(共68张PPT)
第八章 平面解析几何
第8节 抛物线
ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
知识诊断 基础夯实
1
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离______的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的______.
(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).
1.抛物线的定义
相等
准线
2.抛物线的标准方程与几何性质
图形
标准方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离 ×
×
×
×
解析 (1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线，而非抛物线.
(3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形.
(4)一条直线平行于抛物线的对称轴，此时与抛物线只有一个交点，但不相切.
A
A.(0，－1) B.(0，1)
C.(1，0) D.(－1，0)
故焦点为(0，－1).
解析 设抛物线的标准方程是y2＝kx或x2＝my，
3.(多选)顶点在原点，对称轴为坐标轴且过点P(－2，3)的抛物线的标准方程是( )
BC
解析 由题意得，抛物线焦点为F(1，0)，
设直线AB的方程为
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以tan∠OPF＝tan∠PQF，
5.已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为________.
解析 设B(x0，y0).
由题意，得F(1，0)，A(－1，0)，
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
考点突破 题型剖析
2
解析 直线2x＋3y－8＝0与x轴的交点为(4，0)，
∴抛物线y2＝2px的焦点为(4，0)，
∴准线方程为x＝－4.
1.设抛物线y2＝2px的焦点在直线2x＋3y－8＝0上，则该抛物线的准线方程为( )
A.x＝－4 B.x＝－3
C.x＝－2 D.x＝－1
A
解析 设动圆的圆心坐标为(x，y)，
则圆心到点(1，0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，
根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.
2.动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________.
y2＝4x
解析 如图，分别过A、B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，
3.如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为________.
y2＝3x
由抛物线的定义知：|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，
∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BB1|，∴∠BCB1＝30°，
∴∠AFx＝60°，
连接A1F，则△AA1F为等边三角形，过F作FF1⊥AA1于F1，
则F1为AA1的中点，设l交x轴于K，
∴抛物线方程为y2＝3x.
∴∠PKM＝45°，∴△PMK为等腰直角三角形，
∴|PM|＝|MK|＝4，
又知点P在抛物线x2＝2py(p＞0)上，
2
4
解析 ∵焦点F(1，0)，设直线l为x＝λy＋1(λ≠0)，
代入抛物线方程得y2－4λy－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由韦达定理得y1y2＝－4，①
B
角度1 焦半径和焦点弦
化简得3t2－10t＋3＝0，
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由抛物线的定义：
可得：y1＋y2＝p，
解析 如图，∵y2＝－4x，∴p＝2，
例2 (1)若在抛物线y2＝－4x上存在一点P，使其到焦点F的距离与到A(－2，1)的距离之和最小，则该点的坐标为________.
角度2 与抛物线有关的最值问题
焦点坐标为(－1，0).
依题意可知当A，P及P到准线的垂足三点共线时，点P与点F、点P与点A的距离之和最小，故点P的纵坐标为1.
解析 如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线是x＝－1，
(2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________.
由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离.
于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1，1)的距离与点P到F(1，0)的距离之和最小，
解析 由题意知，抛物线的准线l：y＝－1，
过点A作AA1⊥l交l于点A1，过点B作BB1⊥l交l于点B1，
(3)已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为________.
2
因为|AB|≤|AF|＋|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|＋|BF|≥6，
所以|AA1|＋|BB1|≥6，2|MM1|≥6，|MM1|≥3，
故点M到x轴的距离d≥2，故最短距离为2.
解析 由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，
由抛物线y2＝4x及直线方程3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离.
训练1 (1)若抛物线y2＝4x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是( )
A
解析 由题意知F(1，0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2，
即|AC|＋|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值.
依抛物线定义知，当|AB|为通径，
即|AB|＝2p＝4时为最小值，
所以|AC|＋|BD|的最小值为2.
(2)已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为________.
2
其中Δ＝144(1－2t)>0，
其中Δ＝4－8t>0，
所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2，
故y2＝－1，y1＝3.
解 设直线AP的斜率为k，
所以直线AP斜率的取值范围是(－1，1).
(2)求|PA|·|PQ|的最大值.
所以|PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1)3.
令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3，
因为f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2，
抛物线的几个“二级结论”的应用
解析 [通法]易知直线l的斜率存在，设为k，则其方程为y＝k(x－1).
例1 过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于( )
B
得xA·xB＝1，①
因为|AF|＝2|BF|，由抛物线的定义得xA＋1＝2(xB＋1)，
即xA＝2xB＋1，②
[优解]法一 由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图，设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD于E，
设|BF|＝m，直线l的倾斜角为θ，
则|AB|＝3m，
由抛物线的定义知
|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，
法二 因为|AF|＝2|BF|，
例2 设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
D
原点到直线AB的距离
FENCENGXUNLIAN GONGGUTISHENG
分层训练 巩固提升
3
故选D.
D
D
3.设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为( )
B
解析 不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线l与x轴交于点F′，作MB⊥l于点B，NA⊥l于点A.
由抛物线的解析式可得准线方程为x＝－4，F点的坐标为(4，0)，A正确，B错误.
4.(多选)已知F是抛物线C：y2＝16x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则( )
A.C的准线方程为x＝－4
B.F点的坐标为(0，4)
C.|FN|＝12
ACD
由抛物线的定义有|MF|＝|MB|＝6，结合题意，有|MN|＝|MF|＝6，
解析 依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，
C
A.|BF|＝3 B.△ABF是等边三角形
C.点F到准线的距离为3 D.抛物线C的方程为y2＝6x
解析 因为|FA|为半径的圆交l于B，D两点，所以|FA|＝|FB|；
又|BF|＝|FD|＝|FA|，所以∠ABD＝90°，|FA|＝|AB|，
可得△ABF为等边三角形，B正确；
BCD
解析 建立如图平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0).
7.如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水位下降1米后，水面宽________米.
由题意将点A(2，－2)代入x2＝－2py，得p＝1，故x2＝－2y.
解析 ∵半径为3的圆与抛物线的准线l相切，
∴圆心到准线的距离等于3，
8.已知直线l是抛物线y2＝2px(p＞0)的准线，半径为3的圆过抛物线顶点O和焦点F与l相切，则抛物线的方程为________.
y2＝8x
所以抛物线方程为y2＝4x.
当直线AB的斜率不存在时，将x＝1代入抛物线方程，解得|AF|＝|BF|＝2，
当直线AB的斜率存在时，
设AB的方程为y＝k(x－1)，
2
1
整理，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
与y2＝2px联立，化简得4x2－5px＋p2＝0，
所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.
即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.
解 由p＝4，4x2－5px＋p2＝0得x2－5x＋4＝0.
又x1＜x2，
∴抛物线C的方程为y2＝x，
即只需证明2kOA＝kOB＋kOM成立，其中kOA＝kOP＝1，kOB＝kON.
当直线MN斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线MN斜率存在且不为零.
(2)求证：A为线段BM的中点.
证明 ∵BM⊥x轴，
∴设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(x1，yA)，B(x1，yB)，
根据题意显然有x1≠0.
若要证A为BM的中点，
只需证2yA＝yB＋y1即可，
即kON＋kOM＝kOB＋kOM＝2＝2kOA，
∴2yA＝yB＋y1恒成立，
∴A为BM的中点，得证.
解析 ∵以MF为直径的圆过点(0，2)，
∴点M在第一象限.
12.设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方程为( )
A.y2＝4x或y2＝8x B.y2＝2x或y2＝8x
C.y2＝4x或y2＝16x D.y2＝2x或y2＝16x
C
∵点N的横坐标恰好等于圆的半径，
∴圆与y轴切于点(0，2)，
即p2－10p＋16＝0，解得p＝2或p＝8，
∴抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x.
解析 由题意知F(1，0)，不妨设A在第一象限，
(1)若直线l斜率不存在，
则A(1，2)，B(1，－2)，
13.(多选)设F是抛物线C：y2＝4x的焦点，直线l过点F，且与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，则下列结论正确的是( )
A.|AB|≥4
B.|OA|＋|OB|＞8
C.若点P(2，2)，则|PA|＋|AF|的最小值是3
D.△OAB面积的最小值是2
ACD
消元得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
(2)若直线l存在斜率，设直线l的斜率为k，
则直线l的方程为y＝k(x－1)，显然k≠0，
综上，|AB|≥4，S△OAB≥2，故A正确，D正确.
过点A向准线作垂线，垂足为N，
则|PA|＋|AF|＝|PA|＋|AN|.
又P(2，2)在抛物线右侧，故当P，A，N三点共线时，
|PA|＋|AF|取得最小值3，故C正确.故选ACD.
整理得2tx1－2y1＋1＝0.
设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.
故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0.
于是x1＋x2＝2t，x1x2＝－1，
y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1，
设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，
因此，四边形ADBE的面积
所以t＋(t2－2)t＝0，解得t＝0或t＝±1.2025高考数学一轮复习-8.8-抛物线-专项训练
1．已知抛物线C：y2＝4x，坐标原点为O，焦点为F，直线l：y＝kx＋1.
(1)若l与C只有一个公共点，求k的值；
(2)过点F作斜率为1的直线交抛物线C于A，B两点，求△OAB的面积．
2．已知点A(m，4)(m＞0)在抛物线x2＝4y上，过点A作倾斜角互补的两条直线l1和l2，且l1，l2与抛物线的另一个交点分别为B，C.
(1)求证：直线BC的斜率为定值；
(2)若抛物线上存在两点关于直线BC对称，求|BC|的取值范围．
3．设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4.
(1)求直线AB的斜率；
(2)设M为曲线C上一点，曲线C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．
参考答案
1．解：(1)依题意由消去x得ky2－4y＋4＝0，
①当k＝0时，显然方程只有一个解，满足条件；
②当k≠0时，Δ＝(－4)2－4×4k＝0，解得k＝1；
综上，当k＝1或k＝0时，直线l与抛物线C只有一个交点．
(2)抛物线C：y2＝4x，所以焦点F(1，0)，所以直线方程为y＝x－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去x得y2－4y－4＝0，
所以y1＋y2＝4，y1y2＝－4，
所以|y1－y2|＝＝＝4，
所以S△OAB＝|OF|·|y1－y2|＝×1×4＝2.
2．解：(1)证明：∵点A(m，4)在抛物线上，
∴16＝m2，∴m＝±4，又m＞0，∴m＝4.
设B(x1，y1)，C(x2，y2)，
则kAB＋kAC＝＝＝＝0，∴x1＋x2＝－8.
∴kBC＝＝＝＝－2，
∴直线BC的斜率为定值－2.
(2)设直线BC的方程为y＝－2x＋b，P(x3，y3)，Q(x4，y4)关于直线BC对称，设PQ的中点为M(x0，y0)，则kPQ＝＝＝＝，
∴x0＝1.
∴M(1，－2＋b)．
又点M在抛物线内部，
∴－2＋b＞，即b＞.
由得x2＋8x－4b＝0，
∴x1＋x2＝－8，x1x2＝－4b.
∴|BC|＝|x1－x2|
＝
＝.
又b＞，∴|BC|＞10.
∴|BC|的取值范围为(10，＋∞)．
3．解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4，
于是直线AB的斜率k＝＝＝1.
(2)由y＝，得y′＝.
设M(x3，y3)，由题设知＝1，解得x3＝2，于是M(2，1)．
设直线AB的方程为y＝x＋m，
故线段AB的中点为N(2，2＋m)，|MN|＝|m＋1|.
将y＝x＋m代入y＝得x2－4x－4m＝0.
当Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1时，x1，2＝2±2.
从而|AB|＝|x1－x2|＝4.
由题设知|AB|＝2|MN|，即4＝2(m＋1)，
解得m＝7(m＝－1舍去)．
所以直线AB的方程为y＝x＋7
