(共57张PPT)
第八章 平面解析几何
第7节 直线与椭圆、双曲线
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
考点突破 题型剖析
1
将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③
方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
解 将直线l的方程与椭圆C的方程联立，
(2)有且只有一个公共点；
将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③
方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
解 将直线l的方程与椭圆C的方程联立，
这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点.
这时直线l与椭圆C没有公共点.
(3)没有公共点.
将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③
方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
解 将直线l的方程与椭圆C的方程联立，
解析 法一 由于直线y＝kx＋1恒过点(0，1)，
所以点(0，1)必在椭圆内或椭圆上，
D
故m≥1且m≠5.
消去y整理得(5k2＋m)x2＋10kx＋5(1－m)＝0.
由题意知Δ＝100k2－20(1－m)(5k2＋m)≥0对一切k∈R恒成立，
即5mk2＋m2－m≥0对一切k∈R恒成立，
由于m>0且m≠5，∴m≥1－5k2恒成立，
∴m≥1且m≠5.
1
解析 法一 易知此弦所在直线的斜率存在，
∴设其方程为y－1＝k(x－1)，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2).
角度1 中点弦问题
x＋2y－3＝0
消去y得，(2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0，
即x＋2y－3＝0.
∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，
法二 易知此弦所在直线的斜率存在，∴设斜率为k，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，
角度2 弦长问题
解 ①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB|＋|CD|＝7，不满足条件.
②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
解得k＝±1，
所以直线AB的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.
解析 设A(2，1)是弦P1P2的中点，
且P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
则x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，
训练2 (1)以A(2，1)为中点的双曲线C：2x2－y2＝2的弦所在直线的方程为_______________.
4x－y－7＝0
∴2(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
∴2×4(x1－x2)＝2(y1－y2)，
∴以A(2，1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为y－1＝4(x－2)，整理得4x－y－7＝0.
∵Δ＝(－56)2－4×14×51＞0.
∴以A(2，1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为4x－y－7＝0.
设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
解 由△ABP是等腰直角三角形，
得a＝2，B(2，0).
代入椭圆方程得b2＝1，
消去y并整理得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.(*)
因直线l与E有两个交点，即方程(*)有不等的两实根，
故Δ＝(－16k)2－48(1＋4k2)>0，
(2)设过点P的动直线l与E相交于M，N两点，当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围.
解 依题意得，直线l的斜率存在，方程设为y＝kx－2.
因坐标原点O位于以MN为直径的圆外，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
又由x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1－2)(kx2－2)
＝(1＋k2)x1x2－2k(x1＋x2)＋4
则满足条件的斜率k的取值范围为
解 假设存在定点Q.设定点Q(t，0)，
当直线斜率不为0时，设直线l的方程为x＝my＋1，
∴m2－4≠0，且Δ＝4m2＋12(m2－4)＞0，解得m2＞3且m2≠4.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
FENCENGXUNLIAN GONGGUTISHENG
分层训练 巩固提升
3
解析 直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1，1)，
又点(1，1)在椭圆内部，
故直线与椭圆相交.
A
因为过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，且|AB|＝3，
2.已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为( )
C
解析 法一 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，P为双曲线右支上一点，
A
A
D
AC
曲线y＝ex－2－1经过C的焦点(2，0)，故C正确；
联立直线和双曲线C的方程，得Δ＝0，故有一个公共点，所以D错误.
解析 由双曲线的性质知c2＝a2＋b2＝4＋5＝9，则c＝3，双曲线右焦点的坐标为(3，0)，
解析 由题意知c＝4，不妨取A(a，b)，
所以(a－4)2＋b2＝16，又a2＋b2＝16，
∴a＝2，b2＝12，
解析 根据椭圆的对称性及|PQ|＝|F1F2|可以得到四边形PF1QF2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF1QF2为矩形.
设|PF1|＝m，则|PF2|＝2a－|PF1|＝8－m，
则|PF1|2＋|PF2|2＝m2＋(8－m)2＝2m2＋64－16m＝|F1F2|2＝4c2＝4(a2－b2)＝48，得m(8－m)＝8，
所以四边形PF1QF2的面积为
|PF1|·|PF2|＝m(8－m)＝8.
8
解 因为直线l过椭圆右焦点F(1，0)，且斜率为1，
所以直线l的方程为y＝x－1.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
(2)当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积；
(3)若以OP，OQ为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线l的方程.
解 当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x＝1，此时∠POQ小于90°，以OP，OQ为邻边的平行四边形不可能是矩形.
当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y＝k(x－1).
∵y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，
当m＝0时，直线PQ的方程是x＝－2，也符合x＝my－2的形式.
(2)设O为坐标原点，T为直线x＝－3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P，Q.当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积.
消去x，得(m2＋3)y2－4my－2＝0，
其判别式Δ＝16m2＋8(m2＋3)＞0.
即(x1，y1)＝(－3－x2，m－y2).
此时，四边形OPTQ的面积
解析 对于A，根据椭圆的对称性可知，|OF1|＝|OF2|，|OA|＝|OB|，故四边形AF1BF2为平行四边形.故A正确；
ABC
解析 由双曲线的定义，知|PF1|－|PF2|＝2a.
在△PF1F2中，由余弦定理，
求e的最大值，即求cos∠F1PF2的最小值，
所以点M的轨迹C是以F1，F2分别为左、右焦点的双曲线的右支.
因为|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，
又k1≠k2，所以k1＝－k2，即k1＋k2＝0.
故直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.2025高考数学一轮复习-8.7-直线与椭圆、双曲线-专项训练
1．已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率为，左、右顶点分别是A1，A2，上顶点为B(0，b)，△A1A2B的面积等于2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点Q(1，0)，P(4，m)，直线PA1，PA2分别交椭圆C于点M，N，证明：M，Q，N三点共线．
2．已知斜率为k的直线l与椭圆C：＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M(n，m)．
(1)若n＝1，m＝－1，求k的值；
(2)若线段AB的垂直平分线交y轴于点P，且|AB|＝4|PM|，求直线l的方程．
3．已知椭圆G：＝1(a＞b＞0)的离心率为，且过点(3，1)．
(1)求椭圆G的方程；
(2)斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3，2)，求△PAB的面积．
4．已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)，过左焦点F(－，0)作倾斜角为α的直线l交椭圆C于A，B两点．当直线l的倾斜角为时，|AF|＝7|BF|.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)点O为坐标原点，求△OAB面积的最大值，并求此时直线l的方程．
参考答案
1．解：(1)由离心率为得，＝，①
由△A1A2B的面积为2得，ab＝2．②
又a2＝b2＋c2，③
联立①②③解得，a＝2，b＝1，
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)记点M，N的坐标分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)．
又A1(－2，0)，∴直线PA1的方程为y＝(x＋2)，与椭圆方程＋y2＝1联立并整理得(m2＋9)x2＋4m2x＋4m2－36＝0，
由－2＋x1＝得x1＝，
代入直线PA1的方程得y1＝，
即M，
同理可得N.
因为Q(1，0)，所以＝＝，
由＝知，M，Q，N三点共线．
2．解：(1)由题设作差可得
＋＝＋＝0，
又xA＋xB＝2n＝2，yA＋yB＝2m＝－2，故＝，所以k＝＝.
(2)由题意，直线l斜率一定存在，直线l为y＝k(x－n)＋m，
若k＝0，直线l：y＝m且M(0，m)，－＜m＜，此时中垂线PM与y轴重合，
与题设中，垂直平分线与y轴交于P矛盾，不满足题意；
若k≠0，由(1)知：＝－，则k＝＝－，
则中垂线PM为y＋＝x，即6mx－3ny－n＝0，又M(n，m)在该直线上，
所以3mn－n＝0，得n＝0或m＝，当n＝0时k＝0，不满足题意，故m＝，
故k＝－，即l：y＝－n(x－n)，与椭圆方程联立得x2＋2＝6，
整理得
9(2＋9n2)x2－18n(2＋9n2)x＋81n4＋36n2－104＝0，
所以xA＋xB＝2n，xAxB＝，
则|AB|＝
＝，而|PM|＝，
由|AB|＝4|PM|，得＝8n2＋，
解得n＝±，所以l：y＝1±x.
综上，直线l的方程为y＝±x＋1.
3．解：(1)由题意可知解得
∴椭圆G的方程为＝1.
(2)设直线l的方程为y＝x＋m，
联立方程
消去y得4x2＋6mx＋3m2－12＝0，①
Δ＝36m2－16(3m2－12)＞0，即－4＜m＜4.
∴xA＋xB＝－，xAxB＝，
∴yA＋yB＝xA＋xB＋2m＝－＋2m＝.
设M为AB的中点，则M，AB的中垂线的斜率k＝－1，
∴AB的中垂线的方程为y－＝－，即x＋y＋＝0，
将P(－3，2)代入得m＝2，
∴直线l的方程为y＝x＋2，即x－y＋2＝0，
此时方程①为4x2＋12x＝0，解得xA＝－3，xB＝0，
∴yA＝－1，yB＝2，
∴A(－3，－1)，B(0，2)，
∴|AB|＝3，
又∵点P到直线l的距离d＝＝，
∴△PAB的面积为×|AB|×d＝×3＝.
4．解：(1)当直线l的倾斜角为时，k＝tan ＝，
又直线l过F(－，0)，则直线l的方程为y＝(x＋)，即x＝y－，
联立消去x，得(a2＋3b2)y2－6b2y＋3b2－a2b2＝0，
则Δ＝36b4－4(3b2＋a2)(3b2－a2b2)＝4a2b2(a2＋3b2－3)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，可得y1＋y2＝，y1y2＝，
因为|AF|＝7|BF|，所以y1＝－7y2，
将其代入y1＋y2＝，可得y2＝，y1＝，
所以＝，
整理得16b2＋3a2－3a2b2－a4＝0，
又b2＝a2－c2＝a2－3，
所以16(a2－3)＋3a2－3a2(a2－3)－a4＝0，
整理得a4－7a2＋12＝0，解得a2＝4或a2＝3(舍去)，
所以b2＝a2－3＝4－3＝1，故椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)由题意，显然直线l不平行于x轴，设直线l的方程为x＝ty－，
联立消去x，得(t2＋4)y2－2ty－1＝0，
而Δ＝12t2＋4(t2＋4)＝16(t2＋1)＞0，
又A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝，
则|y1－y2|＝＝＝，
于是得S△OAB＝|OF|·|y1－y2|＝＝≤＝1，
当且仅当＝，即t＝±时，等号成立，
所以当t＝±时，△OAB的面积取得最大值1，
此时直线l的方程是x＝±y－，即y＝x＋或y＝－x－
