(共68张PPT)
第七章 立体几何与空间向量
第4节 空间直线、平面的垂直
ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
知识诊断 基础夯实
1
(1)直线和平面垂直的定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直.
1.直线与平面垂直
(2)判定定理与性质定理
(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的______所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是________；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°.
2.直线和平面所成的角
射影
90°
(1)定义：从一条直线出发的____________所组成的图形叫做二面角.
(2)二面角的平面角
若有①O∈l；②OA α，OB β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是__________.
(3)二面角的平面角α的范围：0°≤α≤180°.
3.二面角
两个半平面
∠AOB
(1)平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是__________，就说这两个平面互相垂直.
(2)判定定理与性质定理
4.平面与平面垂直
直二面角
1.三个重要结论
(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.
(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.
2.三种垂直关系的转化
×
解析 (1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则有l⊥α或l与α斜交或l α或l∥α，故(1)错误.
(2)垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故(2)错误.
(3)若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面，也可能与另一平面平行，也可能与另一平面相交，也可能在另一平面内，故(3)错误.
(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的所有直线，则α⊥β，故(4)错误.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.( )
(2)垂直于同一个平面的两平面平行.( )
(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.( )
(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.( )
×
×
×
B
解析 A中，m，n可能平行，相交或异面；
C中，α与β可能平行或相交；
D中，α与β可能平行或相交.故选B.
2.若m，n，l为空间三条不同的直线，α，β，γ为空间三个不同的平面，则下列为真命题的是( )
A.若m⊥l，n⊥l，则m∥n
B.若m⊥β，m∥α，则α⊥β
C.若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
D.若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β
AB
解析 对于A，由l⊥β，m⊥β，可得l∥m，故A正确；
对于B，若l⊥β，α∥β，可得l⊥α，故B正确；
对于C，若l⊥β，α⊥β，则l∥α或l α，故C错误；
对于D，若l⊥β，l⊥m，则m∥β或m β，故D错误.
3.(多选)已知两条不同的直线l，m和不重合的两个平面α，β，且l⊥β，下面四个命题正确的是( )
A.若m⊥β，则l∥m B.若α∥β，则l⊥α
C.若α⊥β，则l∥α D.若l⊥m，则m∥β
A.直线A1D与直线D1B垂直，直线MN∥平面ABCD
B.直线A1D与直线D1B平行，直线MN⊥平面BDD1B1
C.直线A1D与直线D1B相交，直线MN∥平面ABCD
D.直线A1D与直线D1B异面，直线MN⊥平面BDD1B1
4.如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，M，N分别是A1D，D1B的中点，则( )
A
解析 连接AD1(图略)，则易得点M在AD1上，且M为AD1的中点，AD1⊥A1D.
因为AB⊥平面AA1D1D，A1D 平面AA1D1D，所以AB⊥A1D，
又AB∩AD1＝A，AB，AD1 平面ABD1，
所以A1D⊥平面ABD1，又BD1 平面ABD1，显然A1D与BD1异面，所以A1D与BD1异面且垂直.
在△ABD1中，由中位线定理可得MN∥AB，
又MN 平面ABCD，AB 平面ABCD，
所以MN∥平面ABCD.
易知直线AB与平面BB1D1D成45°角，
所以MN与平面BB1D1D不垂直.
所以选项A正确.
解析 对于A，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，而BC 底面圆面，则PA⊥BC，
又由圆的性质可知AC⊥BC，且PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，
则BC⊥平面PAC，所以A正确；
5.(多选)如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，AE⊥PC，垂足为E，点F是PB上一点，则下列判断中正确的是( )
A.BC⊥平面PAC
B.AE⊥EF
C.AC⊥PB
D.平面AEF⊥平面PBC
ABD
对于B，由A项可知BC⊥AE，
由题意可知AE⊥PC，且BC∩PC＝C，BC，PC 平面PCB，
所以AE⊥平面PCB.而EF 平面PCB，
所以AE⊥EF，所以B正确；
对于C，由B项可知AE⊥平面PCB，因而AC与平面PCB不垂直，
所以AC⊥PB不成立，所以C错误；
对于D，由B项可知，AE⊥平面PCB，AE 平面AEF，
由面面垂直的判定定理可得平面AEF⊥平面PBC，所以D正确.
解析 (1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，
6.在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.
(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心.
(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心.
外
垂
图1
在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PB＝PC，
所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心.
(2)如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于H，D，G.
图2
因为PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，所以PC⊥平面PAB.
又AB 平面PAB，所以PC⊥AB.
因为PO⊥AB，PO∩PC＝P，所以AB⊥平面PGC，
又CG 平面PGC，所以AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高.
同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，即O为△ABC的垂心.
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
考点突破 题型剖析
2
证明 在四棱锥P－ABCD中，
∵PA⊥底面ABCD，CD 平面ABCD，
∴PA⊥CD.
∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，
∴CD⊥平面PAC.
而AE 平面PAC，∴CD⊥AE.
例1 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.证明：
(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE.
证明 由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，
可得AC＝PA.
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.
由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，
∴AE⊥平面PCD.
而PD 平面PCD，∴AE⊥PD.
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.
又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，
∴AB⊥平面PAD，而PD 平面PAD，
∴AB⊥PD.
又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.
证明 ∵AB⊥平面PAD，AE 平面PAD，∴AE⊥AB.
又AB∥CD，∴AE⊥CD.
∵AD＝AP，E是PD的中点，∴AE⊥PD.
又CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，
∴AE⊥平面PCD.
∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD.
又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD 平面PCD，
∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN.
训练1 如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.
证明 ∵PD⊥平面ABCD，AM 平面ABCD，
∴PD⊥AM.
∵PB⊥AM，且PB∩PD＝P，PB，PD 平面PBD，
∴AM⊥平面PBD.
又AM 平面PAM，
∴平面PAM⊥平面PBD.
例2 如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，且PB⊥AM.
(1)证明：平面PAM⊥平面PBD；
由题意可知AB＝DC＝1.
∵AM⊥平面PBD，BD 平面PBD，
∴AM⊥BD，
由∠BAM＋∠MAD＝90°，
∠MAD＋∠ADB＝90°，
得∠BAM＝∠ADB，易得△BAM∽△ADB，
(2)若PD＝DC＝1，求四棱锥P－ABCD的体积.
证明 因为平面AA1C1C⊥平面ABC，
平面AA1C1C∩平面ABC＝AC，BC⊥AC，
所以BC⊥平面AA1C1C.
又AA1 平面AA1C1C，
所以BC⊥AA1.
因为∠AA1C＝90°，所以AA1⊥A1C.
又因为BC∩A1C＝C，
所以AA1⊥平面A1BC.又A1B 平面A1BC，
所以AA1⊥A1B.
训练2 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝∠AA1C＝90°，平面AA1C1C⊥平面ABC.
(1)求证：AA1⊥A1B；
(2)若AA1＝2，BC＝3，∠A1AC＝60°，求点C到平面A1ABB1的距离.
解 由(1)可知A1A⊥平面A1BC，A1A 平面A1ABB1，
所以平面A1BC⊥平面A1ABB1，且交线为A1B，
所以点C到平面A1ABB1的距离等于△CA1B的A1B边上的高，设其为h.
由(1)得BC⊥A1C，
证明 因为PA＝PD，E为AD的中点，
所以PE⊥AD.
因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD，
所以PE⊥BC.
例3 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点.求证：
(1)PE⊥BC；
证明 因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB 平面ABCD，
所以AB⊥平面PAD.
又PD 平面PAD，所以AB⊥PD.
又因为PA⊥PD，且PA∩AB＝A，
所以PD⊥平面PAB.又PD 平面PCD，
所以平面PAB⊥平面PCD.
(2)平面PAB⊥平面PCD；
(3)EF∥平面PCD.
证明 如图，取PC中点G，连接FG，DG.
因为F，G分别为PB，PC的中点，
因为ABCD为矩形，且E为AD的中点，
所以DE∥FG，DE＝FG，
所以四边形DEFG为平行四边形，
所以EF∥DG.
又因为EF 平面PCD，DG 平面PCD，
所以EF∥平面PCD.
证明 因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD.
又AB 平面PDC，CD 平面PDC，
所以AB∥平面PDC.
又因为AB 平面ABE，平面ABE∩平面PDC＝EF，
所以AB∥EF.
训练3 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上(异于点P，C)，平面ABE与棱PD交于点F.
(1)求证：AB∥EF；
(2)若AF⊥EF，求证：平面PAD⊥平面ABCD.
证明 因为四边形ABCD是矩形，所以AB⊥AD.
因为AF⊥EF，(1)中已证AB∥EF，
所以AB⊥AF.又AB⊥AD，
由点E在棱PC上(异于点C)，所以点F异于点D，
所以AF∩AD＝A，AF，AD 平面PAD，
所以AB⊥平面PAD.
又AB 平面ABCD，
所以平面PAD⊥平面ABCD.
一、几何法求线面角
几何法求空间角
求线面角的三个步骤：
一作(找)角，二证明，三计算，其中作(找)角是关键，先找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，然后把线面角转化到三角形中求解.
证明 ∵AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的一动点.
∴BC⊥AC.
∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.
又PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，
∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，
∴△BPC是直角三角形.
例1 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点.
(1)证明：△PBC是直角三角形；
解 如图，过A作AH⊥PC于H，连接BH，
∵BC⊥平面PAC，
∴BC⊥AH.
又PC∩BC＝C，PC，BC 平面PBC，
∴AH⊥平面PBC，
∴∠ABH是直线AB与平面PBC所成的角.
∵PA⊥平面ABC，
∴∠PCA是直线PC与平面ABC所成的角，
作二面角的平面角的方法：
作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.
二、几何法求二面角
解 ∵PB＝PC，∴PN⊥BC，
又∵PN⊥AB，AB∩BC＝B，
AB，BC 平面ABCD，
∴PN⊥平面ABCD.
例2 如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△PBC为正三角形，M，N分别为PD，BC的中点，PN⊥AB.
(1)求三棱锥P－AMN的体积；
VP－AMN＝VD－AMN＝VM－ADN，
∵M，E分别为PD，DN的中点，
∴ME∥PN.
∵PN⊥平面ABCD，∴ME⊥平面ABCD.
过E作EQ⊥AN，连接MQ，
又ME⊥AN，EQ∩ME＝E，
∴AN⊥平面MEQ，∴AN⊥MQ，
∠MQE即为二面角M－AN－D的平面角，
(2)求二面角M－AN－D的正切值.
解 如图，取DN的中点E，连接ME，
FENCENGXUNLIAN GONGGUTISHENG
分层训练 巩固提升
3
解析 A中，若α⊥γ，β⊥γ，α，β可能相交也可能平行，错误；
B中，a⊥α，b⊥α，根据线面垂直的性质可判断a∥b，正确；
C中，若a∥α，b∥α，a，b的位置不定，错误；
D中，若a∥α，a∥β，α，β可能相交也可能平行，错误.
1.已知α，β，γ是三个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列命题中正确的是( )
A.若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β B.若a⊥α，b⊥α，则a∥b
C.若a∥α，b∥α，则a∥b D.若a∥α，a∥β，则α∥β
B
解析 对于A，l⊥m，l⊥n，m α，n α，则l与α相交、平行或l α，故A错误；
对于B，l⊥m，m∥α，则l与α相交、平行或l α，故B错误；
对于C，α⊥β，l∥β，则l与α相交、平行或l α，故C错误；
对于D，l∥m，m⊥α，则l⊥α，故D正确.
2.已知α，β是两个不同的平面，l，m，n是三条不同的直线，下列条件中，可以得到l⊥α的是( )
A.l⊥m，l⊥n，m α，n α B.l⊥m，m∥α
C.α⊥β，l∥β D.l∥m，m⊥α
D
解析 如图，取BC的中点O，连接OE，OF，
3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，B1C的中点，则EF与平面ABCD所成角的正切值为( )
D
∵F是B1C的中点，
∴OF∥B1B，
∴FO⊥平面ABCD，
∴∠FEO是EF与平面ABCD所成的角.
解析 由AC⊥AB，AC⊥BC1，
得AC⊥平面ABC1.
因为AC 平面ABC，
所以平面ABC1⊥平面ABC，
所以C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上.
4.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在( )
A.直线AB上 B.直线BC上
C.直线AC上 D.△ABC内部
A
解析 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
5.(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设M为BC的中点，则下列说法不正确的是( )
A.A1M⊥BD B.A1M∥平面CC1D1D
C.A1M⊥AB1 D.A1M⊥平面ABC1D1
ABD
对于A，假设A1M⊥BD，因为A1A⊥平面ABCD，所以A1A⊥BD，又A1A∩A1M＝A1，所以BD⊥平面A1AM，所以BD⊥AM.而BD⊥AC，所以AM∥AC，显然不正确，故A不正确；
对于B，假设A1M∥平面CC1D1D，因为平面A1MCD1∩平面CC1D1D＝CD1，A1M 平面CC1D1D，所以A1M∥CD1.因为A1B∥CD1，所以A1M∥A1B，显然不正确，故B不正确；
对于C，因为MB⊥平面ABB1A1，所以MB⊥AB1.又A1B⊥AB1，A1B∩BM＝B，所以AB1⊥平面A1BM，所以A1M⊥AB1，故C正确；
对于D，假设A1M⊥平面ABC1D1，因为A1D⊥AD1，A1D⊥AB，且AB∩AD1＝A，所以A1D⊥平面ABC1D1，所以A1M∥A1D，显然不成立，故D不正确.
解析 如图所示，对于A中，直线AM，BN是异面直线，故A，M，N，B四点不共面，故A错误；
6.(多选)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝4，BC＝2，M，N分别为棱C1D1，CC1的中点，则( )
A.A，M，N，B四点共面
B.平面ADM⊥平面CDD1C1
C.直线BN与B1M所成的角为60°
D.BN∥平面ADM
BC
对于B中，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，可得AD⊥平面CDD1C1，所以平面ADM⊥平面CDD1C1，故B正确；
对于C中，取CD的中点O，连接BO，ON，则B1M∥BO，所以直线BN与B1M所成的角为∠NBO.易知三角形BON为等边三角形，所以∠NBO＝60°，故C正确；
对于D中，因为BN∥平面AA1D1D，显然BN与平面ADM不平行，故D错误.
解析 根据面面平行的特征可得，若m α，α∥β，则m∥β；
根据线面垂直以及面面平行的特征可得，
若m⊥α，α∥β，则m⊥β.
7.已知平面α，β和直线m，给出以下条件：(1)m∥α；(2)m⊥α；(3)m α；(4)α⊥β；(5)α∥β，当条件________成立时，有m∥β；当条件________成立时，有m⊥β(填所选条件的序号)
(3)(5)
(2)(5)
解析 取AC的中点E，连接ED，EB.
∵D为A1C1的中点，
∴DE＝AA1＝3，BE＝3，DE⊥AC，BE⊥AC，
∴∠BED为二面角A1－AC－B的平面角.
∴由余弦定理得
解析 设B1F＝x，
因为AB1⊥平面C1DF，DF 平面C1DF，
所以AB1⊥DF.
9.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E，要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为________.
设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h，
证明 因为AE＝2AB＝2，∠BAE＝60°，
由余弦定理得
10.如图，平面ABCD⊥平面ABE，且四边形ABCD为正方形，AE＝2AB＝2，∠BAE＝60°，F为AC的中点.
(1)求证：AC⊥平面BEF；
所以AB2＋BE2＝AE2，所以BE⊥AB.
由于平面ABCD⊥平面ABE，且两个平面相交于AB，
所以BE⊥平面ABCD，所以BE⊥AC.
又因为AC⊥BF，BE∩BF＝B，BE，BF 平面BEF，
所以AC⊥平面BEF.
(2)求直线AD与平面ACE所成的角的正弦值.
因为VD－ACE＝VE－ACD，设D到平面ACE的距离为h，
设直线AD与平面ACE所成的角为θ，
证明 如图所示，E为BD的中点，连接AE，△ABD是正三角形，则AE⊥BD.
11.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为四边形，△ABD是边长为2的正三角形，BC⊥CD，BC＝CD，PD⊥AB，平面PBD⊥平面ABCD.
(1)求证：PD⊥平面ABCD；
∵平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD＝BD，AE 平面ABCD，
故AE⊥平面PBD.
∵PD 平面PBD，故AE⊥PD.
∵PD⊥AB，AE∩AB＝A，AE，AB 平面ABCD，
故PD⊥平面ABCD.
解 如图所示，过点E作EF⊥PB于点F，连接CF.
∵BC⊥CD，BC＝CD，E为BD的中点，故EC⊥BD，
故EC⊥平面PBD，∴CE⊥PB.
又EF⊥PB，∴PB⊥平面CEF，
∴CF⊥PB，
故∠EFC为二面角C－PB－D的平面角.
12.(多选)如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点，则满足MN⊥OP的是( )
BC
解析 设正方体的棱长为2.
对于A，如图(1)所示，连接AC，则MN∥AC，故∠POC(或其补角)为异面直线OP，MN所成的角.
图(1)
对于B，如图(2)所示，取MT的中点为Q，连接PQ，OQ，则OQ⊥MN，PQ⊥MN，所以MN⊥平面OPQ，又OP 平面OPQ，故MN⊥OP，故B正确；
图(2)
对于C，如图(3)，连接BD，则BD∥MN，由B的判断可得OP⊥BD，故OP⊥MN，故C正确；
对于D，如图(4)，取AD的中点Q，AB的中点K，连接AC，PQ，OQ，PK，OK，则AC∥MN.因为DP＝PC，故PQ∥AC，故PQ∥MN，所以∠QPO(或其补角)为异面直线PO，MN所成的角.
图(3)
图(4)
解析 对于A，P在直线BC1上运动时，△AD1P的面积为矩形ABC1D1的面积的一半，C到平面ABC1D1的距离不变，又VA－D1PC＝VC－AD1P，则三棱锥A－D1PC的体积不变，故A正确；
13.(多选)棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BC，B1C1的中点.下列说法正确的是( )
A.P点在直线BC1上运动时，三棱锥A－D1PC体积不变
B.Q点在直线EF上运动时，直线GQ始终与平面AA1C1C平行
C.平面B1BD⊥平面ACD1
ABC
对于B，Q在直线EF上运动时，由E，F，G分别是AB，BC，B1C1的中点，可得EF∥AC，GF∥C1C.又EF∩GF＝F，AC∩C1C＝C，所以平面GEF∥平面AA1C1C.又GQ 平面GEF，则GQ始终与平面AA1C1C平行，故B正确；
对于C，由AC⊥BD，AC⊥BB1，可得AC⊥平面BB1D1D，又AC 平面ACD1，即有平面B1BD⊥平面ACD1，故C正确；
证明 取SC的中点G，连接FG，EG，
∵F，G分别是SB，SC的中点，
14.如图，在四棱锥S－ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD为正三角形.侧面SAD⊥底面ABCD，E，F分别为棱AD，SB的中点.
(1)求证：AF∥平面SEC；
∵四边形ABCD是菱形，E是AD的中点，
∴FG∥AE，FG＝AE，∴四边形AFGE是平行四边形，
∴AF∥EG，又AF 平面SEC，EG 平面SEC，∴AF∥平面SEC.
证明 ∵△SAD是等边三角形，E是AD的中点，
∴SE⊥AD，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴△ACD是等边三角形，又E是AD的中点，
∴AD⊥CE，又SE∩CE＝E，SE，CE 平面SEC，
∴AD⊥平面SEC，又EG 平面SEC，
∴AD⊥EG，又四边形AFGE是平行四边形，
∴四边形AFGE是矩形，∴AF⊥FG，
又SA＝AB，F是SB的中点，∴AF⊥SB，
又FG∩SB＝F，FG 平面SBC，SB 平面SBC，
∴AF⊥平面SBC，又AF 平面ASB，
∴平面ASB⊥平面CSB.
(2)求证：平面ASB⊥平面CSB；
解 存在点M满足题意.
假设在棱SB上存在点M，使得BD⊥平面MAC，
连接MO，BE，则BD⊥OM，
∵四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD为正三角形，
∵侧面SAD⊥底面ABCD，
侧面SAD∩底面ABCD＝AD，SE 平面SAD，
∴SE⊥平面ABCD，∴SE⊥BE，2025高考数学一轮复习-7.4-空间直线、平面的垂直-专项训练
一、单项选择题
1．已知直线a，b与平面α，β，γ，能使α⊥β的充分条件是( )
A．a∥α，b∥β，a⊥b
B．α⊥γ，β⊥γ
C．a∥α，a⊥β
D．α∩β＝a，a⊥b，b β
2．如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则图中与平面PCD垂直的平面是( )
A．平面ABCD B．平面PBC
C．平面PAD D．平面PAB
3．如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在平面ABC上的射影H必在( )
A．直线AB上 B．直线BC上
C．直线AC上 D．△ABC内部
4．如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，AE⊥PC，垂足为E，F是PB上一点，则下列判断错误的是( )
A．BC⊥平面PAC
B．AE⊥EF
C．AC⊥PB
D．平面AEF⊥平面PBC
5．已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则下列选项不正确的是( )
A．直线A1B与B1C所成的角为60°
B．A1B⊥DB1
C．DB1⊥平面ACD1
D．B1C⊥B1D
6．已知矩形ABCD，AB＝2，BC＝2，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中( )
A．存在某个位置，使得直线BD与直线AC垂直
B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直
C．存在某个位置，使得直线BC与直线AD垂直
D．对任意位置，三对直线“AC与BD”“CD与AB”“AD与BC”均不垂直
二、多项选择题
7．已知平面α∩平面β＝l，B，D是l上两点，直线AB α且AB∩l＝B，直线CD β且CD∩l＝D.下列结论中，错误的有( )
A．若AB⊥l，CD⊥l，且AB＝CD，则四边形ABCD是平行四边形
B．若M是AB的中点，N是CD的中点，则MN∥AC
C．若α⊥β，AB⊥l，AC⊥l，则CD在α上的射影是BD
D．直线AB，CD所成角的大小与二面角α-l-β的大小相等
8．已知正方体ABCD -A1B1C1D1，则( )
A．直线BC1与DA1所成的角为90°
B．直线BC1与CA1所成的角为90°
C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°
D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45°
三、填空题
9．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)
10．如图，△ABC与△BCD所在平面垂直，且AB＝BC＝BD，∠ABC＝∠DBC＝120°，则二面角 A-BD-C的余弦值为_________．
11．已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么点P到平面ABC的距离为________.
12．《九章算术》中的“邪田”意为直角梯形，上、下底称为畔，高称为正广，非高腰边称为邪．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为邪田，两畔CD，AB分别为1，3，正广AD为2，PD⊥平面ABCD，则邪田ABCD的邪长为________；邪所在直线与平面PAD所成角的大小为________．
四、解答题
13．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°.
(1)证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；
(2)设AB＝A1B，AA1＝2，求四棱锥A1-BB1C1C的高．
14．在矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，E是AB的中点，沿DE将△ADE折起，得到如图所示的四棱锥P-BCDE.
(1)若平面PDE⊥平面BCDE，求四棱锥P-BCDE的体积；
(2)若PB＝PC，求证：平面PDE⊥平面BCDE.
参考答案
1．C [对于A，a∥α，b∥β，a⊥b时，α∥β也可能满足，如图1，故A错误；
对于B，α⊥γ，β⊥γ时，α∥β也可能满足，如图2，故B错误；
对于C，a∥α，a⊥β时，一定有α⊥β，故C正确；
对于D，α∩β＝a，a⊥b，b β时，α⊥β不一定成立，如图3，故D错误．
故选C.]
2．C [因为PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，
所以PA⊥CD，
由四边形ABCD为矩形得CD⊥AD，
因为PA∩AD＝A，
所以CD⊥平面PAD.
又CD 平面PCD，
所以平面PCD⊥平面PAD.
故选C.]
3．A [由AC⊥AB，AC⊥BC1，得AC⊥平面ABC1.
因为AC 平面ABC，所以平面ABC1⊥平面ABC.
所以C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上．故选A.]
4．C [对于A，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，而BC 底面圆面，则PA⊥BC，
又由圆的性质可知AC⊥BC，且PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，则BC⊥平面PAC，所以A正确；
对于B，由A选项可知BC⊥AE，
由题意可知AE⊥PC，且BC∩PC＝C，BC，PC 平面PCB，所以AE⊥平面PCB，而EF 平面PCB，
所以AE⊥EF，所以B正确；
对于C，由B选项可知AE⊥平面PCB，因而AC与平面PCB不垂直，所以AC⊥PB不成立，所以C错误；
对于D，由B选项可知，AE⊥平面PCB，AE 平面AEF，由面面垂直的判定定理可得平面AEF⊥平面PBC.所以D正确．故选C.]
5．D [正方体ABCD-A1B1C1D1，如图所示，
∵A1B∥D1C，∴直线D1C与B1C所成的角即为直线A1B与B1C所成的角．
又△B1CD1为等边三角形，
∴∠D1CB1＝60°，
故A正确；
∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，
∵BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AC.
∵BD 平面BB1D1D，BB1 平面BB1D1D，BD∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1D1D.
又B1D 平面BB1D1D，∴AC⊥DB1.
同理AD1⊥DB1，
又AC 平面ACD1，AD1 平面ACD1，AC∩AD1＝A，
∴DB1⊥平面ACD1，∴DB1⊥D1C.
又A1B∥D1C，∴DB1⊥A1B，故B，C正确；
设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，
则DC＝1，B1C＝，DB1＝，cos ∠CB1D＝＝，故D错误．
故选D.]
6．B [矩形在翻折前和翻折后的图形如图1，图2所示．
在图1中，过点A作AE⊥BD，垂足为E，过点C作CF⊥BD，垂足为点F，
由边AB，BC不相等可知点E，F不重合；
在图2中，连接CE.
若AC⊥BD，又知BD⊥AE，AE∩AC＝A，所以BD⊥平面ACE，
所以BD⊥CE，与点E，F不重合相矛盾，A错误；
若AB⊥CD，又知AB⊥AD，AD∩CD＝D，所以AB⊥平面ADC，所以AB⊥AC，
由AB若AD⊥BC，又知DC⊥BC，AD∩DC＝D，所以BC⊥平面ADC，所以BC⊥AC，
由已知AB＝2，BC＝2，则BC>AB，所以不存在这样的直角三角形，C错误；
由以上可知D错误．
故选B.]
7．ABD [由题意，AB，CD为异面直线，所以四边形ABCD为空间四边形，不能为平行四边形，A错误；
取BC的中点H，连接HM，则HM是△ABC的中位线，所以HM∥AC，
因为HM与MN相交，所以MN与AC不平行，B错误；
若AB⊥l，AC⊥l，所以由线面垂直的判定定理可得l⊥平面ABC，所以l⊥BC，
由α⊥β结合面面垂直的性质可得BC⊥α，所以点C在平面α内的投影为点B，
所以CD在平面α内的射影为BD，C正确；
由二面角的定义可得当且仅当AB⊥l，CD⊥l时，直线AB，CD所成的角或其补角才为二面角的大小，D错误．
故选ABD.]
8．ABD [如图，连接B1C，BC1，因为DA1∥B1C ，所以直线BC1与B1C所成的角即为直线BC1与DA1所成的角，
因为四边形BB1C1C为正方形，则B1C⊥BC1，故直线BC1与DA1所成的角为90°，A正确；
连接A1C，因为A1B1⊥平面BB1C1C，BC1 平面BB1C1C，则A1B1⊥BC1 ，
因为B1C⊥BC1，A1B1∩B1C＝B1，所以BC1⊥平面A1B1C，又A1C 平面A1B1C，所以BC1⊥CA1，B正确；
连接A1C1，B1D1，设A1C1∩B1D1＝O，连接BO，
因为BB1⊥平面A1B1C1D1，C1O 平面A1B1C1D1，则C1O⊥B1B，因为C1O⊥B1D1, B1D1∩B1B＝B1，所以C1O⊥平面BB1D1D，
所以∠C1BO为直线BC1与平面BB1D1D所成的角，
设正方体棱长为1，则C1O＝，BC1＝，sin∠C1BO＝＝，
所以直线BC1与平面BB1D1D所成的角为30°，C错误；
因为C1C⊥平面ABCD，所以∠C1BC为直线BC1与平面ABCD所成的角，易得∠C1BC＝45°，D正确．故选ABD.]
9．DM⊥PC(或BM⊥PC等) [∵PA⊥底面ABCD，∴BD⊥PA，连接AC(图略)，则BD⊥AC，且PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，
∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.
∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC 平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.]
10．－ [过A作AE⊥CB，交CB的延长线于点E，连接DE，
∵平面ABC⊥平面BCD，∴ AE⊥平面BCD，
∴点E即为点A在平面BCD内的射影，
∴△EBD为△ABD在平面BCD内的射影，
设AB ＝a，则AE＝DE ＝ABsin 60°＝a，
∴AD＝a，cos ∠ABD＝，∴sin ∠ABD＝，
∴S△ABD＝a2×＝a2,
又BE＝a，
∴S△BDE＝a×a＝a2，
设θ为射影面与原面所成的二面角的平面角，
∴cos θ＝＝.
∵所求的角θ是二面角A-BD-E，而二面角A-BD-C与A-BD-E互补，
∴二面角A-BD-C的余弦值为－.]
11． [如图，过点P作PO⊥平面ABC于点O，则PO为点P到平面ABC的距离．
再过点O作OE⊥AC于点E，OF⊥BC于点F，
连接PE，PF，则PE⊥AC，PF⊥BC.
又PE＝PF＝，所以OE＝OF，
所以CO为∠ACB的平分线，即∠ACO＝45°.
在Rt△PEC中，PC＝2，PE＝，所以CE＝1，
所以OE＝1，所以PO＝＝＝.]
12．4 30° [过点C作CE⊥AB，垂足为点E，延长AD，BC，使得AD∩BC＝F，如图所示．由题意可得CE＝2，BE＝2，则BC＝＝4．即邪田ABCD的邪长BC为4．由题意知AB⊥AD，CD∥AB，所以＝＝，所以DF＝.因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AB，又AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD，则∠AFB是直线BC与平面PAD所成角的平面角，
tan ∠AFB＝＝＝，所以∠AFB＝30°.即邪所在直线与平面PAD所成角的大小为30°.]
13．解：(1)证明：因为A1C⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以A1C⊥BC，
因为∠ACB＝90°，所以BC⊥AC，
又A1C∩AC＝C，A1C，AC 平面ACC1A1，
所以BC⊥平面ACC1A1，
又BC 平面BB1C1C，
所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.
(2)如图，过点A1作A1H⊥CC1，交CC1于点H，由(1)知平面ACC1A1⊥平面BB1C1C，
又平面ACC1A1∩平面BB1C1C＝CC1，
A1H 平面ACC1A1，所以A1H⊥平面BB1C1C，
即四棱锥A1-BB1C1C的高为A1H.
由题意知AB＝A1B，BC＝BC，∠A1CB＝∠ACB＝90°，则△ACB≌△A1CB，故CA＝CA1.
又AA1＝2，∠ACA1＝90°，
所以A1C1＝CA1＝.
法一：由＝·A1C1＝·A1H·CC1，得A1H＝＝＝1，
故四棱锥A1-BB1C1C的高为1.
法二：在等腰直角三角形CA1C1中，A1H为斜边中线，所以A1H＝CC1＝1，
故四棱锥A1-BB1C1C的高为1.
14．解：(1)如图所示，取DE的中点M，连接PM，由题意知，PD＝PE，∴PM⊥DE，
又平面PDE⊥平面BCDE，平面PDE∩平面BCDE＝DE，PM 平面PDE，∴PM⊥平面BCDE，即PM为四棱锥P-BCDE的高．
在等腰直角三角形PDE中，PE＝PD＝AD＝2，
∴PM＝DE＝，
而梯形BCDE的面积S＝(BE＋CD)·BC＝×(2＋4)×2＝6，
∴四棱锥P-BCDE的体积V＝PM·S＝×6＝2.
(2)证明：取BC的中点N，连接PN，MN，则BC⊥MN，
∵PB＝PC，∴BC⊥PN，
∵MN∩PN＝N，MN，PN 平面PMN，∴BC⊥平面PMN，
∵PM 平面PMN，∴BC⊥PM，由(1)知，PM⊥DE，
又BC，DE 平面BCDE，且BC与DE是相交的，
∴PM⊥平面BCDE，
∵PM 平面PDE，∴平面PDE⊥平面BCDE
