(共45张PPT)
7.4 空间直线、平面的垂直
课标要求 考情分析
1.以立体几何的定义、公理和定理 为出发点，认识和理解空间中线 面垂直、面面垂直的有关性质与 判定定理. 2.能运用公理、定理和已获得的结 论证明一些有关空间图形的垂直 关系的简单命题. 考点考法：高考命题常以线线垂直、
线面垂直及面面垂直的判定及其应用
为重点，以及用其进一步研究体积、
距离、角的问题，还可与直线与平面
平行相结合进行命题的判断.
核心素养：直观想象、逻辑推理、数
学运算
必备知识 自主排查
核心考点 师生共研
必备知识 自主排查
01
1.直线与平面垂直
（1）定义：如果直线 与平面 内的__________直线都垂直，则直线 与
平面 互相垂直，记作 .直线 叫做平面 的垂线，平面 叫做直线
的垂面.
任意一条
（2）判定定理与性质定理
类别 文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 如果一条直线 与一个平面内 的两条______ 直线垂直，那 么该直线与此 平面垂直 ______________________________
相交
类别 文字语言 图形语言 符号语言
性质 定理 垂直于同一个 平面的两条直 线______ _________________________________
[提醒] “任意一条直线”与“所有直线”是同义的，但与“无数条直线”不同，定义的实质是直线与平面内的所有直线都垂直.
平行
续表
2.平面与平面垂直
（1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是__________，就说
这两个平面互相垂直.
（2）判定定理与性质定理
类别 文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 如果一个平面过另 一个平面的______, 那么这两个平面垂 直 ___________________________________
直二面角
垂线
类别 文字语言 图形语言 符号语言
性质 定理 两个平面垂直,如果 一个平面内有一直 线垂直于这两个平 面的______，那么 这条直线与另一个 平面垂直 ___________________________________
交线
续表
【练一练】
1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）垂直于同一个平面的两个平面平行.( )
×
（2）过平面外一点有且只有一条直线垂直于这个平面.( )
√
（3）直线与平面所成的角，二面角与异面直线所成的角的范围都是一样
的，即范围都是 .( )
×
2.(2023·广东省部分中学高三年级阶段测试)已知 ， 为异面直线， ，
为两个不同平面， ， .若直线 满足 ， ，
， ，则( )
A. , B. ,
C. 与 相交，且交线垂直于 D. 与 相交，且交线平行于
√
解析：选 D.因为 ， ， ，所以
，故A错误；若 ，因为 ，所以
，又 ，所以 ，这与 ， 为异面
直线矛盾，所以 与 相交，故B错误；设
，则由 ， 知， ， ，平移直线 至 ，
使 ，如图所示，设 ， 确定的平面为 ，则由 可得
，又 ， ，所以 ，因为 ， ，所
以 ，又 ， ，所以 ，因此 ，即平面 与
的交线平行于 ，故D正确，C错误.故选D.
3.（人A必修第二册 例8变条件）已知 是圆柱上底面的一条直径，
是上底面圆周上异于 ， 的一点， 为下底面圆周上一点，且 垂
直于圆柱的底面，则必有( )
A.平面 平面 B.平面 平面
C.平面 平面 D.平面 平面
√
解析：选B.因为 是圆柱上底面的一条直径，所以
，又 垂直于圆柱的底面，所以 ，因为
，所以 平面 ，因为 平面 ，
所以平面 平面 .故选B.
4.“直线 与平面 内的无数条直线都垂直”是“直线 与平面 垂直”的____
________条件.
必要不充分
解析：根据直线与平面垂直的定义知“直线 与平面 内的无数条直线都垂直” “直线 与平面 垂直”，反之则可以，所以应是必要不充分条件.
1.若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.
2.一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直.
3.两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面.
【用一用】
1. , , 是三条不同的直线， , , 是三个不同的平面，下列命题中正
确的是( )
A.若 ， ， ，则
B.若 ， ，则
C.若 ， ， ，则
D.若 ， ，则
√
解析：选A.对于A，若 ， ， ，则由面面垂直的性质和线面垂直的判定定理得 ，故A正确；对于B，若 ， ，则 与 相交、平行或异面，故B错误；对于C，若 ， ， ，则 与 平行或异面，故C错误；对于D，若 ， ，则 与 相交、平行或 ，故D错误.
2.（多选）下列命题中正确的有( )
A.如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面
B.如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面
C.如果平面 平面 ,平面 平面 ， ,那么 平面
D.如果平面 平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面
解析：选ABC.若 ，则 内有无数条直线垂直于平面 ，而非所有直
线都垂直于平面 .故D错误，故选ABC.
√
√
√
核心考点 师生共研
02
考点一 垂直关系命题的真假（自主练透）
1.(2023·河南开封模拟)已知 ， 是平面 内的两条直线， 是空间的一
条直线，则“ ”是“ 且 ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：选A.当 时， ， ,所以 且 ；当 且
， ， ,但 ， 是否相交无法判断，所以 可能成立，
也可能不成立.综上，“ ”是“ 且 ”的充分不必要条件.故选A.
√
2.(2023·山东威海一模)下列三个命题，真命题的个数为( )
（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于该平面；
（2）过空间一定点有且只有一条直线和已知平面垂直；
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行.
A. B. C. D.
√
解析：选C.命题（1）：由直线垂直平面的定义可知，若直线垂直于一个平面内的任意一条直线，则该直线垂直于该平面，故命题（1）错误；命题（2）：由直线与平面垂直的性质定理可知，过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直，故命题（2）正确；命题（3）：垂直于同一条直线的两个平面一定平行，故命题（3）正确.故选C.
3.(2023·江苏南京模拟)（多选）已知 , 是两条不同的直线， , 是两个
不同的平面，则下列选项中， 的充分条件有( )
A. , , B. , ,
C. , , D. , ,
解析：选 选项不是 的一个充分条件，两个平面垂直，两条直线
分别平行和垂直于平面，则这两条直线可能垂直、平行或异面，故A错误；
B选项，因为 ，且 ，所以 ，
√
√
又因为 ，所以 ，故B正确；
C选项，因为 ， ，
又因为 ，所以 ，故C正确；
D选项不是 的一个充分条件，两个平面垂直，两条直线分别平行于平面，则这两条直线可能垂直、平行或异面，故D错误.故选BC.
与线面垂直关系有关命题真假的判断方法
（1）借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准，甚至无需作图通过空间想象来判断.
（2）寻找反例，只要存在反例，结论就不正确.
（3）反复验证所有可能的情况，必要时要运用判定定理或性质定理进行简单说明.
考点二 直线与平面垂直的判定与性质（师生共研）
[高考考情] 空间中的垂直关系是高考必考的知识点之一，其中线面垂直的判定定理的应用是重点.第一是证明垂直关系；第二是用垂直关系求角和距离（此部分往往与空间向量结合考查）.
例1 是 所在平面外一点，且 ， 为斜边 的中点.
（1）求证: 平面 ;
【证明】 如图所示，取 的中点 ，
连接 ， .在 中，因为 ， 分别为
， 的中点，
所以 ，所以 .
因为 ， 是 的中点，
所以 .又 ,
所以 平面 .
又 平面 ，所以 .在 中, , 为 的中点,
所以 .又 , ， 平面 ，所以 平面
.
（2）若 ,求证: 平面 .
【证明】 由于 , 是 的中点,则 .由（1）可知, 平面 ,又 平面 ,
所以 .又 , , 平面 ，
所以 平面 .
证明线面垂直的步骤
【对点训练】
(2023·山东烟台阶段考试)如图，在直三棱柱 中，
， ， 是 的中点， 在 上.
（1）求证： 平面 ；
解：证明：因为 是直三棱柱，
所以 ,
且 ，
即 是等腰直角三角形.
又 是 的中点，
所以 .
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，又 ，
所以 平面 .
（2）在下列给出的三个条件中选取哪两个条件可使 平面 ？并证
明你的结论.
① 为 的中点；② ；③ .
解： 选①③能证明 平面 .证明如下：
如图，连接 ,因为 , 分别为 ， 的中点，
所以 .
在 中， ，
，则 ，
又 ，
则四边形 是正方形，
所以 ，所以 .
因为 平面 ， 平面 ,
所以 .
因为 ,
所以 平面 .
考点三 平面与平面垂直的判定与性质（师生共研）
例2 如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，平面 平面
， ， ， 为 的中点.求证：
（1） ；
【证明】 因为 ， 为 的中点，
所以 ，
因为底面 为矩形，所以 .
所以 .
（2）平面 平面 .
【证明】 因为底面 为矩形，所以 .
又因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平
面 ，
所以 平面 .
又 平面 ，所以 .
又因为 ，且 ， ， 平面 ，所以 平
面 .
又 平面 ，所以平面 平面 .
证明面面垂直的2种方法
定义法 利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直
二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角
的问题
定理法 利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另
一个平面的一条垂线，把面面垂直问题转化成证明线面
垂直问题加以解决
【对点训练】
如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 为菱形，
为 的中点.
（1）求证： 平面 ；
【证明】 因为 平面 , 平面 ,
所以 .
因为底面 为菱形，所以 .
又 ,
所以 平面 .
（2）若 ，求证：平面 平面 .
【证明】 因为 平面 ， 平面 ,
所以 .
因为底面 为菱形， ,
且 为 的中点，所以 ，所以 .
又 ，所以 平面 .
因为 平面 ，
所以平面 平面 .
考点四 平行、垂直关系的综合应用（师生共研）
例3 如图，矩形 所在平面与半圆弧 所在平面垂直， 是 上
异于 ， 的点.
（1）证明： 平面 ；
【解】 证明：由题意知，平面 平面 ，
平面 平面 .
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，故 .
因为 为 上异于 ， 的点，且 为直径，所以 .
又 ，
所以 平面 .
（2）在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，请说
明理由.
【解】 当 为 的中点时， 平面 .
理由如下：如图，连接 交 于点 ，连接 ，
.
因为四边形 为矩形，所以 为 的中点.
连接 ，因为 为 的中点，所以 .
又因为 平面 ， 平面 ，所以
平面 .
立体几何中线线、线面、面面的平行、垂直关系的两种转化
【对点训练】
如图，在平行六面体 中，底面 为菱形， 和
相交于点 ， 为 的中点.
（1）求证： 平面 ；
证明：如图，连接 .
因为 ， ，
所以 ， 相互平分，
所以 为 和 的中点.
又因为 为 的中点，
所以 为 的中位线，
所以 .
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）若平面 平面 .
求证： .
证明： 因为四边形 为菱形，所以 .
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，
所以 平面 .
又因为 平面 ，
所以 .
又因为 ，所以 .
因为 ，所以 .7.4-空间直线、平面的垂直-专项训练【原卷版】
基础巩固练
1. 下面四个说法：①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直；②过空间一定点有且只有一条直线和已知平面垂直；③垂直于同一平面的两条直线互相平行；④经过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直.其中正确的说法个数是（ ）.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 已知，是不同的直线， ， 是不同的平面，则下列条件能使 成立的是（ ）.
A. ， B. ， C. ， D. ，
3. 如图，在三棱锥中，若,，是的中点，则下列说法中正确的是（ ）.
A. 平面 平面
B. 平面 平面
C. 平面 平面，且平面 平面
D. 平面 平面，且平面 平面
4. [2024·济南摸底]若是所在平面外一点，且，，则点在所在平面内的射影是的（ ）.
A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心
5. （改编）阅读下面题目及其证明过程，在横线处应填写的正确结论是（ ）.
如图，在四棱锥中，底面是正方形，是正方形的中心， 底面，是线段上的任意一点，求证：平面 平面.
证明：因为 底面，所以.
又因为，且，所以 .
又因为 平面，所以平面 平面.
A. 平面 B. 平面 C. 平面 D. 平面
6. 如图，在正三棱柱中，若，则与平面所成的角的大小为（ ）.
A. B. C. D.
7. （改编）如图，已知正方体，，分别是，的中点，则（ ）.
A. 直线与直线相交，直线平面
B. 直线与直线平行，直线 平面
C. 直线与直线垂直，直线平面
D. 直线与直线异面，直线 平面
8.(2024·九省适应性测试)设α,β是两个平面,m,l是两条直线,则下列命题为真命题的是( ).
A.若α⊥β,m∥α,l∥β,则m⊥l
B.若m α,l β,m∥l,则α∥β
C.若α∩β=m,l∥α,l∥β,则m∥l
D.若m⊥α,l⊥β,m∥l,则α⊥β
综合提升练
9. （多选题）下列说法中正确的是（ ）.
A. 夹在两个平行平面间的平行线段相等
B. 三个两两垂直的平面的交线也两两垂直
C. 如果直线平面 ， ，那么过点且平行于直线的直线有无数条，且一定在 内
D. 已知，为异面直线， 平面 ， 平面 ，若直线满足，， ， ，则 与 相交，且交线平行于
10. （多选题）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.如图，在鳖臑中， 底面,，作于点,于点，则下列结论正确的是（ ）.
A. 平面 B. 平面
C. 三棱锥是鳖臑 D. 三棱锥是鳖臑
11. 已知在长方形中，,,为线段上任意一点,现将沿折起，使得平面 平面，则的取值范围是___________.
12. 在三棱锥中，能证明的条件是_________
①，；
②，；
③平面 平面，；
，.
应用情境练
13. 如图，四边形是一块直角梯形加热片，， ，.现将沿折起，成为二面角是 的加热零件，则,间的距离是_____.（所有器件厚度忽略不计）
.
14. 庑殿顶是中国古代建筑的一种屋顶样式，它的屋面有四面坡，前后坡屋面全等且相交成一条正脊，两山屋面全等与前后屋面相交成四条垂脊，由于屋顶四面斜坡，也称“四阿顶”.庑殿顶的顶盖几何模型图如图所示，底面是矩形，若四个侧面与底面所成的角均相等，且,，则______.
创新拓展练
15. 如图，在直三棱柱中，底面是以为直角的等腰直角三角形，，，是的中点，点在线段上，当 时， 平面.
16. 如图，五边形中的四边形是矩形，，，沿折叠成四棱锥，是的中点，.
（1）在四棱锥中，可以满足条件，，.请从中任选两个作为补充条件，证明：侧面 底面.（注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分）
（2）在（1）的条件下,求点到平面的距离.
7.4-空间直线、平面的垂直-专项训练【解析版】
基础巩固练
1. 下面四个说法：①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直；②过空间一定点有且只有一条直线和已知平面垂直；③垂直于同一平面的两条直线互相平行；④经过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直.其中正确的说法个数是（ C ）.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
[解析]如果一条直线与一个平面内的无数条平行线垂直，那么这条直线可能在平面内，可能与平面平行，也可能与平面斜交，故①错误；由线面垂直的性质可知，过空间一定点有且只有一条直线和已知平面垂直，故②正确；由线面垂直的性质可知，垂直于同一平面的两条直线互相平行，故③正确；由面面垂直的判定定理可知，经过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直，故④正确.故选.
2. 已知，是不同的直线， ， 是不同的平面，则下列条件能使 成立的是（ B ）.
A. ， B. ， C. ， D. ，
[解析]由 ， ，不能说明 与 的关系，错误；由 ， 能够推出 ，正确；由 ， 可以得到 与平面 平行、相交或在平面 内，错误； ，，则 与平面 可能平行，错误.故选.
3. 如图，在三棱锥中，若,，是的中点，则下列说法中正确的是（ C ）.
A. 平面 平面
B. 平面 平面
C. 平面 平面，且平面 平面
D. 平面 平面，且平面 平面
[解析]对于，因为,，是 的中点，所以,，因为， 平面, 平面，所以 平面，因为 平面，所以平面 平面，同理，平面 平面，正确；对于，，由于平面 平面，而平面 平面，故平面 与平面 不垂直，同理可得，平面 与平面 不垂直，，错误；对于，平面 与平面 不一定垂直，错误.故选.
4. [2024·济南摸底]若是所在平面外一点，且，，则点在所在平面内的射影是的（ D ）.
A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心
[解析]如图所示，因为,，且，， 平面，
所以 平面，所以，
同理，，所以 是 的垂心.故选.
5. （改编）阅读下面题目及其证明过程，在横线处应填写的正确结论是（ C ）.
如图，在四棱锥中，底面是正方形，是正方形的中心， 底面，是线段上的任意一点，求证：平面 平面.
证明：因为 底面，所以.
又因为，且，所以 .
又因为 平面，所以平面 平面.
A. 平面 B. 平面 C. 平面 D. 平面
[解析]因为 底面，所以.又因为，且， 平面, 平面，所以 平面.又因为 平面，所以平面 平面.故选.
6. 如图，在正三棱柱中，若，则与平面所成的角的大小为（ A ）.
A. B. C. D.
[解析]如图，取 的中点，连接，，
且，， 平面， 平面，
平面，
为 与平面 所成的角.
设，则，，，
， .
即 与平面 所成的角为 .故选.
7. （改编）如图，已知正方体，，分别是，的中点，则（ C ）.
A. 直线与直线相交，直线平面
B. 直线与直线平行，直线 平面
C. 直线与直线垂直，直线平面
D. 直线与直线异面，直线 平面
[解析]如图，连接，易知 与 互相平分，即 是 的中点，又 是 的中点，所以，而 平面， 平面，故 平面，又四边形 是正方形，则，又，所以 平面，所以.故选.
8.(2024·九省适应性测试)设α,β是两个平面,m,l是两条直线,则下列命题为真命题的是( C ).
A.若α⊥β,m∥α,l∥β,则m⊥l
B.若m α,l β,m∥l,则α∥β
C.若α∩β=m,l∥α,l∥β,则m∥l
D.若m⊥α,l⊥β,m∥l,则α⊥β
[解析] 对于A,m,l可能平行、相交或异面,故A错误;对于B,α,β可能相交或平行,故B错误;对于D,α,β平行,故D错误.由线面平行的性质可知C正确.
故选C.
综合提升练
9. （多选题）下列说法中正确的是（ ABD ）.
A. 夹在两个平行平面间的平行线段相等
B. 三个两两垂直的平面的交线也两两垂直
C. 如果直线平面 ， ，那么过点且平行于直线的直线有无数条，且一定在 内
D. 已知，为异面直线， 平面 ， 平面 ，若直线满足，， ， ，则 与 相交，且交线平行于
[解析]如图1， ,,且 , , , ，求证：.
因为,所以过,可作平面 ，且平面 与平面 和 分别相交于 和.
因为 ，所以，所以四边形 是平行四边形，所以,故 正确；
如图2，平面 ， ， ，，，，
在平面 内作异于 的直线，因为 ，，所以 ，
因为 ，所以 ， ，，所以，则 ，
又因为，，所以 , ，则,，
同理可得，，所以,,，故 正确；
若直线 平面 ， ，在平面 内过点 且平行于直线 的直线有且只有一条，故 错误；
因为，为异面直线， 平面 ， 平面 ，所以 与 相交，但未必垂直，且交线垂直于直线，，
又直线 满足，，所以交线平行于，故 正确.故选.
10. （多选题）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.如图，在鳖臑中， 底面,，作于点,于点，则下列结论正确的是（ ACD ）.
A. 平面 B. 平面
C. 三棱锥是鳖臑 D. 三棱锥是鳖臑
[解析]对于，因为 平面，且 平面，所以，由，可得，因为 且 平面, 平面，所以 平面，所以 正确；
对于，因为 平面， 平面，所以，又因为，且， 平面, 平面，所以 平面，所以 与平面 不垂直，所以 不正确；
对于，因为 平面，且 平面, 平面，所以,，所以,都为直角三角形，又，所以 为直角三角形，因为 平面， 平面，所以，所以 为直角三角形，根据鳖臑的定义，可得三棱锥 是一个鳖臑，所以 正确；
对于，因为 平面，且 平面, 平面，所以,，所以,都为直角三角形，因为，所以 为直角三角形，因为 平面， 平面，所以，因为，且， 平面, 平面，所以 平面，又因为 平面，所以，所以 为直角三角形，根据鳖臑的定义，可得三棱锥 是一个鳖臑，所以 正确.故选.
11. 已知在长方形中，,,为线段上任意一点,现将沿折起，使得平面 平面，则的取值范围是 .
[解析]当平面 平面 时，点 恰好在直线 的正上方，则当 沿 翻折到平面 上时，点 一定在直线 的下方，如图.
当 为 的中点时， ，所以 ,则,即，
所以 的取值范围是.
12. 在三棱锥中，能证明的条件是①③④.
①，；
②，；
③平面 平面，；
，.
[解析]对于①，因为，，， 平面, 平面，所以 平面，因为 平面，所以，①满足条件；对于②，，，无法证明，②不满足条件；对于③，因为平面 平面，平面 平面，， 平面，所以 平面，又 平面，所以，③满足条件；对于④，如图，取 的中点，连接,，因为，为 的中点，所以，同理可得，因为， 平面, 平面，所以 平面，因为 平面，所以，④满足条件.
应用情境练
13. 如图，四边形是一块直角梯形加热片，， ，.现将沿折起，成为二面角是 的加热零件，则,间的距离是4.（所有器件厚度忽略不计）
[解析] 四边形 是一块直角梯形加热片，， ，，为等边三角形，,，如图，设 为 的中点，连接，，则，又二面角 是 ，
平面， 平面，，又，，.
14. 庑殿顶是中国古代建筑的一种屋顶样式，它的屋面有四面坡，前后坡屋面全等且相交成一条正脊，两山屋面全等与前后屋面相交成四条垂脊，由于屋顶四面斜坡，也称“四阿顶”.庑殿顶的顶盖几何模型图如图所示，底面是矩形，若四个侧面与底面所成的角均相等，且,，则3.
[解析]如图，取,的中点,，连接，过点 作 平面 于点，过点 作 平面 于点，作 于点，连接,，因为底面 是矩形，所以，又因为 平面， 平面，所以 平面，又因为 平面，平面 平面，所以，因为平面，平面 与底面 所成的角相等，所以点,在直线 上，且，，根据三垂线定理可得，为平面 与平面 所成的角，为平面 与平面 所成的角，所以，又 为公共边，所以，所以，同理，所以.
创新拓展练
15. 如图，在直三棱柱中，底面是以为直角的等腰直角三角形，，，是的中点，点在线段上，当 或 时， 平面.
[解析]由已知得 是等腰直角三角形，，是 的中点，.
平面 平面，平面 平面， 平面.
又 平面，.
若 平面，则.
设，则，
,，
，
解得 或.
16. 如图，五边形中的四边形是矩形，，，沿折叠成四棱锥，是的中点，.
（1）在四棱锥中，可以满足条件，，.请从中任选两个作为补充条件，证明：侧面 底面.（注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分）
（2）在（1）的条件下,求点到平面的距离.
[解析]（1）方案一：选条件①②.
因为在四棱锥 中，，为 的中点，所以，
在 中，，，解得，
又因为四边形 为矩形，，所以，.
因为，，，所以，则.
因为，, 平面，所以 平面.
因为 侧面，所以侧面 平面.
方案二：选条件①③.
因为在四棱锥 中，，为 的中点，所以，
在 中，，，，
由正弦定理可得，即，
所以，所以，即，
因为，, 平面，所以 平面，
因为 侧面，所以侧面 平面.
方案三：选条件②③.
因为在四棱锥 中，，为 的中点，
所以，
在 中，，，解得，
又因为四边形 为矩形，，所以，
所以，
在 中，，则，
设，由余弦定理可得，
整理可得，解得 或（舍去），所以.
因为，，，所以，
则.
因为，， 平面，所以 平面，
因为 侧面，所以侧面 平面.
（2）在（1）的条件下， 平面，
因为 为 的中点，，，
在 中，，，则，
所以，则，
，
在 中，，，则，
所以，
所以，
设点 到平面 的距离为，由 可得，所以.
因此点 到平面 的距离为.
