6.3-平面向量的数量积及应用-专项训练【原卷版】
1．向量a＝(1,2)，b＝(x,1)．若(a＋b)⊥(a－b)，则x＝( )
A．－2 B．± C．±2 D．2
2．已知向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|＝1，则|2a＋b|＝( )
A．3 B．
C．7 D．
3．在水流速度10 km/h的自西向东的河中，如果要使船以10 km/h的速度从河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为( )
A．北偏西30°，20 km/h
B．北偏西60°，10 km/h
C．北偏东30°，10 km/h
D．北偏东60°，20 km/h
4．在平面直角坐标系xOy中，已知向量与关于y轴对称，向量a＝(1,0)，则满足不等式2＋a·≤0的点A(x，y)构成的集合用阴影表示为( )
5．(多选)设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题中的真命题是( )
A．(a·b)c－(c·a)b＝0
B．|a|－|b|<|a－b|
C．(b·c)a－(a·c)b不与c垂直
D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
6．(多选)已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2,1)，c＝(2，t)，下列说法正确的是( )
A．若(a＋b)∥c，则t＝6
B．若(a＋b)⊥c，则t＝
C．若t＝1，则cos〈a，c〉＝
D．|a＋c|<3
7．在四边形ABCD中，＝(3，－1)，＝(2，m)，⊥，则该四边形的面积是________．
8．已知向量a，b，其中|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角是________，a·(a＋b)＝________．
9．已知平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠BAD＝，平面内动点E，满足|ED|＝2|EC|，则(－)·的取值范围为________．
10．在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1,0)和点B(－1,0)，||＝1，且∠AOC＝θ，其中O为坐标原点．
(1)若θ＝，设点D为线段OA上的动点，求|＋|的最小值；
(2)若θ∈，向量m＝，n＝(1－cos θ，sin θ－2cos θ)，求m·n的最小值及对应的θ值．
11．(多选)引入平面向量之间的一种新运算“ ”如下：对任意的向量m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，规定m n＝x1x2－y1y2，则对于任意的向量a，b，c，下列说法正确的有( )
A．a b＝b a B．(λa) b＝λ(a b)
C．a·(b c)＝(a b)·c D．|a|·|b|≥|a b|
12．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A(前轮)，圆D(后轮)的半径均为，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为4的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，·的最大值为( )
A．8 B．2
C．4 D．4
13．已知平面向量a＝(，)，则与a夹角为45°的一个非零向量b的坐标可以为________．(写出满足条件的一个向量即可)
14．在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2CD＝3，AD＝2，若EF在线段AB上运动，且EF＝1，则·的最小值为________．
15．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，分别将边BC与DC等分成8份，并将等分点自下而上依次记作E1，E2，…，E7，自左到右依次记作F1，F2，…，F7，满足·≤2(其中i，j∈N*,1≤i，j≤7)的有序数对(i，j)共有________对．
16．已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋\f(1,2) ))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝0．
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任一条直径，求·的最值．
6.3-平面向量的数量积及应用-专项训练【解析版】
1．向量a＝(1,2)，b＝(x,1)．若(a＋b)⊥(a－b)，则x＝( )
A．－2 B．± C．±2 D．2
解析：C 法一：a＋b＝(1＋x,3)，a－b＝(1－x,1)，因为(a＋b)⊥(a－b)，所以(a＋b)·(a－b)＝0，即(1＋x)(1－x)＋3＝0，解得x＝±2．
法二：因为(a＋b)⊥(a－b)，所以(a＋b)·(a－b)＝0，所以a2－b2＝0，所以|a|＝|b|，所以x＝±2．故选C．
2．已知向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|＝1，则|2a＋b|＝( )
A．3 B．
C．7 D．
解析：D 由已知可得|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝2－2a·b＝1，则a·b＝，因此，|2a＋b|＝＝＝．故选D．
3．在水流速度10 km/h的自西向东的河中，如果要使船以10 km/h的速度从河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为( )
A．北偏西30°，20 km/h
B．北偏西60°，10 km/h
C．北偏东30°，10 km/h
D．北偏东60°，20 km/h
解析：A 如图，船从点O出发，沿方向行驶才能垂直到达对岸，||＝10，||＝10，则||＝＝20，则cos∠BOC＝eq \f(||,||)＝，因为∠BOC为锐角，故∠BOC＝30°，故船以20 km/h的速度，以北偏西30°的方向行驶，才能垂直到达对岸．故选A．
4．在平面直角坐标系xOy中，已知向量与关于y轴对称，向量a＝(1,0)，则满足不等式2＋a·≤0的点A(x，y)构成的集合用阴影表示为( )
解析：B ∵A(x，y)，向量与关于y轴对称，∴B(－x，y)，＝(－2x,0)．∵2＋a·≤0，∴x2＋y2－2x＝(x－1)2＋y2－1≤0，故满足要求的点A(x，y)在以(1,0)为圆心，1为半径的圆上以及圆的内部．故选B．
5．(多选)设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题中的真命题是( )
A．(a·b)c－(c·a)b＝0
B．|a|－|b|<|a－b|
C．(b·c)a－(a·c)b不与c垂直
D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
解析：BD 由于b，c是不共线的向量，因此(a·b)c与(c·a)b相减的结果应为向量，故A错误；由于a，b不共线，故a，b，a－b构成三角形，因此B正确；由于[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，故C中两向量垂直，故C错误；根据向量数量积的运算可以得出D是正确的．故选B、D．
6．(多选)已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2,1)，c＝(2，t)，下列说法正确的是( )
A．若(a＋b)∥c，则t＝6
B．若(a＋b)⊥c，则t＝
C．若t＝1，则cos〈a，c〉＝
D．|a＋c|<3
解析：BC a＋b＝(－1,3)，若(a＋b)∥c，则－t－6＝0，所以t＝－6，故A错误；
若(a＋b)⊥c，则－2＋3t＝0，所以t＝，故B正确；
若t＝1，则cos〈a，c〉＝＝＝，故C正确；
a＋c＝(3，t＋2)，则|a＋c|＝≥3，故D错误．故选B、C．
7．在四边形ABCD中，＝(3，－1)，＝(2，m)，⊥，则该四边形的面积是________．
解析：由题意，向量＝(3，－1)，＝(2，m)，由⊥，可得·＝3×2＋(－1)×m＝0，解得m＝6，所以四边形的面积为||·||＝ ·＝10．
答案：10
8．已知向量a，b，其中|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角是________，a·(a＋b)＝________．
解析：由题意，设向量a，b的夹角为θ，因为|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝|a|2－a·b＝|a|2－|a||b|cos θ＝3－2·cos θ＝0，解得cos θ＝．又因为0≤θ≤π，所以θ＝，则a·(a＋b)＝|a|2＋|a|·|b|·cos θ＝3＋2×＝6．
答案： 6
9．已知平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠BAD＝，平面内动点E，满足|ED|＝2|EC|，则(－)·的取值范围为________．
解析：∵平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠BAD＝，∴建立如图所示的坐标系，则A(0,0)，B(3,0)，C(5，2)，D(2,2)，设E(x，y)，∵平面内动点E满足|ED|＝2|EC|，∴(x－2)2＋(y－2)2＝4[(x－5)2＋(y－2)2]，即(x－6)2＋(y－2)2＝4，∴(x－6)2≤4 4≤x≤8，∴(－)·＝·＝(3,0)·(x，y)＝3x∈[12,24]．
答案：[12,24]
10．在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1,0)和点B(－1,0)，||＝1，且∠AOC＝θ，其中O为坐标原点．
(1)若θ＝，设点D为线段OA上的动点，求|＋|的最小值；
(2)若θ∈，向量m＝，n＝(1－cos θ，sin θ－2cos θ)，求m·n的最小值及对应的θ值．
解：(1)设D(t,0)(0≤t≤1)，由题意知C，
所以＋＝，所以|＋|2＝2＋(0≤t≤1)，
所以当t＝时，|＋|最小，最小值为．
(2)由题意得C(cos θ，sin θ)，m＝＝(cos θ＋1，sin θ)，
则m·n＝1－cos2θ＋sin2θ－2sin θcos θ
＝1－cos 2θ－sin 2θ＝1－sin，
因为θ∈，所以≤2θ＋≤，
所以当2θ＋＝，即θ＝时，sin取得最大值1，即m·n取得最小值1－．
所以m·n的最小值为1－，此时θ＝．
11．(多选)引入平面向量之间的一种新运算“ ”如下：对任意的向量m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，规定m n＝x1x2－y1y2，则对于任意的向量a，b，c，下列说法正确的有( )
A．a b＝b a B．(λa) b＝λ(a b)
C．a·(b c)＝(a b)·c D．|a|·|b|≥|a b|
解析：ABD 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，c＝(x3，y3)．A项，因为a b＝x1x2－y1y2，b a＝x2x1－y2y1，所以a b＝b a，故正确；
B项，因为(λa) b＝(λx1)x2－(λy1)y2＝λ(x1x2－y1y2)＝λ(a b)，故正确；
C项，a·(b c)＝(x2x3－y2y3)a，(a b)·c＝(x1x2－y1y2)c，此时a·(b c)＝(a b)·c不恒成立，故错误；
D项，因为(|a|·|b|)2＝( ·)2＝xx＋yy＋xy＋xy，|a b|2＝xx＋yy－2x1x2y1y2，所以(|a|·|b|)2－|a b|2＝xy＋xy＋2x1x2y1y2＝(x1y2＋x2y1)2≥0，所以(|a|·|b|)2－|a b|2≥0，且|a|·|b|≥0，|a b|≥0，所以|a|·|b|≥|a b|，故正确，故选A、B、D．
12．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A(前轮)，圆D(后轮)的半径均为，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为4的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，·的最大值为( )
A．8 B．2
C．4 D．4
解析：C 以D为坐标原点，AD为x轴，过D作AD的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(－8,0)，B(－6,2)，C(－2,2)．圆D的方程为x2＋y2＝3，可设P(cos α，sin α)，所以＝(2,2)，＝(cos α＋6，sin α－2)．故·＝2cos α＋12＋6sin α－12＝4sin≤4．故选C．
13．已知平面向量a＝(，)，则与a夹角为45°的一个非零向量b的坐标可以为________．(写出满足条件的一个向量即可)
解析：设b＝(x，y)，∴a·b＝x＋y＝··，∴＝x＋y，∴xy＝0，且b为非零向量，∴x＝1，y＝0满足题意，∴b＝(1,0)．
答案：(1,0)(答案不唯一，满足b＝(x，y)，xy＝0且x2＋y2≠0的任意一个均可)
14．在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2CD＝3，AD＝2，若EF在线段AB上运动，且EF＝1，则·的最小值为________．
解析：如图所示，以A为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(3,0)，C，D(0,2)，不妨设E(t,0)，F(t＋1,0)(0≤t≤2)，则＝，＝，∴·＝·＝×＋4＝(t－1)2＋(t∈[0,2])，∴·的最小值为，当且仅当t＝1时取得．
答案：
15．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，分别将边BC与DC等分成8份，并将等分点自下而上依次记作E1，E2，…，E7，自左到右依次记作F1，F2，…，F7，满足·≤2(其中i，j∈N*,1≤i，j≤7)的有序数对(i，j)共有________对．
解析：以A为原点，直线AB为x轴，直线AD为y轴建立平面直角坐标系(图略)，则Ei，Fj(其中i，j∈N*,1≤i，j≤7)，由·≤2得＋≤2，即i＋4j≤16．当j＝1,2时，i＝1,2，…，7，共2×7＝14对；当j＝3时，i＝1,2,3,4，共4对，故满足题意的有序数对(i，j)共有18对．
答案：18
16．已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋\f(1,2) ))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝0．
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任一条直径，求·的最值．
解：(1)设P(x，y)，则Q(8，y)．
由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋\f(1,2) ))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2) ))＝0，
得||2－||2＝0，
即(x－2)2＋y2－(x－8)2＝0，化简，得＋＝1．
所以点P的运动轨迹为椭圆，其方程为＋＝1．
(2)因为·＝(－)·(－)＝(－－)·(－)＝2－2＝2－1，
P是椭圆＋＝1上的任一点，设P(x0，y0)，
则有＋＝1，即x＝16－，又N(0,1)，
所以2＝x＋(y0－1)2＝－y－2y0＋17
＝－(y0＋3)2＋20．
因为y0∈[－2，2]，所以当y0＝－3时，2取得最大值20，故·的最大值为19；
当y0＝2时，2取得最小值13－4(此时x0＝0)，故·的最小值为12－4．(共45张PPT)
6.3 平面向量的数量积及应用
课标要求 考情分析
1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义. 2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数 量积的运算. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量 积判断两个平面向量的垂直关系. 5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题. 6.会用向量的方法解决简单的力学问题与其他实 际问题. 考点考法：高考命题常
以向量、平面几何图形
为载体，考查向量的夹
角、模、向量共线、垂
直.求参数值、数量积是
高考的热点，常以选择
题、填空题的形式出现.
核心素养：数学抽象、
直观想象、数学运算
必备知识 自主排查
核心考点 师生共研
必备知识 自主排查
01
1.向量的夹角
（1）定义：已知两个非零向量 和 ， 是平面上的任意一点,作
， ，则_______ 叫做向量 与 的夹角.
（2）范围：向量夹角 的范围是______________.
[提醒] 当 与 同向时， ; 与 反向时， ; 与 垂直
时， .
2.平面向量的数量积
（1）定义：已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为 ,把数量_________
_____叫做向量 与 的数量积（或内积），记作 ，即 ______
_____.
规定：零向量与任一向量的数量积为___.
（2）投影向量
如图，在平面内任取一点 ，作 , ，过点 作直线 的
垂线，垂足为 ，则______就是向量 在向量 上的投影向量.
设与 方向相同的单位向量为 , 与 的夹角为 ，则 与 , , 之
间的关系为 _________.
（3）运算律
① .
② .
③ ___________.
3.平面向量数量积的有关结论
已知非零向量 , , 与 的夹角为 .
结论 符号表示 坐标表示
模 _______ __________
夹角 _____
的充要条件 _________ ________________
与 的关系 ___
≤
[提醒] （1）向量平行与垂直的坐标公式不要记混；
（2） 是对非零向量而言的，若 ,虽然有 ，但不能说 .
【练一练】
1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）两个向量的夹角的范围是 .( )
×
（2）向量在另一个向量上的投影向量为数量，而不是向量. ( )
×
（3）两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结
果是向量.( )
√
（4）若 ，则 .( )
×
2.（人A必修第二册 习题 变条件）设向量 , 满足
且 ，则 与 的夹角为( )
A. B. C. D.
解析：选A.设 与 的夹角为 ，由题意得 ,所以
.又 ,所以 ,所以
,即 .
又 ,所以 与 的夹角为 .
√
3.(2023·河北衡水质检)（多选）已知向量 ， ,
，设 与 的夹角为 ，则( )
A. B. C. D.
解析：选BD.由 , ,得 , ,
则 , ,故A不正确； ，故B正确；
不存在 ,使 成立，故C不正确； ,所
以 ,故D正确.综上，选BD.
√
√
4.(2023·广东模拟)平面向量 与 的夹角为 ， ， ，
则 _____.
解析：由题知， ，则 ，所以 .
5.已知 , , 与 的夹角 ,则向量 在向量 上的投
影向量的模为___.
2
解析：由数量积的定义知，向量 在向量 上的投影向量的模为 .
1.平面向量数量积运算的常用公式
（1） ；
（2） .
2.有关向量夹角的两个结论
（1）两向量 与 为锐角 且 与 不共线.
（2）两向量 与 为钝角 且 与 不共线.
【用一用】
1.(2023·山西太原高三期末)已知向量 , 满足 ，
则 ( )
A. B. C. D.
解析：选C.由题意得， ，即
，整理得 ，
则 .故选C.
√
2.(2023·江苏模拟)已知 ， ，且 与 的夹角为锐
角，则实数 的取值范围为_ ________________.
解析：由题知， ，因为 与 的夹角为锐角，
所以 ，且 与 不共线，
所以 ，且 ，
解得 且 ，
所以实数 的取值范围为 .
核心考点 师生共研
02
考点一 平面向量数量积的基本运算（自主练透）
1.已知向量 ， ,且 ，则 的值
为( )
A. B. C. D.
解析：选A.由题意得 ，解得 ，
所以 ，则 , ，
所以 .故选A.
√
2.(2023·内蒙古赤峰模拟)已知非零向量 ， ， 满足 ，
与 的夹角为 ，且 ，则向量 ， 的数量积为( )
A. B. C. D.
解析：选A.设 ，因为 与 的夹角为 ，
所以 .
因为非零向量 ， ， 满足 ，
所以 ，
所以 .故
选A.
√
3.在 中， ， .若 ，则
____.
解析：由题意得， ，则
，
故
,解得 .
4.(2022·春季高考上海卷)在 中， ， ， 为边 的中
点，若点 在边 上运动（点 可与 ， 重合），则 的最小值为_ _.
解析：如图，以 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则
， ， ， ，
依题意可设 ，则 ，
，所以
.故 的最小值为
.
求两个向量的数量积的三种方法
考点二 平面向量数量积的性质（多维探究）
[高考考情] 近几年高考在此处都单独命题，主要考查向量坐标运算，向量共线的充要条件，平面向量基本定理，向量的数量积及其应用（如向量垂直、向量的夹角、向量的模以及范围与最值）.
角度1 平面向量的模
例1.（1）(2022·高考全国卷乙)已知向量 , 满足 , ,
，则 ( )
A. B. C. D.
解析：因为 ,
且 , , ,
所以 ,
所以 .故选C.
√
（2）(2023·江苏南京、盐城第一次模拟)在平面直角坐标系 中，若
， ， , ,则 的最小值为_____.
解析：由题意得 , ,由 ,得
,所以 .
又 ,所以 ,
则 ,
,所以当 时， 取得最小值 .
求平面向量的模的两种方法
角度2 平面向量的夹角
例2.（1）(2022·新高考卷Ⅱ)已知向量 ， , ,
若 ，则 ( )
A. B. C. D.
解析： , ,
即 ,解得 .故选C.
√
（2）(2023·广西玉林模拟)若两个非零向量 ， 满足
，则 与 的夹角是_ __.
解析：设向量 与 的夹角为 ，由 ，
得 ，变形得
，所以 且 ，
则 ，故 .
又因为 ，则 .
求平面向量的夹角的方法
（1）定义法： ， 的取值范围为 ；
（2）坐标法：若 , ,则 .
角度3 平面向量的垂直问题
例3.（1）(2020·高考全国卷Ⅱ)已知单位向量 , 的夹角为 ，则在下列
向量中，与 垂直的是( )
A. B. C. D.
√
解析：方法一：由题意，得 .对于A，
，故A不符合题意；对于B，
,故B不符合题意；对于C，
，故C不符合题意；对于D，
,所以 .故选D.
, ,易知，只有 ，即 ,故选D.
方法二：不妨设 , ,则 ,
（2）(2023·黑龙江大庆实验中学模拟)在 中，点 在边 上，且
， ，若 ，则 ( )
A. B. C. D.
解析：由题意知
，
则 ，
即 ，则 ，即 .
√
有关平面向量垂直的两类题型
（1）利用坐标运算证明或判断两个向量的垂直问题.
①计算出这两个向量的坐标;
②根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可.
（2）已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值.
即根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数.
【对点训练】
1.已知向量 , 均为单位向量，且 ，则 ( )
A. B. C. D.
解析：选B.由题意得 ， ，所以 .故选B.
√
2.(2023·四川模拟预测)已知向量 , 的夹角为 ， ，
，则 _ ____.
解析：由题意可得 ， ,
所以 .
3.(2023·江苏盐城模拟)在菱形 中， ，
， 点 是 上的一点，已知 ，则线
段 的长为_ _.
解析：因为点 是 上的一点,
所以 ，
因为 ， ，四边形 为菱形，
所以
，
解得 ,即线段 的长为 ，所以线段 .
考点三 平面向量与平面几何（师生共研）
例4.（1）已知非零向量 ， 满足 ，且
，则 的形状是( )
A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形
C.等腰（非等边）三角形 D.等边三角形
√
解析：因为 和 分别表示向量 和向量 方向上的单位向量，
因为 ，
所以角 的平分线与 垂直，
所以 为等腰三角形，且 ，
因为 ，所以 .
又 ，所以 ，所以 ，
所以 为等边三角形.
（2）如图所示，已知正方形 的边长为1，点 从 点出
发，按字母顺序 沿线段 ， ， 运动到
点 ，在此过程中 的最大值是___.
解析：以 为原点， ， 所在直线分别为 轴， 轴，
建立平面直角坐标系，如图，
可得 ， ， ， ，
①当点 在 上时，设 ，其中 ，
此时 ， ，
故 ；
②当点 在 上时，设 ， ，
此时 ， ,
，
此时 的最大值为0；
③当点 在 上时，设 ，其中 ，
， ，此时 .
综上所述， 的最大值是0.
用向量解决平面几何问题的两种方法及步骤
（1）向量的线性运算法的四个步骤：
①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找相应关系；④把几何问题向量化.
（2）向量的坐标运算法的四个步骤：
①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③用向量的坐标运算找相应关系；④把几何问题向量化.
【对点训练】
1.在四边形 中， ， , ,则该四边形
的面积是____.
10
解析：由题意得 ，解得 ，
则 ，
，
所以 .
2.(2023·山东烟台模拟)在梯形 中， ， ，
， ，若 在线段 上运动，且 ，则
的最小值为_ __.
解析：如图所示，以 为原点， 为 轴正方向， 为
轴正方向建立平面直角坐标系，则 , , ,
.
不妨设 , ,则 , ,
所以 /m> >
, 时， 的最小值为 .
