河北省衡水市重点中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题
一、单项选择题（共6小题，每小题6分，共36分。）
1．（2024高一下·衡水开学考） 不等式的解集为（ ）
A． B．或
C． D．或
2．（2024高一下·衡水开学考）必存在零点的区间是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高一下·衡水开学考） 已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如下图所示，则的值为（ ）
x 1 2 3
4 3
A． B．0 C．4 D．3
4．（2024高一下·衡水开学考）已知集合，则集合中元素的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2024高一下·衡水开学考）已知扇形的周长是，面积是，则扇形的中心角的弧度数是（ ）
A．1 B．4 C．1或4 D．9
6．（2024高一下·衡水开学考）已知 ，若不等式 恒成立，则 的最大值为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
二、多项选择题（共4小题，每小题6分，共24分，部分3分错选0分。）
7．（2024高一下·衡水开学考）若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高一下·衡水开学考）已知函数，则关于的说法正确的有（ ）
A．定义域为 B．在上单调递减
C．值域为 D．零点为
9．（2024高一下·衡水开学考）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024高一下·衡水开学考）对于函数定义域中任意的，有如下结论，当时，则上述结论中正确结论的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题（共2小题，每小题5分，共10分。）
11．（2024高一下·衡水开学考）函数 的定义域为 .
12．（2024高一下·衡水开学考）已知函数（且），则其必过定点坐标为 ．
四、解答题（共3小题，每小题10分，共30分，写出必要的步骤和文字说明。）
13．（2024高一下·衡水开学考）已知集合.
（1）若，求；
（2）若“”是“”成立的必要条件，求实数的取值范围.
14．（2024高一下·衡水开学考）（1）已知，在第二象限，求，的值；
（2）已知，求的值；
15．（2024高一下·衡水开学考）已知函数
（1）判断的单调性，并说明理由
（2）判断的奇偶性，并用定义法证明
（3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：由 ，即，解得 或，
所以 不等式的解集为或 .
故答案为：B.
【分析】根据一元二次不等式运算求解.
2．【答案】A
【知识点】指数函数的图象与性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：令，则，
即的零点即为与的交点横坐标，
如图所示，
有图像可知：与在内有交点，在，和内无交点，
所以在内必存在零点，其它区间无零点.
故答案为：C.
【分析】由题意分析可知：的零点即为与的交点横坐标，结合图象分析判断.
3．【答案】C
【知识点】函数的概念及其构成要素；函数的表示方法
【解析】【解答】解：由题意可知：.
故答案为：C.
【分析】根据函数 的函数图象和 的对应关系 分析求解.
4．【答案】C
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【解答】由集合，，
根据，
所以，
所以中元素的个数是3.
故答案为：C
【分析】根据，所以，即可得解.
5．【答案】C
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：设扇形的半径为r，圆心角为，
由题意可得：，解得或，
所以扇形的中心角的弧度数是1或4 .
故答案为：C.
【分析】根据扇形弧长、面积公式列式求解.
6．【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
所以 恒成立，只需
因为 ，
所以 ，
当且仅当 时，即 时取等号.所以 .即 的最大值为16.
故答案为：D
【分析】由已知条件即可得出恒成立，只需 ，再整理化简原式，然后由基本不等式求出，由此得到m的取值范围，从而求出m的最大值。
7．【答案】B,D
【知识点】指数函数单调性的应用；对数函数的单调性与特殊点；不等式的基本性质
【解析】【解答】当时，则，而，又因为，
∴A，C不正确；
∵，都是上单调递增函数，
∴B，D是正确的.
故答案为：BD.
【分析】利用已知条件结合特殊值法和不等式的基本性质，进而找出不等式一定成立的选项。
8．【答案】C,D
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域；复合函数的单调性；对数函数的单调性与特殊点；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：对于A：令，解得或，
所以的定义域为，故A错误；
对于B：因为在内单调递增，且在定义域内单调递增，
由复合函数的单调性可知在上单调递增，故B错误；
对于C：因为，则能取到所有的正实数，
所以函数的值域为，故C正确；
对于D：令，则，解得，故D正确.
故答案为：CD
【分析】对于A：根据对数函数定义域分析判断；对于B：根据符合函数单调性分析判断；对于C：根据对数函数值域分析判断；对于D：令求解即可.
9．【答案】A,C
【知识点】同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】，则，
，A符合题意；
，B不符合题意；
，C符合题意；
，D不符合题意；
故答案为：AC.
【分析】使用诱导公式化简，用同角三角函数关系求值.
10．【答案】B,C
【知识点】对数的性质与运算法则；对数函数的概念与表示
【解析】【解答】解：对于AD：例如，则，，
即 ， 不成立， 故AD错误；
对于B：因为，所以 ，故B正确；
对于C：因为 等价于 在定义域内单调递增，
显然 在定义域内单调递增，所以，故C正确；
故答案为：BC.
【分析】对于AD：举反例说明即可；对于B：根据对数运算分析求解；对于C：根据函数单调性分析判断.
11．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：令，解得，
所以函数 的定义域为.
故答案为：.
【分析】根据分式、根式的性质分析求解.
12．【答案】
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：令，解得，则 ，
所以 必过定点坐标为.
故答案为：.
【分析】根据题意结合对数函数性质分析求解.
13．【答案】（1）解：因为当时，，
所以.
（2）解：因为“”是“”成立的必要条件，所以，
当时，，，满足；
当时，，
因为，所以；
综上，实数的取值范围为.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；充分条件；必要条件
【解析】【分析】 (1) 当时，，结合集合的并集运算求解；
(2) 由题意可知，分和两种情况，结合包含关系分析求解.
14．【答案】（1）解：∵，在第二象限，
∴，；
（2）解：由，
所以.
【知识点】同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】 (1) 根据同角三角关系分析求解，注意象限角的三角函数值的符号；
(2) 根据题意结合齐次式问题分析求解.
15．【答案】（1）解：定义域为，设任意，，且
，所以
所以函数在上为增函数
（2）证明：由题意可知： 的定义域为R，
，，
函数为奇函数
（3）解：
所以，设，设，对称轴为
，所以实数的取值范围为
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值；奇偶性与单调性的综合；指数函数的图象与性质
【解析】【分析】 (1) 根据函数单调性的定义结合指数函数性质分析证明；
(2) 根据题意结合函数奇偶性的定义分析证明；
(3) 由奇函数性质可知，由单调性可得，换元设，根据恒成立问题结合二次函数性质分析求解.
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一、单项选择题（共6小题，每小题6分，共36分。）
1．（2024高一下·衡水开学考） 不等式的解集为（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】B
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：由 ，即，解得 或，
所以 不等式的解集为或 .
故答案为：B.
【分析】根据一元二次不等式运算求解.
2．（2024高一下·衡水开学考）必存在零点的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】指数函数的图象与性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：令，则，
即的零点即为与的交点横坐标，
如图所示，
有图像可知：与在内有交点，在，和内无交点，
所以在内必存在零点，其它区间无零点.
故答案为：C.
【分析】由题意分析可知：的零点即为与的交点横坐标，结合图象分析判断.
3．（2024高一下·衡水开学考） 已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如下图所示，则的值为（ ）
x 1 2 3
4 3
A． B．0 C．4 D．3
【答案】C
【知识点】函数的概念及其构成要素；函数的表示方法
【解析】【解答】解：由题意可知：.
故答案为：C.
【分析】根据函数 的函数图象和 的对应关系 分析求解.
4．（2024高一下·衡水开学考）已知集合，则集合中元素的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【解答】由集合，，
根据，
所以，
所以中元素的个数是3.
故答案为：C
【分析】根据，所以，即可得解.
5．（2024高一下·衡水开学考）已知扇形的周长是，面积是，则扇形的中心角的弧度数是（ ）
A．1 B．4 C．1或4 D．9
【答案】C
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：设扇形的半径为r，圆心角为，
由题意可得：，解得或，
所以扇形的中心角的弧度数是1或4 .
故答案为：C.
【分析】根据扇形弧长、面积公式列式求解.
6．（2024高一下·衡水开学考）已知 ，若不等式 恒成立，则 的最大值为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
所以 恒成立，只需
因为 ，
所以 ，
当且仅当 时，即 时取等号.所以 .即 的最大值为16.
故答案为：D
【分析】由已知条件即可得出恒成立，只需 ，再整理化简原式，然后由基本不等式求出，由此得到m的取值范围，从而求出m的最大值。
二、多项选择题（共4小题，每小题6分，共24分，部分3分错选0分。）
7．（2024高一下·衡水开学考）若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,D
【知识点】指数函数单调性的应用；对数函数的单调性与特殊点；不等式的基本性质
【解析】【解答】当时，则，而，又因为，
∴A，C不正确；
∵，都是上单调递增函数，
∴B，D是正确的.
故答案为：BD.
【分析】利用已知条件结合特殊值法和不等式的基本性质，进而找出不等式一定成立的选项。
8．（2024高一下·衡水开学考）已知函数，则关于的说法正确的有（ ）
A．定义域为 B．在上单调递减
C．值域为 D．零点为
【答案】C,D
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域；复合函数的单调性；对数函数的单调性与特殊点；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：对于A：令，解得或，
所以的定义域为，故A错误；
对于B：因为在内单调递增，且在定义域内单调递增，
由复合函数的单调性可知在上单调递增，故B错误；
对于C：因为，则能取到所有的正实数，
所以函数的值域为，故C正确；
对于D：令，则，解得，故D正确.
故答案为：CD
【分析】对于A：根据对数函数定义域分析判断；对于B：根据符合函数单调性分析判断；对于C：根据对数函数值域分析判断；对于D：令求解即可.
9．（2024高一下·衡水开学考）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,C
【知识点】同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】，则，
，A符合题意；
，B不符合题意；
，C符合题意；
，D不符合题意；
故答案为：AC.
【分析】使用诱导公式化简，用同角三角函数关系求值.
10．（2024高一下·衡水开学考）对于函数定义域中任意的，有如下结论，当时，则上述结论中正确结论的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,C
【知识点】对数的性质与运算法则；对数函数的概念与表示
【解析】【解答】解：对于AD：例如，则，，
即 ， 不成立， 故AD错误；
对于B：因为，所以 ，故B正确；
对于C：因为 等价于 在定义域内单调递增，
显然 在定义域内单调递增，所以，故C正确；
故答案为：BC.
【分析】对于AD：举反例说明即可；对于B：根据对数运算分析求解；对于C：根据函数单调性分析判断.
三、填空题（共2小题，每小题5分，共10分。）
11．（2024高一下·衡水开学考）函数 的定义域为 .
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：令，解得，
所以函数 的定义域为.
故答案为：.
【分析】根据分式、根式的性质分析求解.
12．（2024高一下·衡水开学考）已知函数（且），则其必过定点坐标为 ．
【答案】
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：令，解得，则 ，
所以 必过定点坐标为.
故答案为：.
【分析】根据题意结合对数函数性质分析求解.
四、解答题（共3小题，每小题10分，共30分，写出必要的步骤和文字说明。）
13．（2024高一下·衡水开学考）已知集合.
（1）若，求；
（2）若“”是“”成立的必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：因为当时，，
所以.
（2）解：因为“”是“”成立的必要条件，所以，
当时，，，满足；
当时，，
因为，所以；
综上，实数的取值范围为.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；充分条件；必要条件
【解析】【分析】 (1) 当时，，结合集合的并集运算求解；
(2) 由题意可知，分和两种情况，结合包含关系分析求解.
14．（2024高一下·衡水开学考）（1）已知，在第二象限，求，的值；
（2）已知，求的值；
【答案】（1）解：∵，在第二象限，
∴，；
（2）解：由，
所以.
【知识点】同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】 (1) 根据同角三角关系分析求解，注意象限角的三角函数值的符号；
(2) 根据题意结合齐次式问题分析求解.
15．（2024高一下·衡水开学考）已知函数
（1）判断的单调性，并说明理由
（2）判断的奇偶性，并用定义法证明
（3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：定义域为，设任意，，且
，所以
所以函数在上为增函数
（2）证明：由题意可知： 的定义域为R，
，，
函数为奇函数
（3）解：
所以，设，设，对称轴为
，所以实数的取值范围为
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值；奇偶性与单调性的综合；指数函数的图象与性质
【解析】【分析】 (1) 根据函数单调性的定义结合指数函数性质分析证明；
(2) 根据题意结合函数奇偶性的定义分析证明；
(3) 由奇函数性质可知，由单调性可得，换元设，根据恒成立问题结合二次函数性质分析求解.
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