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第八章 平面解析几何
第3节 圆的方程
ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
知识诊断 基础夯实
1
1.圆的定义和圆的方程
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|＞r M在______，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 M在圆外；
(2)|MC|＝r M在______，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 M在圆上；
(3)|MC|＜r M在______，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 M在圆内.
2.点与圆的位置关系
圆外
圆上
圆内
1.圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2.
2.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
√
解析 (2)当a＝0时，x2＋y2＝a2表示点(0，0)；当a＜0时，表示半径为|a|的圆.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.( )
(2)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆.( )
(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆.( )
(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.( )
×
×
√
D
解析 由方程表示圆的条件得a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)＞0，
2.(易错题)方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是( )
C
解析 设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r.
因为圆心C在直线x＋y－2＝0上，所以b＝2－a.
又|CA|2＝|CB|2，所以(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2，
所以a＝1，b＝1.所以r＝2.
所以方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
3.过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是( )
A.(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B.(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C.(x－1)2＋(y－1)2＝4 D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
解析 圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则(x－4)2＋(y＋3)2＝25，
圆的圆心坐标为(4，－3)，半径为5，显然C不正确，ABD均正确.
4.(多选)已知圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则下列说法正确的有( )
A.圆M的圆心坐标为(4，－3)
B.圆M被x轴截得的弦长为8
C.圆M的半径为25
D.圆M被y轴截得的弦长为6
ABD
解析 由平面几何知识知，当且仅当原点、圆心、点(3，4)共线时，
5.已知半径为1的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
A
解析 由题意可知圆心在第一象限，设圆心坐标为(a，b)(a>0，b>0).
∵圆与两坐标轴均相切，∴a＝b，且半径r＝a，
∴圆的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2.
∵点(2，1)在圆上，∴(2－a)2＋(1－a)2＝a2，
∴a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5.
6.若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为( )
B
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
考点突破 题型剖析
2
解析 设圆心为C(a，b)，半径为r，圆C被x轴分成两部分的弧长之比为1∶2，则其中劣弧所对圆心角为120°，
由圆的性质可得r＝2|b|，
AB
消去y得x2＋8mx－(4m2－20)＝0，
∴Δ＝64m2＋4(4m2－20)＝0，解得m＝±1，
解析 设对称圆的圆心为(m，n)，
(2)圆(x＋2)2＋(y－12)2＝4关于直线x－y＋8＝0对称的圆的方程为____________________.
(x－4)2＋(y－6)2＝4
故所求圆的方程为(x－4)2＋(y－6)2＝4.
解析 法一 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
训练1 (1)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为____________________.
x2＋y2－2x＝0
故圆的方程为x2＋y2－2x＝0.
法二 设O(0，0)，A(1，1)，B(2，0)，则kOA＝1，kAB＝－1，
所以kOA·kAB＝－1，即OA⊥AB，
圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0.
所以△OAB是以角A为直角的直角三角形，
解析 法一 ∵所求圆的圆心在直线x＋y＝0上，
∴可设所求圆的圆心为(a，－a).
∵所求圆与直线x－y＝0相切，
(x－1)2＋(y＋1)2＝2
∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
法二 设所求圆的方程为
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
则圆心(a，b)到直线x－y－3＝0的距离
∵所求圆与直线x－y＝0相切，
又∵圆心在直线x＋y＝0上，∴a＋b＝0.③
故圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
角度1 利用几何意义求最值
设过原点的直线的方程为y＝kx，
由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，
解 设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t在y轴上的截距，
∴x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距.
(2)求x＋y的最大值和最小值；
求它的最值可视为求点(x，y)到定点(－1，2)的距离的最值，
可转化为求圆心(2，－3)到定点(－1，2)的距离与半径的和或差.
设点A(0，2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A′(m，n)，
例3 已知A(0，2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是________.
角度2 利用对称性求最值
连接A′C交圆C于Q(图略)，此时，|PA|＋|PQ|取得最小值，
由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，
故x2＝－(y－3)2＋1，
角度3 建立函数关系求最值
12
由圆的方程x2＋(y－3)2＝1，易知2≤y≤4，
解析 x2＋y2表示圆(x－2)2＋y2＝3上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图).
训练2 (1)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则x2＋y2的最大值为__________，最小值为__________.
又圆心到原点的距离为2，
解析 P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|－1，同理|PN|的最小值为|PC2|－3，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4.
作C1关于x轴的对称点C1′(2，－3)，
(2)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为________.
解析 当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝2，
(3)已知圆O：x2＋y2＝9，若过点C(2，1)的直线l与圆O交于P，Q两点，则△OPQ的面积最大值为________.
因为平行四边形的对角线互相平分，
例5 设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹方程.
解 如图，设P(x，y)，N(x0，y0)，
又点N(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，
所以(x＋3)2＋(y－4)2＝4.
所以点P的轨迹是以(－3，4)为圆心，2为半径的圆，
解 法一 设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.
因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1，
训练3 已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0).
由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点).
所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0).
所以x0＝2x－3，y0＝2y.
由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，
将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，
即(x－2)2＋y2＝1.
因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0).
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.
FENCENGXUNLIAN GONGGUTISHENG
分层训练 巩固提升
3
解析 圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，
1.圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是( )
D
解析 圆(x－3)2＋(y－1)2＝5的圆心(3，1)
关于直线y＝－x对称点为(－1，－3)，
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋3)2＝5.
2.圆(x－3)2＋(y－1)2＝5关于直线y＝－x对称的圆的方程为( )
A.(x＋3)2＋(y－1)2＝5 B.(x－1)2＋(y－3)2＝5
C.(x＋1)2＋(y＋3)2＝5 D.(x－1)2＋(y＋3)2＝5
C
3.若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是( )
B
解析 设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为(x，y)，
4.点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )
A.(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B.(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C.(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D.(x＋2)2＋(y－1)2＝1
A
代入x2＋y2＝4，得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
解析 圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，故a＜5.
又因为弦AB的中点为M(0，1)，
故M点在圆内，
所以(0＋1)2＋(1－2)2＜5－a，即a＜3.
综上a＜3.故选AB.
5.(多选)已知直线l与圆C：x2＋y2＋2x－4y＋a＝0相交于A，B两点，弦AB的中点为M(0，1)，则实数a的取值可以为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
AB
解析 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，D2＋E2－4F>0，
将P，Q两点的坐标代入得
6.已知圆C经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长为6，则圆C的方程为( )
A.x2＋y2－2x－4y－8＝0
B.x2＋y2＋2x－4y－8＝0
C.x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0
D.x2＋y2＋2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0
C
令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0， ③
设x1，x2是方程③的两根，由|x1－x2|＝6得D2－4F＝36， ④
故所求的圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.
解析 圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴，
已知圆的圆心为(－1，3)，由题设知，直线kx＋2y－4＝0过圆心，
则k×(－1)＋2×3－4＝0，解得k＝2.
7.若圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9上相异两点P，Q关于直线kx＋2y－4＝0对称，则k的值为________.
2
解析 求△ABP面积的最小值，即求P到直线AB距离的最小值，即为圆心到直线AB的距离减去半径.
8.已知两点A(0，－3)，B(4，0)，若点P是圆C：x2＋y2－2y＝0上的动点，则△ABP的面积的最小值为________.
圆x2＋y2－2y＝0，即x2＋(y－1)2＝1，圆心为(0，1)，半径为1，
∵圆心到直线AB的距离为
∵|AB|＝5，
解析 圆N：(x＋4)2＋(y－2)2＝1，
关于x轴对称的圆为圆N′：(x＋4)2＋(y＋2)2＝1，
9.已知P，Q分别为圆M：(x－6)2＋(y－3)2＝4与圆N：(x＋4)2＋(y－2)2＝1上的动点，A为x轴上的动点，则|AP|＋|AQ|的最小值为__________.
解 由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，
可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，
10.已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，3).
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0.
∵直线MQ与圆C有交点，
∴y－x的最大值为9，最小值为1.
(3)求y－x的最大值和最小值.
解 设y－x＝b，则x－y＋b＝0.
当直线y＝x＋b与圆C相切时，截距b取到最值，
解 圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0，4)，半径为4.
11.已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.
(1)求M的轨迹方程；
故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，
即(x－1)2＋(y－3)2＝2.
由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.
由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM.
(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积.
故l的方程为x＋3y－8＝0.
解析 圆心坐标为(k，k)，在直线y＝x上，A正确；
令(3－k)2＋(0－k)2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，
∵Δ＝36－40＝－4＜0，∴2k2－6k＋5＝0无实数根， ∴B正确；
12.(多选)设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是( )
A.不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上
B.所有圆Ck均不经过点(3，0)
C.经过点(2，2)的圆Ck有且只有一个
D.所有圆的面积均为4π
ABD
由(2－k)2＋(2－k)2＝4，
化简得k2－4k＋2＝0，
∵Δ＝16－8＝8＞0，有两个不相等实根，
∴经过点(2，2)的圆Ck有两个，C错误；
由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确.
若在圆C上存在两点A，B，在直线l上存在一点P，使得∠APB＝90°，
过P作圆的两条切线PM，PN(M，N为切点)，则由题意得，∠MPN≥90°，
而当CP⊥l时，∠MPN最大，只要此最大角≥90°即可，
13.已知直线l：3x＋4y＋m＝0，圆C：x2＋y2－4x＋2＝0，则圆C的半径r＝________；若在圆C上存在两点A，B，在直线l上存在一点P，使得∠APB＝90°，则实数m的取值范围是____________.
[－16，4]
解 由题意得F(1，0)，l的方程为
y＝k(x－1)(k>0).
设A(x1，y1)，B(x2，y2).
14.设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
因此l的方程为y＝x－1.
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程.
解 由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，
所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.
设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则2025高考数学一轮复习-8.3-圆的方程-专项训练
基 础 巩固练
1.已知圆C的一条直径的两个端点的坐标分别是O(1,1)和A(3,3),则圆的标准方程是( )
A.(x-2)2+(y-2)2=1
B.(x-2)2+(y+2)2=2
C.(x-2)2+(y-2)2=2
D.(x+2)2+(y+2)2=2
2.“方程x2+y2-4x+6y+a=0表示的图形是圆”是“a2-144≤0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.(2023扬州月考)若直线2x+y-1=0是圆x2+(y+a)2=1的一条对称轴,则a=( )
A.-1 B.1
C. D.-
4.设P(x,y)是圆C:(x-2)2+y2=1上任意一点,则(x-5)2+(y+4)2的最大值为( )
A.6 B.25 C.26 D.36
5.(多选题)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的圆的方程为( )
A.(x-2)2+(y-1)2=5
B.(x-2)2+(y-3)2=13
C.=22
D.+(y-1)2=
6.(多选题)已知曲线C:Ax2+By2+Dx+Ey+F=0,下列说法正确的是( )
A.若A=B=1,则C是圆
B.若A=B≠0,D2+E2-4AF>0,则C是圆
C.若A=B=0,D2+E2>0,则C是直线
D.若A≠0,B=0,则C是直线
7.(2023连云港期中)已知圆C的圆心在y轴上,半径长为1,且过点(1,2),则圆C的标准方程为 .
8.点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任意一点连线的中点的轨迹方程是 .
9.已知圆过P(4,-2),Q(-1,3)两点,且在y轴上截得的线段长为4,求圆的方程.
综 合 提升练
10.(多选题)已知点A(-1,0),B(0,2),P是圆(x-1)2+y2=1上任意一点,若△PAB面积的最大值为a,最小值为b,则( )
A.a=2 B.a=2+
C.b=2- D.b=-1
11.过点M(2,2)的直线l与坐标轴的正半轴分别相交于A,B两点,O为坐标原点,若△OAB的面积为8,则△OAB外接圆的标准方程是( )
A.(x-2)2+(y-2)2=8
B.(x-1)2+(y-2)2=8
C.(x+2)2+(y-2)2=8
D.(x-1)2+(y+2)2=8
12.若点C到A(-1,0),B(1,0)的距离之比为,则点C到直线x-2y+8=0的距离的最小值为( )
A.2 B.
C.2 D.
13.对任意实数m,圆x2+y2-3mx-6my+9m-2=0过定点,则定点坐标为 .
14.如图,已知圆O:x2+y2=16,A,B是圆O上的两个动点,点P(2,0),则矩形PACB的顶点C的轨迹方程是 .
15.在平面直角坐标系xOy中,曲线Γ:y=x2-mx+2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A,B,曲线Γ与y轴交于点C.
(1)是否存在以AB为直径的圆过点C 若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由.
(2)求证:过A,B,C三点的圆过定点.
创 新 应用练
16.在平面几何中,将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆,称为该平面图形的最小覆盖圆.如线段的最小覆盖圆就是以该线段为直径的圆,锐角三角形的最小覆盖圆就是该三角形的外接圆.若A(-2,0),B(2,0),C(0,4),则△ABC的最小覆盖圆的半径为( )
A. B.2 C. D.3
参考答案
1.C 2.B 3.A 4.D 5.AB 6.BC
7.x2+(y-2)2=1 8.(x-2)2+(y+1)2=1
9.解 方法一:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),①
将P,Q的坐标分别代入①,
得
令x=0,由①得y2+Ey+F=0.④
由已知得|y1-y2|=4,其中y1,y2是方程④的两根.
∴(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48.⑤
解②③⑤联立成的方程组,
得
故所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10x-8y+4=0.
方法二:求得PQ的中垂线方程为x-y-1=0.①
∴所求圆的圆心C在直线x-y-1=0上,
∴设其坐标为C(a,a-1),
圆C的半径
r=|CP|=
又圆C截y轴所得的线段长为4,而圆心C到y轴的距离为|a|,
∴r2=a2+,代入②并将两端平方,
并整理得a2-6a+5=0,解得a1=1,a2=5.
∴当圆心为(1,0)时,半径r1=;当圆心为(5,4)时,半径r2=
故所求圆的方程为(x-1)2+y2=13或(x-5)2+(y-4)2=37.
10.BC 11.A 12.A
13.(1,1)或 14.x2+y2=28
15.解 由曲线Γ:y=x2-mx+2m(m∈R),令y=0,得x2-mx+2m=0.设A(x1,0),B(x2,0),可得Δ=m2-8m>0,则m<0或m>8,x1+x2=m,x1x2=2m.令x=0,得y=2m,即C(0,2m).
(1)若存在以AB为直径的圆过点C,则=0,得x1x2+4m2=0,即2m+4m2=0,所以m=0(舍去)或m=-
此时C(0,-1),AB的中点,即圆心为M,半径r=|CM|=,故所求圆的方程为+y2=
(2)设过A,B两点的圆的方程为x2+y2-mx+Ey+2m=0,将点C(0,2m)代入可得E=-1-2m,
所以过A,B,C三点的圆的方程为x2+y2-mx-(1+2m)y+2m=0.整理得x2+y2-y-m(x+2y-2)=0.
令可得故过A,B,C三点的圆过定点(0,1)和
16.C
