
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：将六个扇形区域标号为1到6，如图所示：
若1和3种植的鲜花相同，先种植区域和，有种；再种植区域和，共有6种；最后种植圆环区域，共有种，
按照分步乘法计数原理知，共有种；
第二类：若1和3种植的鲜花不相同，此时先种植区域和，有种；再种植区域和，共有种；最后种植圆环区域，共有种，按照分步乘法计数原理知，
共有种；
按照分类加法计数原理得：共有种.
故答案为：396.
【分析】先按扇形区域中不相邻的两个区域是否是同种鲜花分类，每一类情况下分步完成求解即可.
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（2024高二下·宁波期中）已知集合，非空集合．
（1）当时，求；
（2）若是的必要条件，求m的取值范围．
【答案】（1）解：集合，即，
当时，集合，故．
（2）解：由是的必要条件，可得，
所以，即，
所以，即，故的取值范围为．
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交集及其运算；必要条件
【解析】【分析】（1）根据已知条件，解不等式求得集合和，再根据集合的交集运算求解即可；
（2）根据已知可得是的子集，列不等式组求解即可.
16．（2024高二下·宁波期中）函数．
（1）若的定义域为R，求实数a的取值范围；
（2）方程在区间上有解，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：令，因为函数的定义域为R，所以函数对恒成立，
所以方程无实数解，即，解得，故实数a的取值范围为．
（2）解：方程在区间上有解，等价于方程在区间上有解，
即命题，使得，
则命题，使得恒成立，或恒成立．
①对恒成立，或②对恒成立，
设，，
则在上单调递减，在上单调递增，
则，即或，
所以原命题．
【知识点】复合函数的单调性；函数恒成立问题；对数函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）令，由题意可得函数在上恒成立，只需方程无实数解，即判别式小于0列式求解即可；
（2）把问题转化为①对恒成立，或②对恒成立，然后利用换元法和复合函数的单调性求最值即可.
17．（2024高二下·宁波期中） 已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）解不等式；
（3）函数的图象依次经过三次变换：①向左平移个单位长度，②纵坐标不变，横坐标变为原来的，③关于轴对称，得到函数的图象，求图象在轴右侧第二个对称中心的坐标．
【答案】（1）解：因为
，
令，，
解得，，
函数的单调递增区间为，．
（2）解：不等式，
即，
又
，
则，
所以，，
解得，，
所以不等式的解集为，．
（3）解：将向左平移个单位长度得到，
再将的纵坐标不变，横坐标变为原来的得到，
最后将关于轴对称得到，
令，，解得，，
所以的对称中心坐标为，，
当为，当为，当为，
在轴右侧第二个对称中心的坐标为．
【知识点】两角和与差的正弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的单调性；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用两角和的正弦余弦公式、辅助角公式化简函数解析式，再根据正弦函数的性质计算即可；
（2）结合（1）可得，又，结合诱导公式及正弦函数的性质计算即可得解；
（3）首先根据三角函数的伸缩变换规则得到的解析式，再根据正弦函数的性质计算可得.
18．（2024高二下·宁波期中）设a，，函数，，．
（1）若为偶函数，求b的值；
（2）当时，若，在上均单调递增，求a的取值范围；
（3）设，若对任意，都有，求的最大值．
【答案】（1）解：因为为偶函数，所以对任意，都有，
则，即，则；
（2）解：在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
则，解得．
（3）解：对，恒成立，，恒成立，
且恒成立，
设，，
则对，，，，
由可知，，，
所以，即，由可得，
所以，所以，
当且仅当，时等号成立，故的最大值为．
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数的奇偶性；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）根据函数为偶函数得到，列式计算即可；
（2）根据函数的单调性可得，解不等式组即可；
（3）问题转化为，且恒成立，解得，计算最值即可.
19．（2024高二下·宁波期中）斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…，在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：，，（，），已知，则集合A中的元素个数可表示为，又有且．
（1）求集合A中奇数元素的个数，不需说明理由；并求出集合B中所有元素之积为奇数的概率；
（2）求集合B中所有元素之和为奇数的概率．
（3）取其中的6个数1，2，3，5，13，21，任意排列，若任意相邻三数之和都不能被3整除，求这样的排列的个数．（如排列1，2，3，5，13，21中，相邻三数如“1，2，3”（“3，5，13”、“5，13，21”），和能被3整除，则此排列不合题意）
【答案】（1）解：对于数列中的连续3项，，，由，
可得，即必为偶数，
则连续3项，，全为偶数，或为1个偶数2个奇数，
又由为偶数，可得与同奇同偶，
可知数列奇偶项分布为1偶2奇，
记A中奇数元素的个数为m，则，
集合B中所有元素之积为奇数，则B中所有元素为奇数，
设A中所有的奇数元素的集合为C，，且，
则集合B的元素组成情况，即集合C的非空子集共有种，
设事件M：B中所有元素之积为奇数，则．
（2）解：设事件N：B中所有元素之和为奇数，
设A中所有的偶数元素的集合为D．B中所有的偶数元素的集合为F，B中所有的奇数元素的集合为E，
则，，，，且为奇数，
则集合B中的偶数元素的组成情况，即F的情况有种，
则集合B中的奇数元素的组成情况，即E的情况有种，
则．
（3）解：1，13除以3的余数为1，记为，；
2.5除以3的余数为2，记为，；
3，21能被3整除，记为，，
由条件可知，不能连续排列，
①，，，，，各自捆绑，则有种排列方案；
②其中2组捆绑，1组分散，以，，，捆绑为例，则仅有或方案，
则有种方案；
③其中1组捆绑，2组分散，以，捆玤为例，在中插空，则必会出现连续，
即相邻3项和被3整除，不合题意；
④3组均分散，则必有连续排列，不合题意，
综上，共有种方案．
【知识点】元素与集合的关系；集合间关系的判断；古典概型及其概率计算公式；分类加法计数原理；组合及组合数公式
【解析】【分析】（1）根据已知条件，可得必为偶数，得出连续3项，，全为偶数，或为1个偶数2个奇数，得到数列奇偶项分布为1偶2奇，记A中奇数元素的个数为m，求得，结合集合C的非空子集共有种，即可求得相应的概率；
（2）设事件N：B中所有元素之和为奇数，A中所有的偶数元素的集合为D，B中所有的偶数元素的集合为F，B中所有的奇数元素的集合为E，分别求得中的种数，即可求得相应的概率；
（3）根据题意，得到不能连续排列，分，，，，，各自捆绑，2组捆绑，1组分散，1组捆绑，2组分散，以及3组均分散，四种情况，结合分类计数原理求解即可.
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