2025年高考数学一轮复习-7.1-基本立体图形及其表面积与体积-专项训练
基 础 巩固练
1.下列说法正确的是( )
A.棱台的侧棱长都相等
B.棱锥被平面截成的两部分是棱锥和棱台
C.棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形
D.棱台的两个底面相似
2.(2024·安徽淮北模拟)如图所示,在三棱台A'B'C'-ABC中,沿平面A'BC截去三棱锥A'-ABC,则剩余的部分是( )
A.三棱锥 B.四棱锥 C.三棱柱 D.组合体
3.(2021·新高考Ⅰ,3)已知圆锥的底面半径为,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为( )
A.2 B.2 C.4 D.4
4.(2024·江西新余一中校考)《增减算法统宗》中,许多数学问题都是以歌诀的形式出现的.其中有一首“葛藤缠木”,大意是说:有根高2丈的圆木柱,该圆木的周长为3尺,有根葛藤从圆木的根部向上生长,缓慢地自下而上均匀绕该圆木7周,刚好长的和圆木一样高.已知1丈等于10尺,则能推算出该葛长为( )
A.21尺 B.25尺 C.29尺 D.33尺
5.(2024·福建莆田)某校科技社利用3D打印技术制作实心模型.如图,该模型的上部分是半球,下部分是圆台.其中半球的体积为144π cm3,圆台的上底面半径及高均是下底面半径的一半.打印所用原料密度为1.5 g/cm3,不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量约为( )(1.5π≈4.7)
A.3 045.6 g B.1 565.1 g
C.972.9 g D.296.1 g
6.(2024·湖南邵阳模拟)如图所示,正八面体的棱长为2,则此正八面体的表面积与体积之比为( )
A. B. C. D.
7.(2024·福建福州模拟)如图,正六边形ABCDEF的边长为6,设边AF,CD的中点分别为O1,O2,已知某几何体是由此正六边形ABCDEF绕直线O1O2旋转一周而成,则该几何体的体积为( )
A.378π B.126π
C.90π D.63π
8.(2022·全国甲,理9)甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为2π,侧面积分别为S甲和S乙,体积分别为V甲和V乙.若=2,则=( )
A. B.2
C. D.
9.(2023·全国甲,文10)在三棱锥P-ABC中,△ABC是边长为2的等边三角形,PA=PB=2,PC=,则该棱锥的体积为( )
A.1 B.
C.2 D.3
10.(2024·湖北武汉模拟)某车间需要对一个圆柱形工件进行加工,该工件底面半径为15 cm,高为10 cm,加工方法为在底面中心处打一个半径为r cm且和原工件有相同轴的圆柱形通孔.若要求工件加工后的表面积最大,则r的值应设计为( )
A. cm B. cm
C.4 cm D.5 cm
11.(2024·广东肇庆)如图,一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4,一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发,绕圆锥爬行一周后回到点P处,若该小虫爬行的最短路程为4,则这个圆锥的体积为( )
A. B.
C. D.
12.(多选题)(2024·海南中学模拟)如图所示,用“斜二测画法”画出的一个平面图形ABCD的直观图为A'B'C'D',其中O'A'=O'C'=1,O'B'=O'D'=2,则下列说法正确的是( )
A.该平面图形是一个平行四边形但不是正方形
B.该平面图形的面积是8
C.该平面图形绕着直线AC旋转半周形成的几何体的体积是
D.以该平面图形为底,高为3的直棱柱的外接球的直径为
13.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M,N分别为BB1,AB的中点,则三棱锥A-NMD1的体积为 .
14.(2024·甘肃张掖模拟)已知圆台的下底面半径是上底面半径的2倍,其侧面展开图是一个面积为6π的半圆环,则该圆台的高为 .
综 合 提升练
15.(2024·江苏南通等七市模拟)已知底面半径为r的圆锥SO,其轴截面是正三角形,它的一个内接圆柱的底面半径为,则此圆柱与圆锥的侧面积的比值为( )
A. B. C. D.
16.(2024·安徽合肥八中模拟)“阿基米德多面体”也称为半正多面体,是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体,它体现了数学的对称美.如图,它是由正方体沿交于同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥,共截去八个三棱锥得到.已知AB=,若该半正多面体的表面积为S,体积为V,则=( )
A. B.
C.2 D.
17.(多选题)(2024·浙江宁波模拟)某班级到一工厂参加社会实践劳动,加工出如图所示的圆台O1O2,在轴截面ABCD中,AB=AD=BC=2 cm,且CD=2AB,下列说法正确的有( )
A.该圆台轴截面ABCD的面积为3 cm2
B.该圆台的体积为 cm3
C.该圆台的侧面积为6π cm2
D.沿着该圆台表面,从点C到AD中点的最短距离为5 cm
18.(2024·广东深圳模拟)如图,一个棱长1分米的正方体型封闭容器中盛有V升的水,若将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形,则V的取值范围是 .
创 新 应用练
19.(2024·辽宁锦州模拟)已知用斜二测画法画梯形OABC的直观图O'A'B'C'如图所示,O'A'=3C'B',C'E'⊥O'A',C'D'平行于y'轴,C'E'=,点D'为O'A'的靠近点O'的三等分点,梯形OABC的面积是8,则四边形OABC绕y轴旋转一周形成的空间几何体的体积为 .
参考答案与解析
1.D 解析 由棱台的定义知棱台的侧棱长不一定都相等,而棱台的两个底面相似,所以A不正确,D正确;只有用平行于棱锥底面的平面截棱锥才能得到一个棱锥和一个棱台,B不正确;棱柱的侧棱都相等且相互平行,且侧面是平行四边形,但侧面并不一定全等,C不正确.
2.B 解析 三棱台A'B'C'-ABC中,沿平面A'BC截去三棱锥A'-ABC,剩余的部分是以A'为顶点,四边形BCC'B'为底面的四棱锥A'-BCC'B'.
3.B 解析 设圆锥底面半径为r1,圆锥侧面展开图半圆所在圆的半径为r2.由条件得,2πr1=2πr2,则r2=2r1=2,故该圆锥的母线长为2故选B.
图①
图②
4. C 解析 如图所示,圆柱的侧面展开图是矩形ABEF,由题意得圆柱的高AB=2丈=20尺,底面圆的周长BE=3尺,则葛藤绕圆柱7周后长为BD==29(尺).
5.C 解析 设半球的半径为R,因为V半球=R3=144π cm3,所以R=6 cm,由题意圆台的上底面半径及高均是3,下底面半径为6,所以V圆台=(S上+S下+)h=(32·π+62·π+)×3=63π(cm3),所以该实心模型的体积为V=V半球+V圆台=144π+63π=207π(cm3),所以制作该模型所需原料的质量为207π×1.5≈207×4.7=972.9(g).
6. D 解析 如图,点O为正方形ABCD的中心,连接EO,BD,EG⊥BC,G为垂足.由边长为2,可得△EBC的BC边上的高EG=,EO=,则正八面体的表面积为S=8=8=8正八面体的体积为V=2=2所以此正八面体的表面积与体积之比为
7. B 解析 连接BE交O1O2于点H,因为该几何体是由此正六边形ABCDEF绕直线O1O2旋转一周而成,所以该几何体为两个圆台组合而成的组合体.由题可得O1F=3,HE=EF=6,则O1H==3,所以V台=(32+62+)×3=63,则该几何体的体积为2V台=126
8. C 解析 如图,甲、乙两个圆锥的侧面展开图刚好拼成一个圆,设圆的半径(即圆锥的母线长)为3,则圆的周长为6π,甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1,r2,高分别为h1,h2,则2πr1=4π,2πr2=2π,则r1=2,r2=1,由勾股定理得,h1=,h2=2,所以,故选C.
9. A 解析 (方法一)如图,作AO⊥平面PBC,设AO=h,连接OP,OB,OC,由AP=AB=AC=2,可得OP=OB=OC,即O为△PBC的外心.在△PBC中,cos∠PBC=,
则sin∠PBC=设△PBC的外接圆半径为R,=2R,解得R=在Rt△AOP中,∵AO2+PO2=AP2,∴h=AO=S△BPC=PB·BC·sin∠PBC=2×2VP-ABC=VA-BPC=S△BPC·h==1.
(方法二)如图,过点P作PO⊥平面ABC于点O,连接CO并延长交AB于点D,连接PD.∵PA=PB=AB,∴D为AB的中点.∴CD=,PD=由PO⊥CD,设OD=x,0≤x<由PD2-OD2=PC2-OC2,得()2-x2=6-(-x)2,解得x=0或x=(舍去),∴PD⊥平面ABC.则VP-ABC=S△ABC·PD=22=1.故选A.
10.D 解析 大圆柱表面积为2×152π+10×2×15π=750π.小圆柱侧面积为10×2πr,上下底面积为2πr2,所以加工后物件的表面积为750π+20πr-2πr2=-2π(r-5)2+800π,011.A 解析 设圆锥的顶点为O,沿母线OP可得到圆锥侧面展开图如图所示,
∵小虫爬行的最短路程为4,∴PP'=4,又OP=OP'=4,∴cos∠POP'==-,∴∠POP'=,设圆锥底面半径为r,高为h,则2πr=4,解得r=,∴h=,∴圆锥体积V=r2h=
12. BC 解析 如图所示,将直观图还原为平面图形,由题意可得,AC=4=BD,故该平面图形为正方形,即A错误;面积S=4×4=8,即B正确;将平面图形绕直线AC旋转半周得到的几何体为两个圆锥,底面半径和高均为2,故体积V=2π×22×2=,即C正确;以该平面图形为底,高为3的直棱柱其实为长方体,且其长、宽、高分别为2,2,3,所以该长方体的体对角线长即为其外接球直径,为=5,即D错误.故选BC.
13. 解析 因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M,N分别为BB1,AB的中点,所以1×1×2=
14 解析 设圆台上底面半径为r,母线长为l,则其下底面半径为2r,则圆台对应的圆锥的母线长为2l.由圆台的侧面展开图是一个面积为6π的半圆环,得解得所以该圆台的高为
15. D 解析 如图,点O1是圆柱上底面的中心.AB是圆锥底面圆的直径,点M是SB与圆柱上底面的交点,连接O1M.∵△SAB是正三角形,AB=2r,∴SO=r.由△SO1M∽△SOB可得,∴SO1=SO,∴OO1=SO=r.圆柱侧面积S1=2πrr=r2,圆锥SO的侧面积S2=πr·2r=2πr2,
16.A 解析 由题图知,该半正多面体的表面由6个正方形和8个正三角形构成,则其表面积S=6+8()2=4+12,该半正多面体的体积可以由正方体截去8个三棱锥的体积计算,V=23-81×1×1=,
17. ACD 解析 对于A,由AB=AD=BC=2,且CD=2AB,可得CD=4,高O1O2=
,则圆台轴截面ABCD的面积为(2+4)=3(cm2),故A正确;对于B,圆台的体积为V=(12+1×2+22)(cm3),故B错误;对于C,圆台的侧面积为S侧=π(1+2)×2=6π(cm2),故C正确;对于D,由圆台补成圆锥,可得大圆锥的母线长为4 cm,底面半径为2 cm,侧面展开图的圆心角θ==π.设AD的中点为P,连接CP,可得∠COP=90°,OC=4 cm,OP=2+1=3(cm),则CP==5(cm).所以沿着该圆台表面,从点C到AD中点的最短距离为5 cm,故D正确.故选ACD.
18.() 解析 将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形,则如图,
水最少的临界情况为三棱锥A-A1BD,水面为△A1BD,水最多的临界情况为多面体ABCDA1B1D1,水面为△B1CD1.因为1×1×1==1-1×1×1=,所以19. 48π 解析 在直观图中,C'D'=C'E'=1,所以在还原图中,CD=2,如图,在直观图中,O'A'=3C'B',点D'为O'A'的靠近点O'的三等分点,所以在还原图中,OA=3CB,点D为OA的靠近点O的三等分点.又在直观图中,C'D'平行于y'轴,所以在还原图中,CD平行于y轴,则CD⊥OA,所以梯形OABC的面积是CD×(OA+CB)=2×4CB=4CB=8,则CB=2,故OA=6,OD=OA=2,又CD⊥OD,所以CD=2,同理可知AB=2,所以四边形OABC是等腰梯形,所以四边形OABC绕y轴旋转一周所形成的空间几何体的体积等于一个圆台的体积减去一个圆锥的体积,即所求几何体的体积是V=(42+4×6+62)×2-22×2==48π.(共21张PPT)
7.1 基本立体图形及其表面积与体积
课标要求 考情分析
1.利用实物、计算软件等观察空间图形，认 识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构 特征，并能运用这些特征描述现实生活中 简单物体的结构. 2.知道球、棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥 和圆台的表面积和体积的计算公式，能用 公式解决简单的实际问题. 3.会用斜二测画法画出简单空间图形（长方 体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合 体）的直观图. 考点考法：高考命题常以空间几何体为
载体，考查几何体的结构特征、直观图
的画法、表面积与体积的计算，尤其是
传统文化中的立体几何问题以及球的内
切与外接问题是高考的高频考点.
核心素养：数学抽象、直观想象、数学
运算
必备知识 自主排查
必备知识 自主排查
01
1.空间几何体的结构特征
（1）多面体的结构特征
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形 __________________________________ ___________________________________ ______________________________
名称 棱柱 棱锥 棱台
底面 互相______且______ 多边形 互相______且______
侧棱 ____________ 相交于______，但 不一定相等 延长线交于______
侧面形 状 ____________ ________ ______
平行
全等
平行
相似
平行且相等
一点
一点
平行四边形
三角形
梯形
续表
[提醒] 常见的几种四棱柱的结构特征及其之间的关系
（2）旋转体的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
图形 ______________________ ______________________ _______________________ _________________________
母线 互相平行且相等， ______于底面 相交于一点 延长线交于一点
轴截面 ______ ____________ __________ ____
侧面展开 图 ______ ______ ______
垂直
矩形
等腰三角形
等腰梯形
圆
矩形
扇形
扇环
[提醒]
球的截面的性质
（1）球的任何截面都是圆面；（2）球心和截面（不过球心）圆心的连线垂直于截面；（3）球心到截面的距离 与球的半径 及截面的半径 的关系为 .
2.直观图
（1）画法：常用____________.
（2）规则：
①原图形中 轴、 轴、 轴两两垂直，直观图中， 轴、 轴的夹角为
____________, 轴与 轴和 轴所在平面______.
②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍__________________，平行
于 轴和 轴的线段在直观图中保持原长度______，平行于 轴的线段在
直观图中长度变为原来的______.
斜二测画法
或
垂直
分别平行于坐标轴
不变
一半
3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
类别 圆柱 圆锥 圆台
侧面展开图 _____________________________________ __________________________ _______________________________
侧面积公式 ______ _____ __________
[提醒] （1）几何体的侧面积是指（各个）侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和；
（2）圆台、圆柱、圆锥的转化：当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥.由此可得.
4.柱、锥、台、球的表面积和体积
名称 表面积 体积
柱体 （棱柱和圆柱）
锥体 （棱锥和圆锥） _ _____
台体 （棱台和圆台）
球 ______ _ _____
【练一练】
1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.( )
×
（2）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.( )
×
（3）用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱.( )
×
（4）菱形的直观图仍是菱形.( )
×
（5）在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的
母线.( )
×
2.（人A必修第二册 习题 变条件）下列几何体中是棱台的是
( )
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
解析：选D.A,C不是由棱锥截成的，不符合棱台的定义，故A,C不符合题意.B中的截面不平行于底面，不符合棱台的定义，故B不符合题意.D符合棱台的定义.
√
3.若一个正四棱锥的底面是边长为2的正方形，高为 ，则侧棱长为___.
2
解析：如图，因为四棱锥的底面是边长为2的正方形，
高 ，所以 ，所以侧棱长
.
4.(2021·高考全国卷甲)已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为 ，则
该圆锥的侧面积为_____.
解析：设该圆锥的高为 ，则由已知条件可得 ，解
得 ，则圆锥的母线长为 ，故该圆锥的侧面
积为 .
1.原图形与直观图面积的关系
按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：
（1） ；（2） .
2.几个与球有关的切、接常用结论
（1）设正方体的棱长为 ,球的半径为 .
①若球为正方体的外接球，则 ;
②若球为正方体的内切球，则 ;
③若球与正方体的各棱相切，则 .
（2）若长方体的同一顶点的三条棱长分别为 , , ，外接球的半径为 ，
则 .
（3）正四面体的外接球与内切球的半径之比为 .
【用一用】
1.如图所示，在直观图中， ，则其平面
图形的面积是( )
A. B. C. D.
解析：选A.
.
√
2.一个长方体的顶点都在球面上，且长方体的棱长分别为1， ， ，则球
的表面积为_____.
解析：设球的半径为 ，则 ，则 .所以 .
