2025年高考数学一轮复习-7.2-空间点、直线、平面之间的位置关系-专项训练
基 础 巩固练
1.已知α,β,γ是三个平面,α∩β=a,α∩γ=b,β∩γ=c,且a∩b=O,则下列结论正确的是( )
A.直线b与直线c可能是异面直线
B.直线a与直线c可能平行
C.直线a,b,c必然交于一点(即三线共点)
D.直线c与平面α可能平行
2.已知a,b,c为三条不重合的直线,给出下列命题:
①若a⊥b,a⊥c,则b∥c;②若a⊥b,a⊥c,则b⊥c;③若a∥b,b⊥c,则a⊥c.其中真命题的个数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
3.如图,已知E,F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1,CC1的中点,则四边形EBFD1一定是( )
A.菱形 B.正方形 C.矩形 D.梯形
第3题图
第4题图
4.如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,AA'=AB=BC,连接AC,BD',则( )
A.直线BD'与平面ABCD所成的角为
B.直线BD'与平面BB'C'C所成的角为
C.直线BD'与直线AA'所成的角为
D.BD'=2AC
5.(多选题)在下列选项中,G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形是( )
A B C D
6.(多选题)(2023镇江质检)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,则以下四个结论中,正确的有( )
A.直线AM与CC1是相交直线
B.直线BN与MB1是异面直线
C.直线AM与A1D所成的角为90°
D.直线MN与AC所成的角为60°
7.若平面α,β相交,在α,β内各取两点,这四点都不在交线上,则这四点能确定 个平面.
8.(2023苏州月考)在长方形ABCD中,AB=2AD,过AD,BC分别作异于平面ABCD的平面α,β,若α∩β=l,则l与BD所成角的正切值为 .
9.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB和AA1的中点.求证:
(1)E,C,D1,F四点共面;
(2)CE,D1F,DA三线共点.
综 合 提升练
10.到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为 ( )
A.1 B.4 C.7 D.8
11.(多选题)(2023海安月考)如图,这是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体,那么下列说法中,正确的是( )
A.直线CD与直线GH共面
B.直线CD与直线EF异面
C.直线AB与直线EF共面
D.直线GH与直线EF异面
12.在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1,∠ABC=∠B1BA=∠B1BC=60°,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
13.如图,E,F,G,H分别是菱形ABCD的边AB,BC,CD,DA上的点,且BE=2AE,DH=2HA,CF=2FB,CG=2GD,现将△ABD沿BD折起,得到空间四边形ABCD,在折起过程中,下列说法正确的是( )
A.直线EF,HG有可能平行
B.直线EF,HG一定异面
C.直线EF,HG一定相交,且交点一定在直线AC上
D.直线EF,HG一定相交,但交点不一定在直线AC上
14.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列说法正确的是 (填所有正确说法的序号).
①直线AC1在平面CC1B1B内;
②设正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的中心分别为O,O1,则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1;
③由点A,C1,B1确定的平面是ADC1B1;
④由点A,C1,B1确定的平面与由点A,C1,D确定的平面是同一个平面.
15.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,B1C1的中点.
(1)AM与CN是否是异面直线 说明理由.
(2)D1B与CC1是否是异面直线 说明理由.
创 新 应用练
16.设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,和a,且长为a的棱与长为的棱异面,则实数a的取值范围是 .
参考答案
1.C 2.B 3.A 4.C 5.BD 6.BCD
7.1或4 8.2
9.证明 (1)如图所示,连接EF,CD1,A1B.
∵E,F分别是AB,AA1的中点,∴EF∥BA1.
又A1B∥D1C,∴EF∥CD1,
∴E,C,D1,F四点共面.
(2)∵EF∥CD1,且EF∴直线CE与D1F必相交,设交点为P,如图所示.
则由P∈CE,CE 平面ABCD,得P∈平面ABCD.
同理可得P∈平面ADD1A1.
又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA,
∴P∈直线DA,∴CE,D1F,DA三线共点.
10.C 11.ACD 12.C 13.C 14.②③④
15.解 (1)AM与CN不是异面直线.理由如下:如图,连接MN,A1C1,AC.
因为M,N分别是A1B1,B1C1的中点,所以MN∥A1C1.又因为A1A C1C,
所以四边形A1ACC1为平行四边形,
所以A1C1∥AC,所以MN∥AC,
所以A,M,N,C四点在同一平面内,
故AM和CN不是异面直线.
(2)D1B与CC1是异面直线.理由如下:
因为ABCD-A1B1C1D1是正方体,
所以B,C,C1,D1四点不共面.
假设D1B与CC1不是异面直线,
则存在平面α,使D1B 平面α,CC1 平面α,
所以D1,B,C,C1∈α,这与点B,C,C1,D1不共面矛盾,
所以假设不成立,即D1B与CC1是异面直线.
16.(0,)(共36张PPT)
7.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
课标要求 考情分析
1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、 平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、 直线、平面的位置关系的定义. 2.了解四个基本事实和一个定理、三个推 论，能运用四个基本事实和一个定理、三个 推论判断有关命题的真假，并解决一些简单 的证明问题. 考点考法：高考命题常考
查异面直线的判断问题、
平面与平面的交线问题、
共点与共面问题.多以选择
题的形式出现，也可以作
为解答题第（1）问出现.
核心素养：数学抽象、逻
辑推理、直观想象
必备知识 自主排查
核心考点 师生共研
必备知识 自主排查
01
1.平面
（1）四个基本事实
基本事实1：过________________的三个点，有且只有一个平面.
基本事实2：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线在
这个平面内.
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有___
_____过该点的公共直线.
不在一条直线上
两个点
一条
基本事实4：平行于同一条直线的两条直线______.
平行
（2）“三个”推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有______平面.
推论2：经过两条______直线，有且只有一个平面.
推论3：经过两条______直线，有且只有一个平面.
[提醒] 三点不一定能确定一个平面.当三点共线时，过这三点的平面有无
数个，所以必须是不在一条直线上的三点才能确定一个平面.
一个
相交
平行
2.空间中直线与直线的位置关系
（1）&1& ,
（2）异面直线所成的角
①定义：设 , 是两条异面直线,经过空间中任一点 分别作直线 ,
,把 与 所成的角叫做异面直线 与 所成的角（或夹角）.
②范围：_ _____.
[提醒] 两直线垂直有两种情况——异面垂直和相交垂直.
（3）定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角_____
_______.
相等或互补
3.空间中直线、平面的位置关系
位置关系 符号
直线和平面 直线在平面内
直线在平面外 直线与平面相交
直线与平面平行
平面和平面 两平面平行
两平面相交
[提醒] 直线 和平面 相交、直线 和平面 平行统称为直线 在平面
外，记作 .
【练一练】
1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）若 且 是 ， 的交线，则 .( )
√
（2）若直线 ,则直线 与 能够确定一个平面.( )
√
（3）若 , 且 , ,则 .( )
√
（4）分别在两个平面内的两条直线是异面直线.( )
×
2.如果直线 平面 ,直线 平面 ,且 ，则 与 ( )
A.共面 B.平行
C.是异面直线 D.可能平行，也可能是异面直线
解析：选D. ，说明 与 无公共点，所以 与 可能平行也可能是异面直线.
√
3.（多选）（人A必修第二册 习题 变设问）如图是一个正方体的
展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法正确的是( )
A. 与 是异面直线 B. 与 相交
C. D. 与 异面
√
√
√
解析：选ABC.把展开图还原成正方体，如图所示.
还原后点 与 重合，点 与 重合，由图可知A，B，C正确， 与 相交，故D错误.选ABC.
4.在长方体 中， ， ， ，则异面
直线 和 所成角的余弦值是____.
解析：如图，连接 ， ，则 （或其补角）
就是异面直线 和 所成的角，易知 ，
， ，
由余弦定理得 .
1.异面直线的判定
过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线.
2.几个唯一性结论
（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
（2）过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直；
（3）过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.
【用一用】
1.如图，在直三棱柱 的棱所在的直线中，与直
线 成异面直线的条数为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.与直线 成异面直线的有 ， ， ，共3条，故选C.
√
2.如果点 是两条异面直线 ， 外一点，则过点 且与 ， 都平行的
平面个数的所有可能值是( )
A. B. C. 或1 D.无数
√
解析：选C.若点 与直线 构成的平面与直线 平行，则过 且与 ， 都平行的平面个数为0；
若点 与直线 构成的平面与直线 平行，则过 且与 ， 都平行的平面个数为0；
若过点 与直线 构成的平面不与直线 平行，或过点 与直线 构成的平面不与直线 平行，则过点 且与 ， 都平行的平面个数为1.故选C.
核心考点 师生共研
02
考点一 平面基本事实的应用（师生共研）
例1 (2023·上海南洋模范中学月考)已知正方体
中， 与平面 交于点 ，设
与 相交于点 .求证： 直线 .
【证明】 因为 平面 ,且 与平面
交于点 ，
所以点 是平面 与平面 的公共点，
因为平面 平面 ,
所以 直线 .
共面、共线、共点问题的证明
（1）证明共面的方法：①先确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内；②证两平面重合.
（2）证明共线的方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上.
（3）证明线共点问题的常用方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.
【对点训练】
1.（多选）如图，在正方体或四面体中， ， ， ， 分别是所在棱的
中点，则这四个点共面的图是( )
A.&2& B.&3& C.&4& D.&5&
解析：选ABC.对于A， ，故 ， ， ， 四点共面；同理，B，
C图中四点也共面；D中四点不共面.
√
√
√
2.如图所示，平面 平面 ， ， ，
， ， ，则平面 与平面 的交
线是( )
A.直线 B.直线 C.直线 D.直线
√
解析：选C.由题意知， ， ，所以 ，
又因为 ，所以 平面 ，所以点 在平面 与平面 的交线上.
又因为 平面 ， ，所以点 在平面 与平面 的交线上，
所以平面 平面 .
考点二 空间两条直线位置关系的判断（自主练透）
1.已知空间三条直线 ， , ,若 与 异面，且 与 异面，则( )
A. 与 异面
B. 与 相交
C. 与 平行
D. 与 异面、相交、平行均有可能
解析：选D.如图所示，在长方体中， , 与 都异面，
但是 ,所以A，B错误； , 与 都异面，且 ,
也异面，所以C错误，故选D.
√
2.如图，在正方体 中， ， 分别为
， 的中点，则下列直线中与直线 相交的是( )
A.直线 B.直线 C.直线 D.直线
解析：选D.根据异面直线的概念可知直线 , , 都和直线 为异面直线.因为直线 和 在同一平面内，且这两条直线不平行，所以直线 和直线 相交.
√
3.(2023·广州六校联考)（多选）如图，在正方体
中， ， ， 分别是 ， ，
的中点，则下列结论正确的是( )
A. 与 是异面直线
B. ， ， 相交于一点
C.
D. 平面
√
√
解析：选BD.连接 ， （图略），因为 ， ，所以 与
是相交直线，
又平面 平面 ，
所以 ， ， 相交于一点，则A不正确，B正确.
令 ，连接 ， （图略）.
因为 ， 分别是 ， 的中点，
所以 ， ，
则四边形 为平行四边形，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，即 平面 ，则C不正确，D正确.
4.已知 , 是两条直线, , 是两个平面，则下列说法中正确的为____.
（填序号）
①若 平行于 内的无数条直线，则 ;
②若 , , ,则 与 是异面直线；
③若 ， ，则 ;
④若 , ，则 与 一定相交.
③
解析：①忽略了 在 内这一情况，故①错误；
②直线 与 没有交点，所以直线 与 可能异面也可能平行，故②错误；
③直线 与平面 没有公共点，所以 ，故③正确；
④直线 与平面 可能相交也可能平行，故④错误.
点、线、面位置关系的判定
（1）点、线、面位置关系的判定，注意构造几何体（长方体、正方体）模型来判断，常借助正方体模型直观感知并认识空间点、线、面的位置关系.
（2）两条直线异面的判定：反证法或利用异面直线的判定定理.
考点三 异面直线所成的角（一题多变）
[高考考情] 异面直线所成的角是高考的热点内容，主要考查学生的空间想象能力、数学运算能力以及把空间问题转化为平面问题的能力，属于基础题，一般难度不大，常以填空题、选择题的形式出现.
例2 在长方体 中， ， ，则异面直
线 与 所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
解析：如图，连接 ，交 于点 ，取 的中点 ，
连接 ， .易知 为 的中点，所以 ，则
（或其补角）为异面直线 与 所成的角.因为在
长方体 中， ， ，
， ，
√
.所以 ， ，于是在 中，由余弦定理，得 .故异面直线 与 所成角的余弦值为 .
【一题多变】
1.（变条件、变设问）若将本例中条件“ ”变为“ ”.其他条
件不变，则异面直线 与 所成角的余弦值为_ _.
解析：连接 ，易证 ，则 （或其补角）
为异面直线 与 所成的角.连接 ，由
， ，易得 ，
，由余弦定理，得m>
.故异面直线 与 所成角的余弦值为 .
2.（变条件、变设问）若将本例中条件“ ”变为“异面直线 与
所成角的余弦值为 ”.则 的值为___.
3
解析：由题意可知 （或其补角）为异面直线 与 所成的角.
设 .因为 ，所以 ， .
由余弦定理，得 ，解得
,则 .
用平移法求异面直线所成角的三个步骤
（1）一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角.
（2）二证：证明作出的角是异面直线所成的角.
（3）三求：解三角形，求出所作的角.
[注意] 如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.
【对点训练】
(2023·辽宁沈阳重点高中联考)我们打印用的A4纸的长与宽
的比值约为 ，之所以是这个比值，是因为把纸张对折，
得到的新纸的长与宽的比值仍约为 .已知圆柱的母线长
小于底面圆的直径长（如图所示），它的轴截面 为
A. B. C. D.
一张A4纸，若点 为上底面弧 的中点，则异面直线 与 所成的角
约为( )
√
解析：选C.方法一：由题意知 ，所以 （或其补角）为异面
直线 与 所成的角.如图，设 的中点为 ，连接 ，过 作
底面圆 ，则 .连接 ，因为 是弧 的中点，所以 为弧
的中点，所以 .又 ，所以 平面 ，所以
.设 ，则 ，所以 ， ，
，所以
，所以 ，故选C.
方法二：如图，设 ， ， 分别为 ， ，弧 的中点，连接
， ，以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴、
轴、 轴建立空间直角坐标系，设 ，则 ，则
， ， ， ，所以
， ，所以m>
，又异面直线所成角的范围为 ，
所以异面直线 与 所成的角约为 ，故选C.
<
