2025年高考数学一轮复习-6.4-复数-专项训练【原卷版】
基础巩固练
1. 若复数，在复平面内对应的点分别为，，则（ ）.
A. B. C. D.
.
2. 已知复数满足，则（ ）.
A. B. C. D.
.
3. 若复数，其中是虚数单位，则复数的模为（ ）.
A. B. C. D. 2
4. （改编）设是虚数单位，且，则实数的值为（ ）.
A. 2 B. 0 C. 1 D.
5. 若复数是纯虚数，则实数的值是（）.
A. 1 B. 2 C. 1或2 D.
6. （改编）若复数满足，，则（ ）.
A. B. C. D.
7. （改编）在复平面内，已知复数满足（为虚数单位），记对应的点为，对应的点为，则点与点之间距离的最小值为（ ）.
A. B. C. D.
8. 给出下面四个类比结论：
①已知实数,，若，则或；类比复数,，若，则或.
②已知实数,，若，则或；类比向量,，若，则或.
③已知实数,，有，则；类比复数,，有，则.
④已知实数,，有，则；类比向量,，若，则.
其中类比结论正确的个数是（ ）.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
综合提升练
9. （多选题）下列说法正确的是（ ）.
A. 若，则
B. 若复数，满足，则
C. 若复数的平方是纯虚数，则复数的实部和虚部相等
D. “”是“复数是虚数”的必要不充分条件
10.(多选题)(2024·九省适应性测试)已知复数z,w均不为0,则( ).
A.z2=|z|2 B.=
C.=- D.=
11. 已知集合,（其中为虚数单位），则满足条件的集合的个数为___________.
12. （双空题）欧拉公式 把自然对数的底数、虚数单位、三角函数 和 联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被称为“数学中的天桥”.若复数满足，则的虚部是_________ ，
应用情境练
13. （双空题）设是虚数单位，已知是关于的方程的一个根，则_________，_________.
14. 若复数满足为实数，则的最小值为_________
创新拓展练
15. 设复数（为虚数单位），则 .
16. 已知为虚数，若，且.
（1）求的实部的取值范围；
（2）设，求的最小值.
2025年高考数学一轮复习-6.4-复数-专项训练【解析版】
基础巩固练
1. 若复数，在复平面内对应的点分别为，，则（ B ）.
A. B. C. D.
[解析]由复数的几何意义可知，，，则.故选.
2. 已知复数满足，则（ A ）.
A. B. C. D.
[解析]，，，则.故选.
3. 若复数，其中是虚数单位，则复数的模为（ A ）.
A. B. C. D. 2
[解析]，
.故选.
4. （改编）设是虚数单位，且，则实数的值为（ D ）.
A. 2 B. 0 C. 1 D.
[解析]，，，则.故选.
5. 若复数是纯虚数，则实数的值是（ B ）.
A. 1 B. 2 C. 1或2 D.
[解析]因为复数 是纯虚数，所以,
,解得.故选.
6. （改编）若复数满足，，则（ A ）.
A. B. C. D.
[解析]设，，，由,可得，所以，由,得，即，故，故.故选.
7. （改编）在复平面内，已知复数满足（为虚数单位），记对应的点为，对应的点为，则点与点之间距离的最小值为（ C ）.
A. B. C. D.
[解析]设，，，即，化简整理可得， 复数 的对应点的轨迹方程为，
对应的点为， 点 与点 之间距离的最小值为.故选.
8. 给出下面四个类比结论：
①已知实数,，若，则或；类比复数,，若，则或.
②已知实数,，若，则或；类比向量,，若，则或.
③已知实数,，有，则；类比复数,，有，则.
④已知实数,，有，则；类比向量,，若，则.
其中类比结论正确的个数是（ C ）.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
[解析]对于①，若,则,所以 或,则 或，故①正确；对于②，若向量,互相垂直，则，故②错误；对于③，取,，则，故③错误；对于④，若，则，所以，故④正确.综上，类比结论正确的个数是2.故选.
综合提升练
9. （多选题）下列说法正确的是（ AD ）.
A. 若，则
B. 若复数，满足，则
C. 若复数的平方是纯虚数，则复数的实部和虚部相等
D. “”是“复数是虚数”的必要不充分条件
[解析]若，则，故 正确；
设，，由，可得，则，又,所以 不一定为0，故 错误；
当 时，为纯虚数，其实部和虚部不相等，故 错误；
若复数 是虚数，则，即，所以“”是“复数 是虚数”的必要不充分条件，故 正确.故选.
10.(多选题)(2024·九省适应性测试)已知复数z,w均不为0,则( BCD).
A.z2=|z|2 B.=
C.=- D.=
[解析] 设z=a+bi(a,b∈R),w=c+di(c,d∈R).
对于A,z2=(a+bi)2=a2+2abi-b2=a2-b2+2abi,|z|2=()2=a2+b2,故A错误;
对于B,=,因为·z=|z|2,所以=,故B正确;
对于C,z-w=a+bi-c-di=a-c+(b-d)i,则=a-c-(b-d)i,
=a-bi,=c-di,则-=a-bi-c+di=a-c-(b-d)i,
即=-,故C正确;
对于D,===
=
=
=
=,
==
=
=,
故=,故D正确.
故选BCD.
11. 已知集合,（其中为虚数单位），则满足条件的集合的个数为8.
[解析] 的周期为4，当 时，；当 时，；当 时，；当 时，.所以集合,0,的子集个数为.
12. （双空题）欧拉公式 把自然对数的底数、虚数单位、三角函数 和 联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被称为“数学中的天桥”.若复数满足，则的虚部是 ， .
[解析]由欧拉公式知，，
，
，的虚部为，.
应用情境练
13. （双空题）设是虚数单位，已知是关于的方程的一个根，则12，26.
[解析]把 代入方程得，所以，整理得，所以，
，解得
14. 若复数满足为实数，则的最小值为 .
[解析]设，则，又因为 为实数，所以，即，所以 或，则复数 表示的点在 轴上或在圆 上，又因为 为复数 所表示的点与点 的距离，所以 的最小值为.
创新拓展练
15. 设复数（为虚数单位），则 .
[解析]由题意得，所以，则.
16. 已知为虚数，若，且.
（1）求的实部的取值范围；
（2）设，求的最小值.
[解析]（1）设，，
则，
又，所以，则，所以，即，解得,所以 的实部的取值范围为，.
（2），
由（1）得，，所以，
所以，
又，所以，
所以，当且仅当，即 时，等号成立，
所以，
即 的最小值为1.
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6.4 复数
课标要求 考情分析
1.通过方程的解，认识复数. 2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义. 3.掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义. 考点考法：近几年高考在此处都有命题，主
要考查复数及其有关概念，复数的四则运
算，属于中低档题目.
核心素养：直观想象、数学运算
必备知识 自主排查
核心考点 师生共研
必备知识 自主排查
01
1.复数的有关概念
（1）复数的定义
形如 的数叫做复数，其中实部是___，虚部是___.
（2）复数的分类
复数 ， 分类如下：
[提醒] 一个复数为纯虚数，不仅要求实部为0，还需要求虚部不为0.
（3）复数相等
______________ .
（4）共轭复数
与 共轭 ________________ .
（5）复数的模
向量 的模叫做复数 的模或绝对值，记作____或________,即
_ _________ .
且
且
2.复数的几何意义
（1）复数 复平面内的点 .
（2）复数 平面向量 .
[提醒] 复数 的对应点的坐标为 ，而不是 .
3.复数的运算
（1）复数的加、减 、乘、除运算法则
设 , ,则
①加法： _________________;
②减法： _________________;
③乘法： ______________________;
④除法： ______________ .
（2）复数加法的运算律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任意 , , ，有
________, ______________.
【练一练】
1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）方程 没有解.( )
×
（2）复数 中，虚部为 .( )
×
（3）复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小. ( )
×
（4）复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是
复数对应的向量的模.( )
√
2.(2022·新高考卷Ⅱ) ( )
A. B. C. D.
解析：选D. .故选D.
√
3.(2022·新高考卷Ⅰ)若 ，则 ( )
A. B. C. D.
解析：选D.由题意得 ，故 ，故 .故选D.
√
4.（人A必修第二册 习题 变条件、变设问）在复平面内，向量
对应的复数是 ，向量 对应的复数是 ,则向量 对应的复
数是________.
解析：因为 ，所以 对应的复数是 .
1. ; ; .
2. , ， , .
3. .
4. .
【用一用】
1.已知复数 ，则 的共轭复数 ( )
A. B. C. D.
解析：选C.因为 ， ，所以 ，则 .故选C.
√
2.若复数 （ 为虚数单位），则 __.
解析：因为 ，
则 ，所以 .
核心考点 师生共研
02
考点一 复数的有关概念（自主练透）
1.(2023·山东日照模拟)已知复数 ，则 的共轭复数的虚部为( )
A. B. C. D.
解析：选C.因为 ，所以 ，即 的虚
部为 .故选C.
√
2.(2022·高考全国卷乙)已知 ，且 ，其中 ， 为
实数，则( )
A. , B. ,
C. , D. ,
解析：选A. ,
,由
,得 即 故选A.
√
3.(2023·河北保定模拟)若复数 为纯虚数，则
_____.
解析：由题可知 为纯虚数，所以 ，故 .
4.如果复数 是纯虚数，那么实数 等于_______.
0或-1
解析： ,因为此复数为纯虚数，所以 解得 .
解决复数概念问题的方法
复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该
满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程
（不等式）组即可求解.
[注意]解题时一定要先看复数是否为 的形式，以确定实部
和虚部.
考点二 复数的几何意义（师生共研）
例1.（1）如图，在复平面内，复数 ， 对应的向量分
别是 ， ，则 对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析：由复数的几何意义知 , ，则
，对应的点的坐标为 ，位于第三象
限，故选C.
√
（2）(2023·福建石狮模拟)已知 ，则 的最大值是___.
解析：设 , , ，则有 ，
即 ，则 在复平面中的点 在以
为圆心， 为半径的圆周上.
，
，表示 与点 的距离，如图所示，
由图可知， ，
即 的最大值为7.
复数的几何意义及应用
（1）复数 、复平面上的点 及向量 相互联系，即
.
（2）由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向
量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更
加直观.
【对点训练】
1.(2023·山西高三模拟)已知复数 ， ， 在复平面
上对应的点分别为 ， ， ，若四边形 为平行四边形（ 为复平
面的坐标原点），则复数 的模为( )
A. B. C. D.
√
解析：选A.设 ，则 ，而 ， ,由题知， ，
即 解得 所以 .故选A.
2.(2023·广东汕头模拟)已知复数 ，且 在复平面内对应的点在第
四象限，则 的一个整数值为______________________________________
__________________.
0（答案不唯一， 为 ， ， ， ， ， ， 均可）
解析：因为 ，
所以 解得 .
又 为整数，故 可取 ， ， ， ， ， ， .
考点三 复数的运算（师生共研）
例2.（1）(2022·高考全国卷甲)若 ，则 ( )
A. B. C. D.
解析： , ，
.故选C.
√
（2）(2021·高考全国卷甲)已知 ，则 ( )
A. B. C. D.
解析： .
√
（3）已知复数 ，则 ( )
A. B. C. D.
解析：方法一：因为 ,
所以 .
方法二：因为 ,
所以
.
√
复数代数形式运算问题的解题策略
复数的 加减法 在进行复数的加减运算时，可类比合并同类项，运用法则（实部
与实部相加减、虚部与虚部相加减）计算即可
复数的 乘法 复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位 的看
作同类项，不含 的看作同类项，分别合并即可
复数的 除法 除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把
的幂写成最简形式，这里的分母实数化可类比分母含根式的分
母有理化
【对点训练】
1.已知 为虚数单位，则 ( )
A. B. C. D.
解析：选A.方法一： ,故选A.
方法二： ,故选A.
√
2.已知复数 （ 是虚数单位），则 ( )
A. B. C. D.
解析：选B. .
√
3.设复数 满足 ,则 ( )
A. B. C. D.
解析：选C.由 ,得 ,所以 .故选C.
√
