7.1-基本立体图形、简单几何体的表面积与体积-专项训练【原卷版】
基础巩固练
1. 已知圆柱的底面半径是3，高是4，则圆柱的侧面积是（ ）.
A. B. C. D.
2. 下列几何体中，棱数最多的是（ ）.
A. 五棱锥 B. 三棱台 C. 三棱柱 D. 四棱锥
3. 如图，一个水平放置的图形的直观图是一个等腰直角三角形，斜边长，则原平面图形的面积是（ ）.
A. 2 B. C. D.
4. [2024·淮安模拟]用半径为2的半圆形铁皮围成一个圆锥筒，则该圆锥筒的高为（ ）.
A. 1 B. C. 2 D. 6
5. 某水果盘可以近似看成一个正六棱台，厚度忽略不计，它的上端是棱长为的正六边形开口，下端是棱长为的正六边形的封闭底面，侧面是6个封闭的等腰梯形，水果盘的高为，则该水果盘的容积为（ ）.
A. B. C. D.
6. “三棱锥是正三棱锥”的一个必要不充分条件是（ ）.
A. 三棱锥是正四面体 B. 三棱锥不是正四面体
C. 三棱锥有一个面是正三角形 D. 是正三角形且
7. 古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他最满意的一个数学发现——圆柱容球定理.如图，这是一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球，该球四周碰边（即圆柱的底面直径和高都等于球的直径），则圆柱的表面积与球的表面积之比为（ ）.
A. B. C. D.
8. 类比在数学中应用广泛，数与式、平面与空间、一元与多元、低次与高次、有限与无限之间有不少结论，都是先用类比猜想，而后加以证明得出的.已知在中， ，，，则外接圆的半径，由此类比，在四面体中，三条侧棱两两垂直，三条侧棱长分别是,,，则该四面体外接球的半径为（ ）.
A. B. C. D.
综合提升练
9. （多选题）在正方体的8个顶点中任意取4个不同的顶点，则下列说法正确的是（ ）.
A. 存在四个点，使得这四个点构成平行四边形
B. 存在四个点可以构成正四面体
C. 不存在这样的四个点，使得构成的四面体每个面都是直角三角形
D. 存在这样的四个点，使得构成的四面体有三个面是直角三角形、一个面是等边三角形
10. （多选题）某球形巧克力设计了一种圆柱形包装盒，每盒可装7个球形巧克力，每盒只装一层，相邻的球形巧克力相切，与包装盒接触的6个球形巧克力与圆柱形包装盒侧面及上、下底面都相切.如图，这是平行于底面且过圆柱母线中点的截面，设包装盒的底面半径为，球形巧克力的半径为，每个球形巧克力的体积为，包装盒的体积为，则（ ）.
A. B. C. D.
11. 如图，将正方体沿交于同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体，则得到的二十四等边体与原正方体的体积之比为
12.(双空题)(2024·九省适应性测试)已知轴截面为正三角形的圆锥MM'的高与球O的直径相等,则圆锥MM'的体积与球O的体积的比值是 ,圆锥MM'的表面积与球O的表面积的比值是 .
应用情境练
13. 已知一种米斗可盛米10升（1升），该米斗的形状可看作正四棱台，且上口宽为，下口宽为，则高约为.（结果保留一位小数）
14. 将半径均为2的四个球堆成如图所示的“三角垛”，若该三角垛能放入一个正四面体容器内，则该容器棱长的最小值为
创新拓展练
15. 如图，正方体的棱长为2，点在正方形的边界及其内部运动，则四面体的体积的最大值是
16. 已知在正六棱台中，，，，设侧棱的延长线交于点，几何体的外接球半径为，正六棱台的外接球半径为.
（1）求此正六棱台的体积；
（2）求的比值.
7.1-基本立体图形、简单几何体的表面积与体积-专项训练【解析版】
基础巩固练
1. 已知圆柱的底面半径是3，高是4，则圆柱的侧面积是（ C ）.
A. B. C. D.
[解析]由题意设底面半径为，母线为，圆柱的侧面积为 .故选.
2. 下列几何体中，棱数最多的是（ A ）.
A. 五棱锥 B. 三棱台 C. 三棱柱 D. 四棱锥
[解析]因为五棱锥有10条棱，三棱台有9条棱，三棱柱有9条棱，四棱锥有8条棱，所以这些几何体中棱数最多的是五棱锥，故选.
3. 如图，一个水平放置的图形的直观图是一个等腰直角三角形，斜边长，则原平面图形的面积是（ B ）.
A. 2 B. C. D.
[解析]根据斜二测画法可得原图形为如图所示的，是等腰直角三角形， 斜二测画法可得 为直角三角形，，，， 原平面图形的面积是.故选．
4. [2024·淮安模拟]用半径为2的半圆形铁皮围成一个圆锥筒，则该圆锥筒的高为（ B ）.
A. 1 B. C. 2 D. 6
[解析]半圆的弧长 等于圆锥的底面圆的周长，故底面圆的半径为1，圆锥母线为2，故高为.故选.
5. 某水果盘可以近似看成一个正六棱台，厚度忽略不计，它的上端是棱长为的正六边形开口，下端是棱长为的正六边形的封闭底面，侧面是6个封闭的等腰梯形，水果盘的高为，则该水果盘的容积为（ B ）.
A. B. C. D.
[解析]由题意可知，正六棱台的上底面面积，下底面面积，所以正六棱台的体积，即该水果盘的容积为.故选.
6. “三棱锥是正三棱锥”的一个必要不充分条件是（ C ）.
A. 三棱锥是正四面体 B. 三棱锥不是正四面体
C. 三棱锥有一个面是正三角形 D. 是正三角形且
[解析]由正三棱锥的定义，得三棱锥 是正三棱锥等价于“有一个面是正三角形，其他面是等腰三角形”.
对于,因为三棱锥 是正四面体等价于四个面是全等的正三角形，所以“三棱锥 是正四面体”是“三棱锥 是正三棱锥”的充分不必要条件，故 错误；
对于,因为一个正三棱锥可能是正四面体，也可能不是正四面体，
所以“三棱锥 不是正四面体”是“三棱锥 是正三棱锥”的既不充分也不必要条件，故 错误；
对于,因为三棱锥 是正三棱锥等价于有一个面是正三角形，其他面是等腰三角形，所以“有一个面是正三角形”是“三棱锥 是正三棱锥”的必要不充分条件，故 正确；
对于,因为三棱锥 是正三棱锥等价于底面 是正三角形，其他面是等腰三角形，所以“是正三角形且”是“三棱锥 是正三棱锥”的充要条件，故 错误.故选.
7. 古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他最满意的一个数学发现——圆柱容球定理.如图，这是一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球，该球四周碰边（即圆柱的底面直径和高都等于球的直径），则圆柱的表面积与球的表面积之比为（ C ）.
A. B. C. D.
[解析]设球的半径为，圆柱的表面积为，球的表面积为，根据题意可得圆柱的底面半径为，高为，则,故圆柱的表面积与球的表面积之比为.故选.
8. 类比在数学中应用广泛，数与式、平面与空间、一元与多元、低次与高次、有限与无限之间有不少结论，都是先用类比猜想，而后加以证明得出的.已知在中， ，，，则外接圆的半径，由此类比，在四面体中，三条侧棱两两垂直，三条侧棱长分别是,,，则该四面体外接球的半径为（ B ）.
A. B. C. D.
[解析]如图，将四面体 还原到长方体中，
可见四面体 的外接球球心即长方体的体对角线交点，显然四面体 外接球半径为.故选.
综合提升练
9. （多选题）在正方体的8个顶点中任意取4个不同的顶点，则下列说法正确的是（ ABD ）.
A. 存在四个点，使得这四个点构成平行四边形
B. 存在四个点可以构成正四面体
C. 不存在这样的四个点，使得构成的四面体每个面都是直角三角形
D. 存在这样的四个点，使得构成的四面体有三个面是直角三角形、一个面是等边三角形
[解析]对于，如图1，四边形 为平行四边形，所以 正确；
对于，如图2，四面体 是正四面体，所以 正确；
对于，如图3，在四面体 中，,,,，故每个面都是直角三角形，所以 不正确；
对于，如图4，在四面体 中，，,均是直角三角形，为等边三角形，所以 正确.
故选.
10. （多选题）某球形巧克力设计了一种圆柱形包装盒，每盒可装7个球形巧克力，每盒只装一层，相邻的球形巧克力相切，与包装盒接触的6个球形巧克力与圆柱形包装盒侧面及上、下底面都相切.如图，这是平行于底面且过圆柱母线中点的截面，设包装盒的底面半径为，球形巧克力的半径为，每个球形巧克力的体积为，包装盒的体积为，则（ AD ）.
A. B. C. D.
[解析]由截面图可以看出，圆柱的底面直径是球形巧克力直径的3倍，即可得，
由题意可知，圆柱的高等于球形巧克力的直径，设圆柱的高为,即，
，，则有.故选.
11. 如图，将正方体沿交于同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体，则得到的二十四等边体与原正方体的体积之比为 .
[解析]如图,设原正方体的棱长为，则正方体的体积为，又因为截去的8个三棱锥为全等的三棱锥，都有三条互相垂直的棱，棱长为，故截去体积为，所以二十四等边体的体积为，所以二十四等边体与原正方体的体积之比为.
12.(双空题)(2024·九省适应性测试)已知轴截面为正三角形的圆锥MM'的高与球O的直径相等,则圆锥MM'的体积与球O的体积的比值是 ,圆锥MM'的表面积与球O的表面积的比值是 1 .
[解析] 设圆锥的底面半径为r,球的半径为R,
因为圆锥的轴截面为正三角形,所以圆锥的高h=r,母线l=2r,
由题可知,h=2R,所以球的半径R=r,
所以圆锥的体积V1=·(π×r2)·r=πr3,
球的体积V2=πR3=π·r3=πr3,
所以==.
圆锥的表面积S1=πrl+πr2=3πr2,
球的表面积S2=4πR2=4π×r2=3πr2,
所以==1.
应用情境练
13. 已知一种米斗可盛米10升（1升），该米斗的形状可看作正四棱台，且上口宽为，下口宽为，则高约为22.5.（结果保留一位小数）
[解析]根据题意，设该棱台的高为，该正四棱台下底面边长为，上底面边长为，其体积 升，则，得.
14. 将半径均为2的四个球堆成如图所示的“三角垛”，若该三角垛能放入一个正四面体容器内，则该容器棱长的最小值为 .
[解析]对于正四面体，若棱长为，设 为正四面体外接球球心，是正四面体底面三角形的中心，为 的中点，如图所示，则，则，.
设外接球的半径为，则，
在 中，，解得，所以，即正四面体的中心 到正四面体底面的距离为.
半径均为2的四个球堆成的“三角垛”，由球心，，，构成的四面体，棱长为4，该三角垛能放入一个正四面体容器内，
则当该容器棱长取最小值时，每个小球均与正四面体的面相切，任意两个小球外切，
设这个正四面体容器棱长为，则有，
解得，则该容器棱长的最小值为.
创新拓展练
15. 如图，正方体的棱长为2，点在正方形的边界及其内部运动，则四面体的体积的最大值是 .
[解析]在正方体 中， 平面，所以 平面,则 是四面体 以 为底面时的高.因为，所以当 最大时，四面体 的体积取最大值，因为点 在正方形 的边界及其内部运动，所以当点 在线段 上时，最大，其最大值为，所以四面体 的体积的最大值为.
16. 已知在正六棱台中，，，，设侧棱的延长线交于点，几何体的外接球半径为，正六棱台的外接球半径为.
（1）求此正六棱台的体积；
（2）求的比值.
[解析]（1）依题意，在正六棱台 中，，，，则其上底面是由六个边长为3的正三角形组成的，则其面积，其下底面是由六个边长为4的正三角形组成的，则其面积，其高，所以该正六棱台的体积.
（2）设上底面中心为，下底面中心为，连接，，，则 垂直于上下底面，如图1，
连接,，则,，且，作，垂足为，则,，连接,，则，故，则 为钝角，又正六棱台外接球球心位于平面 上，所以设正六棱台外接球球心为，则 在 的延长线上，因为外接球半径为，所以,，即,，解得,，则.
连接，
如图2，易得,,三点共线，且，
所以，则，易知，
所以 是几何体 的外接球的球心，则，所以.(共78张PPT)
第七章 立体几何与空间向量
第1节 基本立体图形、简单几何体的
表面积与体积
ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
知识诊断 基础夯实
1
(1)多面体的结构特征
1.空间几何体的结构特征
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
底面 互相______且______ 多边形 互相______且______
平行
全等
平行
相似
侧棱 ____________ 相交于______，但不一定相等 延长线交于______
侧面形状 ____________ ________ 梯形
平行且相等
一点
一点
平行四边形
三角形
(2)旋转体的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
图形
母线 互相平行且相等，______于底面 相交于______ 延长线交于____
轴截面 ______ ____________ 等腰梯形 圆面
侧面展开图 ______ ______ 扇环
垂直
一点
一点
矩形
等腰三角形
矩形
扇形
(1)画法：常用____________.
(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为______________________，z′轴与x′轴、y′轴所在平面______.
②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别________坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度______，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的______.
2.直观图
斜二测画法
45°(或135°)
垂直
平行于
不变
一半
3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱 圆锥 圆台
侧面展开图
侧面积公式 S圆柱侧＝_____ S圆锥侧＝_____ S圆台侧＝___________
2πrl
πrl
π(r1＋r2)l
4.柱、锥、台、球的表面积和体积
×
解析 (1)反例：由两个平行六面体上下组合在一起的图形满足条件，但不是棱柱.
(2)反例：如图所示的图形满足条件但不是棱锥.
(3)用斜二测画法画水平放置的菱形的直观图是平行四边形，
但邻边不一定相等，(3)错误.
(4)球的体积之比等于半径比的立方，故不正确.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.( )
(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.( )
(3)菱形的直观图仍是菱形.( )
(4)两个球的体积之比等于它们的半径比的平方.( )
×
×
×
B
C
3.如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°的等腰梯形，已知直观图OA′B′C′的面积为4，则该平面图形的面积为( )
所以球的表面积为4πR2＝(2R)2π＝12π.
4.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A
解析 对于A，如两个同底的三棱锥构成的六面体，不是三棱锥，故错误；
对于B，球面上任意两点与球心共线时，可以作球的无数个大圆，与球心不共线时，可以作球的一个大圆，故正确；
对于C，一条侧棱垂直于底面直角三角形的一个锐角顶点的三棱锥满足题意，故正确；
对于D，作直观图时，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度减半，故错误.
5.(多选)下列说法中正确的是( )
A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B.过球面上任意两点可作球的一个大圆或无数个大圆
C.三棱锥的四个面都可以是直角三角形
D.梯形的直观图可以是平行四边形
BC
小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这一天的雨水属于哪个等级( )
6.对24小时内降水在平地上的积水厚度(mm)进行如下定义：
B
0～10 10～25 25～50 50～100
小雨 中雨 大雨 暴雨
A.小雨 B.中雨
C.大雨 D.暴雨
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
考点突破 题型剖析
2
例1 (1)(多选)下面关于空间几何体的叙述正确的是( )
A.底面是正多边形的棱锥是正棱锥
B.用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形
C.长方体是直平行六面体
D.存在每个面都是直角三角形的四面体
CD
角度1 空间几何体的结构特征
解析 A中，当顶点在底面的投影是正多边形的中心才是正棱锥，不正确；
B中，当平面与圆柱的母线平行或垂直时，截得的截面才为矩形或圆，否则为椭圆或椭圆的一部分，B不正确；
C正确；
D正确，如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形.
解析 对于A，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故A错；
对于B，等腰三角形的腰不是侧棱时不一定成立(如图)，故B错；
对于C，若底面不是矩形，则C错；
对于D，可知侧棱垂直于底面，故D正确.
综上，命题ABC不正确.
(2)(多选)给出下列四个命题，不正确的是( )
A.有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱
B.侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥
C.侧面都是矩形的直四棱柱是长方体
D.底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱
ABC
解析 根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则可知，在x轴上(或与x轴平行)的线段，其长度保持不变；
在y轴上(或与y轴平行)的线段，其长度变为原来的一半，且∠x′O′y′＝45°(或135°)，
例2 一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于( )
角度2 直观图
B
解析 圆锥顶点记为O，把圆锥侧面沿母线OP展开成如图所示的扇形，
角度3 展开图
又∠POP′为△POP′一内角，
解析 ①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转一周形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；
训练1 (1)给出下列命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；
③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.
其中正确命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
A
③错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等.
(2)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是________.
解析 如图，设圆锥的母线长为l，底面半径为r，则圆锥的侧面积S侧＝πrl＝2π，即r·l＝2.
1
由于侧面展开图为半圆，
因此r＝1.
解析 如图(1)和(2)的实际图形和直观图所示.
D′C′＝1，A′B′＝3，
则直观图A′B′C′D′的面积
解析 如图，在正四棱锥S－ABCD中，O为正方形ABCD的中心，SH⊥AB，
设底面边长为2a(a＞0)，
AC
角度1 表面积和侧面积
解析 如图所示，∵AB，AC的夹角是60°，AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∵AC与圆锥底面所成的角是30°，
解析 如图，由正方体棱长为2及M，N分别为BB1，AB的中点，得
例5 (1)棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1－D1MN的体积为________.
角度2 体积
1
又易知D1A1为三棱锥D1－A1MN的高，且D1A1＝2，
解析 如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH.
(2)如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为________.
则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱.
∴V多面体＝VE－ADG＋VF－BHC＋VAGD－BHC＝2VE－ADG＋VAGD－BHC
解析 连接该正四棱台上、下底面的中心，如图，因为该四棱台上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，
训练2 (1)正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为( )
D
(2)已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为________.
39π
解析 ∵ED⊥平面ABCD且AD 平面ABCD，∴ED⊥AD.
∵在正方形ABCD中，AD⊥DC，
而DC∩ED＝D，
∴AD⊥平面CDEF.
(3)如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，ED＝2FC＝2，则四面体ABEF的体积为________.
角度1 外接球
解析 如图所示，由球心作平面ABC的垂线，
例6 (1)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为________.
则垂足为BC的中点M.
解析 如图，过点S作SE⊥平面ABC于点E，记球心为O.
∵球心O到四个顶点的距离相等，均等于该正三棱锥外接球的半径R，
∴OB＝R，OE＝6－R.
在Rt△BOE中，OB2＝BE2＋OE2，
即R2＝12＋(6－R)2，解得R＝4，
∴外接球的表面积为S＝4πR2＝64π.
64π
解析 圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切球，设其半径为r.
作出圆锥的轴截面PAB，如图所示，则△PAB的内切圆为圆锥的内切球的大圆.
例7 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________.
角度2 内切球
解析 平面ACD1截球O的截面为△ACD1的内切圆，
训练3 (1)如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为( )
C
∵正方体棱长为1，
∴内切圆半径r＝tan 30°·AE
解析 如图所示.
∵BP⊥PC，AO⊥平面PBC，
∴三棱锥A－PBC的外接球球心M在AO上，
又球M的表面积为64π，
∴r外＝4，在Rt△MOB中，
24π或8π
∴MO＝2，MA＝4，∴AO＝6或AO＝2，
三棱锥外接球球心的确定方法
空间几何体外接球问题的处理关键是确定球心的位置，常见的求解方法有如下几种：
(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解.
(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2＝a2＋b2＋c2求解.
(3)利用平面几何体知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.
解析 根据题意得BC⊥平面ABD，则BC⊥BD，即AD，BC，BD三条线两两垂直，所以可将三棱锥A－BCD放置于长方体内，如图所示.
例1 (1)在三棱锥A－BCD中，若AD⊥平面BCD，AB⊥BC，AD＝BD＝2，CD＝4，点A，B，C，D在同一个球面上，则该球的表面积为________.
20π
一、补形法之一——存在侧棱与底面垂直
该三棱锥的外接球即为长方体的外接球，球心为长方体体对角线的中点.
即外接球的半径为体对角线长的一半.
此时AC为该球的直径，所以该球的表面积S＝4πR2＝π·AC2＝π·(22＋42)＝20π.
解析 由题意得底面BCD为等边三角形，又AB⊥平面BCD，所以可将三棱锥A－BCD放置于直棱柱的一角，如图所示，
该三棱锥的外接球即为直三棱柱的外接球，
球心为直三棱柱上下底面外接圆圆心连线的中点.
设直三棱柱上下底面外接圆的圆心分别为O1，O2，
连接O1O2，取O1O2的中点为O，连接OB，O2B，则O为外接球的球心，
OB为外接球的半径，O2B为△BCD外接圆的半径，OO2＝1.
8π
所以外接球的表面积S＝4π·OB2＝8π.
解析 考虑到三棱锥A－BCD对棱相等，可利用长方体面对角线相等，
将该三棱锥放置于长方体内，三组对棱即为长方体的三组面对角线，如图所示.
该三棱锥的外接球即为长方体的外接球，
球心在长方体对角线的中点，即外接球的半径为体对角线长的一半.
设此长方体的长、宽、高分别为x、y、z，
二、补形法之二——对棱相等
所以AB2＋BC2＝16＝AC2，即△ABC为直角三角形.
故△ABC外接圆的圆心为斜边AC的中点.
取AC的中点为O1，连接PO1，则PO1⊥AC.
由平面PAC⊥平面ABC，得PO1⊥平面ABC.
三、借助三角形外心确定球心位置
该三棱锥外接球的球心在线段PO1上.
设球心为O，连接OA，则OA＝OP，且均为外接球的半径.
由题意得AD⊥BC，
SD⊥BC，
∴∠ADS是二面角A－BC－S的平面角，
解析 如图，取线段BC的中点D，连接AD，SD，
由题意得BC⊥平面ADS，分别取AD，SD的三等分点E，F，
在平面ADS内，过点E，F分别作直线垂直于AD，SD，
两条直线的交点即球心O，连接OA，
则球O半径R＝OA，
连接OD，在Rt△ODE中，
(3)在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝1，AB⊥BC，BC⊥CP，PA⊥AB，∠CPA＝60°，则该三棱锥外接球的体积为________.
解析 如图所示，由题意知，△ABC，△PCB，△PAB均为直角三角形，而且有Rt△PCB≌Rt△PAB，则PC＝PA.
在Rt△ABC中，其外接圆的圆心为斜边AC的中点，
设其为O1，过点O1作直线l⊥平面ABC，该三棱锥外接球的球心在l上.
不妨设球心为O，则OA＝OB＝OC＝OP.
FENCENGXUNLIAN GONGGUTISHENG
分层训练 巩固提升
3
解析 棱柱的侧面都是平行四边形，A错误；
其他侧面可能是平行四边形，B错误；
棱柱的侧棱与底面边长并不一定相等，D错误；
易知C正确.
1.下列说法中，正确的是( )
A.棱柱的侧面可以是三角形
B.若棱柱有两个侧面是矩形，则该棱柱的其他侧面也是矩形
C.正方体的所有棱长都相等
D.棱柱的所有棱长都相等
C
2.一个菱形的边长为4 cm，一内角为60°，用斜二测画法画出的这个菱形的直观图的面积为( )
B
解析 设底面圆的半径为R，圆柱的高为h，
依题意2R＝h＝2，∴R＝1.
3.现有同底等高的圆锥和圆柱，已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面积为( )
D
解析 将圆柱桶竖放，水面为圆面；
将圆柱桶斜放，水面为椭圆面或部分椭圆面；
将圆柱桶水平放置，水面为矩形面，但圆柱桶内的水平面不可以呈现出梯形面.
4.(多选)在一个密闭透明的圆柱筒内装一定体积的水，将该圆柱筒分别竖直、水平、倾斜放置时，指出圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状可能是( )
A.圆面 B.矩形面
C.梯形面 D.椭圆面或部分椭圆面
ABD
解析 取AB的中点O，
所以CA2＋CB2＝AB2，AD2＋BD2＝AB2，
可得∠ACB＝∠ADB＝90°，
B
解析 如图所示，设球O的半径为R，⊙O1的半径为r，
6.已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆.若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为( )
A.64π B.48π C.36π D.32π
A
因为⊙O1的面积为4π，所以4π＝πr2，解得r＝2，
又AB＝BC＝AC＝OO1，
所以球O的表面积S＝4πR2＝64π.
解析 如图，连接AD1，BC1分别延长至F，G，
使得AD＝AF，BC＝BG，连接EG，FG，
∵四棱柱ABCD－A1B1C1D1为正四棱柱，
∴AB⊥平面ADD1A1，AB⊥平面BCC1B1，
∴AB⊥AF，AB⊥BG，
B
又AB＝AD＝AF，
∴四边形ABGF为正方形，
∴D1E＋CE的最小值为D1G，
8.已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O－ABC的体积为( )
A
C
10.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是____________cm3.
解析 由题意，圆柱底面半径为r，球的半径为R，
11.如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现.我们来重温这个伟大发现，圆柱的体积与球的体积之比为________，圆柱的表面积与球的表面积之比为________.
V柱＝πr2h＝π·R2·2R＝2πR3.
S球＝4πR2，
S柱＝2πr2＋2πrh＝2πR2＋2πR·2R＝6πR2.
12.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体ABCD－A1B1C1D1挖去四棱锥O－EFGH后所得的几何体.其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为______g.
118.8
又长方体ABCD－A1B1C1D1的体积为
V2＝4×6×6＝144(cm3)，
所以该模型的体积V＝V2－V1＝144－12＝132(cm3)，
因此模型所需原材料的质量为0.9×132＝118.8(g).
A.12 B.25 C.30 D.36
13.碳70(C70)是一种碳原子族，可高效杀死癌细胞，它是由70个碳原子构成的，其结构是由五元环(正五边形面)和六元环(正六边形面)组成的封闭的凸多面体，共37个面，则其六元环的个数为( )
B
C70分子结构图
解析 根据题意，顶点数就是碳原子数，即为70，
每个碳原子被3条棱共用，面数为37，
设有正五边形x个，正六边形y个，
则x＋y＝37，5x＋6y＝70×3，解得x＝12，y＝25，
故正六边形个数为25，即六元环的个数为25.
解析 对于A，如图1，AB1∥DC1，
易证AB1∥平面C1BD，
同理AD1∥平面C1BD，且AB1∩AD1＝A，AB1，AD1 平面AB1D1，
所以平面AB1D1∥平面C1BD，
又AE 平面AB1D1，所以AE∥平面C1BD，A正确.
14.(多选)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝1，则当E，F移动时，下列结论正确的是( )
A.AE∥平面C1BD
B.四面体ACEF的体积不为定值
C.三棱锥A－BEF的体积为定值
D.四面体ACDF的体积为定值
ACD
点C到平面AEF的距离为点C到平面AB1D1的距离d为定值，
解析 如图所示，连接AB1，AC1.
15.若E，F是三棱柱ABC－A1B1C1侧棱BB1和CC1上的点，且B1E＝CF，三棱柱的体积为m，则四棱锥A－BEFC的体积为________.
因为B1E＝CF，所以梯形BEFC的面积等于梯形B1EFC1的面积.
又四棱锥A－BEFC的高与四棱锥A－B1EFC1的高相等，
VABC－A1B1C1＝S△A1B1C1·AA1＝m，
解析 ①如图所示，
显然OA＝OB＝OC＝OD＝15.
设H为△BCD的中心，
则A，O，H三点在同一条直线上.
∴正三棱锥A－BCD的高h＝9＋15＝24.
