2023-2024学年四川省成都市双流区七年级（下）期末数学试卷(含答案)

2023-2024学年四川省成都市双流区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每小题4分，共32分）每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求．
1．（4分）加快建设体育强国，就是要弘扬中华体育精神．下列体育图标是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．a2+a3＝2a5 B．a2 a3＝a6
C．（3a3）2＝9a6 D．5a6÷a3＝5a2
3．（4分）某种细胞的直径为0.0000000627米，将0.0000000627用科学记数法表示为（　　）
A．6.27×10﹣8 B．62.7×10﹣8 C．6.27×10﹣9 D．62.7×10﹣9
4．（4分）若在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝2：3：5，则△ABC是（　　）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
5．（4分）下列诗句表述的是随机事件的是（　　）
A．离离原上草，一岁一枯荣
B．危楼高百尺，手可摘星辰
C．会当凌绝顶，一览众山小
D．东边日出西边雨，道是无晴却有晴
6．（4分）一个等腰三角形的两边长分别是3cm和7cm，则它的周长是（　　）cm．
A．17 B．13 C．14或17 D．13或17
7．（4分）一把直尺和一个含30°，60°角的三角板如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于F，A两点，另一边与三角板的两直角边分别交于D，E两点，且∠BAF＝20°，那么∠CED的大小为（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
8．（4分）某链条每节长为3.7cm，每两节链条相连部分重叠的圆的直径为1.2cm，按照这种连接方式，x节链条总长度为y cm，则y与x的关系式是（　　）
A．y＝3.7x B．y＝2.5x
C．y＝2.5x﹣1.2 D．y＝2.5x+1.2
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．（4分）计算：x2y （﹣xy）＝　 　．
10．（4分）若一个角的补角是110°，则这个角的度数为 　 　．
11．（4分）如图，在4×4的正方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点．假设飞镖击中游戏板的每一处是等可能的（击中边界或没有击中游戏板，则重投一次），任意投掷飞镖一次，飞镖击中阴影部分的概率是 　 　．
12．（4分）如图1，已知长方形ABCD中，动点M沿长方形ABCD的边以B→C→D→A的路径匀速运动到A处停止，记△ABM的面积为y，动点M运动的路程为x，y与x的关系如图2所示，则图2中的m的值为 　 　．
13．（4分）如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧相交于点P，Q，连直线PQ与AB交于点E，与AC交于点D，连接BD，若AC＝16，BC＝10，则△BCD的周长为 　 　．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（12分）（1）计算：．
（2）先化简，再求值：（3a+b）（3a﹣b）+（2a﹣b）2﹣3a（a﹣b），其中．
15．（8分）如图是由边长为1的小正方形组成的6×5网格，每个小正方形的顶点叫作格点．已知点A，B，C都在格点上，仅用无刻度的直尺在网格中按要求画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
（1）在图1中，AC上找一点D，使AD＝CD，并连接BD；
（2）在图2中，AC上找一点E，连接BE，使BE⊥AC．
16．（8分）某商场进行“6 18”促销活动，设计了如下两种摇奖方式：
方式一：有一枚均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”．将这个骰子掷出后，“6”朝上则获奖；
方式二：一个均匀的转盘被等分成12份，分别标有1至12这12个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字为6的倍数则获奖．
（1）若采用方式一，骰子掷出后，“4”朝上的概率为 　 　；
（2）选择哪种摇奖方式获奖机会更大？请说明理由．
17．（10分）杆秤是我国传统的计重工具，其历史由来已久．如图，可以用秤砣到秤纽的水平距离得出秤盘上所放物体的重量．称重时，若记秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米），秤盘所放物体重量为y（斤），其部分对应数据如表．
第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 第6组
x（厘米） 1 3 4 6 11 12
y（斤） 0.75 1.25 1.50 2.25 3.25 3.50
（1）请判断哪一组数据是错误的？并说明理由；
（2）求当秤盘所放物体重量为5斤时秤砣到秤纽的水平距离．
18．（10分）如图，直线l1∥l2，点A，B在l1上，点C，D在l2上，连接AD，BC，AC，点M在BA的延长线上，连接CM，CM与AD交于点N．已知∠BMC＝∠BCA．
（1）求证：∠BCA＝∠DCN；
（2）若∠ANM＝∠BAC，请判断AD，BC的位置关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，连接BN，E为CD上一点，连BE与NC，AC分别交于点P，Q，且∠EBN＝∠ABN．若∠ABN的度数为α，∠NCD的度数为β，∠EBC：∠NPE＝2：6，请求出∠AQE的度数（结果用α，β表示）．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．（4分）若a+b＝2，则代数式a2﹣b2+4b＝　 　．
20．（4分）一个不透明的箱子里装有红、白、黄三种颜色的小球共36个，它们除颜色外其他均相同，其中红色球有12个，黄色球的数量是白色球数量的2倍．当箱子中三种颜色的小球个数不变的情况下，要使箱子中摸出1个白色球的概率为，则应再往箱子中放入白色球 　 　个．
21．（4分）已知关于x的多项式mx﹣n与2x2﹣3x+4的乘积结果中不含x的二次项，且常数项为﹣6，则m+n的值为 　 　．
22．（4分）在综合实践活动中，数学兴趣小组对各边长度都是整数、最大边长为k的三角形的个数m进行了探究．发现：当k＝1时，只有{1，1，1}一种情况，即m＝1；当k＝2时，有{1，2，2}和{2，2，2}两种情况，即m＝2；当k＝3时，有{1，3，3}，{2，2，3}，{2，3，3}和{3，3，3}四种情况，即m＝4；…．若k＝6，则m的值为 　 　；若k＝19，则m的值为 　 　．
23．（4分）如图，已知四边形ABCD是长方形，以BD为直角边作等腰直角三角形BDM，且∠BDM＝90°，BM交AD于点N，连接AM．若长方形ABCD的周长为14，，则△ABM的面积为 　 　．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（8分）将一个边长为3a+b（b＞a）的正方形进行分割，得到若干个边长为a的正方形（这类正方形记为甲型），若干个边长为b的正方形（这类正方形记为乙型），若干个邻边长为a和b的长方形（这类长方形记为丙型）．
（1）若分割后，甲、乙、丙三种规格的图形都要有，且b不是a的整数倍，求分割后甲、乙、丙各类图形的个数，并画出分割示意图；
（2）若已知丙型长方形的周长为24m，面积为32m2，求分割后一个甲型正方形与一个乙型正方形的面积之和．
25．（10分）用充电器给某手机充电时，其屏幕的起始画面如图．
经测试，在用快速充电器为手机充电时，其电量E（单位：%）与充电时间t（单位：min）之间的关系如表格所示．
充电时间t（单位：min） 0 10 20 30 40 50 …
手机电量E（单位：%） 20 28 36 44 52 60 …
（1）请求出E与t之间的关系式；
（2）若电量充到76%，请求出充电时间；
（3）已知该手机正常使用时耗电量为每小时10%，在用快速充电器将其充满电后，正常使用t小时，接着再用普通充电器将其充满电，普通充电器充电平均速度为每小时15%，其“充电﹣耗电﹣充电”的时间恰好是5小时，求t的值．
26．（12分）如图1，在四边形ABCD中，BC＝CD，连接AC，BD交于点O，G为OB上一点，连接CG，有CG＝CO．
（1）求证：DO＝BG；
（2）若∠AOD＝60°，∠ACB+∠ADB＝180°，求线段AO，CO，DO之间的等量关系式；
（3）如图2，在（2）的条件下，在CD上取一点E，在BC上取一点F，使CF＝CE，且∠CBE+∠CAD＝∠BAC，在BD上点取一点M，连接BE，FM，且∠BFM＝∠DAB，试判断FM，BD的位置关系，并说明理由．
2023-2024学年四川省成都市双流区七年级（下）期末数学试卷
参考答案
一、选择题（每小题4分，共32分）每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求．
1．（4分）加快建设体育强国，就是要弘扬中华体育精神．下列体育图标是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
选：B．
2．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．a2+a3＝2a5 B．a2 a3＝a6
C．（3a3）2＝9a6 D．5a6÷a3＝5a2
选：C．
3．（4分）某种细胞的直径为0.0000000627米，将0.0000000627用科学记数法表示为（　　）
A．6.27×10﹣8 B．62.7×10﹣8 C．6.27×10﹣9 D．62.7×10﹣9
选：A．
4．（4分）若在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝2：3：5，则△ABC是（　　）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
选：A．
5．（4分）下列诗句表述的是随机事件的是（　　）
A．离离原上草，一岁一枯荣
B．危楼高百尺，手可摘星辰
C．会当凌绝顶，一览众山小
D．东边日出西边雨，道是无晴却有晴
选：D．
6．（4分）一个等腰三角形的两边长分别是3cm和7cm，则它的周长是（　　）cm．
A．17 B．13 C．14或17 D．13或17
选：A．
7．（4分）一把直尺和一个含30°，60°角的三角板如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于F，A两点，另一边与三角板的两直角边分别交于D，E两点，且∠BAF＝20°，那么∠CED的大小为（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
选：C．
8．（4分）某链条每节长为3.7cm，每两节链条相连部分重叠的圆的直径为1.2cm，按照这种连接方式，x节链条总长度为y cm，则y与x的关系式是（　　）
A．y＝3.7x B．y＝2.5x
C．y＝2.5x﹣1.2 D．y＝2.5x+1.2
选：D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．（4分）计算：x2y （﹣xy）＝　﹣x3y2　．
10．（4分）若一个角的补角是110°，则这个角的度数为 　70°　．
11．（4分）如图，在4×4的正方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点．假设飞镖击中游戏板的每一处是等可能的（击中边界或没有击中游戏板，则重投一次），任意投掷飞镖一次，飞镖击中阴影部分的概率是 　　．
12．（4分）如图1，已知长方形ABCD中，动点M沿长方形ABCD的边以B→C→D→A的路径匀速运动到A处停止，记△ABM的面积为y，动点M运动的路程为x，y与x的关系如图2所示，则图2中的m的值为 　7.5　．
13．（4分）如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧相交于点P，Q，连直线PQ与AB交于点E，与AC交于点D，连接BD，若AC＝16，BC＝10，则△BCD的周长为 　26　．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（12分）（1）计算：．
（2）先化简，再求值：（3a+b）（3a﹣b）+（2a﹣b）2﹣3a（a﹣b），其中．
【解答】解：（1）
＝1﹣2+9+1
＝9；
（2）（3a+b）（3a﹣b）+（2a﹣b）2﹣3a（a﹣b）
＝9a2﹣b2+4a2﹣4ab+b2﹣3a2+3ab
＝10a2﹣ab，
当时，原式＝10×（）2﹣×2＝10×﹣＝﹣＝﹣．
15．（8分）如图是由边长为1的小正方形组成的6×5网格，每个小正方形的顶点叫作格点．已知点A，B，C都在格点上，仅用无刻度的直尺在网格中按要求画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
（1）在图1中，AC上找一点D，使AD＝CD，并连接BD；
（2）在图2中，AC上找一点E，连接BE，使BE⊥AC．
【解答】解：（1）如图，点D即为所求；
（2）如图，点E即为所求．
16．（8分）某商场进行“6 18”促销活动，设计了如下两种摇奖方式：
方式一：有一枚均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”．将这个骰子掷出后，“6”朝上则获奖；
方式二：一个均匀的转盘被等分成12份，分别标有1至12这12个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字为6的倍数则获奖．
（1）若采用方式一，骰子掷出后，“4”朝上的概率为 　　；
（2）选择哪种摇奖方式获奖机会更大？请说明理由．
【解答】解：（1）“4”朝上的概率是＝；
故答案为：；
（2）选择摇奖方式一．
理由如下：
方式一：标有数字6的面有20﹣1﹣2﹣3﹣4﹣5＝15面，
选择摇奖方式一获奖的概率为＝，
方式一：数字为6的倍数的数由6，12共2个，
选择摇奖方式二获奖的概率为＝，
因为＞，
所以摇奖方式一获奖的机会大，选择摇奖方式一．
17．（10分）杆秤是我国传统的计重工具，其历史由来已久．如图，可以用秤砣到秤纽的水平距离得出秤盘上所放物体的重量．称重时，若记秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米），秤盘所放物体重量为y（斤），其部分对应数据如表．
第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 第6组
x（厘米） 1 3 4 6 11 12
y（斤） 0.75 1.25 1.50 2.25 3.25 3.50
（1）请判断哪一组数据是错误的？并说明理由；
（2）求当秤盘所放物体重量为5斤时秤砣到秤纽的水平距离．
【解答】解：（1）第4组数据是错误的．理由如下：
在图2中对6组数据描点．
可以发现，x＝6，y＝2.25即第4组数据是错误的．
（2）设x、y的函数关系式为y＝kx+b．
将第1组和第2组数据分别代入，得，
解得，
∴x、y的函数关系式为y＝0.25x+0.5．
当y＝5时，有5＝0.25x+0.5，解得x＝18．
∴当秤盘所放物体重量为5斤时秤砣到秤纽的水平距离是18厘米．
18．（10分）如图，直线l1∥l2，点A，B在l1上，点C，D在l2上，连接AD，BC，AC，点M在BA的延长线上，连接CM，CM与AD交于点N．已知∠BMC＝∠BCA．
（1）求证：∠BCA＝∠DCN；
（2）若∠ANM＝∠BAC，请判断AD，BC的位置关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，连接BN，E为CD上一点，连BE与NC，AC分别交于点P，Q，且∠EBN＝∠ABN．若∠ABN的度数为α，∠NCD的度数为β，∠EBC：∠NPE＝2：6，请求出∠AQE的度数（结果用α，β表示）．
【解答】（1）证明：∵l1∥l2，
∴∠BMC＝∠DCN，
又∵∠BMC＝∠BCA，
∴∠BCA＝∠DCN；
（2）解：AD∥BC，理由如下：
∵∠BAC＝∠BMC+∠ACM，
又∵∠BMC＝∠BCA，
∴∠BAC＝∠BCA+∠ACM＝∠BCM，
∵∠ANM＝∠BAC，
∴∠ANM＝∠BCM，
∴AD∥BC；
（3）解：∵∠NCD的度数为β，
∴∠BCA＝∠DCN＝β＝∠BMC，
∴∠AQE＝∠BQC＝180°﹣∠EBC﹣∠BCA＝180°﹣∠EBC﹣β，
∵∠EBC：∠NPE＝2：6，
∴∠EBC＝∠NPE，
∵∠NPE＝∠BMC+∠MBP＝β+∠MBP，
∠MBP＝∠ABN+∠EBN，
又∵∠EBN＝∠ABN．∠ABN的度数为α，
∴∠MBP＝α+α＝2α，
∴∠NPE＝β+∠MBP＝β+2α，
∴∠EBC＝（β+2α），
∴∠AQE＝180°﹣（β+2α）﹣β＝180°﹣α﹣β．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．（4分）若a+b＝2，则代数式a2﹣b2+4b＝　4　．
【解答】解：∵a+b＝2，
∴a2﹣b2+4b
＝（a+b）（a﹣b）+4b
＝2（a﹣b）+4b
＝2a+2b＝2（a+b）
＝2×2
＝4，
故答案为：4．
20．（4分）一个不透明的箱子里装有红、白、黄三种颜色的小球共36个，它们除颜色外其他均相同，其中红色球有12个，黄色球的数量是白色球数量的2倍．当箱子中三种颜色的小球个数不变的情况下，要使箱子中摸出1个白色球的概率为，则应再往箱子中放入白色球 　6　个．
【解答】解：设箱子里装有m个白色球，
则12+m+2m＝36，
解得m＝8，
∴白色球有8个，
设再往箱子中放入白色球x个，
则，
解得x＝6，
经检验，x＝6是方程的解，
∴应再往箱子中放入白色球6个．
故答案为：6．
21．（4分）已知关于x的多项式mx﹣n与2x2﹣3x+4的乘积结果中不含x的二次项，且常数项为﹣6，则m+n的值为 　　．
【解答】解：（mx﹣n）（2x2﹣3x+4）＝2mx3﹣（3m+2n）x2+（4m+3n）x﹣4n，
∵结果中不含x的二次项，且常数项为﹣6，
∴﹣4n＝﹣6，3m+2n＝0，
∴n＝，m＝﹣1，
∴m+n＝﹣1+＝．
故答案为：．
22．（4分）在综合实践活动中，数学兴趣小组对各边长度都是整数、最大边长为k的三角形的个数m进行了探究．发现：当k＝1时，只有{1，1，1}一种情况，即m＝1；当k＝2时，有{1，2，2}和{2，2，2}两种情况，即m＝2；当k＝3时，有{1，3，3}，{2，2，3}，{2，3，3}和{3，3，3}四种情况，即m＝4；…．若k＝6，则m的值为 　12　；若k＝19，则m的值为 　100　．
【解答】解：由题知，
当k＝1时，m＝1；
当k＝2时，m＝2；
当k＝3时，m＝4；
当k＝4时，有如下情况：
{1，4，4}，{2，3，4}，{2，4，4}，{3，3，4}，{3，4，4}，{4，4，4}，
所以m＝6，
以此类推，当k＝5时，m＝9；
当k＝6时，m＝12；
…，
因为1＝1，
2＝1+1，
4＝1+2+1，
6＝1+2+2+1，
9＝1+2+3+2+1，
12＝1+2+3+3+2+1，
…，
所以当k＝19时，
m＝1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1＝100．
故答案为：12，100．
23．（4分）如图，已知四边形ABCD是长方形，以BD为直角边作等腰直角三角形BDM，且∠BDM＝90°，BM交AD于点N，连接AM．若长方形ABCD的周长为14，，则△ABM的面积为 　　．
【解答】解：如图，过M作MG⊥CD交CD的延长线于点G，
∵△BDM为等腰直角三角形，
∴∠BDM＝90°，DB＝DM，
∴∠MDG＝∠DBC＝90°﹣∠BDC，
在△MGD和△DCB中，
，
∴△MGD≌△DCB（AAS），
∴DG＝BC，
∵长方形ABCD的周长为14，
∴BC+CD＝×14＝7，
∴DG+CD＝7，
∴S△ABM＝S△ABN+S△ANM＝AN AB+AN DG＝AN （DG+AB）＝××7＝．
故答案为：．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（8分）将一个边长为3a+b（b＞a）的正方形进行分割，得到若干个边长为a的正方形（这类正方形记为甲型），若干个边长为b的正方形（这类正方形记为乙型），若干个邻边长为a和b的长方形（这类长方形记为丙型）．
（1）若分割后，甲、乙、丙三种规格的图形都要有，且b不是a的整数倍，求分割后甲、乙、丙各类图形的个数，并画出分割示意图；
（2）若已知丙型长方形的周长为24m，面积为32m2，求分割后一个甲型正方形与一个乙型正方形的面积之和．
【解答】解：（1）∵（3a+b）2＝9a2+6ab+b2，
∴甲类图形有9个，乙类图形有1个，丙类图形有6个．
分割示意图如图所示，
（2）∵丙型长方形的周长为24m，面积为32m2，
∴a+b＝12，ab＝32，
a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝122﹣64＝80（m2），
即分割后一个甲型正方形与一个乙型正方形的面积之和为80m2．
25．（10分）用充电器给某手机充电时，其屏幕的起始画面如图．
经测试，在用快速充电器为手机充电时，其电量E（单位：%）与充电时间t（单位：min）之间的关系如表格所示．
充电时间t（单位：min） 0 10 20 30 40 50 …
手机电量E（单位：%） 20 28 36 44 52 60 …
（1）请求出E与t之间的关系式；
（2）若电量充到76%，请求出充电时间；
（3）已知该手机正常使用时耗电量为每小时10%，在用快速充电器将其充满电后，正常使用t小时，接着再用普通充电器将其充满电，普通充电器充电平均速度为每小时15%，其“充电﹣耗电﹣充电”的时间恰好是5小时，求t的值．
【解答】解：（1）由题意得，根据表格数据函数图象过（0，20），（10，28），
设函数关系式为E＝kt+b，
∴．
∴k＝0.8，b＝20．
∴E与t的关系式为E＝0.8t+20．
（2）由题意，结合（1）E＝0.8t+20，
令E＝76，
∴0.8t+20＝76．
∴t＝70．
答：充电时间为70min．
（3）由题意得，令E＝100，
∴快充充满电需要的时间为100min＝h．
∴15（5﹣﹣t）＝10t．
∴t＝2．
26．（12分）如图1，在四边形ABCD中，BC＝CD，连接AC，BD交于点O，G为OB上一点，连接CG，有CG＝CO．
（1）求证：DO＝BG；
（2）若∠AOD＝60°，∠ACB+∠ADB＝180°，求线段AO，CO，DO之间的等量关系式；
（3）如图2，在（2）的条件下，在CD上取一点E，在BC上取一点F，使CF＝CE，且∠CBE+∠CAD＝∠BAC，在BD上点取一点M，连接BE，FM，且∠BFM＝∠DAB，试判断FM，BD的位置关系，并说明理由．
【解答】（1）证明：过C作CH⊥BD于点H，
∵CB＝CD，CO＝CG，
∴DH＝BH，OH＝GH，
∴DH﹣OH＝BH﹣GH，
∴DO＝BG；
（2）解：AO＝DO+CO，证明如下，
方法一：在OA上取一点M，连接DM，使DM＝DO，
∵∠AOD＝60°，DM＝DO，
∴△DOM为等边三角形，
∴DM＝DO＝OM，
∵CO＝CG，∠COG＝∠AOD＝60°，
∴△COG为等边三角形，
∴∠OCG＝60°，
∵∠DAO+∠AOD+∠ADB＝180°，且∠ACB+∠ADB＝180°，
∴∠DAO+∠AOD＝∠ACB＝∠OCG+∠BCG，
∵∠AOD＝∠OCG＝60°，
∴∠DAO＝∠BCG，
由（1）中方法可得，∠DCH＝∠BCH，∠OCH＝∠GCH，
∴∠DCH﹣∠OCH＝∠BCH﹣∠GCH，
即∠DCO＝∠BCG，
∴∠DCO＝∠DAO，
∵∠DMA＝∠DOC＝120°，
∴△DAM≌△DCO（AAS），
∴AM＝OC，
∵AO＝AM+OM，
∴AO＝DO+CO．
方法二：如图，作DQ⊥AC于点Q，
由方法一得出DA＝DC，
∴AQ＝CQ，
设OQ＝x，OC＝y，则AQ＝CQ＝x+y，
∴AO＝AQ+OQ＝2x+y，
∵∠AOD＝60°，
∴∠ODQ＝30°，
∴OD﹣2OQ＝2x，
∴OD+OC＝2x+y＝AO，
∴AO＝DO+CO．
（3）解：FM⊥BD，理由如下，
如图，连接DF，
∵CB＝CD，∠BCE＝∠CDF，CE＝CF，
∴△BCE≌△DCF（SAS），
∴∠BEC＝∠DFC，∠CBE＝∠CDF，
设∠ACB＝α，∠BAC＝β，
∵∠ACB+∠ADB＝180°，
∴∠ADB＝180°﹣α，
∵∠AOD＝60°，
∴∠CAD＝α﹣60°＝∠DCA，
∴∠BCE＝∠DCA+∠ACB＝2α﹣60°，
∴∠CBD＝＝120°﹣α，
∵∠CBE+∠CAD＝∠BAC，
∴∠CBE＝∠BAC﹣∠CAD＝β﹣α+60°＝∠CDF，
∵∠CEB＝180°﹣∠CBE﹣∠BCE＝180°﹣（β﹣α+60°）﹣（2α﹣60°）＝180°﹣α﹣β，
∴∠CFD＝180°﹣α﹣β，
∵∠BFM＝∠DAB＝∠DAC+∠BAC＝α﹣60°+β，
∴∠DFM＝180°﹣∠CFD﹣∠BFM＝180°﹣（180°﹣α﹣β）﹣（α﹣60°+β）＝60°，
由（2）得AO＝DO+CO＝OG+BG＝OB，∠AOD＝60°，
∴∠OBA＝∠OAB＝30°，即β＝30°，
∵∠FDB＝180°﹣∠CBD﹣∠BFD＝180°﹣（120°﹣α）﹣（α+β）＝60°﹣β＝30°，
∴∠FMD＝180°﹣∠FDM﹣∠DFM＝90°，
∴FM⊥BD．