(共57张PPT)
第八章 平面解析几何
第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系
ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
知识诊断 基础夯实
1
1.直线与圆的位置关系
位置关系 相离 相切 相交
图形
量化 方程观点 Δ____0 Δ____0 Δ____0
几何观点 d____r d____r d____r
<
＝
>
>
＝
<
2.圆与圆的位置关系
则两圆C1，C2有以下位置关系：
位置关系 外离 内含 相交 内切 外切
圆心距 与半径 的关系 _________ __________ ____________________ __________ ________
图示
公切线条数 4 0 2 1 3
d>r1＋r2
d<|r1－r2|
|r1－2|d＝|r1－r2|
d＝r1＋r2
1.圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
×
解析 (1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的充分不必要条件；
(2)除外切外，还有可能内切；
(3)两圆还可能内切或内含.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件.( )
(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.( )
(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.( )
(4)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆，且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.( )
×
×
√
AB
解析 联立直线与圆的方程得
2.(多选)直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是( )
A.0＜m＜1 B.－1＜m＜0 C.m＜1 D.－3＜m＜1
得2x2＋(2m－2)x＋m2－1＝0，
根据题意得Δ＝(2m－2)2－8(m2－1)＝－4(m＋1)2＋16＞0，得－3＜m＜1.
∵{m|0＜m＜1}?{m|－3＜m＜1}，{m|－1＜m＜0}?{m|－3＜m＜1}，
∴0＜m＜1和－1＜m＜0都是直线与圆相交的充分不必要条件.
ABD
3.(多选)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是( )
A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
4.两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是________.
内切
5.直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|＝______.
解析 如图，直线分别与两个半径相等的圆相切，由对称性可知，直线与x轴的交点为A(2，0).
6.已知直线y＝kx＋b(k＞0)与圆x2＋y2＝1和圆(x－4)2＋y2＝1均相切，则k＝__________，b＝__________.
由AB＝2，BM＝1，∠AMB＝90°，得∠MAB＝30°，
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
考点突破 题型剖析
2
解析 因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，
所以a2＋b2＞1，而圆心O到直线ax＋by＝1的距离
1.已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )
A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定
B
所以直线与圆相交.
解析 将直线l的方程整理为x＋y－4＋m(2x＋y－7)＝0，
2.(多选)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0.则以下几个命题正确的有( )
A.直线l恒过定点(3，1) B.直线l与圆C相切
C.直线l与圆C恒相交 D.直线l与圆C相离
AC
则无论m为何值，直线l过定点(3，1)，故直线l与圆C恒相交，故AC正确.
3.若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上恒有4个点到直线l：x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是( )
A
直线l：x－y－2＝0与圆相交，l1，l2与l平行，且与直线l的距离为1，
解析 圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
圆的圆心坐标为(4，－3)，半径为5.
过原点的最短弦长为6，选项C不正确.ABD均正确.
例1 (1)(多选)已知圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则下列说法中正确的是( )
A.圆M的圆心为(4，－3) B.圆M被x轴截得的弦长为8
C.过原点的最短弦长为8 D.圆M被y轴截得的弦长为6
ABD
角度1 圆的弦长问题
取AB的中点M，连接OM(图略)，则OM⊥AB.
5
解析 当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，
∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，
例2 (1)过点P(2，4)引圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为______________________.
角度2 圆的切线问题
x＝2或4x－3y＋4＝0
即4x－3y＋4＝0.
综上，切线方程为x＝2或4x－3y＋4＝0.
设切点为A，B，
则OA⊥AP，OB⊥BP，OA＝OB，AP＝BP，AP⊥BP，
C
解析 如图所示.
解析 圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝1的圆心为C(1，－1)，半径为1，故|CB|＝|CA|＝1，又△CAB为等边三角形，
训练1 (1)已知圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝1与直线kx＋y＋1＝0相交于A，B两点，若△CAB为等边三角形，则k的值为( )
A
(2)在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为______.
解析 点A(－2，－3)关于y轴的对称点为A′(2，－3)，
故可设反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，
化为kx－y－2k－3＝0，
∵反射光线与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，
∴圆心(－3，2)到直线的距离
(3)若一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为______________.
化为24k2＋50k＋24＝0，
解 两圆的标准方程分别为
(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，
圆心分别为M(1，3)，N(5，6)，
例3 已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：
(1)m取何值时两圆外切？
当两圆外切时，
两圆的公共弦所在直线的方程为
(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0.
由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，不难求得公共弦的长为
(2)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.
解 两圆的标准方程分别为
(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，
圆心分别为M(1，3)，N(5，6)，
B
(2)已知圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0与圆C2：x2＋y2－2x＋10y－24＝0相交于A，B两点.公共弦|AB|的长为________，经过A，B两点且面积最小的圆的方程为____________________.
解析 两圆的方程作差可得x－2y＋4＝0.
∴圆C1与圆C2的公共弦AB所在的直线方程为x－2y＋4＝0，
(x＋2)2＋(y－1)2＝5
不妨设A(－4，0)，B(0，2)，
以AB为直径的圆即为面积最小的圆.
∴(x＋2)2＋(y－1)2＝5.
阿波罗尼斯圆
到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.点A，B为两定点，动点P满足|PA|＝λ|PB|.
则λ＝1时，动点P的轨迹为直线；当λ＞0且λ≠1时，动点P的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆.
解 如图所示，设动点M(x，y)，连接MO，MA，有|MA|＝2|MO|，
化简得x2＋y2＋2x－3＝0，
即(x＋1)2＋y2＝4①，
则方程①即为所求点M的轨迹方程，
它表示以C(－1，0)为圆心，2为半径的圆.
解 点C在直线l：y＝2x－4上，故设C的坐标为(a，2a－4).
因为半径r1＝1，所以圆C的方程是(x－a)2＋[y－(2a－4)]2＝1.
设点M(x，y)，则由|MA|＝2|MO|可得点M的轨迹正是阿波罗尼斯圆D，
(2)在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上.若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围.
化简整理得x2＋(y＋1)2＝4.
所以点M(x，y)在以D(0，－1)为圆心，r2＝2为半径的圆上.
又点M(x，y)在圆C上，所以两圆有公共点的条件是|r1－r2|≤|DC|≤|r1＋r2|，
FENCENGXUNLIAN GONGGUTISHENG
分层训练 巩固提升
3
1.直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
A
解析 圆O1的圆心坐标为(1，0)，半径长r1＝1，圆O2的圆心坐标为(0，2)，半径长r2＝2，
2.圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是( )
A.相离 B.相交 C.外切 D.内切
B
而r2－r1＝1，r1＋r2＝3，则有r2－r1＜d＜r1＋r2，所以两圆相交.
解析 过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，
∴点(3，1)在圆(x－1)2＋y2＝r2上，
3.过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )
A.2x＋y－5＝0 B.2x＋y－7＝0
C.x－2y－5＝0 D.x－2y－7＝0
B
∴切线的斜率为－2，则圆的切线方程为y－1＝－2(x－3)，
即2x＋y－7＝0.
圆方程配方得(x－1)2＋(y＋2)2＝5.
D
解析 若弦AB的中点为M(0，1)，则点M(0，1)一定在圆内，且方程表示圆，
5.(多选)已知直线l与圆C：x2＋y2＋2x－4y＋a＝0相交于A，B两点，弦AB的中点为M(0，1)，则下列结论正确的是( )
A.实数a的取值范围为a＜3 B.实数a的取值范围为a＜5
C.直线l的方程为x＋y－1＝0 D.直线l的方程为x－y＋1＝0
AD
由圆的方程得，圆心坐标为C(－1，2)，
又M(0，1)，则kCM＝－1，则kAB＝1，
由点斜式得，直线l的方程为y－1＝x，
即x－y＋1＝0，故D正确.
解析 直线l：y－1＝k(x－3)恒过D(3，1)，A正确；
6.(多选)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：y－1＝k(x－3).则以下几个命题正确的有( )
ABD
对于C，因为(3－1)2＋(1－2)2＝5＜25，则点D在圆C内部，直线l与圆C相交，故C不正确；
7.圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________.
又过点P作圆C的切线有两条，所以点P在圆的外部，
故1＋4＋k＋4＋k2>0，解得k∈R，
8.已知点P(1，2)和圆C：x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，过点P作圆C的切线有两条，则实数k的取值范围是______________.
解析 因为C：x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0为圆，
解析 圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0，0)，半径r1＝1，
圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4的圆心为C2(3，－4)，半径r2＝2，
∴|C1C2|＝5.
又A为圆C1上的动点，B为圆C2上的动点，
∴线段AB长度的最大值是|C1C2|＋r1＋r2＝5＋1＋2＝8.
9.若A为圆C1：x2＋y2＝1上的动点，B为圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4上的动点，则线段AB长度的最大值是________.
8
解 设切线方程为x＋y＋b＝0(b≠－4)，
10.已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程；
(1)与直线l1：x＋y－4＝0平行；
(2)与直线l2：x－2y＋4＝0垂直；
解 设切线方程为2x＋y＋m＝0，
∴过切点A(4，－1)的切线斜率为－3，
∴过切点A(4，－1)的切线方程为y＋1＝－3(x－4)，
即3x＋y－11＝0.
(3)过切点A(4，－1).
解 ∵直线4x＋3y＋1＝0
∴圆心到直线的距离
∵m<3，∴m＝2，
(2)圆C与坐标轴相交于三点，求以这三个点为顶点的三角形的内切圆的半径.
解 由(1)可得圆C的方程为(x＋3)2＋(y－2)2＝13，令x＝0，得y＝0或4；
令y＝0，得x＝0或－6，
∴圆C与坐标轴相交于三点M(0，4)，O(0，0)，N(－6，0)，
12.(多选)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则( )
ACD
解析 圆C1关于直线x－y＝0对称的圆C3的方程为(x－1)2＋y2＝r2(r＞0)，则圆C3与圆C2存在公共点，
13.在平面直角坐标系xOy中，若圆C1：x2＋(y－1)2＝r2(r＞0)上存在点P，且点P关于直线x－y＝0的对称点Q在圆C2：(x－2)2＋(y－1)2＝1上，则r的取值范围是______________.
则y1＋y2＝1，y1·y2＝m，
(2)设直线l：y＝x＋m交抛物线P于两点A、B，线段AB的垂直平分线交抛物线P于两点C、D，求证A、B、C、D四点共圆.
因为直线CD为线段AB的垂直平分线，直线CD的方程为y＝－x＋1－m，
设C(x3，y3)，D(x4，y4)，
则y3＋y4＝－1，y3·y4＝m－1，
得y2＋y＋m－1＝0，
所以点A在以CD为直径的圆上，同理点B在以CD为直径的圆上，所以A、B、C、D四点共圆.2025高考数学一轮复习-8.4-直线与圆、圆与圆的位置关系-专项训练
1.直线4x-3y+11=0与圆(x+1)2+(y+1)2=4的位置关系是( )
C D
A.相离 B.相切
C.相交 D.不确定
2.圆x2+y2-6x+4y+12=0与圆x2+y2-14x-2y+14=0的位置关系是( )
A.相离 B.相交 C.外切 D.内切
3.已知以C(-4,3)为圆心的圆与圆x2+y2=1相内切,则圆C的方程为( )
A.(x-4)2+(y+3)2=36
B.(x+4)2+(y-3)2=16
C.(x+4)2+(y-3)2=36
D.(x-4)2+(y+3)2=16
4.在同一直角坐标系中,直线y=ax+a2与圆(x+a)2+y2=a2的位置可能是( )
A B
5.(多选题)已知直线l:(1+a)x+y+2a=0(a∈R)与圆C:x2+(y-2)2=4,则( )
A.直线l必过定点
B.当a=1时,l被圆C截得的弦长为
C.直线l与圆C可能相切
D.直线l与圆C不可能相离
6.(多选题)(2024江苏百校大联考)已知圆O:x2+y2=4与圆C:(x-3)2+(y-2)2=9交于A,B两点,则下列说法正确的有( )
A.线段AB的垂直平分线所在的直线方程为2x-3y=0
B.直线AB的方程为3x+2y-4=0
C.|AB|=
D.若P是圆O上的一点,则△PAB面积的最大值为
7.请写出一个与x轴和直线y=x都相切的圆的方程: .
8.过原点O作圆C:x2+y2+4x+4y+5=0的两条切线,设切点分别为A,B,则直线AB的方程为 .
9.已知直线l过点P(1,-1),且 .
在下列所给的三个条件中,任选一个补充在题中的横线上,并完成解答.
①与圆(x+1)2+y2=5相切;②倾斜角的余弦值为;③直线l的斜率为2.
(1)求直线l的一般式方程;
(2)若直线l与曲线C:x2+y2-6x-2y+6=0相交于M,N两点,求弦长|MN|.
综 合 提升练
10.(2023宿迁月考)若直线y=kx-1与曲线y=恰有两个公共点,则实数k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
11.由点P(-3,0)射出的两条光线与☉O1:(x+1)2+y2=1分别相切于点A,B,称两射线PA,PB上切点右侧部分的射线和优弧右侧所夹的平面区域为☉O1的“背面”.若☉O:(x-1)2+(y-t)2=1处于☉O1的“背面”,则实数t的取值范围为( )
A.-2≤t≤2 B.-+1≤t≤-1
C.-1≤t≤1 D.-≤t≤注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
12.(多选题)已知圆C:x2+y2-2ay+a-1=0,直线l:x-y=0,则( )
A.存在a∈R,使得l与圆C相切
B.对任意a∈R,l与圆C相交
C.存在a∈R,使得圆C截l所得弦长为1
D.对任意a∈R,存在一条直线被圆C截得的弦长为定值
13.写出一个半径为1,且与圆x2+y2=1和圆(x-2)2+(y-2)2=1均外切的圆的方程: .
14.设P(a,b)为直线y=x-3上一点,则由该点向圆x2+y2+2x-4y+3=0所作的切线长的最小值是.
15.(2023苏州月考)在平面直角坐标系xOy中,已知圆心在第二象限,半径为2的圆C与直线y=x相切于坐标原点O.
(1)求圆C的方程.
(2)试求圆C上是否存在异于原点的点Q,使Q到定点F(4,0)的距离等于线段OF的长 若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
创 新 应用练
16.数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数λ(λ>0且λ≠1)的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中,A(-2,0),动点M满足|MA|=2|MO|,得到动点M的轨迹是阿氏圆C.若对任意实数k,直线l:y=k(x-1)+b与圆C恒有公共点,则b的取值范围是( )
A. B.
C. D.
17.(多选题)如图所示,该曲线W是由(x-1)2+y2=1,(x+1)2+y2=1,x2+(y+1)2=1,x2+(y-1)2=1这4个圆的一部分所构成的,则下列叙述正确的是( )
A.曲线W围成的封闭图形面积为4+2π
B.若圆x2+y2=r2(r>0)与曲线W有8个交点,则≤r≤2
C.的公切线方程为x+y-1-=0
D.曲线W上的点到直线x+y+5+1=0的距离的最小值为4
参考答案
1.B 2.D 3.C 4.C 5.ABD 6.ABD
7.(x-)2+(y-1)2=1(答案不唯一) 8.2x+2y+5=0
9.解 (1)若选①:因为(1+1)2+(-1)2=5,故点P在圆(x+1)2+y2=5上,
且圆心(-1,0)与P连线的斜率为=-
因为直线l与圆(x+1)2+y2=5相切,所以直线l的斜率为2,
所以直线l的一般式方程为2x-y-3=0.
若选②:设直线l的倾斜角为α(0≤α<π),由cos α=,得tan α=2,
所以直线l的斜率k=tan α=2,
故直线l的一般式方程为2x-y-3=0.
若选③:因为l的斜率k=2,所以直线l的一般式方程为2x-y-3=0.
(2)曲线C:x2+y2-6x-2y+6=0,即(x-3)2+(y-1)2=4.
故曲线C为圆,圆心为C(3,1),半径r=2,则圆心C到直线l的距离d=,
所以弦长|MN|=2
10.B 11.D 12.BD
13.(x-2)2+y2=1或x2+(y-2)2=1(填一个即可) 14.4
15.解 (1)设圆C的圆心为C(a,b),则圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=8.因为直线y=x与圆C相切于原点O,
所以O点在圆C上,且OC垂直于直线y=x,
于是有解得
由于点C(a,b)在第二象限,故a<0,b>0,所以圆C的方程为(x+2)2+(y-2)2=8.
(2)假设存在点Q符合要求,设Q(x,y),则有
解得x=或x=0(舍去).
所以存在点Q,使Q到定点F(4,0)的距离等于线段OF的长.
16.C 17.ACD
